I det tredje århundrede fvt, Archimedes stillet en gåde om at hyrde kvæg, som han påstod, kun en virkelig klog person kunne løse. Hans problem kogte i sidste ende ned til en ligning, der involverer forskellen mellem to kvadratiske led, som kan skrives som x2 - dy2 = 1. Her, d er et heltal - et positivt eller negativt tælletal - og Archimedes ledte efter løsninger, hvor begge dele x , y er også heltal.
Denne klasse af ligninger, kaldet Pell-ligningerne, har fascineret matematikere gennem årtusinder siden.
Nogle århundreder efter Archimedes leverede den indiske matematiker Brahmagupta og senere matematikeren Bhāskara II algoritmer til at finde heltalsløsninger til disse ligninger. I midten af 1600-tallet genopdagede den franske matematiker Pierre de Fermat (som ikke kendte til det arbejde) at i nogle tilfælde, selv når d blev tildelt en relativt lille værdi, de mindst mulige heltalsløsninger for x , y kunne være massiv. Da han sendte en række udfordringsopgaver til rivaliserende matematikere, inkluderede de ligningen x2 - 61y2 = 1, hvis mindste løsninger har ni eller 10 cifre. (Med hensyn til Archimedes bad hans gåde i det væsentlige om heltalsløsninger til ligningen x2 - 4,729,494y2 = 1. "For at udskrive den mindste løsning tager det 50 sider," sagde Peter Koymans, matematiker ved University of Michigan. "På en eller anden måde er det en gigantisk trold af Archimedes.")
Men løsningerne til Pell-ligningerne kan meget mere. Sig f.eks., at du vil tilnærme $latex sqrt{2}$, et irrationelt tal, som et forhold mellem heltal. Det viser sig, at løse Pell-ligningen x2 - 2y2 = 1 kan hjælpe dig med at gøre det: $latex sqrt{2}$ (eller mere generelt, $latex sqrt{d}$) kan tilnærmes godt ved at omskrive løsningen som en brøkdel af formen x/y.
Måske endnu mere spændende, de løsninger fortæller dig også noget om bestemte talsystemer, som matematikere kalder ringe. I et sådant talsystem kan matematikere føje $latex sqrt{2}$ til heltalene. Ringe har visse egenskaber, og matematikere vil gerne forstå disse egenskaber. Pell-ligningen, viser det sig, kan hjælpe dem med at gøre det.
Og så "mange meget berømte matematikere - næsten alle matematikere i en periode - studerede faktisk denne ligning på grund af, hvor enkel den er," sagde Mark Shusterman, matematiker ved Harvard University. Disse matematikere omfattede Fermat, Euler, Lagrange og Dirichlet. (John Pell, ikke så meget; ligningen blev fejlagtigt opkaldt efter ham.)
Nu Koymans og Carlo Pagano, en matematiker ved Concordia University i Montreal, har viste sig at være en årtier gammel formodning relateret til Pell-ligningen, en der kvantificerer, hvor ofte en bestemt form af ligningen har heltalsløsninger. For at gøre det importerede de ideer fra et andet felt - gruppeteori - samtidig med at de fik en bedre forståelse af et centralt, men mystisk studieobjekt inden for dette felt. "De brugte virkelig dybe og smukke ideer," sagde Andrew Granville, en matematiker ved University of Montreal. "De klarede det virkelig."
Brudt aritmetik
I de tidlige 1990, Peter Stevenhagen, en matematiker ved Leiden Universitet i Holland, blev inspireret af nogle af de forbindelser, han så mellem Pell-ligningerne og gruppeteorien, for at komme med en formodning om, hvor ofte disse ligninger har heltalsløsninger. Men "Jeg forventede ikke, at det ville blive bevist på et tidspunkt," sagde han - eller endda i hans levetid. Tilgængelige teknikker virkede ikke stærke nok til at angribe problemet.
Hans formodning afhænger af et bestemt træk ved ringe. I ringen af tal, hvor f.eks. $latex sqrt{-5}$ er blevet tilføjet til de heltal (matematikere arbejder ofte med "imaginære" tal som $latex sqrt{-5}$), er der to forskellige måder at opdele et tal i dets primfaktorer. Tallet 6 kan for eksempel skrives ikke bare som 2 × 3, men også som (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Som et resultat, i denne ring, bryder unik primfaktorisering - en central grundsætning i aritmetik, en praktisk taget for givet i de normale heltal - ned. Det omfang, i hvilket dette sker, er indkodet i et objekt, der er knyttet til den ring, kaldet en klassegruppe.
En måde, hvorpå matematikere forsøger at få dybere indsigt i et talsystem, de er interesserede i - f.eks. $latex sqrt{2}$, der støder op til de heltal, er at beregne og studere dens klassegruppe. Alligevel er det næsten uoverkommeligt svært at fastlægge generelle regler for, hvordan klassegrupper opfører sig på tværs af alle disse forskellige talsystemer.
I 1980'erne, matematikerne Henri Cohen , Hendrik Lenstra fremsætte et bredt sæt af formodninger om, hvordan disse regler skal se ud. Disse "Cohen-Lenstra heuristik" kunne fortælle dig meget om klassegrupper, som igen skulle afsløre egenskaber ved deres underliggende talsystemer.
Der var kun et problem. Selvom mange beregninger ser ud til at understøtte Cohen-Lenstra-heuristikken, er de stadig formodninger, ikke beviser. "Hvad angår teoremer, vidste vi indtil for ganske nylig næsten ingenting," sagde Alex Bartel, matematiker ved University of Glasgow.
Spændende nok er en klassegruppes typiske adfærd uløseligt sammenflettet med adfærden af Pell-ligninger. At forstå det ene problem hjælper med at give mening i det andet - så meget, at Stevenhagens formodning "også har været et testproblem for uanset hvilke fremskridt der er gjort med Cohen-Lenstra-heuristikken," sagde Pagano.
Det nye arbejde involverer den negative Pell-ligning, hvor x2 - dy2 er sat til lig −1 i stedet for 1. I modsætning til den oprindelige Pell-ligning, som altid har et uendeligt antal heltalsløsninger for evt. d, ikke alle værdier af d i den negative Pell-ligning få en ligning, der kan løses. Tage x2 - 3y2 = −1: Uanset hvor langt langs tallinjen du kigger, finder du aldrig en løsning, selvom x2 - 3y2 = 1 har uendeligt mange løsninger.
Faktisk er der en masse værdier af d for hvilke den negative Pell-ligning ikke kan løses: Baseret på kendte regler om, hvordan visse tal relaterer til hinanden, d kan ikke være et multiplum af 3, 7, 11, 15 og så videre.
Men selv når du undgår de værdier af d og kun overveje de resterende negative Pell-ligninger, er det stadig ikke altid muligt at finde løsninger. I det mindre sæt af mulige værdier af d, hvilken andel virker egentlig?
I 1993 foreslog Stevenhagen en formel, der gav et præcist svar på det spørgsmål. Af værdierne for d som kunne virke (det vil sige værdier, der ikke er multipla af 3, 7 osv.), forudsagde han, at ca. 58 % ville give anledning til negative Pell-ligninger med heltalsløsninger.
Stevenhagens gæt var især motiveret af sammenhængen mellem den negative Pell-ligning og Cohen-Lenstra-heuristikken på klassegrupper - et link, som Koymans og Pagano udnyttede, da de 30 år senere endelig beviste, at han havde ret.
En bedre kanon
I 2010 var Koymans og Pagano stadig bachelorstuderende - endnu ikke bekendt med Stevenhagens formodning - da et papir kom ud, der gjorde nogle af de første fremskridt med problemet i årevis.
I det arbejde, som var offentliggjort i Annals of Mathematics, matematikerne Étienne Fouvry , Jürgen Klüners viste, at andelen af værdier af d det ville virke for den negative Pell-ligning faldt inden for et vist område. For at gøre det fik de styr på adfærden hos nogle elementer i de relevante klassegrupper. Men de ville have brug for en forståelse af mange flere elementer for at komme ind på Stevenhagens meget mere præcise estimat på 58%. Desværre forblev disse elementer uudgrundelige: Nye metoder var stadig nødvendige for at give mening i deres struktur. Yderligere fremskridt syntes umuligt.
Så, i 2017, da Koymans og Pagano begge gik på forskerskole sammen på Leiden Universitet, et papir dukkede op det ændrede alt. "Da jeg så dette, erkendte jeg straks, at det var et meget, meget imponerende resultat," sagde Koymans. "Det var ligesom, OK, nu har jeg en kanon, som jeg kan skyde på dette problem og håbe på, at jeg kan gøre fremskridt." (På det tidspunkt var Stevenhagen og Lenstra også professorer i Leiden, hvilket var med til at vække Koymans og Paganos interesse for problemet.)
Opgaven var af en kandidatstuderende ved Harvard, Alexander Smith (som nu er Clay-stipendiat på Stanford). Koymans og Pagano var ikke alene om at hylde værket som et gennembrud. "Idéerne var fantastiske," sagde Granville. "Revolutionært."
Smith havde forsøgt at forstå egenskaber ved løsninger til ligninger kaldet elliptiske kurver. Derved udarbejdede han en specifik del af Cohen-Lenstra-heuristikken. Ikke alene var det det første store skridt i at cementere disse bredere formodninger som matematiske fakta, men det involverede netop den del af klassegruppen, som Koymans og Pagano havde brug for at forstå i deres arbejde med Stevenhagens formodning. (Dette stykke indeholdt de elementer, som Fouvry og Klüners havde studeret i deres delresultat, men det gik også langt ud over dem.)
Koymans og Pagano kunne dog ikke bare bruge Smiths metoder med det samme. (Hvis det havde været muligt, ville Smith formentlig selv have gjort det.) Smiths bevis handlede om klassegrupper, der var knyttet til de rigtige talringe (dem, hvor $latex sqrt{d}$ bliver forbundet med de heltal) - men han betragtede alle heltalsværdier af d. Koymans og Pagano tænkte på den anden side kun på en lille delmængde af disse værdier af d. Som et resultat var de nødt til at vurdere den gennemsnitlige adfærd blandt en meget mindre del af klassegrupper.
Disse klassegrupper udgjorde i det væsentlige 0% af Smiths klassegrupper - hvilket betyder, at Smith kunne smide dem væk, når han skrev sit bevis. De bidrog overhovedet ikke til den gennemsnitlige adfærd, som han studerede.
Og da Koymans og Pagano forsøgte at anvende hans teknikker til netop de klassegrupper, de holdt af, brød metoderne sammen med det samme. Parret skulle foretage væsentlige ændringer for at få dem til at fungere. Desuden karakteriserede de ikke kun én klassegruppe, men snarere den uoverensstemmelse, der kunne eksistere mellem to forskellige klassegrupper (det ville være en stor del af deres bevis på Stevenhagens formodning) - hvilket også ville kræve nogle forskellige værktøjer.
Så Koymans og Pagano begyndte at søge mere omhyggeligt gennem Smiths papir i håb om at finde præcist, hvor tingene begyndte at gå af sporet. Det var svært, omhyggeligt arbejde, ikke bare fordi materialet var så kompliceret, men fordi Smith stadig finpudsede sit fortryk på det tidspunkt og lavede nødvendige rettelser og præciseringer. (Han postede ny version af hans papir online sidste måned.)
I et helt år lærte Koymans og Pagano beviset sammen, linje for linje. De mødtes hver dag og diskuterede et givet afsnit over frokosten, før de brugte et par timer ved en tavle, og hjalp hinanden med at arbejde igennem de relevante ideer. Hvis en af dem gjorde fremskridt på egen hånd, sendte han en sms til den anden for at opdatere ham. Shusterman husker nogle gange at have set dem arbejde langt ud på natten. På trods af (eller måske på grund af) de udfordringer, det indebar, "var det meget sjovt at lave sammen," sagde Koymans.
De identificerede i sidste ende, hvor de skulle prøve en ny tilgang. I begyndelsen var de kun i stand til at lave beskedne forbedringer. Sammen med matematikerne Stephanie Chan , Djordjo Milovic, fandt de ud af, hvordan de kunne få styr på nogle ekstra elementer i klassegruppen, hvilket gjorde det muligt for dem at få bedre grænser, end Fouvry og Klüners havde. Men væsentlige dele af klassegruppens struktur undgik dem stadig.
Et stort problem, de skulle tackle - noget, som Smiths metode ikke længere fungerede for i denne nye kontekst - var at sikre, at de virkelig analyserede "gennemsnitlig" adfærd for klassegrupper som værdierne af d blev større og større. For at fastslå den rette grad af tilfældighed, beviste Koymans og Pagano et kompliceret sæt regler, kaldet gensidighedslove. I sidste ende gav det dem mulighed for at få den kontrol, de havde brug for, over forskellen mellem de to klassegrupper.
Dette fremskridt, sammen med andre, gjorde det muligt for dem endelig at færdiggøre beviset for Stevenhagens formodning tidligere på året. "Det er utroligt, at de var i stand til at løse det fuldstændigt," sagde Chan. "Tidligere havde vi alle disse problemer."
Det, de gjorde, "overraskede mig," sagde Smith. "Koymans og Pagano har på en måde beholdt mit gamle sprog og bare brugt det til at skubbe længere og længere i en retning, som jeg næsten ikke forstår længere."
Det skarpeste værktøj
Fra det tidspunkt, han introducerede det for fem år siden, blev Smiths bevis på en del af Cohen-Lenstra-heuristikken set som en måde at åbne døre for en lang række andre problemer, herunder spørgsmål om elliptiske kurver og andre strukturer af interesse. (I deres papir opregner Koymans og Pagano omkring et dusin formodninger, de håber at bruge deres metoder på. Mange har intet at gøre med den negative Pell-ligning eller endda klassegrupper.)
"Mange objekter har strukturer, der ikke er ulig den slags algebraiske grupper," sagde Granville. Men mange af de samme vejspærringer, som Koymans og Pagano skulle konfrontere, er også til stede i disse andre sammenhænge. Det nye arbejde med den negative Pell-ligning har hjulpet med at afmontere disse vejspærringer. "Alexander Smith har fortalt os, hvordan man bygger disse save og hamre, men nu skal vi gøre dem så skarpe som muligt og så hårdtslående som muligt og så tilpasningsdygtige som muligt til forskellige situationer," sagde Bartel. "En af de ting, dette papir gør, er at gå en hel del i den retning."
Alt dette arbejde har i mellemtiden forfinet matematikernes forståelse af kun én facet af klassegrupper. Resten af Cohen-Lenstra-formodningerne forbliver uden for rækkevidde, i hvert fald for øjeblikket. Men Koymans og Paganos papir "er en indikation af, at de teknikker, vi har til at angribe problemer i Cohen-Lenstra, er lidt voksende," sagde Smith.
Lenstra selv var ligeledes optimistisk. Det er "absolut spektakulært," skrev han i en e-mail. "Det åbner virkelig et nyt kapitel i en gren af talteori, der er lige så gammel som selve talteorien."
