Den skjulte forbindelse, der ændrede talteorien | Quanta Magasinet

Der er tre slags primtal. Den første er en enlig afviger: 2, den eneste lige prime. Derefter efterlader halvdelen af ​​primtallene en rest på 1, når de divideres med 4. Den anden halvdel efterlader en rest på 3. (5 og 13 falder i den første lejr, 7 og 11 i den anden.) Der er ingen åbenlys grund til, at resten -1 primtal og rest-3 primtal bør opføre sig på fundamentalt forskellige måder. Men det gør de.

En vigtig forskel stammer fra en egenskab kaldet kvadratisk gensidighed, først bevist af Carl Gauss, uden tvivl den mest indflydelsesrige matematiker i det 19. århundrede. "Det er et ret simpelt udsagn, der har applikationer overalt, i al slags matematik, ikke kun talteori," sagde James Rickards, en matematiker ved University of Colorado, Boulder. "Men det er også ikke-indlysende nok til at være virkelig interessant."

Talteori er en gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med hele tal (i modsætning til f.eks. former eller kontinuerte størrelser). Primtallene - dem, der kun er delelige med 1 og sig selv - er i sin kerne, ligesom DNA er kernen i biologien. Kvadratisk gensidighed har ændret matematikeres opfattelse af, hvor meget det er muligt at bevise om dem. Hvis du tænker på primtal som en bjergkæde, er gensidighed som en smal sti, der lader matematikere klatre op til tidligere uopnåelige tinder og fra disse tinder se sandheder, der var blevet skjult.

Selvom det er et gammelt teorem, har det fortsat nye applikationer. Denne sommer, Rickards og hans kollega Katherine Stangesammen med to elever, modbeviste en almindeligt accepteret formodning om hvordan små cirkler kan pakkes inde i en større. Resultatet chokerede matematikere. Peter Sarnak, en talteoretiker ved Institute for Advanced Study og Princeton University, talte med Stange på en konference kort efter hendes hold indsendt deres papir. "Hun fortalte mig, at hun har et modeksempel," huskede Sarnak. "Jeg spurgte hende straks: 'Bruger du gensidighed et sted?' Og det var faktisk det, hun brugte.'

Mønstre i par af primtal

For at forstå gensidighed skal du først forstå modulær aritmetik. Modulære operationer er afhængige af at beregne rester, når du dividerer med et tal kaldet modulet. For eksempel er 9 modulo 7 2, for hvis du dividerer 9 med 7, står du tilbage med en rest på 2. I modulo 7 talsystemet er der 7 tal: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Du kan addere, subtrahere, gange og dividere disse tal.

Ligesom med heltal kan disse talsystemer have perfekte kvadrater - tal, der er produktet af et andet tal gange sig selv. For eksempel er 0, 1, 2 og 4 de perfekte kvadrater modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 og 3 × 3 = 2 mod 7). Hvert almindeligt kvadrat vil være lig med enten 0, 1, 2 eller 4 modulo 7. (For eksempel 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Fordi modulære talsystemer er endelige, er perfekte kvadrater mere almindelige.

Kvadratisk gensidighed stammer fra et relativt ligetil spørgsmål. Givet to primtal p , q, hvis du ved det p er en perfekt firkantet modulo q, kan du sige om eller ej q er en perfekt firkantet modulo p?

Det viser sig, at så længe enten p or q efterlader en rest på 1, når divideret med 4, hvis p er en perfekt firkantet modulo q, derefter q er også en perfekt firkantet modulo p. De to primtal siges at være gengæld.

På den anden side, hvis begge af dem efterlader en rest på 3 (som f.eks. 7 og 11), så gengælder de ikke: Hvis p er en kvadratisk modulo q, det betyder det q vil ikke være en kvadratisk modulo p. I dette eksempel er 11 en kvadratisk modulo 7, da 11 = 4 mod 7, og vi ved allerede, at 4 er en af ​​de perfekte kvadrater modulo 7. Det følger heraf, at 7 ikke er en kvadratisk modulo 11. Hvis du tager listen over alm. kvadrater (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) og se på deres rester modulo 11, så vil 7 aldrig dukke op.

Dette, for at bruge et teknisk udtryk, er virkelig mærkeligt!

Generaliseringens magt

Som mange matematiske ideer har gensidighed været indflydelsesrig, fordi den kan generaliseres.

Kort efter Gauss offentliggjorde det første bevis på kvadratisk gensidighed i 1801, forsøgte matematikere at udvide ideen ud over kvadrater. "Hvorfor ikke tredje magt eller fjerde magt? De forestillede sig, at der måske var en lov om kubisk gensidighed eller en lov om kubisk gensidighed," sagde Keith Conrad, talteoretiker ved University of Connecticut.

Men de blev hængende, sagde Conrad, "fordi der ikke er noget let mønster." Dette ændrede sig, da Gauss bragte gensidighed ind i området for komplekse tal, som tilføjer kvadratroden af ​​minus 1, repræsenteret ved i, til almindelige tal. Han introducerede ideen om, at talteoretikere kunne analysere ikke kun almindelige heltal, men andre heltallignende matematiske systemer, som såkaldte Gaussiske heltal, som er komplekse tal, hvis reelle og imaginære dele begge er heltal.

Med Gaussiske heltal ændredes hele forestillingen om, hvad der tæller som primtal. For eksempel er 5 ikke længere primtal, fordi 5 = (2 + i) × (2 - i). "Du skal starte forfra, som om du er i folkeskolen igen," sagde Conrad. I 1832 beviste Gauss en kvartisk lov om gensidighed for de komplekse heltal, der bærer hans navn.

Pludselig lærte matematikere at anvende værktøjer som modulær aritmetik og faktorisering på disse nye talsystemer. Kvadratisk gensidighed var inspirationen, ifølge Conrad.

Mønstre, der havde været uhåndgribelige uden komplekse tal, begyndte nu at dukke op. I midten af ​​1840'erne havde Gotthold Eisenstein og Carl Jacobi bevist de første kubiske gensidighedslove.

Så, i 1920'erne, opdagede Emil Artin, en af ​​grundlæggerne af moderne algebra, hvad Conrad kalder "den ultimative reciprocitetslov." Alle de andre love om gensidighed kunne ses som særlige tilfælde af Artins lov om gensidighed.

Et århundrede senere udtænker matematikere stadig nye beviser for Gauss' første kvadratiske reciprocitetslov og generaliserer den til nye matematiske sammenhænge. Det kan være nyttigt at have mange forskellige beviser. "Hvis du ønsker at udvide resultatet til en ny indstilling, vil et af argumenterne måske nemt overføres, mens de andre ikke vil," sagde Conrad.

Hvorfor gensidighed er så nyttig

Kvadratisk gensidighed bruges i forskningsområder så forskellige som grafteori, algebraisk topologi og kryptografi. I sidstnævnte udviklede en indflydelsesrig offentlig nøglekrypteringsalgoritme i 1982 af Shafi Goldwasser , Silvio micali afhænger af at gange to store primtal p , q sammen og udsende resultatet, Nsammen med et nummer, x, som ikke er en kvadratisk modulo N. Algoritmen bruger N , x at kryptere digitale beskeder til strenge med større tal. Den eneste måde at dekryptere denne streng på er at beslutte, om hvert tal i den krypterede streng er et kvadratisk modulo N — praktisk talt umuligt uden at kende værdierne af primtallene p , q.

Og selvfølgelig dukker kvadratisk gensidighed op gentagne gange inden for talteori. For eksempel kan det bruges til at bevise, at ethvert primtal lig med 1 modulo 4 kan skrives som summen af ​​to kvadrater (f.eks. 13 er lig med 1 modulo 4, og 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Derimod kan primtal svarende til 3 modulo 4 aldrig skrives som summen af ​​to kvadrater.

Sarnak bemærkede, at gensidighed kan bruges til at løse åbne spørgsmål, som at finde ud af, hvilke tal der kan skrives som summen af ​​tre terninger. Det er kendt, at tal, der er lig med 4 eller 5 modulo 9, ikke er lig med summen af ​​tre terninger, men andre forbliver et mysterium. (I 2019, Andrew Booker skabte overskrifter da han opdagede, at (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

På trods af alle dens mange anvendelser og mange forskellige beviser er der noget ved gensidighed, der forbliver et mysterium, sagde Stange.

"Hvad der ofte sker med et matematisk bevis er, at du kan følge hvert trin; du kan tro, at det er sandt,” sagde hun. "Og du kan stadig komme ud i den anden ende og føle dig som 'Men hvorfor?'"

At forstå på et visceralt niveau, hvad der gør 7 og 11 forskellige fra 5 og 13, kan være for evigt uden for rækkevidde. "Vi kan kun jonglere med så mange abstraktionsniveauer," sagde hun. "Det dukker op overalt i talteorien ... og alligevel er det bare et skridt ud over, hvad der føles som om, du egentlig bare kunne vide det."

Quanta gennemfører en række undersøgelser for bedre at kunne betjene vores publikum. Tag vores matematiklæserundersøgelse og du vil være med til at vinde gratis Quanta merch.