En kort historie om vanskelig matematisk flisebelægning | Quanta Magasinet

Hver dag ser vi eksempler på gentagende motiver. Denne symmetri og regelmæssighed kan virke hverdagsagtig og næsten usynlig, som med murværk på bygningsvægge eller det sekskantede mønster i en honningkage. Eller hvis vi er så heldige at støde på noget som det elegante fliseværk i Spaniens Alhambra eller MC Eschers kreative tegninger, kan mønstrene inspirere og forbløffe os.

I århundreder har matematikere leget med disse gentagne former og vristet fascinerende indsigter og nye muligheder fra dem. Skønheden i matematik konkurrerer med skønheden i selve designs.

De enkleste flisebelægninger er lavet af identiske polygoner med sider af ens længde og vinkler af samme størrelse forbundet helkant til fuld kant. Men selvom der er uendeligt mange af disse "regelmæssige" polygoner - en for hvert antal sider - er der kun tre regelmæssige fliser, dannet af former med tre, fire eller seks sider - det vil sige trekanter, firkanter og sekskanter.

De andre former er bare ikke bygget til det. En regulær femkant (med fem sider) har en indvendig vinkel på 108 grader. Dette opdeles ikke jævnt i 360 grader, så ethvert forsøg på at samle regulære femkanter til en flisebelægning er bundet til at producere huller, der ikke kan udfyldes; vi siger, at den regulære femkant ikke kan flisebelægge flyet. Og regulære polygoner med mere end seks sider har indvendige vinkler, der er for store til, at tre kan mødes på et enkelt punkt, og så kan de heller ikke.

Et andet bud på fliselægning med regulære polygoner kommer fra Johannes Kepler, i dag bedst kendt for sine opdagelser om planetarisk bevægelse. I 1619 viste han, at selvom du bruger mere end én regulær polygon, kan du kun skabe otte nye flisemønstre, hvor konfigurationen omkring hvert toppunkt er identisk. (Hvis vi får lov til at afvige fra denne begrænsning, er der flere muligheder.)

Når vi tillader uregelmæssige polygoner, bliver tingene mere interessante. Overraskende nok kan hver trekant flisebelægge flyet, og endnu mere overraskende kan enhver firkant også.

På den anden side er det umuligt at flisebelægge planet med en konveks polygon på mere end seks sider; summen af ​​de indvendige vinkler er bare for stor. Så det efterlader kun femkanter og sekskanter som resterende muligheder.

I sin doktorafhandling fra 1918 beviste Karl Reinhardt, at det er muligt at flisebelægge flyet med uendeligt mange konvekse sekskanter - dem uden fordybninger - som han grupperede i tre familier.

Konvekse femkanter, der fliser flyet, var sværere at klassificere. Reinhardt opdagede fem familier af sådanne femkanter; 50 år senere fandt Richard Kershner tre mere. Så i 1975 skrev Martin Gardner om problemet for Scientific American, hvilket gør det opmærksom på både professionelle og amatørmatematikere. En sådan amatør, en computerprogrammør ved navn Richard James III, sendte Gardner et eksempel på en niende familie og spurgte: "Er du enig i, at Kershner gik glip af denne?" Han havde.

Marjorie Rice, en hjemmegående, læste også Gardners klumme og begyndte at pusle over problemet ved sit køkkenbord. Hun puslede i over to år og opdagede yderligere fire familier af flisebelægning femkanter.

Forskere fandt en 14. familie af flisebeklædte femkanter i 1985, og tre årtier senere fandt et andet hold en 15. familie ved hjælp af en computersøgning. Ingen vidste, om denne opdagelse fuldendte listen, eller om der stadig var flere familier, der gemte sig. Det spørgsmål blev besvaret i 2017, da Michaël Rao bevist at alle konvekse flisebelægninger femkanter - og med dem alle konvekse flisebelægningspolygoner - var blevet fundet.

Alle disse fliser gentages. Det vil sige, at de har en periodisk symmetri, hvilket grundlæggende betyder, at hvis vi skulle spore flisebelægningen på et stykke papir og skubbe det papir i bestemte retninger, ville det flugte nøjagtigt med flisebelægningen igen.

Andre former for symmetrier er også mulige. For eksempel indebærer en spejlsymmetri, at vores mønstre vil være på linje, hvis vi vender vores kalkerpapir på hovedet omkring en fast linje. Rotationssymmetri betyder, at de vil stille op, hvis vi roterer vores papir. Og vi kan kombinere handlinger for at opnå en glidereflektionssymmetri, som er som at glide papiret og så vende det om.

I 1891 beviste den russiske krystallograf Evgraf Fedorov, at der kun er 17 måder, hvorpå disse symmetrier kan kombineres. Da denne begrænsning gælder for alle periodiske dekorationer af flyet, bliver disse almindeligt omtalt som de 17 "tapetgrupper".

Når man først er bekendt med denne klassifikation af symmetrimønstre, er det næsten umuligt at se et periodisk design, uanset hvor indviklet det end er, og ikke se det som et puslespil at afkode: Hvor og hvordan gentager det sig præcist? Hvor er de symmetrier?

Selvfølgelig er ikke hvert flisedesign periodisk. Det er muligt, og ofte nemt, at placere fliser i planet, så det resulterende design aldrig gentager sig. I vores eksempel med sekskanter, firkanter og trekanter kan du gøre dette ved blot at dreje en enkelt sekskant og polygonerne omkring den 30 grader. Den resulterende flisebelægning har ikke længere translationelle symmetrier.

I 1961 formodede logikeren Hao Wang, at hvis et sæt former fliser flyet, så skal formerne være i stand til at flise flyet med jævne mellemrum. Blot et par år senere beviste hans kandidatstuderende Robert Berger, at han tog fejl ved at opdage et massivt sæt af over 20,000 fliser, der fliser flyet, men kun ikke-periodisk. Sådanne flisesæt kaldes aperiodiske.

Selvom Berger og andre var i stand til at reducere størrelsen af ​​disse aperiodiske sæt betydeligt, fangede Roger Penrose i midten af ​​1970'erne verdens opmærksomhed ved at opdage meget små sæt af sine egne aperiodiske fliser. De mindste sæt kræver kun to fliser.

Disse former og mønstre begejstrede matematikere, videnskabsmænd og den brede offentlighed. Men de rejste et åbenlyst næste spørgsmål: Findes der en enkelt aperiodisk flise? Teoriens ultimative søgen var nu at finde sådan en "einstein" flise - ikke opkaldt efter fysikeren, men efter den tyske sætning "en sten."

I 2010 var Joshua Socolar og Joan Taylor meget tæt på at opdage en einstein. Problemet med deres tilgang var det deres flise skulle frakobles; dette ville være som at flise flyet med former som staten Hawai'i, en enkelt enhed bestående af separate områder, snarere end med forbundne former som Californien. I stigende grad havde matematikere mistanke om, at hvis en einstein fandtes, skulle det være noget meget geometrisk kompliceret.

I marts 2023 chokerede en amatør verden igen. En pensioneret printtekniker og matematisk hobbymand ved navn David Smith havde opdaget ikke bare én aperiodisk monotil, men en uendelig familie af disse undvigende einsteins. Han sløjfede Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss og Joseph Samuel Myers - eksperter i datalogi, matematik og teorien om flisebelægninger - og sammen præsenterede de en geometrisk enkel einstein kaldet hatflisen (som internettet troede lignede en T-shirt ).

Reaktionen var hurtig og positiv. Opdagerne talte ved konferencer og holdt foredrag online. Matematiske kunstnere greb chancen for at finde kreative måder at producere Escher-lignende design på baseret på disse nye geometrisk interessante fliser. Hatteflisen optrådte endda i monologen i et tv-show sent på aftenen.

Alligevel var der stadig plads til forbedringer. For at flisebelægge flyet med hatten, skal du vende cirka en syvendedel af fliserne på hovedet. En husejer, der ønsker at flise deres badeværelse med hatteflisen, skal købe to typer fliser: en standard flise og dens spejlbillede. Var dette virkelig nødvendigt?

Allerede før spændingen fra hatteflisen var stillet, kom holdet med endnu en meddelelse. Smith havde fundet, i den uendelige familie af aperiodiske monotiler, en, som han kaldte et "spøgelse", der kunne flisebelægge flyet uden at kræve reflekterede kopier. En ægte einstein var endelig dukket op.

Vi er nu midt i en genopblussen i den matematiske udforskning af fliser og tesseller. Den har været afhængig af vigtige bidrag fra amatører, inspireret matematiske kunstneres kreativitet og udnyttet computernes kraft til at rykke grænserne for viden fremad. Og ud fra det har vi opnået ny indsigt i karakteren af ​​symmetri, geometri og design.

Rettelse: Oktober 30, 2023
Den originale version af denne artikel sagde, at det er umuligt at flise flyet med en polygon på mere end seks sider. Dette er kun sandt, hvis polygonen er konveks.

Quanta gennemfører en række undersøgelser for bedre at kunne betjene vores publikum. Tag vores matematiklæserundersøgelse og du vil være med til at vinde gratis Quanta merch.