Antal afstande, der adskiller punkter, har en ny grænse | Quanta Magasinet

Spred tre punkter i et plan, og mål derefter afstanden mellem hvert par af dem. Efter al sandsynlighed finder du tre forskellige afstande. Men hvis du arrangerer punkterne i en ligesidet trekant, så er hver afstand den samme. I et fly er dette umuligt at gøre med fire punkter. Det mindste antal afstande, du kan konstruere, er 2 - kanterne og diagonalerne af en firkant.

Men hvis du løfter et af punkterne op fra flyet for at skabe en pyramide, hvis sider er en ligesidet trekant, vil du have et sæt på fire punkter, der er adskilt af en enkelt unik afstand - længden af ​​den ene side af trekanten.

Hvis du har mange point, bliver disse mønstre endnu mere udtalte. Hundrede tilfældigt spredte punkter i et plan vil sandsynligvis definere 4,950 forskellige parvise afstande. Men hvis du arrangerer 100 punkter i et fladt, firkantet gitter, vil ethvert par af punkter blive adskilt af en af ​​kun 50 mulige afstande. Løft punkterne ind i et tredimensionelt gitter, og du kan reducere dette antal endnu mere.

At besvare spørgsmål om antallet af afstande mellem punkter kan lyde som en esoterisk øvelse. Men i den årtier lange søgen efter at løse sådanne problemer har matematikere udviklet værktøjer, der har en lang række andre anvendelser, lige fra talteori til fysik.

"Da folk forsøgte at løse problemet," sagde Pablo Shmerkin fra University of British Columbia, "begyndte de at opdage forbindelser, der var overraskende og uventede."

Den seneste udvikling kom sidst sidste år, da et samarbejde mellem fire matematikere bevist et nyt forhold mellem geometrien af ​​punktsæt og afstandene mellem dem.

Listen over forskellige afstande bestemt af et sæt punkter kaldes dens afstandssæt; tæl hvor mange tal der er på den liste, og du får afstandssættets størrelse. I 1946 formodede den produktive matematiker Paul Erdős, at for et stort antal punkter kan afstandssættet ikke være mindre end det, du får, når du arrangerer punkterne i et gitter. Problemet, selvom det var simpelt, viste sig at være ekstremt dybt og vanskeligt. Selv i to dimensioner er det stadig ikke blevet fuldt bevist, selvom to matematikere i 2010 kom så tæt på at det nu anses for at være effektivt afgjort; den forbliver åben i højere dimensioner.

I mellemtiden formulerede matematikere også nye versioner af formodningen. En af de vigtigste af disse opstod i en 1985 papir by Kenneth Falconer, en matematiker ved University of St. Andrews i Skotland. Falconer undrede sig over, hvad der kan siges om de distinkte afstande mellem et uendeligt antal punkter.

Hvis du har uendeligt mange point, er det ikke længere særlig nyttigt at tælle. Men matematikere har andre måder at definere størrelse på. Falconers formodning antyder et forhold mellem geometrien af ​​sættet af punkter - karakteriseret ved et tal kaldet fraktaldimensionen - og størrelsen af ​​afstandssættet, karakteriseret ved et tal kaldet målet.

Den fraktale dimension stemmer overens med almindelig intuition om dimensioner. Ligesom med det mere velkendte dimensionsbegreb har et linjestykke en fraktal dimension på 1, mens en firkant (med dens indre udfyldt) har en fraktal dimension på 2. Men hvis en samling af punkter danner et mere kompliceret fraktalt mønster — som en kurve, hvor mikroskopiske drejninger og drejninger bliver ved med at dukke op, uanset hvor langt du zoomer ind - dens fraktale dimension er muligvis ikke et helt tal. For eksempel har Koch snefnug-kurven vist nedenfor, som har en endeløs række af stadigt mindre trekantede bump, en dimension på omkring 1.26.

Generelt har en uendelig samling af punkter en fraktal dimension, der nogenlunde afhænger af, hvor spredt den er. Hvis den er spredt rundt i planet, vil dens fraktale dimension være tæt på 2. Hvis den ligner mere en linje, vil dens fraktale dimension være tæt på 1. De samme slags strukturer kan defineres for sæt af punkter i tredimensionelt rum , eller i endnu højere dimensioner.

På den anden side af Falconers formodning er målet for den indstillede afstand. Mål er en slags matematisk generalisering af begrebet længde. Et enkelt tal, som kan repræsenteres som et punkt på en tallinje, har nulmål. Men selv uendelige mængder kan have nul mål. For eksempel er de heltal så tyndt spredt blandt de reelle tal, at de ikke har nogen kollektiv "længde", og derfor danner et sæt af mål nul. På den anden side har de reelle tal mellem f.eks. 3/4 og 1 mål 1/4, for så langt er intervallet.

Målingen giver en måde at karakterisere størrelsen af ​​sættet af distinkte afstande blandt uendeligt mange punkter. Hvis antallet af afstande er "lille", betyder det, at afstandssættet vil have mål nul: Der er mange duplikerede afstande. Hvis afstandssættet på den anden side har et mål, der er større end nul, betyder det, at der er mange forskellige afstande.

I to dimensioner beviste Falconer, at ethvert sæt punkter med fraktal dimension større end 1.5 har en afstand, der er sat med et mål, der ikke er nul. Men matematikere kom hurtigt til at tro, at dette var sandt for alle sæt med en fraktal dimension større end 1. "Vi forsøger at løse dette 1/2-gab," sagde Yumeng Ou fra University of Pennsylvania, en af ​​medforfatterne til det nye papir. Desuden strækker Falconers formodning sig ind i tre eller flere dimensioner: For punkter spredt i en d-dimensionelt rum, står der, at hvis punkternes fraktale dimension er mere end d/2, så skal målet for den indstillede afstand være større end 0.

I 2018 har Ou sammen med kolleger, viste, at formodningen holder i to dimensioner for alle sæt med fraktal dimension større end 5/4. Nu Ou — sammen med Xiumin Du fra Northwestern University, Ruixiang Zhang fra University of California, Berkeley, og Kevin Ren fra Princeton University — har bevist, at i højere dimensioner er tærsklen for at sikre en afstand, der er indstillet med mål, der ikke er nul, lidt mindre end d/2 + 1/4. "Grænserne i højere dimensioner er i dette papir, for første gang nogensinde, bedre end i dimension 2," sagde Shmerkin. (I to dimensioner er tærsklen præcis d/2 + 1/4.)

Dette seneste resultat er kun én ind en bølge af de seneste fremskridt on Falconers formodning. Beviset raffinerede teknikker i harmonisk analyse - et tilsyneladende fjernt område af matematik, der beskæftiger sig med at repræsentere vilkårligt komplicerede funktioner i form af simple bølger - for at styrke det bundne. Men nogle af disse teknikker blev først udviklet for at løse det samme problem.

Dette spørgsmål om afstande mellem punkter "har tjent som en legeplads for nogle af de største ideer inden for harmonisk analyse," sagde Alex Iosevich fra University of Rochester.

Selvom de kun har lukket halvdelen af ​​det hul, Falconer efterlod i hans papir fra 1985, ser matematikere den seneste bølge af arbejde som bevis på, at den fulde formodning endelig kan være inden for rækkevidde. I mellemtiden vil de fortsætte med at bruge problemet som en testplads for deres mest sofistikerede værktøjer.