Introduktion
For mere end 2,000 år siden fandt den græske matematiker Eratosthenes på en metode til at finde primtal, som fortsætter med at genlyde gennem matematikken i dag. Hans ide var at identificere alle primtal op til et givet punkt ved gradvist at "udse" de tal, der ikke er primtal. Hans sigte starter med at krydse alle multipla af 2 ud (undtagen selve 2), derefter multipla af 3 (undtagen selve 3). Det næste tal, 4, er allerede streget over, så næste trin er at krydse multiplerne af 5 ud, og så videre. De eneste tal, der overlever, er primtal - tal, hvis eneste divisor er 1 og dem selv.
Eratosthenes var fokuseret på det fulde sæt af primtal, men du kan bruge variationer på hans sigte til at jage efter primtal med alle slags specielle funktioner. Vil du finde "tvillingprimtal", som kun er 2 fra hinanden, såsom 11 og 13 eller 599 og 601? Det er der en si til. Vil du finde primtal, der er 1 større end et perfekt kvadrat, f.eks. 17 eller 257? Det er der også en si til.
Moderne sigter har givet næring til mange af de største fremskridt inden for talteori på problemer lige fra Fermats sidste sætning til den stadig ubeviste tvillingeprimtalsformodning, som siger, at der er uendeligt mange par af tvillingeprimtal. Sigtemetoder, skrev den ungarske matematiker Paul Erdős i 1965, er "måske vores mest kraftfulde elementære værktøj inden for talteori."
Alligevel er denne magt begrænset af matematikeres begrænsede forståelse af, hvordan primtal er fordelt langs tallinjen. Det er nemt at udføre en si op til et lille tal, f.eks. 100. Men matematikere vil gerne forstå sigtes opførsel, når tallene bliver store. De kan ikke håbe på at liste alle de tal, der overlever sigten op til et ekstremt stort stoppunkt. Så i stedet forsøger de at estimere, hvor mange tal der er på den liste.
Introduktion
For Eratosthenes sigte afhænger dette estimat af, hvor ofte hele tal er delelige med 2, eller 3 eller 5, og så videre - forholdsvis let information at opnå. Men for mere komplicerede sigter, såsom dem til tvillingeprimtal, vedrører den afgørende information ofte de rester, som primtal efterlader, når de divideres med forskellige tal. For eksempel, hvor ofte efterlader primtal en rest på 1, når de divideres med 3? Eller en rest på 8, når de divideres med 15?
Når du bevæger dig ud langs tallinjen, sætter disse rester sig i statistisk forudsigelige mønstre. I 1896 beviste den belgiske matematiker Charles-Jean de la Vallée Poussin, at resten gradvist udjævnes - hvis du f.eks. smider primtal i en af to spande afhængigt af, om deres resterende del er 1 eller 2, når de divideres med 3, to spande vil til sidst indeholde nogenlunde det samme antal primtal. Men for at udvinde det fulde potentiale fra sigtemetoder skal matematikere ikke kun vide, at spandene til sidst jævner sig, men hvor hurtigt de gør det.
Det har vist sig at være udfordrende. Efter et udbrud af fremskridt i 1960'erne og endnu et i 1980'erne, forsvandt nye udviklinger for det meste. En bemærkelsesværdig undtagelse fandt sted i 2013, da Yitang Zhang udgav en skelsættende bevis at der er uendeligt mange par af primtal tættere på hinanden end nogle endelige bundne. Men hoveddelen af arbejdet udviklet i 80'erne oplevede stort set ingen fremskridt i mere end tre årtier.
Nu nyder emnet en renæssance, udløst af en serie of tre papirer skrevet af Oxford-matematikeren James Maynard i 2020 (to år før han var det tildelt Fields-medaljen, matematikkens højeste hæder). Maynard analyserede et tal kaldet "fordelingsniveauet", der fanger, hvor hurtigt primære rester bliver jævnt fordelt i spande (nogle gange med reference til bestemte typer sigter). For mange almindeligt anvendte sigter viste han, at distributionsniveauet er mindst 0.6, hvilket slog den tidligere rekord på 0.57 fra 1980'erne.
Maynards arbejde og de opfølgende undersøgelser, det har foranlediget, "puster nyt liv i analytisk talteori," sagde John Friedlander fra University of Toronto, som spillede en stor rolle i udviklingen i 1980'erne. "Det er en rigtig vækkelse."
Introduktion
I de sidste par måneder har tre af Maynards kandidatstuderende have skriftlig papirer udvidelse af både Maynards og Zhangs resultater; en af disse papirer, af Jared Duker Lichtman (nu postdoc ved Stanford University), skubbede Maynards distributionsniveau op til omkring 0.617. Lichtman brugte derefter denne stigning til at beregne forbedrede øvre grænser for antallet af tvillingeprimtal op til et givet stoppunkt og antallet af "Goldbach-repræsentationer" - repræsentationer af lige tal som summen af to primtal.
"Disse yngre mennesker følger op på, hvad der virkelig er det varme emne nu," sagde Andrew Granville fra University of Montreal.
En stigning fra 0.6 til 0.617 kan virke af ringe betydning for folk uden for talteori. Men i sigteorien sagde Granville, "nogle gange kan de små sejre have ødelæggende konsekvenser."
Inklusiv og Eksklusiv
At estimere, hvor mange tal en si fjerner op til et eller andet stoppunkt N, bruger matematikere en tilgang baseret på noget, der hedder inklusion/eksklusion. For at se, hvordan dette virker, overvej Eratosthenes si. Denne sigte starter med at fjerne alle multipla af 2 - det er cirka halvdelen af tallene op til N. Dernæst fjerner sigten alle multipla af 3 - omkring 1/3 af tallene op til N. Så du tror måske, at du indtil videre har fjernet omkring 1/2 + 1/3 af tallene op til N.
Men dette er en overtælling, fordi du har dobbelttællet tal, der er multipla af både 2 og 3 (multipler af 6). Disse er omkring 1/6 af alle tallene op til N, så for at korrigere for at tælle dem to gange, skal du trække 1/6 fra, hvilket bringer den løbende total for det, du fjerner, til 1/2 + 1/3 − 1/6.
Dernæst kan du gå videre til multipla af 5 — det vil lægge 1/5 til tællingen, men du skal trække 1/10 og 1/15 fra for at korrigere for overtælling af tal, der er delelige med både 2 og 5, eller begge 3 og 5. Selv da er du ikke helt færdig - du har ved et uheld korrigeret to gange for de tal, der er delelige med 2, 3 og 5, så for at rette op på det skal du lægge 1/30 til dit antal, hvilket bringer den løbende total til 1/2 + 1/3 − 1/6 + 1/5 − 1/10 − 1/15 + 1/30.
Efterhånden som denne proces fortsætter, får summen flere og flere udtryk, der involverer brøker med større og større nævnere. For at forhindre de små fejl i tilnærmelser som "ca. 1/2" og "ca. 1/3" i at hobe sig for meget op, stopper talteoretikere normalt additions- og subtraktionsprocessen, før de har gennemgået hele sigten, og nøjes med øvre og nedre grænser i stedet for et nøjagtigt svar.
I teorien burde en lignende proces fungere for mere avancerede sæt af primtal, som tvillingeprimtal. Men når det kommer til noget som twin primtal, vil inklusion/eksklusion ikke fungere, medmindre du ved, hvor jævnt prime-rester er fordelt i spande.
Introduktion
For at se dette, tænk på, hvordan en dobbelt prime sigte kunne fungere. Du kan starte med at bruge sigten af Eratosthenes til at finde alle primtallene op til N. Lav derefter en anden runde sigtning, der fjerner hver prime, der ikke er en del af et tvilling prime par. En måde at gøre dette på er at sigte et primtal ud, hvis tallet, der er to pletter til venstre, ikke er primetal (eller du kan se to pletter til højre - hver sigte vil fungere). Ved at bruge den venstre sigte beholder du primtal såsom 13, da 11 også er primtal, men streg primtal ud som 23, da 21 ikke er primtal.
Du kan tænke på denne sigte som først at flytte sættet af primtal to pletter til venstre på tallinjen og derefter strege de tal i det forskudte sæt ud, som ikke er primtal (såsom 21). I det forskudte sæt vil du krydse multipla af 3 ud, derefter multipla af 5, og så videre. (Du behøver ikke bekymre dig om multipla af 2, da tallene i det forskudte sæt alle er ulige, undtagen det allerførste.)
Dernæst kommer inklusion/eksklusion for at estimere, hvor mange tal du har streget over. I Eratosthenes sigte fjerner krydsning af multipla af 3 omkring 1/3 af alle tal. Men i det mindre sæt af forskudte primtal er det sværere at forudsige, hvor mange der falder, når vi krydser multipla af 3 ud.
Ethvert nummer k i det skiftede sæt er 2 mindre end nogle prime. Så hvis k er et multiplum af 3, så dets tilsvarende primtal, k + 2, har en rest på 2, når de divideres med 3. Primtal har en rest på enten 1 eller 2, når de divideres med 3 (bortset fra selve 3), så du kan gætte, at halvdelen af primtal op til N har en rest på 1 og en halv har en rest på 2. Det ville betyde, at du i dette trin af sien overstreger cirka halvdelen af tallene i det forskudte sæt (i stedet for 1/3 som i Eratosthenes si). Så du ville skrive en 1/2 termin i din inklusion/udelukkelsessum.
Takket være de la Vallée Poussin ved vi, at halvdelen af alle primtal i sidste ende har en rest på 1, og halvdelen har en rest på 2, når du dividerer med 3. Men for at gøre inklusion/eksklusion er det ikke nok at vide, at de resterende spante balancerer ud til sidst - du skal vide, at de balancerer med N. Ellers kan du ikke have tillid til "1/2" i inklusion/udelukkelsessummen. Måske har matematikere bekymret sig i mere end et århundrede, at fordelingen af primtal har mærkelige særheder, der underminerer nogle af de tæller, der er nødvendige for vores inklusion/udelukkelsessum.
"Hvis du ikke har fordelingsteoremer, kan du ikke forstå, hvad der sker, når du er færdig med din sigte," sagde Terence tao fra University of California, Los Angeles.
Et grundlæggende waypoint
En forudsigelse om, hvor hurtigt spandene begynder at udjævne sig, var tilgængelig for talteoretikere i form af det mest berømte uløste problem i talteorien - den generaliserede Riemann-hypotese. Denne hypotese, hvis den er sand, ville antyde, at hvis vi ser på alle primtal op til et meget stort tal N, derefter fordeles primtalsrester jævnt i spande for enhver divisor op til omkring kvadratroden af N. Så hvis du for eksempel ser på primtallene på mindre end 1 billion, ville du forvente, at de fordeles jævnt i de resterende spande, når du dividerer dem med 120, eller 7,352 eller 945,328 - en hvilken som helst divisor mindre end omkring 1 million ( kvadratroden af 1 billion). Matematikere siger, at den generaliserede Riemann-hypotese forudsiger, at primtallenes fordelingsniveau er mindst 1/2, da en anden måde at skrive kvadratroden af N er som N1/2.
Introduktion
Hvis denne hypotese er korrekt, vil det betyde, at når du sigter op til 1 billion, kan du krydse multipla af 2, derefter 3, derefter 5, og fortsætte, indtil inklusion/udelukkelsessummen begynder at involvere divisorer over omkring 1 million — ud over det punkt kan du ikke beregne vilkårene i din sum. I midten af 1900-tallet beviste talteoretikere mange si-sætninger af formen, "Hvis den generaliserede Riemann-hypotese er korrekt, så ..."
Men mange af disse resultater behøvede faktisk ikke den fulde styrke af den generaliserede Riemann-hypotese - det ville være nok at vide, at primtal var godt fordelt i spande for næsten hver divisor i stedet for hver enkelt divisor. I midten af 1960'erne, Enrico Bombieri og Askold Vinogradov hver for sig lykkedes for at bevise netop det: Primtallene har et distributionsniveau på mindst 1/2, hvis vi nøjes med at vide, at bøttene udjævnes for næsten hver divisor.
Bombieri-Vinogradov-sætningen, som stadig er meget udbredt, beviste øjeblikkeligt mange af de resultater, der tidligere var baseret på den ubeviste generaliserede Riemann-hypotese. "Det er en slags guldstandarden for distributionssætninger," sagde Tao.
Men matematikere har længe haft mistanke om - og numeriske beviser har antydet - at det sande niveau af fordeling af primtallene er meget højere. I slutningen af 1960'erne, Peter Elliott og Heini Halberstam formodede at fordelingsniveauet af primtal kun er en nuance under 1 — med andre ord, hvis du ser på primtal op til et stort antal, bør de fordeles jævnt i spante selv for divisorer meget tæt på det enorme antal . Og disse store divisorer betyder noget, når du laver inklusion/eksklusion, da de kommer op, når du korrigerer for overtællinger. Så jo tættere matematikere kan komme på det distributionsniveau, Elliott og Halberstam forudsagde, jo flere led kan de beregne i inklusions-/eksklusionssummen. At bevise Elliott-Halberstam-formodningen, sagde Tao, er "drømmen."
Den dag i dag har ingen dog været i stand til at slå 1/2-fordelingsniveauet i den fulde grad af generalitet, som Bombieri-Vinogradov-sætningen opnår. Matematikere er begyndt at kalde denne anstødssten for "kvadratrodsbarrieren" for primtal. Denne barriere, sagde Lichtman, er "en grundlæggende slags waypoint i vores forståelse af primtallene."
Nye verdensrekorder
For mange sigteproblemer kan du dog gøre fremskridt selv med ufuldstændig information om, hvordan primtallene deler sig i spande. Tag problemet med tvillingeprimtal: At sigte et primtal, hvis tallet to pletter til venstre for det er deleligt med 3 eller 5 eller 7, er det samme som at spørge, om selve primtalstallet har en rest på 2, når det divideres med 3 eller 5 eller 7 - i med andre ord, om primtallet falder i "2"-spanden for nogen af disse divisorer. Så du behøver ikke at vide, om primtal er jævnt fordelt på tværs af alle spante for disse divisorer - du skal bare vide, om hver "2"-spand indeholder det antal primtal, vi forventer.
I 1980'erne begyndte matematikere at finde ud af, hvordan man beviser fordelingssætninger, der fokuserer på en bestemt spand. Dette arbejde kulminerede i en 1986 papir af Bombieri, Friedlander og Henryk Iwaniec det skubbede distributionsniveauet op til 4/7 (ca. 0.57) for enkeltspande, ikke for alle solde, men for en bred klasse af dem.
Som med Bombieri-Vinogradov-sætningen fandt den idémasse, der blev udviklet i 1980'erne, et væld af anvendelser. Mest bemærkelsesværdigt muliggjorde det en kæmpe spring i matematikeres forståelse af Fermats sidste sætning, som siger, at ligningen an + bn = cn har ingen naturlige talløsninger for nogen eksponent n højere end 2. (Dette blev senere bevist i 1994 ved hjælp af teknikker, der ikke var afhængige af fordelingsteoremer.) Efter spændingen i 1980'erne var der imidlertid få fremskridt med hensyn til fordelingsniveauet for primtal i flere årtier.
Så i 2013 fandt Zhang ud af, hvordan man kunne komme over kvadratrodsbarrieren i en anden retning end Bombieri, Friedlander og Iwaniec. Han gravede ned i gamle, umoderne metoder fra begyndelsen af 1980'erne for at finde de mindste forbedringer af Bombieri og Vinogradovs 1/2 distributionsniveau i en kontekst, hvor man kun sigter med "glatte" tal - dem, der ikke har nogen store primfaktorer . Denne lille forbedring gjorde det muligt for Zhang bevise den langvarige formodning at når du går ud langs tallinjen, vil du blive ved med at støde på par af primtal, der er tættere på hinanden end nogle faste grænser. (Efterfølgende Maynard og Tao hver særskilt kom frem til endnu et bevis på dette teorem, ved at bruge en forbedret sigte i stedet for et forbedret distributionsniveau.)
Zhangs resultat trak på en version af Riemann-hypotesen, der lever i algebraisk geometris verden. Bombieris, Friedlanders og Iwaniecs arbejde byggede i mellemtiden på, hvad Maynard kalder en "noget magisk forbindelse" til objekter kaldet automorfe former, som har deres egen version af Riemann-hypotesen. Automorfe former er meget symmetriske objekter, som, siger Tao, tilhører "den kraftfulde ende af talteori."
For et par år siden blev Maynard overbevist om, at det burde være muligt at presse mere juice ud af disse to metoder ved at kombinere deres indsigter. I sin serie på tre artikler i 2020, som Granville kaldte en "tour de force", formåede Maynard at skubbe distributionsniveauet op til 3/5, eller 0.6, i en lidt snævrere sammenhæng end den, Bombieri, Friedlander og Iwaniec studerede .
Nu skubber Maynards elever disse teknikker videre. Lichtman for nylig fundet ud af hvordan man udvider Maynards distributionsniveau til omkring 0.617. Derefter parlayed denne stigning i nye øvre grænser på tællinger af både tvillingeprimtal og Goldbach repræsentationer af lige tal som summen af to primtal. For sidstnævnte er det første gang nogen har været i stand til at bruge et distributionsniveau ud over 1/2 fra den klassiske Bombieri-Vinogradov-sætning.
En anden af Maynards elever, Alexandru Pascadi, har matchede tallet 0.617 for fordelingsniveauet ikke af primtal, men af jævne tal. Ligesom primtal kommer glatte tal op overalt i talteorien, og resultater om deres distributionsniveau og primtalsniveauet går ofte hånd i hånd.
I mellemtiden, en tredje studerende, Julia Stadlmann, har øget distributionsniveauet af primtal i den indstilling, som Zhang studerede, hvor divisorerne (i stedet for at tallene divideres) er jævne tal. Zhang slog kvadratrodsbarrieren snævert i denne sammenhæng at nå et distributionsniveau på 0.5017 og derefter et online samarbejde kaldet et Polymath-projekt hævet det tal til 0.5233; Stadlmann har nu hævet den til 0.525.
Andre matematikere driller analytiske talteoretikere, sagde Tao, for deres besættelse af små numeriske fremskridt. Men disse små forbedringer har en betydning ud over de pågældende tal. "Det er ligesom 100 meter streg eller noget, [hvor] du barberer 3.96 sekunder til 3.95 sekunder," sagde han. Hver ny verdensrekord er "et benchmark for, hvor meget dine metoder har udviklet sig."
Samlet set bliver "teknikkerne mere klare og mere forenede," sagde han. "Det bliver klart, når du har et fremskridt på et problem, hvordan du tilpasser det til et andet problem."
Der er ingen bombeansøgning til disse nye udviklinger endnu, men det nye arbejde "ændrer helt klart den måde, vi tænker på," sagde Granville. "Dette er ikke bare at slå et søm hårdere i - det her er faktisk at få en mere opgraderet hammer."
Quanta gennemfører en række undersøgelser for bedre at kunne betjene vores publikum. Tag vores matematiklæserundersøgelse og du vil være med til at vinde gratis Quanta merch.
- SEO Powered Content & PR Distribution. Bliv forstærket i dag.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Styrk dig selv. Adgang her.
- PlatoAiStream. Web3 intelligens. Viden forstærket. Adgang her.
- PlatoESG. Kulstof, CleanTech, Energi, Miljø, Solenergi, Affaldshåndtering. Adgang her.
- PlatoHealth. Bioteknologiske og kliniske forsøgs intelligens. Adgang her.
- Kilde: https://www.quantamagazine.org/a-new-generation-of-mathematicians-pushes-prime-number-barriers-20231026/
- :har
- :er
- :ikke
- :hvor
- ][s
- $OP
- 000
- 1
- 100
- 11
- 13
- 15 %
- 17
- 1994
- 2013
- 2020
- 23
- 7
- 8
- a
- I stand
- Om
- AC
- Konto
- opnår
- tværs
- faktisk
- tilpasse
- tilføje
- Desuden
- fremme
- fremskridt
- Efter
- siden
- Alle
- næsten
- sammen
- allerede
- også
- an
- Analytisk
- analyseret
- ,
- Angeles
- En anden
- besvare
- enhver
- nogen
- fra hinanden
- Anvendelse
- applikationer
- tilgang
- cirka
- ER
- AS
- spørge
- At
- publikum
- til rådighed
- Balance
- barriere
- barrierer
- baseret
- BE
- slå
- blev
- fordi
- bliver
- blive
- været
- før
- adfærd
- bag
- være
- jf. nedenstående
- benchmark
- Bedre
- Beyond
- Big
- større
- Største
- Bloker
- krop
- både
- Bound
- bounds
- vejrtrækning
- Bringe
- men
- by
- beregne
- california
- kaldet
- ringer
- Opkald
- kom
- CAN
- Kan få
- fanger
- bære
- fejret
- Århundrede
- udfordrende
- Ændringer
- klasse
- Classic
- klar
- Luk
- tættere
- samarbejde
- Colorado
- kombinerer
- Kom
- kommer
- almindeligt
- forholdsvis
- kompliceret
- Bekymringer
- udførelse
- tillid
- formodning
- Konsekvenser
- Overvej
- indhold
- sammenhæng
- fortsætter
- overbevist
- korrigere
- korrigeret
- Tilsvarende
- kunne
- tælle
- Cross
- Krydset
- krydsning
- afgørende
- Dash
- dag
- årtier
- Degree
- Afhængigt
- afhænger
- ødelæggende
- udviklet
- udvikling
- forskellige
- retning
- distribueret
- fordeling
- opdele
- Divided
- do
- gør
- færdig
- Dont
- drøm
- Drop
- hver
- Tidligt
- let
- enten
- Elliott
- aktiveret
- støder på
- ende
- nok
- indtastet
- fejl
- væsentlige
- skøn
- Endog
- jævnt
- til sidst
- Hver
- bevismateriale
- eksempel
- Undtagen
- undtagelse
- Spænding
- forvente
- udvide
- strækker
- ekstrakt
- ekstremt
- faktorer
- Fall
- Falls
- langt
- FAST
- Funktionalitet
- fyr
- få
- Fields
- regnede
- Finde
- finde
- slut
- Fornavn
- første gang
- Fix
- fast
- Fokus
- fokuserede
- efter
- Til
- Tving
- formular
- formularer
- fundet
- fra
- næring
- fuld
- fundamental
- yderligere
- gevinster
- generation
- få
- få
- given
- Go
- gå
- Guld
- Gold Standard
- gået
- gradvist
- eksamen
- græsk
- havde
- Halvdelen
- hammer
- hånd
- sker
- hårdere
- Have
- he
- højere
- højeste
- stærkt
- hans
- hold
- besidder
- håber
- host
- HOT
- Hvordan
- How To
- Men
- HTTPS
- kæmpe
- Ungarsk
- jagt
- idé
- ideer
- identificere
- if
- forbedret
- forbedringer
- in
- I andre
- Forøg
- oplysninger
- indsigt
- instans
- øjeblikkeligt
- i stedet
- ind
- involvere
- involverer
- IT
- ITS
- selv
- lige
- Holde
- Venlig
- Kend
- Kendskab til
- stor
- Efternavn
- Sent
- senere
- mindst
- Forlade
- til venstre
- mindre
- Niveau
- Livet
- ligesom
- Limited
- Line (linje)
- Liste
- lidt
- Lives
- Lang
- mangeårige
- Se
- leder
- den
- Los Angeles
- Lot
- lavere
- magasin
- Main
- lave
- lykkedes
- mange
- matematik
- matematik
- Matter
- betyde
- I mellemtiden
- metode
- metoder
- måske
- million
- måned
- mere
- mest
- for det meste
- bevæge sig
- meget
- flere
- Behov
- behov
- Ny
- næste
- ingen
- bemærkelsesværdig
- især
- nu
- nummer
- numre
- objekter
- opnå
- forekom
- of
- off
- tit
- Gammel
- on
- engang
- ONE
- dem
- online
- kun
- or
- Andet
- Ellers
- vores
- ud
- uden for
- i løbet af
- egen
- Oxford
- par
- par
- papirer
- del
- særlig
- forbi
- mønstre
- paul
- Mennesker
- perfekt
- måske
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatoData
- spillet
- Punkt
- mulig
- potentiale
- magt
- vigtigste
- forudsige
- Forudsigelig
- forudsagde
- forudsigelse
- forudser
- forhindre
- tidligere
- tidligere
- Prime
- Problem
- problemer
- behandle
- Progress
- skred
- projekt
- bevis
- Bevise
- bevist
- bevise
- offentliggjort
- Skub ud
- skubbet
- skubber
- Pushing
- Quantamagazin
- spørgsmål
- hurtigt
- helt
- hævet
- spænder
- hellere
- nå
- Læser
- ægte
- virkelig
- optage
- henvisningen
- stole
- resten
- fjernet
- fjernelse
- renæssance
- resultere
- Resultater
- højre
- roller
- rod
- groft
- rundt
- kører
- Said
- samme
- så
- siger
- siger
- Anden
- sekunder
- se
- synes
- Series
- tjener
- sæt
- sæt
- indstilling
- bilægge
- flere
- forskudt
- SKIFT
- bør
- viste
- betydning
- lignende
- Simpelt
- siden
- enkelt
- Størrelse
- lille
- mindre
- udjævne
- So
- indtil nu
- Løsninger
- nogle
- noget
- sommetider
- snart
- udløst
- særligt
- pletter
- firkant
- Presse
- standard
- Stanford
- Stanford University
- starte
- påbegyndt
- starter
- Trin
- Stadig
- Stands
- standsning
- styrke
- studerende
- Studerende
- studeret
- undersøgelser
- snublende
- emne
- Efterfølgende
- sådan
- overlever
- Tag
- taget
- teknikker
- semester
- vilkår
- end
- at
- verdenen
- deres
- Them
- selv
- derefter
- teori
- Der.
- Disse
- de
- tror
- Tredje
- denne
- dem
- selvom?
- tre
- Gennem
- tid
- til
- i dag
- sammen
- også
- værktøj
- emne
- toronto
- I alt
- trillion
- sand
- prøv
- To gange
- tvilling
- to
- typer
- UCLA
- Underminere
- forstå
- forståelse
- forenet
- universitet
- University of California
- ubevist
- indtil
- opgraderet
- brug
- anvendte
- ved brug af
- sædvanligvis
- udgave
- meget
- ønsker
- var
- Vej..
- we
- WebP
- GODT
- var
- Hvad
- hvornår
- hvorvidt
- som
- WHO
- Hele
- hvis
- bred
- bredt
- vilje
- vinde
- Vinder
- med
- ord
- Arbejde
- virker
- world
- bekymret
- bekymre sig
- ville
- skriver
- skriftlig
- skrev
- år
- endnu
- Du
- Yngre
- Din
- zephyrnet