Matematikere kaster terninger og får sten-papir-saks

Mens Bill Gates fortæller historien, udfordrede Warren Buffett ham engang til et terningspil. Hver ville vælge en af ​​fire terninger tilhørende Buffett, og så ville de kaste, hvor det højeste tal vandt. Disse var ikke standardterninger – de havde et andet udvalg af tal end de sædvanlige 1 til 6. Buffett tilbød at lade Gates vælge først, så han kunne vælge den stærkeste terning. Men efter at Gates havde undersøgt terningerne, returnerede han et modforslag: Buffett skulle vælge først.

Gates havde erkendt, at Buffetts terninger udviste en mærkelig egenskab: Ingen af ​​dem var den stærkeste. Hvis Gates havde valgt først, så uanset hvilken terning han valgte, ville Buffett have været i stand til at finde en anden terning, der kunne slå den (det vil sige en med mere end 50 % chance for at vinde).

Buffetts fire terninger (kald dem A, B, C , D) dannede et mønster, der minder om sten-papir-saks, hvori A beats B, B beats C, C beats D , D beats A. Matematikere siger, at et sådant sæt terninger er "intransitive".

"Det er slet ikke intuitivt, at [intransitive terninger] overhovedet skulle eksistere," sagde Brian Conrey, direktør for American Institute of Mathematics (AIM) i San Jose, som skrev et indflydelsesrigt papir om emnet i 2013.

Matematikere fandt på første eksempler af intransitive terninger for mere end 50 år siden, og til sidst bevist at når du overvejer terninger med flere og flere sider, er det muligt at skabe intransitive cyklusser af enhver længde. Hvad matematikere ikke vidste før for nylig var, hvor almindelige intransitive terninger er. Er du nødt til at udtænke sådanne eksempler omhyggeligt, eller kan du vælge terninger tilfældigt og have en god chance for at finde et intransitivt sæt?

Ser du på tre terninger, hvis du ved det A beats B , B beats C, det virker som et bevis på det A er den stærkeste; situationer hvor C beats A burde være sjælden. Og faktisk, hvis tallene på terningerne får lov til at summere til forskellige totaler, så tror matematikere, at denne intuition holder stik.

Men a papir lagt ud på nettet slutningen af ​​sidste år viser, at i andre naturlige omgivelser svigter denne intuition spektakulært. Antag, at du kræver, at dine terninger kun bruger de tal, der står på en almindelig terning og har samme total som en almindelig terning. Så viste papiret, hvis A beats B , B beats C, A , C har stort set lige chancer for at vinde over for hinanden.

"Ved det A beats B , B beats C giver dig bare ingen information om, hvorvidt A beats C," sagde Timothy Gowers fra University of Cambridge, en Fields-medaljevinder og en af ​​bidragyderne til det nye resultat, som blev bevist via et åbent online-samarbejde kendt som et Polymath-projekt.

I mellemtiden en anden nyligt papir analyserer sæt af fire eller flere terninger. Det fund er uden tvivl endnu mere paradoksalt: Hvis du for eksempel vælger fire terninger tilfældigt, og du finder ud af, at A beats B, B beats C , C beats D, så er det lidt mere sandsynligt for D at slå A end omvendt.

Hverken stærk eller svag

Det seneste udslæt af resultater startede for omkring et årti siden, efter Conrey deltog i en samling for matematiklærere med en session, der dækkede intransitive terninger. "Jeg havde ingen anelse om, at sådanne ting kunne eksistere," sagde han. "Jeg blev lidt fascineret af dem."

Han besluttede (senere sluttet sig til sin kollega Kent Morrison på AIM) for at udforske emnet med tre gymnasieelever, han var mentor - James Gabbard, Katie Grant og Andrew Liu. Hvor ofte, undrede gruppen sig over, vil tilfældigt valgte terninger danne en intransitiv cyklus?

Intransitive sæt terninger menes at være sjældne, hvis terningernes ansigtsnumre summerer til forskellige totaler, da terningen med den højeste total sandsynligvis vil slå de andre. Så holdet besluttede at fokusere på terninger, der har to egenskaber: For det første bruger terningerne de samme tal som på en standard terning - 1 til og med n, i tilfælde af en n-sidet dø. Og for det andet summer ansigtsnumrene op til den samme total som på en standard terning. Men i modsætning til standardterninger kan hver terning gentage nogle af tallene og udelade andre.

I tilfælde af sekssidede terninger er der kun 32 forskellige terninger, der har disse to egenskaber. Så ved hjælp af en computer kunne holdet identificere alle de tripler, hvori A beats B , B beats C. Det fandt forskerne til deres forbavselse ud af A beats C i 1,756 tripler og C beats A i 1,731 tripler - næsten identiske tal. Baseret på denne beregning og simuleringer af terninger med mere end seks sider, holdet gættede at når antallet af sider på terningen nærmer sig uendeligheden, er sandsynligheden for, at A beats C nærmer sig 50 pct.

Formodningen, med sin blanding af tilgængelighed og nuance, slog Conrey som et godt foder til et Polymath-projekt, hvor mange matematikere mødes online for at dele ideer. I midten af ​​2017 foreslog han ideen til Gowers, ophavsmanden til Polymath-tilgangen. "Jeg kunne meget godt lide spørgsmålet på grund af dets overraskelsesværdi," sagde Gowers. Han skrev en blogindlæg om formodningen, der tiltrak en byge af kommentarer, og i løbet af seks yderligere indlæg lykkedes det kommentatorerne at bevise det.

I deres papir, bogført online i slutningen af ​​november 2022 involverer en vigtig del af beviset at vise, at det for det meste ikke giver mening at tale om, hvorvidt en enkelt terning er stærk eller svag. Buffetts terninger, hvoraf ingen er de stærkeste i flokken, er ikke så usædvanlige: Hvis du vælger en terning tilfældigt, viste Polymath-projektet, at den sandsynligvis slår omkring halvdelen af ​​de andre terninger og taber til den anden halvdel. "Næsten hver die er ret gennemsnitlig," sagde Gowers.

Projektet afveg fra AIM-teamets oprindelige model i én henseende: For at forenkle nogle tekniske detaljer, erklærede projektet, at rækkefølgen af ​​tallene på en terning betyder noget - så for eksempel 122556 og 152562 ville blive betragtet som to forskellige terninger. Men Polymath-resultatet, kombineret med AIM-holdets eksperimentelle beviser, skaber en stærk formodning om, at formodningen også er sand i den originale model, sagde Gowers.

"Jeg var absolut glad for, at de kom med dette bevis," sagde Conrey.

Når det kom til samlinger af fire eller flere terninger, havde AIM-teamet forudsagt lignende adfærd som tre terninger: For eksempel, hvis A beats B, B beats C , C beats D så burde der være en nogenlunde 50-50 sandsynlighed for at D beats A, der nærmer sig præcis 50-50, når antallet af sider på terningen nærmer sig uendeligt.

For at teste formodningen simulerede forskerne head-to-head turneringer for sæt af fire terninger med 50, 100, 150 og 200 sider. Simuleringerne adlød ikke deres forudsigelser helt så nøje som i tilfældet med tre terninger, men var stadig tæt nok på til at styrke deres tro på formodningen. Men selvom forskerne ikke var klar over det, bar disse små uoverensstemmelser et andet budskab: For sæt med fire eller flere terninger er deres formodning falsk.

"Vi ønskede virkelig at [formodningen] skulle være sand, for det ville være fedt," sagde Conrey.

I tilfælde af fire terninger, Elisabetta Cornacchia fra det schweiziske føderale teknologiske institut Lausanne og Jan Hązła fra African Institute for Mathematical Sciences i Kigali, Rwanda, viste i en papir lagt online i slutningen af ​​2020, at if A beats B, B beats C , C beats D, derefter D har en lidt bedre end 50% chance for at slå A - sandsynligvis et sted omkring 52%, sagde Hązła. (Som med Polymath-papiret brugte Cornacchia og Hązła en lidt anden model end i AIM-papiret.)

Cornacchia og Hązłas fund fremkommer af det faktum, at selvom en enkelt terning som regel hverken vil være stærk eller svag, kan et par terninger nogle gange have fælles styrkeområder. Hvis du vælger to terninger tilfældigt, viste Cornacchia og Hązła, at der er en anstændig sandsynlighed for, at terningerne vil være korrelerede: De har tendens til at slå eller tabe til den samme terning. "Hvis jeg beder dig om at skabe to terninger, der er tæt på hinanden, viser det sig, at dette er muligt," sagde Hązła. Disse små lommer af korrelation skubber turneringsresultater væk fra symmetri, så snart der er mindst fire terninger i billedet.

De seneste aviser er ikke slutningen på historien. Cornacchia og Hązłas papir begynder først at afdække præcis, hvordan sammenhænge mellem terninger ubalancerer symmetrien af ​​turneringer. I mellemtiden ved vi dog nu, at der er masser af sæt intransitive terninger derude - måske endda en, der er subtil nok til at narre Bill Gates til at vælge først.