Sandsynlighed og talteori støder sammen - på et øjeblik

Deres ambitioner var altid høje. Da Will Sawin og Melanie Matchett Wood først begyndte at arbejde sammen i sommeren 2020, satte de sig for at genoverveje nøglekomponenterne i nogle af de mest fristende formodninger inden for talteori. Emnerne for deres opmærksomhed, klassegrupper, er nært beslægtede med grundlæggende spørgsmål om, hvordan aritmetik fungerer, når tal strækker sig ud over hele tallene. Sawin, ved Columbia University, og Træ, på Harvard, ønskede at komme med forudsigelser om strukturer, der er endnu mere generelle og matematisk skræmmende end klassegruppen.

Allerede før de var færdige med at formulere deres forudsigelser, beviste de i oktober en nyt resultat som lader matematikere anvende et af de mest nyttige værktøjer inden for sandsynlighedsteori, ikke kun på klassegrupper, men også på samlinger af tal, netværk og mange andre matematiske objekter.

"Dette vil bare være det grundlæggende papir, som alle henvender sig til, når de begynder at tænke på disse problemer," sagde David Zureick-Brown, matematiker ved Emory University. "Det føles ikke som om, du længere skal opfinde ting fra bunden."

En klasselov

En klassegruppe er et eksempel på et struktureret matematisk sæt kaldet en gruppe. Grupper inkluderer mange velkendte sæt, såsom heltal. Det, der gør heltalene til en gruppe, snarere end blot et sæt tal, er, at du kan tilføje dets elementer sammen og få et andet heltal. Generelt er et sæt en gruppe, hvis det kommer med en operation, der ligesom addition kombinerer to elementer til et tredje element på en måde, der opfylder nogle grundlæggende krav. For eksempel skulle der være en version af nul, et element, der ikke ændrer nogen af ​​de andre.

Heltallene, som matematikere normalt kalder $latex mathbb{Z}$, er uendelige. Men mange grupper har et begrænset antal elementer. For at lave en gruppe, der har fire elementer, skal du overveje mængden {0, 1, 2, 3}. I stedet for at udføre almindelig addition skal du dividere summen af ​​vilkårlige to tal med 4 og tage resten. (I henhold til disse regler er 2 + 2 = 0 og 2 + 3 = 1.) Denne gruppe kaldes $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Generelt, hvis du vil lave en gruppe med $latex n$ elementer, kan du tage tallene nul igennem n – 1 og overvej resten, når du dividerer med n. Den resulterende gruppe kaldes $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, selvom dette ikke altid er den eneste gruppe med n elementer.

Klassegruppen opstår, når talteoretikere undersøger strukturen af ​​tal ud over heltallene. For at gøre dette tilføjer de nye tal til de heltal, som f.eks i (kvadratroden af ​​−1), $latex sqrt{5}$ eller endda $latex sqrt{–5}$.

”Ting, som vi er vant til om tal, er ikke længere sande i denne sammenhæng. Eller i det mindste, de er ikke nødvendigvis sande,” sagde Jordan Ellenberg, en matematiker ved University of Wisconsin, Madison.

Specifikt fungerer factoring anderledes i forlængelser af heltal. Hvis du kun holder dig til de heltal, kan tal indregnes i primtal (tal, der kun kan divideres med sig selv og 1) på kun én måde. For eksempel er 6 2 × 3, og det kan ikke indregnes i andre primtal. Denne egenskab kaldes unik faktorisering.

Men hvis du tilføjer $latex sqrt{–5}$ til dit talsystem, har du ikke længere unik faktorisering. Du kan indregne 6 i primtal på to forskellige måder. Det er stadig 2 × 3, men det er også $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Klassegrupper oprettes ud fra sådanne udvidelser til heltal. "Klassegrupper er utroligt vigtige," sagde Wood. "Og så det er naturligt at undre sig: Hvordan er de normalt?"

Størrelsen af ​​den klassegruppe, der er forbundet med en eventuel udvidelse af de heltal, er et barometer for, hvor meget unik faktorisering nedbrydes. Selvom matematikere har bevist, at klassegrupper altid er begrænsede, er det kompliceret at finde ud af deres struktur og størrelse. Det er derfor i 1984, Henri Cohen og Hendrik Lenstra vovede nogle gæt. Deres formodninger, nu kaldet Cohen-Lenstra-heuristikken, vedrørte alle de klassegrupper, der dukker op, når man tilføjer nye kvadratrødder til heltallene. Hvis alle disse klassegrupper var samlet, foreslog Cohen og Lenstra svar på spørgsmål som: Hvor stor en andel af dem indeholder gruppen $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Eller $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Eller en anden kendt type endelig gruppe?

Cohen og Lenstra tilskyndede talteoretikere til ikke blot at overveje isolerede eksempler på klassegrupper, men statistik, der ligger til grund for klassegrupper som helhed. Deres forudsigelser tog udgangspunkt i en vision om matematik som et univers med mønstre, der skulle afsløres på alle niveauer.

Næsten 40 år senere antages Cohen-Lenstra-heuristikken i vid udstrækning at være sand, selvom ingen har været i nærheden af ​​at bevise dem. Deres indvirkning på matematikken har været til at tage og føle på, sagde Nigel Boston, professor emeritus ved University of Wisconsin, Madison. "Det, der er blevet opdaget, er dette fantastiske web," sagde han. "Der er denne enorme infrastruktur af den måde, vi tror, ​​verden er sat sammen på."

Det eneste spil i byen

Ude af stand til at tackle heuristikken direkte, kom matematikere med mere håndterbare problemer, som de håbede ville belyse situationen. Fra det arbejde opstod der et nyttigt sæt af mængder, som matematikere begyndte at kalde øjeblikke, efter et udtryk brugt i sandsynlighedsteori.

Efter sandsynlighed kan øjeblikke hjælpe dig med at beregne fordelingen bag tilfældige tal. Overvej f.eks. fordelingen af ​​den daglige høje temperatur den 1. januar i New York City - chancerne for, at den den 1. januar næste år vil være 10 grader Fahrenheit eller 40 grader eller 70 eller 120. Alt hvad du behøver for at arbejde med er tidligere data: en historie med det daglige højdepunkt den 1. januar hvert år siden begyndelsen af ​​den registrerede historie.

Hvis du beregner gennemsnittet af disse temperaturer, lærer du lidt, men ikke alt. En gennemsnitlig høj temperatur på 40 grader fortæller dig ikke chancerne for, at temperaturen bliver over 50 grader eller under 20 grader.

Men dette ændrer sig, hvis du får flere oplysninger. Specifikt kan du lære gennemsnittet af kvadratet af temperaturen, en mængde kendt som det andet øjeblik af fordelingen. (Gennemsnittet er det første øjeblik.) Eller du kan lære gennemsnittet af kuberne, som er kendt som det tredje øjeblik, eller gennemsnittet af de fjerde potenser - det fjerde øjeblik.

I 1920'erne havde matematikere fundet ud af, at hvis øjeblikke i denne serie vokser tilstrækkeligt langsomt, så kan du ved at kende alle øjeblikke udlede, at kun én mulig fordeling har disse øjeblikke. (Selvom dette ikke nødvendigvis giver dig mulighed for direkte at beregne denne fordeling.)

"Det er virkelig uintuitivt," sagde Wood. ”Hvis man tænker på en kontinuerlig fordeling, har den en eller anden form. Det føles på en måde, som om det har mere, end det bare kan fanges i en sekvens af tal."

Matematikere, der er interesserede i Cohen-Lenstra-heuristikken, fandt ud af, at ligesom momenter i sandsynlighedsteori kunne bruges til at opnå en sandsynlighedsfordeling, kan momenter defineret på en bestemt måde for klassegrupper være en linse, hvorigennem vi kan se deres størrelse og struktur. . Jacob Tsimerman, en matematiker ved University of Toronto, sagde, at han ikke kan forestille sig, hvordan fordelingen af ​​klassegruppestørrelser direkte kunne beregnes. At bruge øjeblikke, sagde han, er "mere end nemmere. Det er det eneste spil i byen.”

Dette magiske øjeblik

Mens hvert øjeblik i sandsynlighed er forbundet med et heltal - den tredje potens, den fjerde potens og så videre - svarer de nye størrelser introduceret af talteoretikere hver til en gruppe. Disse nye øjeblikke afhænger af, at man ofte kan reducere en gruppe til en mindre gruppe ved at kollapse forskellige elementer sammen.

For at beregne det øjeblik, der er knyttet til en gruppe G, tag alle de mulige klassegrupper - en for hver ny kvadratrod, du tilføjer til heltallene. For hver klassegruppe skal du tælle antallet af forskellige måder, du kan skjule den på G. Tag derefter gennemsnittet af disse tal. Denne proces kan virke indviklet, men den er langt nemmere at arbejde med end den faktiske fordeling bag Cohen og Lenstras forudsigelser. Selvom Cohen-Lenstra heuristikken i sig selv er kompliceret at angive, er tidspunkterne for den fordeling, de forudsiger, alle 1.

"Det får dig til at tænke, wow, måske er øjeblikke den naturlige måde at gribe det an på," sagde Ellenberg. "Det virker mere troværdigt at være i stand til at bevise, at noget er lig med 1 end at bevise, at det er lig med et eller andet skørt uendeligt produkt."

Når matematikere studerer fordelinger over grupper, (klassegrupper eller andet), ender de med en ligning for hver gruppe G, hvor sandsynligheden nu repræsenterer for eksempel andelen af ​​klassegrupper, der ligner $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Med uendeligt mange ligninger, og uendeligt mange mulige klassegrupper, er det svært at løse for sandsynligheder. Det er ikke indlysende, at det overhovedet giver mening at gøre det.

"Når du har uendelige summer, kan tingene gå galt," sagde Wood.

Alligevel vendte matematikere, der stadig ikke var i stand til at finde andre veje til at studere distributionerne, tilbage til øjeblikkets problem. I arbejde udgivet i Annals of Mathematics i 2016, Ellenberg sammen med Akshay Venkatesh og Craig Westerland, brugte øjeblikke at studere klassegruppernes statistik i en lidt anden setting, end Cohen og Lenstra havde overvejet. Denne idé var genbruges flere gange. Men hver gang forskerne brugte momenterne, lænede de sig op ad særhederne ved deres særlige problem for at bevise, at det uendelige sæt af ligninger havde en løsning. Det betød, at deres teknikker ikke kunne overføres. Den næste matematiker, der skulle bruge øjeblikke, skulle løse øjebliksproblemet igen.

I starten af ​​deres samarbejde planlagde Sawin og Wood også at gå denne vej. De ville bruge øjeblikke til at komme med forudsigelser om, hvordan mere komplicerede versioner af klassegrupper blev fordelt. Men omkring et år inde i deres projekt vendte de deres fokus mod selve øjeblikkets problem.

At blive afvist

Kolleger beskriver Sawin og Wood som usædvanligt passionerede omkring deres arbejde. "De er begge meget kloge. Men der er mange kloge mennesker,” sagde Zureick-Brown. "De har bare denne positive holdning til at lave matematik."

I starten ønskede Sawin og Wood at bruge øjeblikke til at udvide Cohen-Lenstra-forudsigelserne til nye omgivelser. Men de blev hurtigt utilfredse med deres øjebliksproblemargument. "Vi havde behov for at skrive lignende argumenter gentagne gange," huskede Sawin. Desuden tilføjede han, at det matematiske sprog, de brugte, "så ikke ud til at være kernen i, hvad argumentet gjorde... Idéerne var der, men vi havde bare ikke fundet den rigtige måde at udtrykke dem på."

Sawin og Wood gravede dybere ned i deres bevis og forsøgte at finde ud af, hvad der egentlig lå under det hele. De endte med et bevis, der løste øjebliksproblemet ikke kun for deres specifikke anvendelse, men for enhver fordeling af grupper - og for alle mulige andre matematiske strukturer.

De deler problemet op i små, overskuelige trin. I stedet for at forsøge at løse for hele sandsynlighedsfordelingen på én gang, fokuserede de på kun et lille udsnit af momenterne.

For at løse momentproblemet for en sandsynlighedsfordeling over grupper, vil hvert øjeblik for eksempel være forbundet med en gruppe G. Først ville Sawin og Wood se på et ligningssystem, der kun inkluderede momenterne for en begrænset liste af grupper. De ville derefter langsomt tilføje grupper til listen og kigge på flere og flere øjeblikke hver gang. Ved gradvist at gøre problemet mere komplekst, gjorde de hvert trin til et løseligt problem. Lidt efter lidt byggede de op til en fuldstændig løsning af øjeblikkets problem.

"Den faste liste er lidt ligesom de briller, du tager på, og jo flere grupper, du er villig til at overveje, jo bedre er dine briller," forklarede Wood.

Da de endelig støvede de sidste uvedkommende detaljer af, stod de i et skænderi, hvis ranker nåede ud over matematikken. Deres resultat fungerede for klassegrupper, for grupper forbundet med geometriske former, for netværk af prikker og linjer, såvel som for andre sæt med mere matematisk forviklinger. I alle disse situationer fandt Sawin og Wood en formel, der tager et sæt øjeblikke ind og spytter den fordeling ud, der har disse øjeblikke (så længe øjeblikkene ikke vokser for hurtigt, blandt andre krav).

"Det er meget i Melanies stil," sagde Ellenberg. "For at sige: 'Lad os bevise en meget generel sætning, der håndterer en masse forskellige sager ensartet og elegant'."

Sawin og Wood er nu på vej tilbage til deres oprindelige mål. I begyndelsen af ​​januar delte de et nyt papir der retter op fejlagtige Cohen-Lenstra forudsigelser lavet i slutningen af ​​1980'erne af Cohen og hans kollega Jacques Martinet. Ud over det har de stadig flere resultater i deres kø, med planer om at udvide heuristikken til endnu flere nye situationer. "Jeg ved ikke, om dette projekt nogensinde vil ende," sagde Sawin.

Det øjebliksproblem, som Sawin og Wood løste, har været "en slags torn i baghovedet for en masse forskellige spørgsmål," sagde Tsimerman. "Jeg tror, ​​at mange matematikere kommer til at ånde lettet op."