Pierre de Fermats link til en gymnasieelevs bedste matematiske bevis | Quanta Magasinet

Som mange matematikstuderende havde jeg drømme om matematisk storhed. Jeg troede, jeg var tæt på en gang. Et vanskeligt algebraproblem på college fik mig til at arbejde langt ud på natten. Efter timers kamp mærkede jeg et gennembrud komme. Jeg manipulerede behændigt udtryk. Jeg talte, multiplicerede og forenklede, indtil min opdagelse endelig afslørede sig selv:

$latex 1 + 1 = 2$.

Jeg kunne ikke lade være med at grine. Verden vidste allerede, at $latex 1 + 1 = 2$, så "Honners teorem" skulle ikke være det. Og selvom mange unge matematikere har oplevet skuffelsen over det ikke helt gennembrud, er det bemærkelsesværdige fortælling om Daniel Larsen holder drømmen i live.

Larsen var gymnasieelev i 2022, da han beviste et resultat om en bestemt slags tal, der havde unddraget sig matematikere i årtier. Han beviste, at Carmichael-tal - en mærkelig form for ikke-helt-primtal - kunne findes hyppigere end tidligere kendt, og etablerede et nyt teorem, der for altid vil være forbundet med hans arbejde. Så hvad er Carmichael-tal? For at svare på det skal vi tilbage i tiden.

Pierre de Fermat har sit navn på en af ​​de mest berømte teoremer i matematik. I over 300 år stod Fermats sidste sætning som det ultimative symbol på uopnåelig matematisk storhed. I 1600-tallet skrev Fermat en note om sit foreslåede teorem i en bog, han læste, og hævdede at vide, hvordan man beviser det uden at give nogen detaljer. Matematikere forsøgte selv at løse problemet indtil 1990'erne, hvor Andrew Wiles endelig beviste det ved hjælp af nye teknikker opdaget hundredvis af år efter Fermats død.

Men det er Fermats mindre berømte "lille sætning", der vedrører Carmichael-tal. Her er en måde at sige det på:

Givet et primtal $latex p$, så for ethvert heltal $latex a$, er mængden $latex a^p – a$ delelig med $latex p$.

Tag f.eks. primtallet $latex p = 11$ og heltallet $latex a = 2$. Fermats lille sætning siger, at $latex 2^{11} – 2 = 2046$ er deleligt med 11, og det er: $latex 2046 div 11 = 186$. Eller tag $latex p = 7$ og $latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 gange 2340$, så $latex 4^7 – 4$ er faktisk deleligt med 7.

I modsætning til Fermats sidste sætning tog det ikke 300 år at løse hans lille sætning. Leonhard Euler offentliggjorde et bevis mindre end et århundrede senere. Og fordi det handler om primtal, fandt folk på måder at bruge det på.

En måde at bruge Fermats lille sætning på er at vise, at et tal ikke er et primtal. Lad os sige, at du spekulerer på, om 21 er prime eller ej. Hvis 21 var primtal, så ville ifølge Fermats lille sætning for ethvert heltal $latex a$, $latex a^{21}$ – $latex a$ skulle være deleligt med 21. Men hvis du prøver nogle værdier af $ latex a$ du kan se at dette ikke virker. For eksempel $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, hvilket ikke er et multiplum af 21. Derfor, fordi det ikke opfylder Fermats lille sætning, kan 21 derfor ikke være et primtal.

Dette kan virke som en dum måde at kontrollere, om et tal er primtal. Vi kender jo $latex 21 = 3 gange 7$. Men at tjekke om store tal er primtal er en tidskrævende og vigtig opgave i moderne matematik, så matematikere leder altid efter genveje. Til det formål har matematikere spekuleret på, om det modsatte af Fermats lille sætning kunne være sandt.

Hvad er det modsatte af en sætning? Du husker måske fra matematiktimen, at en sætning kan opfattes som en betinget udsagn af formen "hvis P derefter Q." En sætning siger, at hvis P del (antecedenten eller hypotesen) er sand, så er den Q del (konsekvensen eller konklusionen) skal også være sand. Det modsatte af en sætning er det udsagn, du får, når du skifter antecedent og konsekvent. Så det modsatte af "Hvis P derefter Q” er udsagnet ”Hvis Q derefter P".

Lad os overveje Pythagoras sætning. Vi får ofte at vide, at der står $latex a^2 + b^2 = c^2$. Men det her er ikke helt rigtigt. Pythagoras sætning er virkelig en betinget sætning: Den siger, at hvis en retvinklet trekant har sidelængder $latex a$, $latex b$ og $latex c$, hvor $latex c$ er længden af ​​hypotenusen, så $latex a ^2 + b^2 = c^2$. Så hvad er det modsatte? Den siger, at hvis en trekants sidelængder $latex a$, $latex b$ og $latex c$ opfylder ligningen $latex a^2 + b^2 = c^2$, så er det en retvinklet trekant.

Det er fristende at tro, at det modsatte af et teorem altid er sandt, og mange studerende er faldet i den fælde. Det modsatte af Pythagoras sætning er tilfældigvis sandt, hvilket lader os konkludere, at en trekant med sidelængderne 9, 40 og 41 skal være en retvinklet trekant, da $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. Men det modsatte af et sandt udsagn behøver ikke at være sandt: For eksempel, mens det er sandt, at hvis $latex x$ er et positivt tal, så er $latex x^2$ positivt, det omvendte - hvis $latex x^2$ er et positivt tal, så er $latex x$ positivt — er det ikke, da $latex (-1)^2$ er positivt, men −1 i sig selv ikke er det.

Det er god matematisk praksis at udforske det modsatte af et udsagn, og matematikere, der ledte efter primalitetstest, ville vide, om det modsatte af Fermats lille sætning var sandt. Det omvendte siger, at givet et heltal $latex q$, hvis tallet $latex a^q – a$ er deleligt med $latex q$ for ethvert heltal $latex a$, så skal $latex q$ være et primtal. Hvis dette var sandt, ville det omgå noget af det beregningsmæssige gryntarbejde med at kontrollere, om $latex q$ er deleligt med andre tal end 1 og sig selv. Som det så ofte er tilfældet i matematik, førte dette ene spørgsmål til nye spørgsmål, som i sidste ende førte til nogle nye matematiske ideer.

Når du begynder at udforske det omvendte af Fermats lille sætning, vil du opdage, at det gælder for mange tal. For eksempel, for ethvert heltal $latex a$ er tallet $latex a^2 – a$ deleligt med 2. Du kan se dette ved at faktorisere $latex a^2 – a$ som $latex a gange (a-1) $. Siden a og $latex a − 1$ er på hinanden følgende heltal, et af dem skal være lige, og derfor skal deres produkt være deleligt med 2.

Lignende argumenter viser, at $latex a^3 – a$ altid er deleligt med 3 og $latex a^5 – a$ altid er deleligt med 5 (se øvelserne nedenfor for flere detaljer). Så det modsatte af Fermats lille sætning gælder for 3 og 5. Det omvendte fortæller os, hvad vi også forventer for små ikke-primtal. Hvis vi bruger det til at kontrollere, om 4 er primtal eller ej, beregner vi $latex 2^4 – 2$ og observerer, at 14 ikke er deleligt med 4.

Faktisk kan du tjekke helt op til tallet 561, og alt vil pege på, at det modsatte af Fermats lille sætning er sandt. Primtal mindre end 561 deler $latex a^p – a$ for hver a, og ikke-primtal mindre end 561 gør ikke. Men det ændrer sig ved 561. Med en lidt avanceret talteori kan det påvises, at $latex a^{561} – a$ altid er deleligt med 561, så hvis det modsatte af Fermats lille sætning var sandt, så burde 561 være et primtal . Men det er det ikke: $latex 561 = 3 × 11 × 17$. Så det modsatte af Fermats lille sætning er falsk.

Matematikere kalder numre som 561 "pseudoprime", fordi de opfylder nogle betingelser forbundet med at være prime (som at dividere $latex a^p – a$ for alle a), men er faktisk ikke primtal. Flere modeksempler til det omvendte af Fermats lille sætning er blevet fundet - de næste tre er 1,105, 1,729 og 2,465. Disse blev kendt som Carmichael-tal, opkaldt efter den amerikanske matematiker Robert Carmichael. Efter at de blev opdaget, dukkede nye spørgsmål op: Er der andre måder at identificere Carmichael-numre på? Har de andre særlige egenskaber? Er der uendeligt mange af dem? Hvis ja, hvor ofte forekommer de?

Det var dette sidste spørgsmål, der i sidste ende fangede Daniel Larsens opmærksomhed. Matematikere havde bevist, at der faktisk var uendeligt mange Carmichael-tal, men for at vise dette var de nødt til at konstruere Carmichael-tal, der var meget langt fra hinanden. Dette efterlod åbent spørgsmålet om, hvordan disse uendeligt mange Carmichael-tal er fordelt langs tallinjen. Ligger de altid langt fra hinanden efter deres natur, eller kan de forekomme med mere hyppighed og regelmæssighed, end dette første bevis viste?

Sådanne spørgsmål om pseudoprimtal minder om lignende og vigtige spørgsmål om selve primtallene. For to tusinde år siden beviste Euklid, at der er uendeligt mange primtal, men det tog meget længere tid at forstå, hvordan primtallene er fordelt på hele tallinjen. I 1800-tallet viste Bertrands postulat, at for enhver $latex n > 3$ er der altid et primtal mellem $latex n$ og $latex 2n$. Dette giver os en idé om, hvor ofte vi kan forvente primtal, når vi bevæger os langs tallinjen.

Matematikere spekulerede på, om en eller anden version af Bertrands postulat var sand for Carmichael-tal. Daniel Larsen undrede sig også og byggede videre på arbejdet fra nogle berømte moderne matematikere - Fields-medaljevinderne James Maynard og Terence Tao, blandt andre - han vendte sin nysgerrighed ind i et nyt resultat om, hvordan Carmichael-numre er fordelt. Og selvom unge matematikere nok ikke skal forvente at opnå så meget, mens de udfører aftenens lektier, bør Daniel Larsens hårde arbejde, vedholdenhed og succes inspirere dem til at skubbe fremad, selvom de er genbeviser noget, vi allerede ved.

Øvelser

1. Brug factoring til at vise, at hvis $latex a$ er et naturligt tal, så er $latex a^3 – a$ altid deleligt med 3.

2. Udsagnet "Hvis en firkant er et rektangel, så er firkantens diagonaler kongruente" er sand. Er det modsatte sandt?

3. Vis, at hvis $latex a$ er et naturligt tal, så er tallet $latex a^5 – a$ altid deleligt med 5.