Da Daniel Larsen gik i mellemskolen, begyndte han at designe krydsord. Han måtte lægge hobbyen oven på sine andre interesser: skak, programmering, klaver, violin. Han kvalificerede sig to gange til Scripps National Spelling Bee nær Washington, DC, efter at have vundet sin regionale konkurrence. "Han bliver fokuseret på noget, og det er bare bang, bang, bang, indtil det lykkes ham," sagde Larsens mor, Ayelet Lindenstrauss. Hans første krydsord blev afvist af store aviser, men han blev ved med det og brød til sidst ind. Til dato har han har rekorden for yngste person at udgive et krydsord i The New York Times, i en alder af 13. "Han er meget vedholdende," sagde Lindenstrauss.
Alligevel føltes Larsens seneste besættelse anderledes, "længere og mere intens end de fleste af hans andre projekter," sagde hun. I mere end halvandet år kunne Larsen ikke lade være med at tænke på en bestemt matematikopgave.
Det havde rødder i et bredere spørgsmål, et som matematikeren Carl Friedrich Gauss anså for at være blandt de vigtigste i matematik: hvordan man skelner et primtal (et tal, der kun er deleligt med 1 og sig selv) fra et sammensat tal. I hundreder af år har matematikere søgt efter en effektiv måde at gøre det på. Problemet er også blevet relevant i forbindelse med moderne kryptografi, da nogle af nutidens mest udbredte kryptosystemer involverer at lave regning med enorme primtal.
For over et århundrede siden, i deres søgen efter en hurtig, kraftfuld primatitetstest, stødte matematikere på en gruppe ballademagere - tal, der narre tests til at tro, at de er prime, selvom de ikke er det. Disse pseudoprimer, kendt som Carmichael-tal, har været særligt vanskelige at forstå. Det var for eksempel først i midten af 1990'erne, at matematikere beviste, at der er uendeligt mange af dem. At kunne sige noget mere om, hvordan de er fordelt langs tallinjen, har været en endnu større udfordring.
Så fulgte Larsen med et nyt bevis om netop det, en inspireret af nyere epoke arbejde inden for et andet område af talteori. På det tidspunkt var han kun 17.
Gnisten
Da han voksede op i Bloomington, Indiana, var Larsen altid tiltrukket af matematik. Hans forældre, begge matematikere, introducerede ham og hans storesøster til emnet, da de var unge. (Hun er nu i gang med en doktorgrad i matematik.) Da Larsen var 3 år gammel, husker Lindenstrauss, begyndte han at stille hende filosofiske spørgsmål om uendelighedens natur. "Jeg tænkte, denne dreng har et matematisk sind," sagde Lindenstrauss, professor ved Indiana University.
Så for et par år siden - omkring det tidspunkt, hvor han var fordybet i sine stave- og krydsordsprojekter - stødte han på en dokumentarfilm om Yitang Zhang, en ukendt matematiker, der rejste sig fra uklarhed i 2013 efter bevise et skelsættende resultat der sætter en øvre grænse for mellemrummene mellem på hinanden følgende primtal. Noget klikkede i Larsen. Han kunne ikke lade være med at tænke på talteori og på det relaterede problem, som Zhang og andre matematikere stadig håbede på at løse: tvillingeprimtalsformodningerne, som siger, at der er uendeligt mange primtalspar, der kun adskiller sig med 2.
Efter Zhangs arbejde, som viste, at der er uendeligt mange primtal, der adskiller sig med mindre end 70 mio. andre sprang ind at sænke denne grænse endnu mere. Inden for måneder, matematikerne James Maynard , Terence tao uafhængigt bevist et endnu stærkere udsagn om hullerne mellem primtal. Denne forskel er siden skrumpet til 246.
Larsen ønskede at forstå noget af den matematik, der ligger til grund for Maynard og Taos arbejde, "men det var stort set umuligt for mig," sagde han. Deres papirer var alt for komplicerede. Larsen forsøgte at læse beslægtet værk, men fandt det også uigennemtrængeligt. Han blev ved med at hoppe fra det ene resultat til det andet, indtil han til sidst, i februar 2021, stødte på et papir, han fandt både smukt og forståeligt. Dens emne: Carmichael-tal, de mærkelige sammensatte tal, der nogle gange kunne udgive sig selv som primtal.
Alle undtagen Prime
I midten af det 17. århundrede skrev den franske matematiker Pierre de Fermat et brev til sin ven og fortrolige Frénicle de Bessy, hvori han udtalte, hvad der senere ville blive kendt som hans "lille sætning". Hvis N er altså et primtal bN - b er altid et multiplum af N, uanset hvad b er. For eksempel er 7 et primtal, og som følge heraf 27 – 2 (som er lig med 126) er et multiplum af 7. Tilsvarende er 37 – 3 er et multiplum af 7, og så videre.
Matematikere så potentialet for en perfekt test af, om et givet tal er primtal eller sammensat. De vidste, at hvis N er prime, bN - b er altid et multiplum af N. Hvad hvis det omvendte også var sandt? Det vil sige, hvis bN - b er et multiplum af N for alle værdier af b, skal N være prime?
Ak, det viste sig, at i meget sjældne tilfælde, N kan opfylde denne betingelse og stadig være sammensat. Det mindste sådant tal er 561: For ethvert heltal b, b561 - b er altid et multiplum af 561, selvom 561 ikke er primtal. Numre som disse blev opkaldt efter matematikeren Robert Carmichael, som ofte krediteres for at have offentliggjort det første eksempel i 1910 (selvom den tjekkiske matematiker Václav Šimerka uafhængigt opdagede eksempler i 1885).
Matematikere ønskede bedre at forstå disse tal, der så meget ligner de mest fundamentale objekter i talteorien, primtallene. Det viste sig, at i 1899 - et årti før Carmichaels resultat - var en anden matematiker, Alwin Korselt, kommet med en tilsvarende definition. Han havde simpelthen ikke vidst, om der var nogle tal, der passede til regningen.
Ifølge Korselts kriterium er et tal N er et Carmichael-nummer, hvis og kun hvis det opfylder tre egenskaber. For det første skal den have mere end én primfaktor. For det andet kan ingen primfaktor gentage sig. Og for det tredje, for hver prime p der deler N, p – 1 deler også N – 1. Overvej igen tallet 561. Det er lig med 3 × 11 × 17, så det opfylder klart de to første egenskaber i Korselts liste. For at vise den sidste egenskab skal du trække 1 fra hver primfaktor for at få 2, 10 og 16. Træk derudover 1 fra 561. Alle tre af de mindre tal er divisorer af 560. Tallet 561 er derfor et Carmichael-tal.
Selvom matematikere havde mistanke om, at der er uendeligt mange Carmichael-tal, er der relativt få sammenlignet med primtallene, hvilket gjorde dem svære at fastlægge. Så i 1994, Red Alford, Andrew Granville , Carl Pomerance udgivet et gennembrud papir hvor de endelig beviste, at der faktisk er uendeligt mange af disse pseudoprimer.
Desværre tillod de teknikker, de udviklede, dem ikke at sige noget om, hvordan disse Carmichael-numre så ud. Optrådte de i klynger langs tallinjen med store mellemrum imellem? Eller kunne du altid finde et Carmichael-nummer i et kort interval? "Du skulle tro, hvis du kan bevise, at der er uendeligt mange af dem," sagde Granville, "du burde helt sikkert være i stand til at bevise, at der ikke er store mellemrum mellem dem, at de burde være relativt godt fordelt."
Især håbede han og hans medforfattere at bevise en erklæring, der afspejlede denne idé - som givet et tilstrækkeligt stort antal X, vil der altid være et Carmichael-nummer imellem X og 2X. "Det er en anden måde at udtrykke, hvor allestedsnærværende de er," sagde Jon Grantham, en matematiker ved Institut for Forsvarsanalyser, som har udført relateret arbejde.
Men i årtier var der ingen, der kunne bevise det. Teknikkerne udviklet af Alford, Granville og Pomerance "tillod os at vise, at der ville være mange Carmichael-numre," sagde Pomerance, "men tillod os ikke rigtig at have en hel masse kontrol over, hvor de ville være. ”
Så, i november 2021, åbnede Granville en e-mail fra Larsen, dengang 17 år gammel og i sit sidste år på gymnasiet. EN papir var vedhæftet - og til Granvilles overraskelse så det rigtigt ud. "Det var ikke den nemmeste læsning nogensinde," sagde han. ”Men da jeg læste det, var det helt tydeligt, at han ikke rodede rundt. Han havde geniale ideer."
Pomerance, der læste en senere version af værket, var enig. "Hans bevis er egentlig ret avanceret," sagde han. "Det ville være et papir, som enhver matematiker ville være virkelig stolt af at have skrevet. Og her er et gymnasiebarn, der skriver det."
Nøglen til Larsens bevis var det arbejde, der havde trukket ham til Carmichael-tallene i første omgang: resultaterne af Maynard og Tao om primtal.
Usandsynligt - Ikke umuligt
Da Larsen først satte sig for at vise, at man altid kan finde et Carmichael-nummer i et kort interval, "så det ud til, at det var så åbenlyst sandt, hvor svært kan det være at bevise det?" han sagde. Han indså hurtigt, at det kunne være meget svært. "Dette er et problem, som tester vor tids teknologi," sagde han.
I deres papir fra 1994 havde Alford, Granville og Pomerance vist, hvordan man skaber uendeligt mange Carmichael-numre. Men de havde ikke været i stand til at kontrollere størrelsen af de primtal, de brugte til at konstruere dem. Det er, hvad Larsen skulle gøre for at bygge Carmichael-numre, der var relativt tæt på størrelse. Problemets sværhedsgrad bekymrede hans far, Michael Larsen. "Jeg troede ikke, det var umuligt, men jeg troede, det var usandsynligt, at han ville lykkes," sagde han. "Jeg så, hvor meget tid han brugte på det ... og jeg følte, at det ville være ødelæggende for ham at give så meget af sig selv til det her og ikke få det."
Alligevel vidste han bedre end at forsøge at fraråde sin søn. "Når Daniel forpligter sig til noget, der virkelig interesserer ham, holder han fast i det i tykt og tyndt," sagde han.
Så Larsen vendte tilbage til Maynards papirer - især for at arbejde med at vise, at hvis du tager visse sekvenser af nok tal, skal en delmængde af disse tal være primtal. Larsen modificerede Maynards teknikker for at kombinere dem med metoderne brugt af Alford, Granville og Pomerance. Dette gjorde det muligt for ham at sikre, at de primtal, han endte med, ville variere i størrelse - nok til at producere Carmichael-tal, der ville falde inden for de intervaller, han ønskede.
"Han har mere kontrol over tingene, end vi nogensinde har haft," sagde Granville. Og det opnåede han gennem en særlig smart brug af Maynards værk. "Det er ikke let ... at bruge denne fremgang på korte mellemrum mellem primtal," sagde Kaisa Matomäki, matematiker ved universitetet i Turku i Finland. "Det er ret rart, at han er i stand til at kombinere det med dette spørgsmål om Carmichael-tallene."
Faktisk lod Larsens argumentation ham ikke blot vise, at der altid skal stå et Carmichael-nummer imellem X og 2X. Hans bevis virker også for meget mindre intervaller. Matematikere håber nu, at det også vil hjælpe med at afsløre andre aspekter af disse mærkelige tals adfærd. "Det er en anden idé," sagde Thomas Wright, en matematiker ved Wofford College i South Carolina, der arbejder på pseudoprimer. "Det ændrer mange ting om, hvordan vi kan bevise ting om Carmichael-tal."
Grantham var enig. "Nu kan du gøre ting, du aldrig har tænkt på," sagde han.
Larsen er i mellemtiden lige startet på sit første år på Massachusetts Institute of Technology. Han er ikke sikker på, hvilket problem han kan arbejde på næste gang, men han er ivrig efter at lære, hvad der er derude. "Jeg tager bare kurser ... og prøver at være åbensindet," sagde han.
"Han gjorde alt dette uden en bacheloruddannelse," sagde Grantham. "Jeg kan kun forestille mig, hvad han skal finde på i efterskolen."
