Hvordan simpel matematik flytter nålen | Quanta Magasinet

Forestil dig, at du triller ned ad gaden i en førerløs bil, når du ser et problem forude. En Amazon-budschauffør fik deres varevogn halvvejs forbi en dobbeltparkeret UPS-lastbil, før han indså, at de ikke kunne klare sig. Nu sidder de fast. Og det er du også.

Gaden er for smal til at trække fra en U-ey, så din AI-forstærkede bil starter et trepunktssving. Først tager bilen en buet vej mod den ene kantsten. Når den er der, styrer den den anden vej og bakker op til den modsatte kantsten. Derefter drejer den rattet tilbage i retning af den første kurvede sti, kører fremad og væk fra forhindringen.

Denne enkle geometriske algoritme til at lave mellemdrejninger kan hjælpe dig med at komme rundt i trange situationer. (Hvis du nogensinde har parkeret parallelt, ved du, hvad denne frem- og tilbagevending kan gøre for dig.)

Der er et sjovt matematisk problem her om, hvor meget plads du skal bruge for at vende din bil, og matematikere har arbejdet på en idealiseret version af den i over 100 år. Det startede i 1917, da den japanske matematiker Sōichi Kakeya udgjorde et problem, der lyder lidt som vores trafikprop. Antag, at du har en uendelig tynd nål med længde 1. Hvad er arealet af det mindste område, hvor du kan dreje nålen 180 grader og returnere den til sin oprindelige position? Dette er kendt som Kakeyas nåleproblem, og matematikere studerer stadig variationer af det. Lad os tage et kig på den simple geometri, der gør Kakeyas nåleproblem så interessant og overraskende.

Ligesom mange matematiske problemer involverer denne nogle forenklede antagelser, der gør det mindre realistisk, men mere overskueligt. For eksempel betyder længden og bredden af ​​en bil, når du kører, men vi antager, at vores nål har længde 1 og bredde nul. (Dette betyder, at nålen i sig selv har et areal på nul, hvilket spiller en vigtig rolle i at give os mulighed for at løse problemet.) Vi vil også antage, at nålen, i modsætning til en bil, kan dreje rundt om dens forende, dens bagende eller et hvilket som helst punkt midt imellem.

Målet er at finde det mindste område, der gør det muligt for nålen at dreje 180 grader. At finde den mindste ting, der opfylder et bestemt sæt betingelser, kan være udfordrende, men en god måde at starte på er at lede efter alt, der opfylder disse betingelser, og se, hvad du kan lære undervejs. For eksempel er et nemt svar at dreje nålen 180 grader rundt om dens endepunkt og derefter skubbe den op igen. Dette bringer nålen tilbage til dens oprindelige position, men den peger nu i den modsatte retning, som Kakeyas nåleproblem kræver.

Det område, der kræves for vendingen, er en halvcirkel med radius 1, som har et areal på $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Så vi har fundet en region, der fungerer.

Vi kan gøre det bedre ved at drage fordel af vores magiske matematiske nåles evne til at rotere om ethvert punkt. I stedet for at rotere det om dets endepunkt, lad os rotere det om dets midtpunkt.

Du kan kalde dette Kakeyas kompas: Vores nål begynder at pege mod nord, men efter rotation er den på samme sted, men peger mod syd. Dette område er en cirkel med radius $latex frac{1}{2}$, så dets areal er $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Dette er halvdelen af ​​arealet af vores første region, så vi gør fremskridt.

Hvor skal du næste gang? Vi kunne hente inspiration fra vores førerløse bil-dilemma og overveje at bruge noget som en trepunktsdrejning til nålen. Dette fungerer faktisk ret godt.

Den region, der fejes ud af nålen ved hjælp af denne teknik, kaldes en deltoideus, og den opfylder også Kakeyas krav. Beregning af dets areal kræver mere end den elementære geometri, vi diskuterer her (kendskab til parametriske kurver hjælper), men det viser sig, at arealet af denne særlige deltoideus - den der fejes ud af et linjestykke med længde 1 - er nøjagtigt $latex frac{pi}{8}$. Nu har vi en endnu mindre region, hvor vi kan vende Kakeyas nål rundt, og du kunne blive tilgivet for at tro, at dette er det bedste, vi kan gøre. Kakeya troede selv, det kunne være.

Men dette nåleproblem tog en stor drejning, da den russiske matematiker Abram Besicovitch opdagede, at du kan gøre det uendeligt meget bedre. Han fandt på en procedure til at fjerne unødvendige dele af regionen, indtil den var så lille, som han ønskede.

Processen er teknisk og kompliceret, men én strategi baseret på Besicovitchs idé bygger på to enkle ideer. Overvej først den rette trekant nedenfor, med en højde på 1 og en base på 2.

For øjeblikket glemmer vi at vende nålen helt rundt og fokuserer på en simpel kendsgerning: Hvis vi placerer en nål med længde 1 i det øverste toppunkt, er trekanten stor nok til at tillade nålen at rotere hele 90 grader fra den ene side til den anden.

Da trekantens areal er $latex A=frac{1}{2}bh$, har denne trekant areal $latex A=frac{1}{2} gange 2 gange 1 = 1$.

Nu, her er den første vigtige idé: Vi kan reducere arealet af regionen og samtidig bevare 90-graders rotationen. Strategien er enkel: Vi skærer trekanten ned i midten, og skubber derefter de to halvdele sammen.

Arealet af denne nye figur skal være mindre end originalen, fordi dele af trekanten nu overlapper hinanden. Faktisk er det nemt at beregne arealet af figuren: Det er kun tre fjerdedele af kvadratet på side 1, så arealet er $latex A = frac{3}{4}$, hvilket er mindre end arealet af trekant vi startede med.

Og vi kan stadig pege nålen i alle de samme retninger som før. Der er kun et problem: Den oprindelige vinkel er blevet delt i to stykker, så disse retninger er nu opdelt i to separate områder.

Hvis nålen er på venstre side af den nye region, kan vi rotere den 45 grader mellem syd og sydøst, og hvis den er til højre kan vi dreje den 45 grader mellem syd og sydvest, men da de to dele er adskilt , det ser ikke ud til, at vi kan dreje det hele 90 grader, som vi kunne før.

Det er her, den anden vigtige idé kommer ind. Der er en lusket måde at få nålen fra den ene side til den anden, som ikke kræver meget areal. I skak ved du måske, at ridderen bevæger sig i en L-form. Nå, vores nål kommer til at bevæge sig i en N-form.

Her er hvordan det gøres. Først glider nålen op ad den ene side af N. Derefter roterer den for at pege langs diagonalen og glider ned. Så roterer den igen og afslutter sin tur ved at glide op på den anden side af N.

I starten ser dette N-formede træk måske ikke ud af meget, men det gør noget meget nyttigt. Det gør det muligt for nålen at "hoppe" fra en parallel linje til en anden, hvilket vil hjælpe os med at få vores nål fra den ene region til den anden. Endnu vigtigere, det gør det uden at kræve meget areal. Faktisk kan du få det til at kræve så lidt areal, som du vil. Her er hvorfor.

Husk på, at vores nål har nul bredde. Så enhver linje, som nålen bevæger sig langs, fremad eller bagud, vil have nul areal. Dette betyder, at det område, der kræves for at flytte nålen op, ned eller diagonalt langs N-formen, vil bestå af stykker med nul areal.

Det efterlader bare rotationerne i hjørnerne af N-formen.

Disse bevægelser kræver areal. Du kan se en lille sektor af en cirkel i hvert hjørne. Men her er den luskede del: Du kan gøre disse områder mindre ved at forlænge N.

Formlen for arealet af en sektor af en cirkel er $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, hvor $latex theta$ er målet for sektorens vinkel i grader. Uanset hvor højt N er, vil sektorens radius altid være 1: Det er længden af ​​nålen. Men efterhånden som N bliver højere, krymper vinklen, hvilket vil reducere arealet af sektoren. Således kan du gøre det ekstra areal så lille, som du ønsker, ved at strække N så meget ud, som du har brug for.

Husk, at vi var i stand til at reducere arealet af vores trekantede område ved at dele det i to og få stykkerne til at overlappe hinanden. Problemet var, at dette delte 90 graders vinkel i to separate stykker, hvilket forhindrede os i at dreje nålen hele 90 grader. Nu kan vi løse det problem ved at slå på en passende N-form for at sikre, at nålen har en vej fra den ene side til den anden.

I dette opdaterede område kan nålen stadig rotere de fulde 90 grader som før, det sker netop nu i to trin. Først drejer nålen 45 grader og er på linje med den lodrette kant til venstre. Dernæst bevæger den sig langs N-formen for at komme til den anden side. Når den først er der, er det gratis at dreje de øvrige 45 grader.

Dette flytter nålen 90 grader, og for at holde den drejende tilføjer du blot roterede kopier af området.

Med tilføjelsen af ​​de passende N-former kan nålen hoppe fra den ene trekantede halvø til den næste og dreje sig selv lidt efter lidt, indtil den når hele vejen rundt, ligesom en bil, der udfører et trepunktssving.

Der er mere djævelsk matematik i detaljerne, men disse to ideer - at vi hele tiden kan reducere arealet af det oprindelige område ved at skære det op og flytte det rundt, mens vi sikrer, at vi kan komme fra stykke til stykke ved hjælp af de vilkårligt små N-former - hjælper os flytte nålen i et stadigt krympende område, der i sidste ende kan være så lille, som du ønsker.

En mere standard tilgang til at bygge denne slags region begynder med ligesidede trekanter og bruger "Perron-træer", som er smarte måder at skære trekanter op og strække og skubbe stykkerne sammen igen. Resultatet er ret fantastisk.

For nylig har matematikere gjort fremskridt på nye variationer af dette gamle problem, sat i højere dimensioner og med forskellige forestillinger om størrelse. Vi vil sandsynligvis aldrig se en AI-drevet bil, der sporer en Kakeya-nålespids-drejning, men vi kan stadig værdsætte skønheden og enkelheden i dens næsten intethed.

Øvelser

1. Hvad er arealet af den mindste ligesidede trekant, der fungerer som et Kakeya-nålesæt?

2. Du kan gøre det lidt bedre end den ligesidede trekant i øvelse 1 ved at bruge en "Reuleaux-trekant", et område dannet af tre overlappende cirkulære sektorer. Hvad er arealet af den mindste Reuleaux-trekant, der virker?