To studerende optrævler en udbredt troet matematisk formodning | Quanta Magasinet

Summer Haag og Clyde Kertzer havde store forhåbninger til deres sommerforskningsprojekt. At blindsidere et helt underfelt af matematik var ikke en af ​​dem.

I maj afsluttede Haag sit første år på kandidatskolen ved University of Colorado, Boulder, hvor Kertzer var bachelor. Begge så frem til en pause fra undervisningen. Haag planlagde at udforske nye vandreture og klatreruter. Kertzer, en Boulder-indfødt, ønskede at spille fodbold og forberede sin kandidatskoleansøgning. Men som vordende forskningsmatematikere havde de også søgt ind på et halvtids sommerforskningsprogram i matematikerens gruppe Katherine Stange.

Stange er en talteoretiker, der beskriver sig selv som en matematisk "Frog” — nogen, der dykker dybt ned i et problems forviklinger, før han hopper til et andet. Hun er interesseret i "simple-tilsyneladende spørgsmål, der fører til en rigdom af struktur," sagde hun. Hendes projekter kigger ofte på talteoriens uhåndgribelige åbne problemer ved at bruge computere til at generere store datasæt.

Haag og Kertzer indledte programmet på Haags 23-års fødselsdag med en ugelang primer på apollonske cirkelpakninger - den ældgamle undersøgelse af, hvordan cirkler harmonisk kan presses ind i en større cirkel.

Forestil dig at arrangere tre mønter, så hver enkelt rører ved de andre. Du kan altid tegne en cirkel omkring dem, der rører alle tre udefra. Så kan du begynde at stille spørgsmål: Hvordan hænger størrelsen af ​​den større cirkel sammen med størrelsen på de tre mønter? Hvilken størrelse cirkel passer ind i mellemrummet mellem de tre mønter? Og hvis du begynder at tegne cirkler, der udfylder gradvist mindre og mindre mellemrum mellem cirkler - hvilket skaber et fraktalt mønster kendt som en pakning - hvordan forholder størrelserne af disse cirkler sig til hinanden?

I stedet for at tænke på diameteren af ​​disse cirkler, bruger matematikere et mål kaldet krumning - det omvendte af radius. Så en cirkel med radius 2 har krumning 1/2, og en cirkel med radius 1/3 har krumning 3. Jo mindre cirklen er, jo større krumning.

Renæssancematematikere beviste, at hvis de første fire cirkler har en krumning, der er et heltal, er krumningen af ​​alle de efterfølgende cirkler i pakningen garanteret at være hele tal. Det er bemærkelsesværdigt i sig selv. Men matematikere har taget problemet et skridt videre ved at stille spørgsmål om, hvilke heltal der dukker op, når cirklerne bliver mindre og mindre, og krumningerne bliver større og større.

I 2010, blev Elena Fuchs, en talteoretiker nu ved University of California, Davis, bevist at krumninger følger et bestemt forhold, der tvinger dem ind i bestemte numeriske spande. Kort efter blev matematikere overbevist om, at ikke kun krumningerne skal falde ned i en eller anden spand, men også at alle mulige tal i hver spand skal bruges. Idéen blev kendt som den lokal-globale formodning.

"Masser af værker refererede til det, som om det allerede var fakta," sagde Kertzer. "Vi diskuterede det, som om det ville blive bevist på et tidspunkt i den nærmeste fremtid."

James Rickards, en matematiker på Boulder, som arbejder med Stange og eleverne, havde skrevet kode til at undersøge ethvert ønsket arrangement af cirkelpakninger. Så da Haag og Kertzer sluttede sig til gruppen den 15. maj, troede de, at de ville skabe seje plots af den pålidelige lokal-til-globale regel, der sparkede ind.

Stange fløj til Frankrig til en konference i begyndelsen af ​​juni. Da hun vendte tilbage den 12. juni, slyngede holdet sig rundt om diagrammer, der viste, hvordan nogle få spande syntes at mangle bestemte tal.

"Vi undersøgte ikke dette fænomen," sagde Rickards. "Jeg prøvede ikke at teste, at det var sandt. Jeg vidste, at det var sandt - jeg gik bare ud fra, at det var sandt. Og så pludselig står vi over for data, der siger, at det ikke er det.”

Ved udgangen af ​​ugen var holdet overbevist om, at formodningen var falsk. Tal, de forventede at dukke op, gjorde det aldrig. De udarbejdede et bevis, og den 6. juli har lagt deres arbejde op til det videnskabelige preprint-site arxiv.org.

Fuchs husker, at han talte med Stange kort efter, at beviset klikkede på plads. "Hvor meget tror du på den lokal-til-globale formodning?" spurgte Stange. Fuchs svarede, at hun selvfølgelig troede på det. "Så viste hun mig alle disse data, og jeg sagde, 'Åh min gud, det er fantastisk'," sagde Fuchs. "Jeg mener, jeg troede virkelig på, at den lokale-til-globale formodning var sand."

"Når du ser det, siger du bare 'Aha! Selvfølgelig!'” sagde Peter Sarnak, en matematiker ved Institute for Advanced Study og Princeton University, hvis tidlige observationer hjalp med at sætte skub i den lokal-globale formodning.

"Det er en fantastisk indsigt," tilføjede Alex Kontorovich fra Rutgers University. "Vi sparker alle sammen over, at vi ikke fandt det for 20 år siden, da folk først begyndte at lege med det her."

Midt i murbrokkerne efter resultatet har værket afsløret en revne i grundlaget for andre formodninger inden for talteori. Matematikere er blevet overladt til at spekulere på, hvilken udbredt tro, der kunne være den næste, der falder.

Rundkørselshistorie

Apollonske cirkelpakninger får deres navn fra deres sandsynlige ophavsmand, Apollonius af Perga. For omkring 2,200 år siden skrev det græske geometer en bog kaldet Tangens om, hvordan man konstruerer en cirkel, der tangerer tre andre. Bogen er gået tabt. Men omkring 500 år senere sammensatte den græske matematiker Pappus af Alexandria et kompendium, der ville overleve sammenbruddet af det byzantinske imperium.

Bruger kun Pappus' beskrivelse af Tangens, renæssancens matematikere forsøgte at genfinde det originale værk. I 1643 havde René Descartes opdaget et simpelt forhold mellem krumningerne af fire cirkler, der tangerer hinanden. Descartes hævdede, at summen af ​​alle de kvadrerede krumninger er lig med halvdelen af ​​kvadratet af summen af ​​krumningerne. Det betyder, at givet tre cirkler, er det muligt at beregne radius af en fjerde tangentcirkel. For eksempel, hvis du har tre cirkler med krumninger på 11, 14 og 15, kan du sætte disse tal ind i Descartes' ligning og beregne krumningen af ​​cirklen, der passer ind i dem: 86.

I 1936, den nobelprisvindende radiokemiker Frederick soddy. bemærkede noget mærkeligt, da han byggede pakninger med Descartes' forhold. Efterhånden som cirklerne blev mindre og krumningerne større, forventede han at få knudrete tal med kvadratrødder eller uendelige decimaler. I stedet var alle krumningerne heltal. Dette var en ret ligetil konsekvens af Descartes' ligning, men ingen havde bemærket det i hundreder af år. Det inspirerede Soddy til udgive et digt i det videnskabelige tidsskrift Natur, som begyndte:

For et par læber at kysse måske
Indebærer ingen trigonometri.
Det er det ikke, når fire cirkler kysser
Hver de andre tre.

Det Mulige og det Uundgåelige

Da det blev fastslået, at der er pakninger fulde af heltal, forsøgte matematikere at finde mønstre i disse heltal.

I 2010, Fuchs og Katherine Sanden satte sig for at bygge videre på en papir fra 2003. Duoen observerede, at hvis du dividerede hver krumning i en given pakning med 24, opstod der en regel. Nogle pakninger har kun krumninger med rester på f.eks. 0, 1, 4, 9, 12 eller 16. Andre efterlader kun rester af 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 eller 22. Der var seks forskellige mulige grupper.

Da matematikere undersøgte de forskellige kategorier af pakninger, begyndte de at bemærke, at for små nok cirkler - dem med store krumninger - så det ud til, at alle mulige tal inden for hver kategori dukkede op for pakninger af den type. Denne idé kom til at blive kaldt den lokal-globale formodning. At bevise, at det blev "en af ​​mine små matematikeres drømme," sagde Fuchs. "Som, måske på et tidspunkt mange år fra nu vil jeg være i stand til at løse det."

I 2012, Kontorovich og Jean Bourgain (som døde i 2018) beviste det stort set hvert nummer forudsagt af formodningen forekommer. Men "stort set alle" betyder ikke "alle". For eksempel er perfekte kvadrater sjældne nok til at matematisk set er "stort set alle" heltal ikke perfekte kvadrater, selvom for eksempel 25 og 49 er det. Matematikere troede, at de sjældne modeksempler, der forblev mulige efter Kontorovich og Bourgains papir, faktisk ikke eksisterede, mest fordi de to eller tre mest velundersøgte cirkelpakninger syntes at følge den lokal-globale formodning så godt, sagde Kontorovich.

Drejer den urskive op

Da Haag og Kertzer startede i sommers i Boulder, skrev Rickards ideer på en tavle på Stanges kontor. "Vi havde en hel liste," sagde Rickards. De havde fire eller fem udgangspunkter at eksperimentere med. "Ting, du bare kan lege med og se, hvad der sker."

En idé var at beregne alle de mulige cirkelpakninger, der indeholder to vilkårlige krumninger A og B. Rickards skrev et program, der udsender en slags hovedbog, der rapporterer, hvilke heltal der dukker op til partiet, når A er vært.

Baseret på dette program raslede Haag et Python-script sammen, der plottede tonsvis af simuleringer på én gang. Det var som en multiplikationstabel: Haag valgte hvilke rækker og kolonner der skulle inkluderes ud fra deres rester, når de blev divideret med 24. Par af tal, der optræder i en Apollonsk pakning sammen, fik hvide pixels; dem, der ikke har sorte pixels.

Haag pløjede gennem snesevis af parceller - en for hvert par rester i hver af de seks grupper.

De så nøjagtigt ud som forventet: en væg af hvid, krydret med sorte pletter for mindre heltal. "Vi forventede, at de sorte prikker ville forsvinde," sagde Stange. Rickards tilføjede: "Jeg troede, at det måske endda ville være muligt at bevise, at de forsvandt." Han spekulerede i, at ved at se på diagrammer, der syntetiserede mange pakninger sammen, ville holdet være i stand til at bevise resultater, der ikke var mulige, når de så på en hvilken som helst pakning alene.

Mens Stange var væk, endte Haag med at plotte hvert par rester - omkring 120. Ingen overraskelser der. Så blev hun stor.

Haag havde plottet, hvordan 1,000 heltal interagerer. (Graffen er større, end den lyder, da den involverer 1 million mulige par.) Derefter drejede hun skiven op til 10,000 gange 10,000. I en graf nægtede regelmæssige rækker og kolonner af sorte pletter at opløses. Det lignede intet, hvad den lokal-globale formodning ville forudsige.

Holdet mødtes en mandag efter Stange vendte tilbage. Haag præsenterede sine grafer, og de fokuserede alle på den med de mærkelige prikker. "Det var bare et kontinuerligt mønster," sagde Haag. "Og det var da Kate sagde: 'Hvad nu hvis den lokal-globale formodning ikke er sand?'"

"Det her ligner et mønster. Det skal fortsætte. Så den lokal-globale formodning må være falsk,” huskede Stange, at han tænkte. "James var mere skeptisk."

"Min første tanke var, at der måtte være en fejl i min kode," sagde Rickards. "Jeg mener, det var det eneste fornuftige, jeg kunne komme i tanke om."

Inden for et halvt døgn kom Rickards rundt. Mønsteret udelukkede alle par, hvor det første tal har formen 8 × (3n ± 1)² og den anden er 24 gange ethvert kvadrat. Det betyder, at 24 og 8 aldrig vises i samme emballage. Tal, du forventer at forekomme, gør det ikke.

"Jeg var lidt svimmel. Det er ikke ret tit, at noget virkelig overrasker dig,” sagde Stange. "Men det er magien ved at lege med data."

juli papir skitserer et strengt bevis på, at det mønster, de observerede, fortsætter i det uendelige, hvilket modbeviser formodningen. Beviset afhænger af et århundreder gammelt princip kaldet kvadratisk reciprocitet, der involverer kvadraterne af to primtal. Stanges team opdagede, hvordan gensidighed gælder for cirkelpakninger. Det forklarer, hvorfor visse krumninger ikke kan tangere hinanden. Reglen, kaldet en obstruktion, forplanter sig gennem hele pakningen. "Det er bare en helt ny ting," sagde Jeffrey Lagarias, en matematiker ved University of Michigan, som var medforfatter på 2003-papiret til cirkler. "De har fundet det genialt," sagde Sarnak. "Hvis disse tal dukkede op, ville de krænke gensidigheden."

Faldet

En række andre formodninger inden for talteori kan nu være i tvivl. Ligesom den lokal-globale formodning er de svære at bevise, men har allerede vist sig at holde for stort set alle tilfælde og antages generelt at være sande.

For eksempel studerer Fuchs Markov tripler, sæt af tal, der opfylder ligningen x² + y² + z² = 3xyz. Hun og andre har vist, at visse typer løsninger er forbundet for primtal større end 10³⁹². Alle mener, at mønsteret bør fortsætte i det uendelige. Men i lyset af det nye resultat har Fuchs tilladt sig selv at mærke et snert af tvivl. "Måske går jeg glip af noget," sagde hun. "Måske går alle glip af noget."

"Nu hvor vi har et enkelt eksempel, hvor det er falsk, er spørgsmålet: Er det også falsk for disse andre eksempler?" sagde Rickards.

Der er også Zarembas formodning. Den siger, at en brøk med en hvilken som helst nævner kan udtrykkes som en fortsat brøk, der kun bruger tallene mellem 1 og 5. I 2014 viste Kontorovich og Bourgain, at Zarembas formodning gælder for næsten alle tal. Men overraskelsen over cirkelpakning har undermineret tilliden til Zarembas formodning.

Hvis pakkeproblemet er en varsel om kommende ting, kan beregningsdata være værktøjet til at fortryde det.

"Jeg synes altid, det er fascinerende, når ny matematik er født ud af udelukkende at se på data," sagde Fuchs. "Uden det er det virkelig svært at forestille sig, at [de] ville være faldet over det her."

Stange tilføjede, at intet af dette ville være sket uden sommerprojektet med lav indsats. "Serendipity og en holdning til legende udforskning har begge så stor en rolle i opdagelsen," sagde hun.

"Det var ren tilfældighed," sagde Haag. "Hvis jeg ikke var stor nok, ville vi ikke have bemærket det." Arbejdet lover godt for talteoriens fremtid. "Du kan få en forståelse af matematik gennem din intuition, gennem beviser," sagde Stange. “Og det stoler du meget på, fordi du brugte meget tid på at tænke over det. Men du kan ikke argumentere med dataene.”

Redaktionel note: Alex Kontorovich er medlem af Quanta Magazine's videnskabelige rådgivende udvalg. Han blev interviewet til denne historie, men bidrog ellers ikke til dens produktion.