Introduktion
Forestil dig, at et gitter af sekskanter, bikagelignende, strækker sig foran dig. Nogle sekskanter er tomme; andre er fyldt af en 6-fod høj søjle af massiv beton. Resultatet er en slags labyrint. I over et halvt århundrede har matematikere stillet spørgsmål om sådanne tilfældigt genererede labyrinter. Hvor stort er det største net af ryddede stier? Hvad er chancerne for, at der er en sti fra den ene kant til midten af gitteret og tilbage ud igen? Hvordan ændrer disse chancer sig, når gitteret svulmer i størrelse og tilføjer flere og flere sekskanter til dets kanter?
Disse spørgsmål er nemme at besvare, hvis der enten er meget tomt eller meget beton. Lad os sige, at hver sekskant tildeles sin tilstand tilfældigt, uafhængig af alle de andre sekskanter, med en sandsynlighed, der er konstant over hele gitteret. Der kunne f.eks. være 1 % chance for, at hver sekskant er tom. Beton overfylder gitteret og efterlader kun små luftlommer imellem, hvilket gør chancen for at finde en vej til kanten faktisk nul. På den anden side, hvis der er en 99% chance for, at hver sekskant er tom, er der kun et tyndt drys af betonvægge, punkterende skår af åbent rum - ikke meget af en labyrint. At finde en sti fra midten til kanten i dette tilfælde er næsten en vis sikkerhed.
For store net er der en bemærkelsesværdig pludselig ændring, når sandsynligheden rammer 1/2. Ligesom is smelter til flydende vand ved præcis nul grader Celsius, ændrer labyrintens karakter drastisk ved dette overgangspunkt, kaldet den kritiske sandsynlighed. Under den kritiske sandsynlighed vil det meste af gitteret ligge under beton, mens tomme stier uvægerligt kommer til blindgyder. Over den kritiske sandsynlighed efterlades massive områder tomme, og det er betonvæggene, der helt sikkert vil forsvinde. Hvis du stopper nøjagtigt ved den kritiske sandsynlighed, vil beton og tomhed balancere hinanden, og ingen af dem er i stand til at dominere labyrinten.
"På det kritiske punkt er det, der dukker op, en højere grad af symmetri," sagde Michael Aizenman, en matematisk fysiker ved Princeton University. "Det åbner døren til en enorm mængde af matematik." Det har også praktiske anvendelser til alt fra design af gasmasker til analyser af, hvordan smitsomme sygdomme spredes, eller hvordan olie siver gennem klipper.
I en papir udsendt sidste efterår, har fire forskere endelig beregnet chancen for at finde en vej til labyrinter med den kritiske sandsynlighed på 1/2.
Et våbenkapløb
Som doktorand i Frankrig i midten af 2000'erne, Pierre Nolin studeret det kritiske sandsynlighedsscenarie meget detaljeret. Den tilfældige labyrint, mener han, er "en virkelig smuk model, måske en af de enkleste modeller, du kan opfinde." Nær slutningen af sit ph.d.-studium, som han afsluttede i 2008, blev Nolin betaget af et særligt udfordrende spørgsmål om, hvordan et sekskantet gitter ved den kritiske sandsynlighed opfører sig. Lad os sige, at du bygger et gitter omkring et centralt punkt, så det nærmer sig en cirkel, og du bygger tilfældigt din labyrint derfra. Nolin ville udforske chancen for, at du vil være i stand til at finde en åben sti, der når fra kanten til midten og tilbage ud, uden at gå tilbage. Matematikere kalder dette en monokromatisk to-armet vej, fordi både de indadgående og udadgående "arme" er på åbne veje. (Nogle gange opfattes sådanne gitter tilsvarende som lavet af to forskellige farver, f.eks. lyseblå og mørkeblå, snarere end af åbne og lukkede celler.) Hvis du øger størrelsen af labyrinten, vil længden af den nødvendige sti også vokse. , og chancen for at finde sådan en vej bliver mindre og mindre. Men hvor hurtigt falder oddsene, når labyrinten vokser sig vilkårligt stor?
Enklere relaterede spørgsmål blev besvaret for årtier siden. Beregninger fra 1979 af Marcel den Nijs estimeret chancen for, at du kan finde én vej eller arm fra kanten til midten. (Sammenlign dette med Nolins krav om, at der skal være en arm ind og en separat ud.) Den Nijs' arbejde forudsagde, at chancen for at finde en arm i et sekskantet gitter er proportional med $latex 1/n^{5/48}$ , hvor n er antallet af fliser fra midten til kanten eller gitterets radius. I 2002 Gregory Lawler, Oded Schramm , Wendelin Werner endelig bevist at den enarmede forudsigelse var korrekt. For kort og præcist at kvantificere den aftagende sandsynlighed, efterhånden som størrelsen af gitteret vokser, bruger forskere eksponenten fra nævneren, 5/48, som er kendt som enarmseksponenten.
Nolin ønskede at beregne den mere uhåndgribelige monokromatiske toarmede eksponent. Numeriske simuleringer i 1999 viste, at det var meget tæt på 0.3568, men matematikere formåede ikke at fastlægge dens nøjagtige værdi.
Det var meget nemmere at beregne det, der er kendt som den polykromatiske to-arms eksponent, som karakteriserer chancen for, at du starter i midten, ikke kun kan finde en "åben" sti til omkredsen, men også en separat "lukket" sti. (Tænk på den lukkede sti som en, der krydser toppen af labyrintens betonvægge.) I 2001, Stanislav Smirnov og Werner bevist at denne eksponent var 1/4. (Fordi 1/4 er væsentligt større end 5/48, krymper $latex 1/n^{1/4}$ hurtigere end $latex 1/n^{5/48}$ som n vokser. Chancen for en polykromatisk to-armsstruktur er derfor meget lavere end chancen for en arm, som man kunne forvente.)
Den beregning havde lænet sig meget op af viden om formen af klynger i grafen. Forestil dig, at en labyrint med den kritiske sandsynlighed er ekstremt stor - består af millioner og atter millioner af sekskanter. Find nu en klynge tomme sekskanter og spor kanten af klyngen med en tyk sort Sharpie. Dette vil sandsynligvis ikke resultere i en simpel, rund klat. Fra miles i luften vil du se en vridende kurve, der konstant fordobles tilbage, ofte tilsyneladende, som om den er ved at krydse sig selv, men aldrig helt forpligter sig.
Dette er en type kurve kaldet en SLE-kurve, introduceret af Schramm i en 2000 papir der omdefinerede feltet. En matematiker, der studerer chancerne for at finde én åben sti og én lukket sti, ved, at disse stier skal sidde inde i større klynger af åbne og lukkede steder, som til sidst mødes langs en SLE-kurve. De matematiske egenskaber ved SLE-kurver oversættes derefter til uvurderlig information om stier i labyrinten. Men hvis matematikere søger efter flere stier af samme type, mister SLE-kurver meget af deres effektivitet.
I 2007 havde Nolin og hans samarbejdspartner Vincent Beffara lavet numeriske simuleringer, der viste, at den monokromatiske toarmede eksponent var omkring 0.35. Dette var mistænkeligt tæt på 17/48 - summen af den enarmede eksponent, 5/48, og den polykromatiske toarmede eksponent, 1/4 (eller 12/48). "17/48 er virkelig slående," sagde Nolin. Han begyndte at mistænke, at 17/48 var det sande svar - hvilket betyder, at der var en simpel forbindelse mellem de forskellige slags eksponenter. Du kan bare tilføje dem sammen. "Vi sagde, OK, det er for godt til at være falsk; det skal være sandt."
Introduktion
I et stykke tid kom der intet ud af Nolin og Beffaras formodninger, selvom Nolin lagde det ud på sin hjemmeside, så andre kunne arbejde ud fra det. Han flyttede til Hong Kong i 2017 for at tage et professorat ved City University of Hong Kong og fortsatte med at arbejde på problemet. I 2018 tog han eksponenten op i samtale med Wei Qian, som dengang var postdoc ved University of Cambridge i England. Qian studerede tilfældig geometri i den kontinuerlige snarere end diskrete kontekst, med et særligt fokus på SLE-kurver. Hun var midt i et projekt, der brugte SLE til at beregne eksponenter i en anden type tilfældig model, og Nolin begyndte at mistænke, at hendes ekspertise også var relevant for den monokromatiske to-armede eksponent. Parret fandt hurtigt en simpelt tilsyneladende ligning, hvis løsning ville give eksponenten, men den ligning var afhængig af en mellemmængde, der havde at gøre med rummet omgivet af en SLE-kurve ved kanten af gitteret. Nolin og Qian kunne ikke fastgøre det nummer.
"Jeg lavede mange beregninger, men jeg var stadig ikke i stand til at beregne denne egenskab," sagde Qian. "Det lykkedes ikke, så jeg stoppede bare et stykke tid."
"Vi nævnte det aldrig for nogen, fordi vi ikke var sikre på, om det ville være nyttigt eller ej," tilføjede Nolin.
Rygradseksponenten
Den monokromatiske toarmede eksponent er særlig interessant, fordi den også beskriver "rygraden" i et gitter: samlingen af sekskanter, der er forbundet med to adskilte arme, der strækker sig til to ikke-overlappende arme: en til kanten af labyrinten og en til dens centrum. Når disse sider er farvelagt, danner de et net, der når på tværs af hele gitteret og kaldes rygraden. Når forskere modellerer spredningen af sygdomme eller porøse klippeformationer, er rygraden en motorvej, langs hvilken mikrober eller olie kan strømme. Den eksponent, Nolin og Qian søgte, afslører størrelsen af rygraden og omtales som rygradseksponenten.
Nolin og Qian var ikke de eneste efter rygraden. Xin Sun, dengang ved University of Pennsylvania, havde også forsøgt at beregne rygradseksponenten. I løbet af de foregående år havde Sun og samarbejdspartnere, herunder Nina Holden fra New York University, fundet ud af en måde at studere SLE-kurver ved hjælp af tilfældige fraktale overflader. Disse vidtstrakte, buede overflader har spidse kanter, der strækker sig ind i lange ranker. Nogle punkter er et kort hop fra deres naboer, mens andre er en måneds lang rejse. Nogle steder er disse effekter for ekstreme til at kunne visualiseres. "Det er faktisk ikke muligt at tegne det" helt præcist, sagde Holden. "Du bliver nødt til at strække overfladen meget."
I sommeren 2022 hyrede Sun Zijie Zhuang, en andenårs kandidatstuderende, til at deltage i studiet af den tilfældige labyrint med den kritiske sandsynlighed. De overvejede tilfældige labyrinter, hvor sekskanterne lå på en tilfældig fraktal overflade, i stedet for på et fladt plan. Fordi tilfældigheder bestemmer, hvor og hvor meget overfladen strækkes og komprimeres, har overfladen unikke egenskaber. (Disse egenskaber gør også sådanne overflader nyttige for fysikere, der studerer modeller af kvantetyngdekraft i et todimensionelt univers, og giver dem deres navn: Liouville kvantetyngdekraftsoverflader.) For eksempel, hvis du tager en saks til en sådan overflade, vil formerne af to halvdele afhænger ikke af hinanden. "Den slags uafhængighed forenkler virkelig tingene enormt," sagde Scott Sheffield fra Massachusetts Institute of Technology. Når tingene er tilfældige, ved du mindre om dem, men det kan betyde mindre information at kedeligt redegøre for.
Sun og Zhuang forsøgte først at bestemme sandsynligheden for, at der var en åben sti, der forbinder en lille cirkel rundt om gitterets centrum med en større, omgivende cirkel. Efter at de havde besvaret det spørgsmål, foreslog Sun et trin op i ambitionen: at beregne chancen for, at der var to stier, der forbinder de indlejrede cirkler, hvilket ville have givet dem en måde at beregne rygradseksponenten på. Snart løb de dog ind i vanskeligheder. "Vi prøvede denne tilgang i flere måneder, men beregningen ser ikke ud til at være særlig håndterbar," skrev Zhuang i en e-mail.
Introduktion
I mellemtiden, selvom det ikke var lykkedes Nolin og Qian at finde værdien af eksponenten, gjorde de fremskridt på andre måder. Qian tog orlov fra sin stilling ved det franske nationale center for videnskabelig forskning og sluttede sig til Nolin som professor ved City University of Hong Kong. (De blev også gift.) I sommeren 2021 stødte hun på et par artikler fra Sun og hans samarbejdspartnere, der fascinerede hende, så da pandemiske rejserestriktioner blev ophævet, planlagde hun et besøg i december 2022 på Institute for Advanced Study i Princeton , New Jersey, hvor Sun tilbragte året.
Det viste sig at være et rentabelt besøg. Da Qian beskrev ligningen, hun og Nolin havde fundet, begyndte Sun at tro, at den kunne være modtagelig for hans og Zhuangs teknik med at overlejre labyrinterne på Liouvilles kvantetyngdekraftoverflader. "Det er lidt af en tilfældighed," sagde Sun. "En fyr har en lås, en fyr har en nøgle."
Zhuang var lidt skeptisk. "Vi har ingen forudsigelser, og vi ved ikke engang, om formlen vil have en god løsning," sagde han og beskrev tingenes tilstand på det tidspunkt. Sun og Zhuang brugte de næste mange måneder på at bruge deres Liouville kvantetyngdekraftsteknikker - nøglen - til at låse op for den undvigende mængde i Nolin og Qians ligning fra år tidligere - låsen.
Efter fire måneders arbejde havde Sun og Zhuang åbnet den metaforiske lås. Sun sendte en e-mail til Zhuang, Qian og Nolin og proklamerede: "Great News: Exact Formula for Backbone Exponent." Svaret, fandt han, var et moderat kompliceret udtryk for kvadratrødder og den trigonometriske sinusfunktion. Det var i overensstemmelse med de tidligere estimater, en endeløs strøm af cifre, der begynder med 0.3566668.
De fire forvandlede deres arbejde til et skriftligt papir, der forfinede argumentet, indtil ideerne fra Nolin og Qian på den ene side og Sun og Zhuang på den anden side forenede sig for at skabe et bevis for, at Sheffield, som var Suns doktorgradsrådgiver, kaldte "en smuk perle." "Bevisstrategien er bestemt overraskende og meget original, men når du så ser den, er det også noget, der føles lidt naturligt," sagde Holden.
Nolin beklager sin mistanke fra 2011 om, at eksponenten var præcis 17/48. "Vi vildledte feltet i et stykke tid. Jeg er ikke særlig stolt af det.” Rygradseksponenten er slående forskellig fra dens polykromatiske fætre. Ikke kun er det irrationelt, men det er også transcendentalt, hvilket betyder, at ligesom $latex pi$ og e, kan det ikke skrives som løsningen til en simpel polynomialligning.
"Beviset forklarer ikke rigtig, hvor denne formel kommer fra," sagde han. "Vi har vist det til fysikere, og vi ser virkelig frem til deres indsigt."
Den transcendentale karakter af rygradseksponenten fangede andres opmærksomhed i feltet. Gregory Huber fra Chan Zuckerberg Biohub, der var medforfatter til en opfølgende artikel om rygradseksponenten sagde, at han mener, at resultatet er det "første glimt af et nyt kontinent" inden for statistisk mekanik. Selvom det er ekstremt teknisk at kombinere SLE-kurver og Liouville kvantetyngdekraft, er det klare og enkle numeriske svar, der dukkede op, skrev han, "forbløffende enkelt og elegant."
- SEO Powered Content & PR Distribution. Bliv forstærket i dag.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Styrk dig selv. Adgang her.
- PlatoAiStream. Web3 intelligens. Viden forstærket. Adgang her.
- PlatoESG. Kulstof, CleanTech, Energi, Miljø, Solenergi, Affaldshåndtering. Adgang her.
- PlatoHealth. Bioteknologiske og kliniske forsøgs intelligens. Adgang her.
- Kilde: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :har
- :er
- :ikke
- :hvor
- ][s
- $OP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35 %
- a
- I stand
- Om
- over
- AC
- aftale
- Konto
- præcist
- tværs
- faktisk
- tilføje
- tilføjet
- tilføje
- fremskreden
- Anliggender
- Efter
- igen
- siden
- LUFT
- Alle
- sammen
- også
- ambition
- modtagelig
- an
- Analyser
- ,
- En anden
- besvare
- nogen
- applikationer
- tilgang
- tilnærmelsesvis
- ER
- argument
- ARM
- arme
- omkring
- AS
- tildelt
- At
- opmærksomhed
- tilbage
- Backbone
- Balance
- BE
- smuk
- blev
- fordi
- været
- før
- begyndte
- Begyndelse
- jf. nedenstående
- mellem
- Big
- Bit
- Sort
- Blå
- krop
- både
- bragte
- bygge
- men
- by
- beregne
- beregnet
- beregning
- beregning
- beregninger
- kaldet
- Opkald
- Cambridge
- kom
- CAN
- kan ikke
- tilfælde
- fanget
- Celler
- Celsius
- center
- central
- Århundrede
- vis
- udfordrende
- chan
- chance
- odds
- lave om
- Ændringer
- karakter
- karakteriserer
- Circle
- kredse
- By
- City University of Hong Kong
- klar
- Luk
- lukket
- Cluster
- sammentræf
- samarbejdspartnere
- samling
- Kolonne
- kombineret
- kombinerer
- Kom
- kommer
- begå
- fuldstændig
- kompliceret
- beregning
- beregninger
- Compute
- beton
- formodning
- tilsluttet
- Tilslutning
- betragtes
- konstant
- konstant
- sammenhæng
- kontinuerlig
- kontrast
- Samtale
- korrigere
- kunne
- skabe
- oprettet
- kritisk
- Cross
- skøger
- mørk
- døde
- årtier
- december
- definitivt
- Degree
- afhænge
- beskrevet
- beskriver
- beskriver
- Design
- detail
- Bestem
- bestemmer
- DID
- forskellige
- vanskeligheder
- cifre
- faldende
- Sygdom
- sygdomme
- distinkt
- do
- Er ikke
- Dominere
- Dont
- Ved
- Doubles
- ned
- drastisk
- tegne
- hver
- tidligere
- lettere
- let
- Edge
- effektivt
- effektivitet
- effekter
- enten
- opstået
- fremgår
- ende
- Endless
- ender
- England
- Hele
- indfører
- anslået
- skøn
- Endog
- til sidst
- Hver
- at alt
- præcist nok
- forvente
- ekspertise
- Forklar
- udforske
- udtryk
- udvide
- strækker
- ekstrem
- ekstremt
- mislykkedes
- falsk
- føler sig
- få
- felt
- regnede
- fyldt
- Endelig
- Finde
- finde
- Fornavn
- flad
- flow
- Fokus
- Til
- formular
- Formula
- Videresend
- fundet
- fire
- Fransk vin
- Fransk
- fra
- fuld
- funktion
- GAS
- Ædelsten
- genereret
- få
- Giv
- given
- Give
- glimt
- godt
- fik
- eksamen
- graf
- tyngdekraften
- stor
- Grid
- Grow
- Vokser
- Guy
- havde
- Halvdelen
- hånd
- Have
- have
- he
- stærkt
- hende
- højere
- Hovedvej
- hans
- Hits
- Hong
- Hong Kong
- Hvordan
- Men
- HTML
- http
- HTTPS
- kæmpe
- i
- ICE
- ideer
- if
- billede
- in
- I andre
- Herunder
- Forøg
- uafhængighed
- uafhængig
- smitsom
- Infektionssygdomme
- oplysninger
- indvendig
- indsigt
- instans
- i stedet
- Institut
- interessant
- ind
- introduceret
- uvurderlig
- uvægerligt
- irrationel
- IT
- ITS
- selv
- Jersey
- deltage
- sluttede
- rejse
- lige
- holdt
- Nøgle
- Venlig
- slags
- Kend
- viden
- kendt
- kender
- Kong
- stor
- større
- største
- Efternavn
- lægge
- Forlade
- forlader
- til venstre
- Længde
- mindre
- ligge
- Lifted
- lys
- ligesom
- LINK
- Flydende
- lås
- Lang
- leder
- taber
- Lot
- lavere
- lavet
- magasin
- lave
- Making
- Masker
- Massachusetts
- Massachusetts Tekniske Institut
- massive
- matematik
- matematiske
- matematik
- kan være
- betyde
- betyder
- mekanik
- Mød
- nævnte
- måske
- millioner
- MIT
- model
- modeller
- moderat
- måned
- mere
- mest
- flyttet
- meget
- flere
- skal
- navn
- national
- Natural
- Natur
- I nærheden af
- behov
- naboer
- Ingen
- aldrig
- Ny
- New Jersey
- New York
- nyheder
- næste
- rart
- ingen
- intet
- nu
- nummer
- Odds
- of
- tit
- Olie
- on
- ONE
- dem
- kun
- åbent
- åbnet
- åbner
- or
- original
- Andet
- Andre
- ud
- i løbet af
- par
- pandemi
- Papir
- papirer
- især
- sti
- stier
- Pennsylvania
- Peter
- fysiker
- Steder
- fly
- planlagt
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatoData
- lommer
- Punkt
- punkter
- stillet
- position
- mulig
- indsendt
- Praktisk
- forud
- forudsagde
- forudsigelse
- Forudsigelser
- Princeton
- sandsynligvis
- Problem
- Professor
- rentabel
- Progress
- projekt
- bevis
- egenskaber
- ejendom
- stolt
- bevist
- Quantamagazin
- mængde
- Quantum
- spørgsmål
- Spørgsmål
- hurtigt
- helt
- tilfældig
- tilfældigt genereret
- hellere
- når
- virkelig
- omdefineres
- benævnt
- raffinering
- relaterede
- relevant
- krav
- forskning
- forskere
- restriktioner
- resultere
- afslører
- klippe
- rødder
- rundt
- Said
- samme
- siger
- scenarie
- videnskabelig
- søgning
- se
- synes
- sendt
- adskille
- flere
- Shape
- former
- hun
- Kort
- viste
- side
- Simpelt
- forenkler
- simuleringer
- sidde
- Websteder
- Størrelse
- skeptisk
- lille
- mindre
- So
- solid
- løsninger
- nogle
- noget
- sommetider
- snart
- søgte
- Space
- særligt
- udgifterne
- brugt
- vidtstrakte
- spredes
- firkant
- Starter
- Tilstand
- statistiske
- Trin
- Stadig
- Stands
- stoppet
- Strategi
- strøm
- struktur
- studerende
- studeret
- undersøgelser
- Studere
- studere
- væsentligt
- lykkes
- sådan
- pludselige
- sommer
- Sol
- sikker
- overflade
- overraskende
- Omkringliggende
- mistænkeligt
- Tag
- Teknisk
- teknik
- teknikker
- Teknologier
- end
- at
- Grafen
- Staten
- deres
- Them
- derefter
- Der.
- Disse
- de
- tynd
- ting
- tror
- tænker
- denne
- dem
- selvom?
- tænkte
- Gennem
- tid
- til
- sammen
- også
- tog
- Toppe
- Trace
- overgang
- Oversætte
- rejse
- enormt
- forsøgte
- sand
- forsøger
- Drejede
- to
- typen
- nedenunder
- enestående
- Universe
- universitet
- University of Cambridge
- låse
- indtil
- brug
- anvendte
- nyttigt
- ved brug af
- værdi
- meget
- vincent
- Besøg
- ønskede
- var
- washington
- Vand
- Vej..
- måder
- we
- web
- WebP
- Hjemmeside
- GODT
- var
- Hvad
- hvornår
- hvorvidt
- som
- mens
- WHO
- hvis
- vilje
- med
- inden for
- uden
- Arbejde
- arbejder
- ville
- ville give
- skriftlig
- skrev
- år
- år
- york
- Du
- Din
- zephyrnet
- nul
- Zuckerberg