Teoretikeren, der ser matematik i kunst, musik og skrivning | Quanta Magasinet

Sarah Hart har altid haft øje for de skjulte måder, matematik gennemsyrer andre felter på. Som barn blev hun ramt af allestedsnærværelsen af ​​tallet 3 i hendes eventyr. Harts mor, en matematiklærer, opmuntrede hende til at søge mønster og gav hende matematikopgaver for at fordrive tiden.

Hart fik en doktorgrad i gruppeteori i 2000 og blev senere professor ved Birkbeck, University of London. Harts forskning undersøgte strukturen af ​​Coxeter-grupper, mere generelle versioner af strukturer, der katalogiserer symmetrierne af polygoner og prismer. I 2023 udgav hun Once Upon a Prime, en bog om, hvordan matematik optræder i skønlitteratur og poesi. "Da vi mennesker er en del af universet, er det kun naturligt, at vores kreative udtryksformer, litteratur blandt dem, også vil manifestere en tilbøjelighed til mønster og struktur," skrev Hart. "Matematik er altså nøglen til et helt andet perspektiv på litteratur."

Siden 2020 har Hart været professor i geometri ved Gresham College i London. Gresham har ingen traditionelle baner; i stedet holder dets professorer hver især flere offentlige forelæsninger om året. Hart er den første kvinde, der nogensinde har haft den 428-årige stilling, som blev besat i det 17. århundrede af Isaac Barrow, berømt for at undervise en anden Isaac (Newton). For nylig blev det holdt af Roger Penrose, en matematiker, der vandt Nobelprisen i fysik i 2020. Hart talte med Quanta om hvordan matematik og kunst påvirker hinanden. Interviewet er blevet komprimeret og redigeret for klarhedens skyld.

Hvorfor valgte du at skrive din bog om sammenhængen mellem matematik og litteratur?

Disse forbindelser er mindre udforskede og mindre kendte end dem mellem matematik og f.eks. musik. Forbindelserne mellem matematik og musik er blevet fejret siden mindst så langt tilbage som pythagoræerne. Men selvom der har været forfatterskab og akademisk forskning om specifikke bøger, forfattere eller genrer, havde jeg ikke set en bog til et generelt publikum om de bredere forbindelser mellem matematik og litteratur.

Hvordan skal folk i kunsten tænke om matematik?

Der er meget fælles fodslag mellem matematik og, skal jeg sige, de andre kunstarter. I litteratur, såvel som musik og kunst, starter du aldrig med noget som helst. Hvis du er digter, vælger du: Vil jeg have en haiku med dens meget præcise numeriske begrænsninger, eller vil jeg skrive en sonet, der har et vist antal linjer, et bestemt rimskema, en bestemt meter? Selv noget, der ikke har et rimskema, vil have linjeskift, en rytme. Der vil være begrænsninger, der inspirerer til kreativitet, som hjælper med at fokusere dig.

I matematik har vi det samme. Vi har nogle grundregler. Inden for det kan vi udforske, vi kan lege, og vi kan bevise teoremer. Det, matematik kan gøre for kunsten, er at hjælpe med at finde nye strukturer, vise, hvad mulighederne er. Hvordan ville et stykke musik se ud, der ikke har en toneart? Vi kan tænke på de 12 toner og arrangere dem forskelligt, og her er alle måder, du kan gøre det på. Her er forskellige farveskemaer, du kan udtænke, her er forskellige former for poetisk meter.

Hvad er et eksempel på, hvordan matematik er blevet påvirket af litteratur?

For tusinder af år siden i Indien forsøgte digtere at tænke på de mulige meter. I sanskrit poesi har du lange og korte stavelser. Lang er dobbelt så lang som kort. Hvis du vil regne ud, hvor mange der er, der tager en tid på tre, kan du have korte, korte, korte eller lange, korte eller korte, lange. Der er tre måder at lave tre på. Der er fem måder at lave en længde-fire-sætning på. Og der er otte måder at lave en længde-fem-sætning på. Denne sekvens, du får, er en, hvor hvert led er summen af ​​de to foregående. Du gengiver præcis det, vi i dag kalder Fibonacci-sekvensen. Men dette var århundreder før Fibonacci.

Hvad med matematikkens indflydelse på litteraturen?

En ganske simpel sekvens, men den virker meget, meget kraftfuldt, er Eleanor Cattons bog Armaturerne, som udkom i 2013. Hun brugte sekvensen, der går 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Hvert kapitel i den bog er halvt så langt som det foregående. Det skaber denne virkelig fascinerende effekt, fordi tempoet stiger, og karakterernes valg bliver mere begrænsede. Alt haster mod sin konklusion. Til sidst er kapitlerne meget korte.

Et andet eksempel på en lidt mere kompliceret matematisk struktur er det, der kaldes ortogonale latinske firkanter. En latinsk firkant er lidt ligesom et sudoku-gitter. I dette tilfælde ville det være et 10 x 10 gitter. Hvert tal vises nøjagtigt én gang i hver række og i hver kolonne. Ortogonale latinske firkanter dannes ved at overlejre to latinske firkanter, så der er et par tal i hvert mellemrum. Gitteret dannet af det første tal i hvert par er en latinsk firkant, og det samme er gitteret dannet af det andet tal i hvert par. Desuden, i gitteret af par, vises intet par mere end én gang.

Disse er meget nyttige på alle mulige måder. Du kan lave fejlkorrigerende koder ud af dem, som er nyttige til at sende beskeder langs en slags støjende kanaler. Men en af ​​de store ting ved netop disse, størrelse 10, er, at en af ​​de største matematikere gennem tiderne, Leonhard Euler, troede, at de ikke kunne eksistere. Det var en af ​​de meget få gange, hvor han lavede en fejl; derfor var det så spændende. Længe efter at han fremsatte denne formodning om, at disse ting ikke kunne eksistere for bestemte størrelser, blev den tilbagevist, og firkanter af denne størrelse blev fundet i 1959. Det var på dæksel of Scientific American det år.

År efter det ledte en fransk forfatter, Georges Perec, efter en struktur, han kunne bruge til sin bog Life: En brugervejledning. Han valgte en af ​​disse ortogonale latinske firkanter. Han satte sin bog i en parisisk boligblok, som havde 100 værelser, en 10 gange 10 kvadrat. Hvert kapitel var i et andet rum, og hvert kapitel havde sin unikke smag. Han havde lister med 10 ting - forskellige stoffer, farver, den slags. Hvert kapitel ville bruge en unik kombination. Det er en virkelig fascinerende måde at strukturere bogen på.

Du værdsætter klart god skrivning. Hvad synes du om kvaliteten af ​​at skrive i matematikforskningsartikler?

Det er meget varierende! Jeg ved, at vi værdsætter korthed, men jeg synes nogle gange, at det er taget for vidt. Der er for mange papirer, der ikke har nogen brugbare eksempler.

Det, vi faktisk sætter pris på, er et genialt argument, der, fordi det dækker alle sagerne på én gang så smart, også er kort og elegant. Det er ikke det samme som at presse dit lange argument ind i et mindre rum, end det har brug for, ved at dække siden med mystiske sigils, som du har lavet for at gøre notationen kortere, men som ikke kun læseren, men sandsynligvis også du selv bliver nødt til at pakke møjsommeligt ud igen for at give nogen mening om, hvad der foregår.

Vi tænker ikke nok over hjælpsom notation, som minder læseren om, hvad der menes. Den rigtige notation kan absolut transformere et stykke matematik og kan også give plads til generaliseringer. Tænk på overgangen, historisk, fra at skrive en ukendt, dens firkant og dens terning med tre forskellige bogstaver, og hvor meget mere sandsynligt, og endda muligt, det er at begynde at tænke på, hvornår du er begyndt at skrive , og i stedet.

Ser du evolution i forbindelsen mellem matematik og kunst?

Der er hele tiden nye ting. Fraktaler var overalt i 1990'erne. På hver væg på kollegieværelset var der et billede af Mandelbrot-sættet eller noget lignende. Alle tænkte: "Åh, det er spændende, fraktaler." Du får for eksempel musikere, komponister, som bruger fraktale sekvenser i deres kompositioner.

Da jeg var omkring 16, var der disse nye ting kaldet grafiske regnemaskiner. Meget spændende. Og en ven af ​​min mor gav mig dette program, der kunne tegne et Mandelbrot-sæt på en af ​​disse små grafiske regnemaskiner. Den havde omkring, jeg ved det ikke, 200 pixels. Du programmerer den her ting ind, og så måtte jeg lade den stå i 12 timer. Det ville plotte disse 200 point i slutningen af ​​det. Så selv blotte skolebørn kunne engagere sig i dette i slutningen af ​​80'erne og begyndelsen af ​​90'erne og producere disse billeder til sig selv.

Selv da du gik i skole, var du allerede meget interesseret i hardcore matematik, lyder det som.

 Jeg tror, ​​jeg har været interesseret, siden før jeg overhovedet vidste, at det betød, at jeg var matematisk. Ligesom jeg altid lavede mønstre, fra da jeg var et lille bitte barn.

Da jeg var helt lille, var mit yndlingslegetøj nogle meget simple træmalede fliser. De kom i alle forskellige farver. Jeg lavede dem til mønstre, og så kiggede jeg stolt på det i en dag eller deromkring, og så lavede jeg et til.

Da jeg blev lidt ældre, legede jeg med tal og kiggede på mønstre. Mor ville være den, jeg ville gå til og sige: "Jeg keder mig." Og så ville hun sige: "Nå, kan du regne ud, hvad mønsteret er af det antal point, du skal bruge for at lave en trekant?" eller hvad det nu var. Hun ville have mig til at genopdage de trekantede tal eller noget, og jeg ville være meget spændt.

Min stakkels mor, antallet af fantastiske opfindelser, som jeg ville gå til min mor med. "Jeg har udviklet en helt ny måde at gøre noget på!" Og hun ville sige: "OK, det er meget rart. Men du ved, Descartes tænkte på det for århundreder siden." Og så tog jeg afsted; Jeg kom på en anden fantastisk idé et par dage senere. "Det er dejligt, skat. Men det havde de gamle grækere."

Kan du huske nogle særligt tilfredsstillende øjeblikke fra din matematikforskerkarriere?

De øjeblikke, hvor du endelig forstår, hvad det mønster er, som du ser, er altid tilfredsstillende, såvel som når du finder ud af, hvordan du færdiggør et bevis, du har kæmpet med. Mine stærkeste minder om disse følelser af glæde, sandsynligvis fordi det var de første gange, jeg havde følt dem, er fra starten af ​​min forskerkarriere. Men det er stadig en dejlig følelse at få det "aha", når man endelig forstår, hvad der foregår.

Meget tidligt forsøgte jeg at bevise noget om uendelige Coxeter-grupper. Jeg havde løst nogle af sagerne, og da jeg så på resten, fandt jeg frem til en teknik, der ville fungere, hvis et specifikt kriterium var opfyldt. Man kan skrive disse sammenhænge i en graf, så jeg begyndte at sammensætte en samling af de grafer, som min teknik kunne anvendes til. Dette var over jul et år.

Efter et stykke tid begyndte mit sæt billeder at ligne et bestemt sæt grafer, der var opført i en bog om Coxeter-grupper, der var på mit kontor, og jeg begyndte at håbe, at det var netop dette sæt grafer. Hvis det var det, så ville det udfylde hullet i mit bevis, og min teorem ville være færdig. Men jeg kunne ikke tjekke med sikkerhed, før jeg kom tilbage på universitetet efter jul - det var før, man bare kunne Google alt. Jeg tror, ​​at forventningen om at skulle vente med at bekræfte min fornemmelse gjorde det endnu bedre, da jeg kom til bogen og sammenlignede mit håndskrevne sæt diagrammer med dem i bogen, og de var virkelig et match.

Hvad synes du om spørgsmålet om, hvorvidt matematik er skabt eller opdaget? Næsten ingen vil hævde, at nogen af ​​de romanforfattere, du skriver om i din bog, "opdagede" deres romaner. Er dette en grundlæggende forskel mellem matematik og litteratur eller ej?

Det er det sandsynligvis, selvom der stadig er nogle resonanser.

At lave matematik føles som opdagelse. Hvis vi opfandt matematikken, ville det bestemt ikke være så svært at bevise tingene! Nogle gange ønsker vi desperat, at noget skal være sandt, og det er det ikke. Vi kan vel ikke undgå logikkens konsekvenser.

Det hele føles som opdagelse, når du gør det. Nogle valg afspejler det, vi oplever i den virkelige verden, som f.eks. de geometriske aksiomer, vi arbejder med, som er valgt, fordi det ser ud til at være nogenlunde, hvordan virkeligheden er - selvom der ikke selv der er noget, der hedder et "punkt" eller et "punkt". linje” (fordi vi ikke kan tegne noget, der ikke fylder, og en linje i geometrien har ingen bredde og strækker sig uendeligt langt).

Til en vis grad er der paralleller til dette kontinuum i litteraturen. Når du først har defineret reglerne for en sonet, vil du blive presset til at skrive en, hvis første linje ender med "orange" eller "skorsten".

Men jeg kan ikke lade være med at dele noget, JRR Tolkien sagde om at skrive The Hobbit: “Det hele begyndte, da jeg læste eksamensopgaver for at tjene lidt ekstra penge. … Nå, en dag kom jeg til en blank side i en eksamensbog, og jeg skrev på den. "I et hul i jorden boede der en hobbit." Jeg vidste ikke mere om skabningerne end det, og der gik år, før hans historie voksede. Jeg ved ikke, hvor ordet kom fra."

Hobbitter – skabte han dem eller opdagede han dem?