Matematikere undrer sig over 'Crazy' Cuts Through Four Dimensions | Quanta Magasinet

De centrale genstande for undersøgelse i topologi er rum kaldet manifolds, som ser flade ud, når du zoomer ind på dem. Overfladen af ​​en kugle er for eksempel en todimensionel manifold. Topologer forstår sådanne todimensionelle manifolder meget godt. Og de har udviklet værktøjer, der lader dem forstå tredimensionelle manifolder og dem med fem eller flere dimensioner.

Men i fire dimensioner "går alting lidt skørt," sagde Sam Hughes, en postdoc-forsker ved University of Oxford. Værktøj holder op med at virke; eksotisk adfærd opstår. Som Tom Mrowka fra Massachusetts Institute of Technology forklarede: "Der er lige plads nok til at have interessante fænomener, men ikke så meget plads, at de falder fra hinanden."

I begyndelsen af ​​1990'erne, Mrowka og Peter Kronheimer fra Harvard University undersøgte, hvordan todimensionelle overflader kan indlejres i firedimensionelle manifolds. De udviklede nye teknikker til at karakterisere disse overflader, hvilket giver dem mulighed for at få afgørende indsigt i den ellers utilgængelige struktur af firedimensionelle manifolder. Deres resultater antydede, at medlemmerne af en bred klasse af overflader alle skærer gennem deres forældremanifold på en relativt enkel måde, hvilket efterlader en grundlæggende egenskab uændret. Men ingen kunne bevise, at dette altid var sandt.

I februar sammen med Daniel Ruberman fra Brandeis University, Hughes konstruerede en sekvens af modeksempler - "vanvittige" todimensionelle overflader, der dissekerer deres forældremanifold på måder, som matematikere havde troet var umulige. Modeksemplerne viser, at firedimensionelle manifolder er endnu mere bemærkelsesværdigt forskellige, end matematikere i tidligere årtier havde indset. "Det er virkelig et smukt papir," sagde Mrowka. "Jeg bliver bare ved med at kigge på det. Der er masser af lækre små ting der.”

At lave en liste

I slutningen af ​​sidste år, Ruberman været med til at organisere en konference, der skabte en ny liste over de vigtigste åbne problemer i lavdimensionel topologi. Som forberedelse til det så han på en tidligere liste over vigtige uløste topologiske problemer fra 1997. Den indeholdt et spørgsmål, som Kronheimer havde stillet på baggrund af sit arbejde med Mrowka. "Det var derinde, og jeg tror, ​​det var en lille smule glemt," sagde Ruberman. Nu troede han, at han kunne svare på det.

For at forstå spørgsmålet hjælper det først at overveje to nøgleideer: simpelthen forbundne manifolder og den grundlæggende gruppe.

Simpelthen tilsluttede manifolder er rum uden huller, der passerer gennem dem. I én dimension er en uendelig linje simpelthen forbundet, men en cirkel er det ikke. I to dimensioner er et uendeligt plan og overfladen af ​​en kugle simpelthen forbundet, men overfladen af ​​en donut er det ikke.

Matematikere gør denne sondring streng ved at placere løkker på en manifold og overveje, hvordan de kan deformeres. Hvis en løkke kan krympes til et punkt, så er en manifold simpelthen forbundet. På et fly eller på overfladen af ​​en kugle, for eksempel, er dette muligt - tænk på at trække en streng stramt. Men hvis den snor går rundt om en cirkel, kan den ikke krympe. På samme måde, på overfladen af ​​en doughnut, kan løkker, der går enten rundt om eller gennem det centrale hul, ikke deformeres til et enkelt punkt. Selve doughnuten kommer i vejen.

Matematikere klassificerer rum, der ikke blot er forbundet ved at beregne deres "fundamentale gruppe", et objekt, hvis struktur afspejler, hvordan sløjfer krymper. Manifolder, der simpelthen er forbundet, har en "triviel" grundlæggende gruppe med kun ét element. Men manifolder med huller i dem har mere komplicerede grundlæggende grupper.

Firedimensionelle manifolder, der simpelthen er forbundet, kan stadig være meget mærkelige. For at forstå dem overvejer matematikere, hvad der kan ske med de todimensionelle overflader, der er indlejret i dem.

I analogi kan du tænke på at lægge en snor fladt på et stykke papir. Der er ikke meget du kan gøre ved det. Men løft det op i tredimensionelt rum, og du kan binde det til komplicerede knuder. De måder, hvorpå du kan manipulere strengen - en endimensionel mangfoldighed - tydeliggør karakteren af ​​det rum, den er indlejret i.

Tilsvarende, i den mere komplicerede verden med fire dimensioner, er todimensionelle overflader "en slags nøgle til hele virksomheden på mange forskellige måder," sagde Ruberman. "Overflader fortæller dig meget mere om en firedimensionel manifold, end du har ret til at forvente." Overflader lader dig skelne mellem manifolder: Hvis en overflade kan leve inde i en manifold, men ikke en anden, ved man, at manifolderne er forskellige. Og overflader kan bruges til at bygge nye manifolder ud af gamle.

Overflader har også tilsvarende grundgrupper. Og det samme gør deres komplementer - den del af en manifold, der er tilbage, når du tager overfladen væk. Fjern ækvator fra to-dimensionelle manifolds som overfladen af ​​en kugle eller doughnut, for eksempel, og du får to afbrudte halvkugler. Men doughnutsens overflade forbliver i ét stykke, hvis du fjerner en lodret ring i stedet for en vandret. På samme måde, afhængigt af hvordan du skærer en overflade ud af en firedimensionel manifold, kan du få forskellige slags komplementer.

Tilbage i 1990'erne undersøgte Mrowka og Kronheimer, hvad der sker, når man udskærer en todimensionel overflade fra en firedimensionel manifold. Hvis selve manifolden blot er forbundet, hvilke betingelser skal overflader så opfylde for at garantere, at deres komplementer også blot skal forbindes?

Kronheimer og Mrowka vidste, at nogle slags overflader kunne have komplementer, der ikke blot var forbundet. Men deres arbejde lod til at indikere, at en anden bred klasse af overflader altid må have simpelt forbundne komplementer.

I næsten tre årtier kunne ingen finde et eksempel på en overflade i den klasse, hvis komplement ikke blot var forbundet. Men i efteråret 2023, efter at have stødt på problemet, troede Ruberman, at han kunne. I stedet for at starte med en firedimensionel fordeler og skære en overflade ud, begyndte han med en todimensionel overflade, der havde de nødvendige egenskaber, og byggede en manifold omkring den.

Først opfedede han overfladen til en firedimensionel klat. Denne firedimensionelle klat havde en tredimensionel grænse, ligesom en tredimensionel genstand som en bold har en todimensionel grænse. Ruberman ønskede at fastgøre en nøje udvalgt firedimensionel manifold til den anden side af grænsen, som skulle tjene som overfladens komplement. Hvis gambit virkede, ville denne mangfoldighed have en kompliceret fundamental gruppe, men alligevel ville den fundamentale gruppe af alt taget sammen være triviel. Den nykonstruerede firedimensionelle manifold ville derfor simpelthen være forbundet.

Men for at kunne lime alt sammen på den rigtige måde, måtte han vise, at grundgruppen i den nye tilføjelse opfyldte alle mulige egenskaber. "Jeg havde ingen idé om, hvordan man gør det," sagde Ruberman.

Så i januar holdt Hughes - en gruppeteoretiker - et foredrag på Brandeis. Ruberman var blandt publikum. Han erkendte, at Hughes måske havde den forsvundne brik, han ledte efter. De to mødtes den følgende dag, og inden for et par timer havde de udarbejdet de vigtigste ideer, de havde brug for. Hvad Ruberman manglede "er noget gruppeteoretikere har beregnet i 70, 80 år på dette tidspunkt," sagde Hughes. "Vi har været ved det her for altid." Ved udgangen af ​​ugen havde de et færdigt bevis.

"Jeg vidste nogle ting, og han vidste nogle ting, og mellem os to vidste vi nok til bare at gøre det," sagde Ruberman.

På grund af den måde, gruppeteori bliver brugt i beviset, "er det en lille smule usædvanligt," sagde Maggie Miller fra University of Texas, Austin. "Det er skrevet en smule anderledes, end de fleste firedimensionelle topologer ville være fortrolige med."

Resultatet er endnu et eksempel på, hvor kompliceret firedimensionel topologi kan blive. "Der er mere interessante indlejringer af overflader, end vi troede," sagde Hughes. Dette gør det sværere at klassificere manifolder og sværere at bevise andre slags resultater om dem.

Ikke desto mindre, i marts, İnanç Baykur fra University of Massachusetts, Amherst, som arrangerede sidste års listeopstillingskonference med Ruberman, annonceret løsningen til et andet problem, der involverer blot forbundne firedimensionelle manifolds fra 1997-listen.

Det ser ud til, at topologerne gør rent.