Når det kommer til at forstå formen på bobleklynger, har matematikere spillet ind på vores fysiske intuition i årtusinder. Sæbebobleklynger i naturen ser ofte ud til straks at snappe ind i den laveste energitilstand, den der minimerer det samlede overfladeareal af deres vægge (inklusive væggene mellem boblerne). Men at kontrollere, om sæbebobler får denne opgave rigtigt - eller bare at forudsige, hvordan store bobleklynger skal se ud - er et af de sværeste problemer inden for geometri. Det tog matematikere indtil slutningen af det 19. århundrede at bevise, at kuglen er den bedste enkeltboble, selvom den græske matematiker Zenodorus havde hævdet dette mere end 2,000 år tidligere.
Bobleproblemet er simpelt nok til at sige: Du starter med en liste over tal for volumenerne og spørger derefter, hvordan du separat omslutter disse luftmængder med det mindste overfladeareal. Men for at løse dette problem skal matematikere overveje en lang række forskellige mulige former for boblevæggene. Og hvis opgaven er at omslutte f.eks. fem bind, har vi ikke engang den luksus at begrænse vores opmærksomhed til klynger af fem bobler - måske er den bedste måde at minimere overfladearealet på at opdele et af volumerne på tværs af flere bobler.
Selv i den simplere indstilling af det todimensionelle plan (hvor du forsøger at omslutte en samling områder, mens du minimerer omkredsen), ved ingen den bedste måde at omslutte f.eks. ni eller 10 områder. Efterhånden som antallet af bobler vokser, "hurtigt kan du ikke engang få nogen plausibel formodning," sagde Emanuel Milman fra Technion i Haifa, Israel.
Men for mere end et kvart århundrede siden, John Sullivan, nu ved det tekniske universitet i Berlin, indså, at der i visse tilfælde er en vejledende formodning at have. Bobleproblemer giver mening i enhver dimension, og Sullivan fandt ud af, at så længe antallet af bind, du forsøger at omslutte, højst er én større end dimensionen, er der en særlig måde at omslutte bindene på, som i en vis forstand er, smukkere end nogen anden - en slags skygge af en perfekt symmetrisk bobleklynge på en kugle. Denne skyggeklynge, formodede han, skulle være den, der minimerer overfladearealet.
I løbet af det følgende årti skrev matematikere en række banebrydende artikler, der beviser Sullivans formodning, når du forsøger at vedlægge kun to bind. Her er løsningen den velkendte dobbeltboble, du måske har blæst i parken på en solskinsdag, lavet af to sfæriske stykker med en flad eller sfærisk væg imellem sig (afhængig af om de to bobler har samme eller forskellige volumen).
Men beviser Sullivans formodning for tre bind, matematikeren Frank Morgan fra Williams College spekuleret i 2007, "kunne godt tage hundrede år mere."
Nu er matematikere blevet skånet for den lange ventetid - og har fået langt mere end blot en løsning på det tredobbelte bobleproblem. I en papir lagt online i maj, Milman og Joe Neeman, fra University of Texas, Austin, har bevist Sullivans formodning om tredobbelte bobler i dimensioner tre og opefter og firedobbelte bobler i dimension fire og opefter, med et opfølgende papir om femdobbelte bobler i dimensioner fem og opefter i værkerne.
Og når det kommer til seks eller flere bobler, har Milman og Neeman vist, at den bedste klynge skal have mange af de vigtigste egenskaber fra Sullivans kandidat, hvilket potentielt kan starte matematikere på vej til at bevise formodningen for disse tilfælde. "Mit indtryk er, at de har forstået den væsentlige struktur bag Sullivan-formodningen," sagde Francesco Maggi fra University of Texas, Austin.
Milman og Neemans centrale teorem er "monumental," skrev Morgan i en e-mail. "Det er en strålende præstation med masser af nye ideer."
Skyggebobler
Vores erfaringer med rigtige sæbebobler giver fristende intuitioner om, hvordan optimale bobleklaser skal se ud, i hvert fald når det kommer til små klynger. De tre- eller firedobbelte bobler, vi blæser gennem sæbestave, ser ud til at have sfæriske vægge (og nogle gange flade) og har en tendens til at danne tætte klumper i stedet for f.eks. en lang kæde af bobler.
Men det er ikke så let at bevise, at disse virkelig er funktionerne i optimale bobleklynger. For eksempel ved matematikere ikke, om væggene i en minimerende bobleklynge altid er sfæriske eller flade - de ved kun, at væggene har "konstant middelkrumning", hvilket betyder, at den gennemsnitlige krumning forbliver den samme fra et punkt til et andet. Kugler og flade overflader har denne egenskab, men det har mange andre overflader, såsom cylindre og bølgede former kaldet unduloider. Overflader med konstant gennemsnitskrumning er "en komplet zoo," sagde Milman.
Men i 1990'erne erkendte Sullivan, at når antallet af bind, du vil omslutte højst er én større end dimensionen, er der en kandidatklynge, der ser ud til at overstråle resten - en (og kun én) klynge, der har de funktioner, vi har tendens til. at se i små klynger af rigtige sæbebobler.
For at få en fornemmelse af, hvordan en sådan kandidat er bygget, lad os bruge Sullivans tilgang til at skabe en tre-boble-klynge i det flade plan (så vores "bobler" vil være områder i planet i stedet for tredimensionelle objekter). Vi starter med at vælge fire punkter på en kugle, der alle er lige langt fra hinanden. Forestil dig nu, at hvert af disse fire punkter er midten af en lille boble, der kun lever på overfladen af kuglen (så at hver boble er en lille skive). Pust de fire bobler på kuglen op, indtil de begynder at støde ind i hinanden, og fortsæt derefter med at puste op, indtil de tilsammen fylder hele overfladen. Vi ender med en symmetrisk klynge af fire bobler, der får kuglen til at ligne et opblæst tetraeder.
Dernæst placerer vi denne kugle oven på et uendeligt fladt plan, som om kuglen er en kugle, der hviler på et endeløst gulv. Forestil dig, at bolden er gennemsigtig, og der er en lanterne ved nordpolen. Væggene i de fire bobler vil projicere skygger på gulvet og danne væggene i en bobleklynge der. Af de fire bobler på kuglen vil tre rage ned til skyggebobler på gulvet; den fjerde boble (den der indeholder nordpolen) vil rage ned til den uendelige gulvflade uden for klyngen af tre skyggebobler.
Den særlige klynge med tre bobler, vi får, afhænger af, hvordan vi tilfældigvis placerede kuglen, da vi lagde den på gulvet. Hvis vi drejer kuglen, så et andet punkt flytter til lanternen ved nordpolen, får vi typisk en anden skygge, og de tre bobler på gulvet vil have forskellige områder. Matematikere har bevist at for alle tre numre, du vælger for områderne, er der i det væsentlige en enkelt måde at placere kuglen på, så de tre skyggebobler har netop disse områder.
Vi er frie til at udføre denne proces i enhver dimension (selvom højere-dimensionelle skygger er sværere at visualisere). Men der er en grænse for, hvor mange bobler vi kan have i vores skyggeklynge. I eksemplet ovenfor kunne vi ikke have lavet en fire-boble klynge i flyet. Det ville have krævet at starte med fem punkter på sfæren, der alle er i samme afstand fra hinanden - men det er umuligt at placere så mange ækvidistante punkter på en sfære (selvom du kan gøre det med højere dimensionelle sfærer). Sullivans procedure virker kun til at skabe klynger af op til tre bobler i todimensionelt rum, fire bobler i tredimensionelt rum, fem bobler i firedimensionelt rum, og så videre. Uden for disse parameterområder eksisterer bobleklynger i Sullivan-stil bare ikke.
Men inden for disse parametre giver Sullivans procedure os bobleklynger i omgivelser langt ud over, hvad vores fysiske intuition kan forstå. "Det er umuligt at visualisere, hvad der er en 15-boble i [23-dimensionelt rum]," sagde Maggi. "Hvordan drømmer du overhovedet om at beskrive sådan et objekt?"
Alligevel arver Sullivans boblekandidater fra deres sfæriske stamfædre en unik samling af egenskaber, der minder om de bobler, vi ser i naturen. Deres vægge er alle sfæriske eller flade, og hvor end tre vægge mødes, danner de 120 graders vinkler, som i en symmetrisk Y-form. Hver af de bind, du forsøger at omslutte, ligger i en enkelt region, i stedet for at være opdelt på tværs af flere områder. Og hver boble rører hinanden (og det ydre), og danner en tæt klynge. Matematikere har vist, at Sullivans bobler er de eneste klynger, der opfylder alle disse egenskaber.
Da Sullivan antog, at disse skulle være de klynger, der minimerer overfladearealet, sagde han i det væsentlige: "Lad os antage skønhed," sagde Maggi.
Men bobleforskere har god grund til at være varsomme med at antage, at bare fordi en foreslået løsning er smuk, er den korrekt. "Der er meget berømte problemer ... hvor du ville forvente symmetri for minimizerne, og symmetri fejler spektakulært," sagde Maggi.
For eksempel er der det nært beslægtede problem med at fylde uendeligt rum med bobler af samme volumen på en måde, der minimerer overfladearealet. I 1887 foreslog den britiske matematiker og fysiker Lord Kelvin, at løsningen kunne være en elegant honeycomb-lignende struktur. I mere end et århundrede troede mange matematikere, at dette var det sandsynlige svar - indtil 1993, hvor et par fysikere identificeret en bedre, selvom mindre symmetrisk, mulighed. "Matematik er fuld ... af eksempler, hvor den slags underlige ting sker," sagde Maggi.
En mørk kunst
Da Sullivan annoncerede sin formodning i 1995, havde den dobbeltboblede del af den allerede svævet rundt i et århundrede. Matematikere havde løst 2D dobbelt-boble problem to år tidligere, og i det følgende årti, løste de det ind tredimensionelt rum og derefter ind højere størrelse. Men da det kom til det næste tilfælde af Sullivans formodning - tredobbelte bobler - kunne de bevise formodningen kun i det todimensionelle plan, hvor grænsefladerne mellem boblerne er særligt enkle.
Så i 2018 beviste Milman og Neeman en analog version af Sullivans formodning i et miljø kendt som det Gaussiske bobleproblem. I denne indstilling kan du tænke på, at hvert punkt i rummet har en pengeværdi: Oprindelsen er det dyreste sted, og jo længere du kommer fra oprindelsen, desto billigere bliver landet og danner en klokkekurve. Målet er at skabe kabinetter med forudvalgte priser (i stedet for forudvalgte mængder), på en måde, der minimerer omkostningerne ved skabenes grænser (i stedet for grænsernes overfladeareal). Dette Gauss-bobleproblem har anvendelser inden for datalogi til afrundingsskemaer og spørgsmål om støjfølsomhed.
Milman og Neeman indsendte deres bevis til Annals of Mathematics, uden tvivl matematikkens mest prestigefyldte tidsskrift (hvor det senere blev accepteret). Men parret havde ikke til hensigt at kalde det en dag. Deres metoder virkede også lovende for det klassiske bobleproblem.
De kastede ideer frem og tilbage i flere år. "Vi havde et 200-siders dokument med noter," sagde Milman. I starten føltes det, som om de gjorde fremskridt. "Men så blev det hurtigt til," Vi prøvede denne retning - nej. Vi prøvede [den] retning - nej.'" For at sikre deres indsats forfulgte begge matematikere også andre projekter.
Så sidste efterår kom Milman på sabbatår og besluttede at besøge Neeman, så parret kunne lave et koncentreret skub på bobleproblemet. "Under sabbatår er det et godt tidspunkt at prøve ting med høj risiko og høj gevinst," sagde Milman.
De første par måneder kom de ingen vegne. Til sidst besluttede de at give sig selv en lidt lettere opgave end Sullivans fulde formodning. Hvis du giver dine bobler en ekstra dimension af pusterum, får du en bonus: Den bedste bobleklynge vil have spejlsymmetri på tværs af et centralt plan.
Sullivans formodning handler om tredobbelte bobler i dimension to og op, firedobbelte bobler i dimension tre og op, og så videre. For at få bonussymmetrien begrænsede Milman og Neeman deres opmærksomhed til tredobbelte bobler i dimensioner tre og opefter, firedobbelte bobler i dimension fire og op, og så videre. "Det var egentlig først, da vi opgav at få det for hele spektret af parametre, at vi virkelig gjorde fremskridt," sagde Neeman.
Med denne spejlsymmetri til deres rådighed, kom Milman og Neeman med et forstyrrelsesargument, der involverer lidt oppumpning af halvdelen af bobleklyngen, der ligger over spejlet, og tømning af halvdelen, der ligger under det. Denne forstyrrelse ændrer ikke boblernes volumen, men den kan ændre deres overfladeareal. Milman og Neeman viste, at hvis den optimale bobleklynge har vægge, der ikke er sfæriske eller flade, vil der være en måde at vælge denne forstyrrelse på, så den reducerer klyngens overfladeareal - en selvmodsigelse, da den optimale klynge allerede har den mindste overflade område muligt.
At bruge forstyrrelser til at studere bobler er langt fra en ny idé, men at finde ud af, hvilke forstyrrelser der vil opdage de vigtige funktioner i en bobleklynge er "lidt af en mørk kunst," sagde Neeman.
Set i bakspejlet, "når du ser [Milman og Neemans forstyrrelser], ser de ganske naturlige ud," sagde Joel Hass fra University of California, Davis.
Men at anerkende forstyrrelserne som naturlige er meget nemmere end at komme med dem i første omgang, sagde Maggi. "Det er langtfra noget, man kan sige, 'til sidst ville folk have fundet det'," sagde han. "Det er virkelig genialt på et meget bemærkelsesværdigt niveau."
Milman og Neeman var i stand til at bruge deres forstyrrelser til at vise, at den optimale bobleklynge skal tilfredsstille alle kerneegenskaberne i Sullivans klynger, undtagen måske én: bestemmelsen om, at hver boble skal røre hinanden. Dette sidste krav tvang Milman og Neeman til at kæmpe med alle de måder, hvorpå bobler kan forbindes til en klynge. Når det kommer til blot tre eller fire bobler, er der ikke så mange muligheder at overveje. Men efterhånden som du øger antallet af bobler, vokser antallet af forskellige mulige forbindelsesmønstre, endda hurtigere end eksponentielt.
Milman og Neeman håbede i første omgang at finde et overordnet princip, der ville dække alle disse sager. Men efter at have brugt et par måneder på at "brække vores hoveder," sagde Milman, besluttede de sig for nu at nøjes med en mere ad hoc-tilgang, der gjorde det muligt for dem at håndtere tredobbelte og firedobbelte bobler. De har også annonceret et upubliceret bevis på, at Sullivans femdobbelte boble er optimal, selvom de endnu ikke har fastslået, at det er den eneste optimale klynge.
Milman og Neemans arbejde er "en helt ny tilgang snarere end en udvidelse af tidligere metoder," skrev Morgan i en e-mail. Det er sandsynligt, forudsagde Maggi, at denne tilgang kan skubbes endnu længere - måske til klynger på mere end fem bobler eller til tilfældene af Sullivans formodninger, der ikke har spejlsymmetrien.
Ingen forventer, at yderligere fremskridt kommer let; men det har aldrig afskrækket Milman og Neeman. "Fra min erfaring," sagde Milman, "krævede alle de store ting, som jeg var så heldig at kunne gøre, bare ikke at give op."
