Introduktion
I 2009 annoncerede et par astronomer ved Paris Observatory en overraskende opdagelse. Efter at have bygget en detaljeret beregningsmodel af vores solsystem, kørte de tusindvis af numeriske simuleringer, der projicerer planeternes bevægelser milliarder af år ud i fremtiden. I de fleste af disse simuleringer - som varierede Mercurys udgangspunkt over en rækkevidde på lige under 1 meter - forløb alt som forventet. Planeterne fortsatte med at kredse om solen og sporede ellipseformede baner, der så ud mere eller mindre, som de har set igennem menneskets historie.
Men omkring 1 % af tiden gik tingene sidelæns - helt bogstaveligt. Formen af Merkurs bane ændrede sig betydeligt. Dens elliptiske bane fladede gradvist ud, indtil planeten enten styrtede ned i solen eller kolliderede med Venus. Nogle gange, når den skar sin nye vej gennem rummet, destabiliserede dens adfærd også andre planeter: Mars, for eksempel, kan blive slynget ud af solsystemet, eller den kan styrte ind i Jorden. Venus og Jorden kunne i en langsom, kosmisk dans udveksle kredsløb flere gange, før de til sidst stødte sammen.
Måske var solsystemet ikke så stabilt, som folk engang troede.
I århundreder, lige siden Isaac Newton formulerede sine love om bevægelse og tyngdekraft, har matematikere og astronomer kæmpet med dette spørgsmål. I den enkleste model af solsystemet, som kun tager højde for de gravitationskræfter, solen udøver, følger planeterne deres elliptiske baner som et urværk i evigheden. "Det er en slags trøstende billede," sagde Richard Moeckel, matematiker ved University of Minnesota. "Det kommer til at fortsætte for evigt, og vi vil for længst være væk, men Jupiter vil stadig gå rundt."
Men når først du tager højde for tyngdekraftens tiltrækning mellem planeterne selv, bliver alt mere kompliceret. Man kan ikke længere eksplicit udregne planeternes positioner og hastigheder over lange perioder, og skal i stedet stille kvalitative spørgsmål om, hvordan de kan opføre sig. Kan virkningerne af planeternes gensidige tiltrækning akkumulere og bryde urværket?
Detaljerede numeriske simuleringer, som dem udgivet af Paris Observatory's Jacques Laskar , Mickaël Gastineau i 2009, tyder på, at der er en lille, men reel chance for, at tingene går galt. Men disse simuleringer, selvom de er vigtige, er ikke det samme som et matematisk bevis. De kan ikke være helt præcise, og som simuleringerne selv viser, kan en lille unøjagtighed - i løbet af milliarder af simulerede år - føre til meget forskellige resultater. Desuden giver de ikke en underliggende forklaring på, hvorfor visse begivenheder kan udspille sig. "Du ønsker at forstå, hvilke matematiske mekanismer der driver ustabilitet, og at bevise, at de faktisk eksisterer," sagde Marcel Guàrdia, matematiker ved universitetet i Barcelona.
Introduktion
Nu, i tre papirer det sammen over 150 sider, Guàrdia og to samarbejdspartnere har for første gang bevist, at ustabilitet uundgåeligt opstår i en model af planeter, der kredser om en sol.
"Resultatet er virkelig meget spektakulært," sagde Gabriella Pinzari, en matematisk fysiker ved University of Padua i Italien. "Forfatterne beviste en sætning, der er en af de smukkeste sætninger, man kunne bevise." Det kan også hjælpe med at forklare, hvorfor vores solsystem ser ud, som det gør.
Fire sider og en ny historie
For århundreder siden var det allerede klart, at interaktioner mellem planeterne kunne have langsigtede virkninger. Overvej Merkur. Det tager cirka tre måneder at rejse rundt om solen på en ellipseformet sti. Men den vej roterer også langsomt - en grad hvert 600. år, en fuld rotation hver 200,000. Denne form for rotation, kendt som præcession, er i høj grad et resultat af Venus, Jorden og Jupiter, der trækker på Merkur.
Men forskning i det 18. århundrede udført af matematiske giganter som Pierre-Simon Laplace og Joseph-Louis Lagrange viste, at, bortset fra præcession, er størrelsen og formen af ellipsen stabile. Det var først i slutningen af det 19. århundrede, at denne intuition begyndte at skifte, da Henri Poincaré fandt ud af, at selv i en model med kun tre kroppe (f.eks. en stjerne, der kredser om to planeter), er det umuligt at beregne nøjagtige løsninger til Newtons ligninger. "Himmelmekanik er en delikat ting," sagde Rafael de la Llave, en matematiker ved Georgia Institute of Technology. Ændr startbetingelserne med et hår - for eksempel ved at flytte den antagne position af en planet med en blot meter, som Laskar og Gastineau gjorde i deres simuleringer - og over lange tidsskalaer kan systemet se meget anderledes ud.
I problemet med tre kroppe fandt Poincaré et virvar af mulig adfærd så kompliceret, at han først troede, at han havde lavet en fejl. Da han først accepterede sandheden om sine resultater, var det ikke længere muligt at tage solsystemets stabilitet for givet. Men fordi det er så vanskeligt at arbejde med Newtons ligninger, var det ikke klart, om solsystemets opførsel kunne være kompliceret og kaotisk kun i lille skala - planeter kan for eksempel ende i forskellige positioner inden for et forudsigeligt bånd - eller hvis , som Guàrdia og hans samarbejdspartnere til sidst ville bevise i deres egen model, kan størrelsen og formen af baner ændre sig så meget, at planeter kunne tænkes at styrte ind i hinanden eller rejse ud i det uendelige.
Så, i 1964, skrev matematikeren Vladimir Arnold en firesidet papir som etablerede det rigtige sprog til at formulere problemet. Han fandt en specifik grund til, hvorfor nøglevariabler i et dynamisk system kunne ændre sig i stor stil. Først lavede han et kunstigt eksempel, en mærkelig blanding af et pendul og en rotor, der ikke lignede noget, du ville støde på i naturen. I denne legetøjsmodel beviste han, at givet nok tid, kan visse mængder, der normalt forbliver konstante, ændre sig i store mængder.
Arnold formodede derefter, at de fleste dynamiske systemer skulle udvise denne form for ustabilitet. I tilfælde af solsystemet kan dette betyde, at kredsløbsformer eller excentriciteter på visse planeter potentielt kan ændre sig over milliarder af år.
Men mens matematikere og fysikere til sidst gjorde store fremskridt med at bevise, at ustabilitet generelt opstår, kæmpede de for at vise det for himmelske modeller. Det skyldes, at solens tyngdekraftseffekt er så overvældende stærk, at mange funktioner i urværkets planetariske model fortsætter, selv når man tænker på de yderligere kræfter, som planeterne udøver. (I denne sammenhæng giver newtonsk mekanik en så god tilnærmelse af virkeligheden, at disse modeller ikke behøver at overveje virkningerne af generel relativitetsteori.) En sådan iboende stabilitet gør ustabilitet vanskelig at opdage.
Kunne parametre, der forblev så stabile i beregninger udført af Laplace, Lagrange og andre, virkelig ændre sig væsentligt? "Du er nødt til at håndtere en ustabilitet, som er ekstremt svag," sagde Laurent Niederman fra Paris-Saclay Universitet. De sædvanlige metoder fanger det ikke.
Numeriske simuleringer gav håb om, at jagten på et sådant bevis ikke var forgæves. Og der var foreløbige beviser. I 2016 f.eks. de la Llave og to kolleger bevist ustabilitet i en forenklet himmelmekanikmodel bestående af en sol, en planet og en komet, hvor man antog, at kometen ikke havde nogen masse og derfor ingen gravitationseffekt på planeten. Denne opsætning er kendt som en "begrænset" n-kropsproblem.
De nye papirer tager fat på en sand n-kropsproblem — viser, at ustabilitet opstår i et planetsystem, hvor tre små kroppe kredser om en meget større sol. Selvom størrelsen og formen af banerne kan bruge lang tid på at svinge rundt om faste værdier, vil de i sidste ende ændre sig dramatisk.
Dette havde været forventet - det var en udbredt opfattelse, at stabilitet og ustabilitet eksisterer side om side i denne type model - men matematikerne var de første til at bevise det.
Den ultimative ustabilitet
Sammen med Jacques Fejoz fra University of Paris Dauphine, forsøgte Guàrdia først at bevise ustabilitet i problemet med tre kroppe (en sol, to planeter) i 2016. Selvom de var i stand til at vise, at kaotisk dynamik opstod i smagen af Poincaré kunne de ikke bevise, at denne kaotiske adfærd svarede til store og langsigtede ændringer.
Andrew Clarke, en postdoc, der studerer under Guàrdia, sluttede sig til dem i september 2020, og de besluttede at give problemet en ny prøve, denne gang tilføjede en ekstra planet til blandingen. I deres model kredser tre planeter om en sol i stadig større afstande fra hinanden. Det er afgørende, at den inderste planet starter med at kredse med en betydelig hældning i forhold til den anden og tredje planet, så dens vej praktisk talt danner en ret vinkel på deres.
Denne tilbøjelighed gjorde det muligt for matematikerne at finde begyndelsesbetingelser, der resulterer i ustabilitet.
De viste eksistensen af baner, der førte til stort set enhver mulig excentricitet for den anden planet: Over tid var det muligt for dens ellipse at flade ud, indtil den næsten lignede en lige linje. I mellemtiden kunne den anden og tredje planets kredsløb, som var startet i samme plan, også ende vinkelret på hinanden. Den anden planet kunne endda vende hele 180 grader, så mens alle planeterne først kunne have bevæget sig med uret rundt om solen, endte den anden med at bevæge sig mod uret. "Forestil dig, at du ser frem en million år, og Mars går den modsatte vej," sagde Richard Montgomery fra University of California, Santa Cruz. "Det ville være mærkeligt."
"Du kan ikke undgå meget vilde baner, selv i disse enkle omgivelser," sagde Niederman.
Alligevel forblev størrelserne af banerne stabile. Det skyldes, at i denne model bevæger planeterne sig meget hurtigt rundt om solen sammenlignet med, hvor lang tid det tager for deres baner at præcessere - hvilket gør det muligt for matematikerne at skyde over de "hurtige" variabler relateret til planeternes bevægelser. "Det er kedeligt at tænke på, hvad der sker hvert år, hvis det, du virkelig er interesseret i, er, hvad der sker over tusind år," sagde Moeckel. Oscillationer i størrelsen af hver ellipse (målt i form af dens lange radius eller semimajor akse) er gennemsnittet.
Det var ikke overraskende. "Almindelig viden siger, at hældningen og excentriciteten burde være mere ustabil end den semimajor-akse," sagde Guàrdia. Men så indså han og hans kolleger, at hvis de placerede den tredje planet endnu længere væk fra solen, kunne de måske tilføje mere ustabilitet i deres model.
Dette nye system og ligningerne, der styrede det, var mere komplicerede, og matematikerne var ikke sikre på, at de ville være i stand til at få nogen resultater. Men "det var for meget at ignorere," sagde Clarke. "Hvis der var en chance for at vise, at halvstørre økser kunne drive, så mener jeg, du er nødt til at forfølge det."
Laskar, som har ledet meget af det numeriske arbejde med ustabilitet i solsystemet, sagde, at hvis du overlejrede denne slags solsystem på vores egen, kunne du måske se den første planet beliggende lige op ad solen, den anden planet, hvor Jorden ville være, og den tredje planet helt ude ved Oort-skyen, ved vores solsystems ydre grænser. (Som et resultat, tilføjede han, repræsenterer dette en "meget ekstrem situation" - en han ikke nødvendigvis forventer at finde i vores egen galakse.)
Jo større afstand en planet har fra solen, jo længere tid tager det at gennemføre en bane. I dette tilfælde er den tredje planet så langt væk, at præcessionen af de to indre planeter sker hurtigere. Det er ikke længere muligt at beregne et gennemsnit af den sidste planets bevægelse - et scenario, Lagrange og Laplace ikke overvejede i deres beretninger om solsystemets stabilitet. "Dette vil fuldstændig ændre strukturen af ligningen," sagde Alain Chenciner, en matematiker også ved Paris Observatory. Der var nu flere variabler at bekymre sig om.
Clarke, Fejoz og Guàrdia beviste, at banerne kan vokse sig vilkårligt store. "De får endelig kredsløbets størrelse til at stige, i modsætning til bare formen eller sådan noget," sagde Moeckel. "Det er den ultimative ustabilitet."
Selvom disse ændringer akkumulerede meget langsomt, skete de stadig hurtigere, end man kunne have forventet - hvilket tyder på, at i et realistisk planetsystem kan ændringer akkumuleres over hundreder af millioner af år i stedet for milliarder.
Introduktion
Resultaterne giver en potentiel forklaring på, hvorfor planeterne i vores solsystem har baner, der alle ligger næsten i samme plan. Det viser, at noget så simpelt som en stor hældningsvinkel kan være en kilde til en masse ustabilitet på flere punkter. "Hvis du starter med en situation, hvor de gensidige tilbøjeligheder er ret store, så vil du ødelægge systemet ret 'hurtigt'," sagde Chenciner. "Det ville være blevet ødelagt for hundreder, tusinder af århundreder siden."
Højdimensionelle motorveje
Disse beviser krævede en smart kombination af teknikker fra geometri, analyse og dynamik - og en tilbagevenden til grundlæggende definitioner.
Matematikerne repræsenterede hver konfiguration af deres planetsystem (planeternes positioner og hastigheder) som et punkt i et højdimensionelt rum. Deres mål var at vise eksistensen af "motorveje" gennem rummet, der svarer til f.eks. store ændringer i den anden planets excentricitet eller i den tredje planets semimajor-akse.
For at gøre det skulle de først udtrykke hvert punkt i form af koordinater, der var så esoteriske og komplekse, at næsten ingen selv havde hørt om dem, endsige prøvet at bruge dem. (Koordinaterne blev opdaget i begyndelsen af 1980'erne af den belgiske astronom André Deprit, derefter glemt og senere uafhængigt opdaget af Pinzari i 2009, mens hun arbejdede på sin doktorafhandling. De er næsten ikke blevet brugt siden.)
Ved at bruge Deprits koordinater til at beskrive deres højdimensionelle rum af planetariske konfigurationer, fik matematikerne en dybere forståelse af dens struktur. "Det er en del af det smukke ved beviset: at klare at håndtere denne 18-dimensionelle geometri," sagde Fejoz.
Fejoz, Clarke og Guàrdia fandt motorveje, der krydsede flere specielle regioner i det rum. De brugte derefter deres nyfundne geometriske forståelse til at bevise, at motorvejene svarede til ustabil dynamik i størrelsen og formen af planeternes baner.
”Da jeg var færdig med min ph.d. For 30 år siden," sagde Niederman, "var vi ekstremt, ekstremt langt fra den slags resultater."
"Det er så kompliceret et system, at du har en følelse af, at alt, der ikke er åbenlyst forbudt, bør ske," sagde Chenciner. "Men det er normalt meget svært at bevise det."
Matematikere håber nu at bruge Clarke, Fejoz og Guàrdias teknikker til at bevise ustabilitet i modeller, der ligner mere vores eget solsystem. Denne slags resultater bliver særligt meningsfulde, efterhånden som astronomer afslører flere og flere exoplaneter, der kredser om andre stjerner, og viser en bred vifte af konfigurationer. "Det er ligesom et åbent laboratorium," sagde Marian Gidea, en matematiker ved Yeshiva University. "At forstå på papiret, hvilke typer af evolutioner af planetsystemer der kan ske, og at sammenligne det med det, du er i stand til at observere - det er meget spændende. Det giver en masse information om fysikken i vores univers, og om hvor meget af dette vores matematik er i stand til at fange gennem relativt simple modeller.”
I håb om at lave en sådan sammenligning har Fejoz talt med et par astronomer om at identificere ekstrasolsystemer, der ligner, endda løst, den model, han og hans kolleger udviklede. Andre forskere, herunder Gidea, siger, at arbejdet kunne være nyttigt til at designe effektive baner for kunstige satellitter eller til at finde ud af, hvordan man flytter partikler ved høje hastigheder gennem en partikelaccelerator. Som Pinzari sagde: "Forskning i himmelmekanik er stadig meget levende."
Det ultimative mål ville være at bevise ustabilitet i vores eget solsystem. "Jeg vågner midt om natten og tænker på det," sagde Clarke. "Jeg vil sige, at det ville være den rigtige drøm, men det ville være et mareridt, ikke? Fordi vi ville være skruet sammen."
Rettelse: Maj 16, 2023
Denne artikel blev revideret for at afspejle, at Marcel Guàrdia er professor ved universitetet i Barcelona. Han flyttede fra det polytekniske universitet i Catalonien i sommeren 2022.
- SEO Powered Content & PR Distribution. Bliv forstærket i dag.
- PlatoAiStream. Web3 Data Intelligence. Viden forstærket. Adgang her.
- Udmøntning af fremtiden med Adryenn Ashley. Adgang her.
- Køb og sælg aktier i PRE-IPO-virksomheder med PREIPO®. Adgang her.
- Kilde: https://www.quantamagazine.org/new-math-shows-when-solar-systems-become-unstable-20230516/
- :har
- :er
- :ikke
- :hvor
- ][s
- $OP
- 000
- 1
- 200
- 2016
- 2020
- 2022
- 30
- a
- I stand
- Om
- om det
- accelerator
- accepteret
- Konto
- Konti
- Ophobe
- Akkumuleret
- faktisk
- tilføje
- tilføjet
- tilføje
- Yderligere
- Efter
- mod
- siden
- Alle
- tillade
- alene
- allerede
- også
- blandt
- beløb
- an
- analyse
- ,
- annoncerede
- En anden
- enhver
- nogen
- noget
- cirka
- ER
- omkring
- artikel
- kunstig
- AS
- antaget
- At
- forsøgt
- attraktion
- forfattere
- gennemsnit
- undgå
- væk
- AKSER
- Axis
- BAND
- Barcelona
- grundlæggende
- BE
- smuk
- Skønhed
- fordi
- bliver
- blive
- været
- før
- troede
- mellem
- Big
- milliarder
- Blanding
- organer
- pin
- Pause
- bred
- Bygning
- men
- by
- beregne
- california
- CAN
- kan ikke
- fange
- tilfælde
- brydning
- århundreder
- Århundrede
- vis
- chance
- lave om
- ændret
- Ændringer
- klar
- urværk
- Cloud
- kolleger
- kombination
- Komet
- sammenligne
- sammenlignet
- sammenligning
- fuldføre
- fuldstændig
- komplekse
- kompliceret
- beregninger
- Compute
- betingelser
- Konfiguration
- Overvej
- anser
- Bestående
- konstant
- sammenhæng
- fortsatte
- kogt
- kunne
- Par
- Kursus
- Crash
- afgørende
- Klip
- dans
- deal
- besluttede
- dybere
- Degree
- beskrive
- designe
- ødelægge
- ødelagt
- detaljeret
- udviklet
- DID
- forskellige
- svært
- opdaget
- opdagelse
- afstand
- do
- gør
- Er ikke
- færdig
- Dont
- dramatisk
- drøm
- køre
- dynamik
- hver
- Tidligt
- jorden
- effekt
- effekter
- effektiv
- enten
- ende
- nok
- ligninger
- etableret
- Endog
- begivenheder
- til sidst
- NOGENSINDE
- Hver
- at alt
- udviklinger
- eksempel
- udveksling
- spændende
- udstille
- eksisterer
- forvente
- forventet
- Forklar
- forklaring
- Express
- ekstra
- ekstrem
- ekstremt
- langt
- hurtigere
- Funktionalitet
- Endelig
- Finde
- Fornavn
- første gang
- fast
- Flip
- følger
- Til
- Forces
- evigt
- formularer
- Videresend
- fundet
- fra
- fuld
- Endvidere
- fremtiden
- Galaxy
- Generelt
- Georgien
- få
- Giv
- given
- giver
- Go
- mål
- gå
- godt
- reguleret
- gradvist
- bevilget
- gravitationel
- tyngdekraften
- stor
- større
- Grow
- havde
- Hår
- håndtere
- ske
- Happening
- Hård Ost
- Have
- he
- hørt
- hjælpe
- hende
- Høj
- motorveje
- hans
- historie
- håber
- håber
- Hvordan
- How To
- HTTPS
- menneskelig
- Hundreder
- hundreder af millioner
- jagt
- i
- identificere
- if
- vigtigt
- umuligt
- in
- Herunder
- Forøg
- stigende
- uafhængigt
- angivet
- uundgåeligt
- Uendelighed
- oplysninger
- iboende
- initial
- ustabilitet
- instans
- i stedet
- Institut
- interaktioner
- interesseret
- ind
- spørgsmål
- IT
- Italiensk vin
- ITS
- sluttede
- Jupiter
- lige
- Nøgle
- Venlig
- viden
- kendt
- lab
- Sprog
- stor
- vid udstrækning
- større
- Efternavn
- Sent
- senere
- Love
- føre
- Led
- mindre
- lad
- ligesom
- grænser
- Line (linje)
- Lang
- lang tid
- langsigtet
- længere
- Se
- kiggede
- UDSEENDE
- Lot
- lavet
- magasin
- maerker
- Making
- administrere
- mange
- mars
- Masse
- matematik
- matematiske
- matematik
- Kan..
- betyde
- meningsfuld
- I mellemtiden
- mekanik
- mekanismer
- Mercury
- blotte
- metoder
- Mellemøsten
- måske
- million
- millioner
- fejltagelse
- model
- modeller
- måned
- mere
- mest
- bevægelse
- bevægelser
- bevæge sig
- flytning
- meget
- flere
- skal
- gensidig
- my
- Natur
- næsten
- nødvendigvis
- Behov
- Ny
- Newton
- nat
- ingen
- nu
- observatorium
- observere
- forekom
- of
- off
- tilbydes
- on
- engang
- ONE
- kun
- åbent
- modsætning
- modsat
- or
- Orbit
- kredser
- Andet
- Andre
- vores
- ud
- udfald
- i løbet af
- egen
- par
- Papir
- papirer
- parametre
- Paris
- del
- især
- sti
- Mennesker
- perioder
- Fysik
- billede
- planet
- Planeter
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatoData
- Punkt
- position
- positioner
- mulig
- potentiale
- potentielt
- praktisk
- brug
- Forudsigelig
- smuk
- Problem
- Professor
- Progress
- bevis
- beviser
- Bevise
- bevist
- give
- PSL
- offentliggjort
- trækker
- kvalitative
- Spørgsmål
- hurtigt
- rækkevidde
- Sats
- hellere
- ægte
- realistisk
- Reality
- gik op for
- virkelig
- grund
- afspejler
- regioner
- relaterede
- relativt
- relativitetsteori
- repræsenteret
- repræsenterer
- påkrævet
- forskning
- forskere
- resultere
- Resultater
- afkast
- højre
- Said
- samme
- Santa
- satellitter
- siger
- siger
- Scale
- scenarie
- Anden
- se
- september
- indstilling
- setup
- flere
- Shape
- former
- hun
- skifte
- SKIFT
- bør
- Vis
- fremvisning
- viste
- Shows
- sidelæns
- signifikant
- betydeligt
- Simpelt
- forenklet
- siden
- Situationen
- Størrelse
- størrelser
- langsom
- langsomt
- lille
- So
- indtil nu
- sol
- Solsystem
- Løsninger
- noget
- Kilde
- Space
- taler
- særligt
- specifikke
- spektakulære
- hastigheder
- tilbringe
- Stabilitet
- stabil
- Stjerne
- Stjerner
- starte
- påbegyndt
- Starter
- starter
- forblive
- opholdt sig
- Stadig
- lige
- stærk
- struktur
- studere
- sådan
- tyder
- sommer
- Sol
- overraskende
- systemet
- Systemer
- tackle
- Tag
- tager
- teknikker
- Teknologier
- vilkår
- end
- at
- Fremtiden
- deres
- Them
- selv
- derefter
- Der.
- derfor
- Disse
- afhandling
- de
- ting
- ting
- tror
- Tænker
- Tredje
- denne
- dem
- selvom?
- tænkte
- tusinder
- tre
- Gennem
- hele
- tid
- gange
- til
- også
- Sporing
- bane
- rejse
- forsøgte
- sand
- Sandheden
- to
- typer
- ultimativ
- afdække
- under
- underliggende
- forstå
- forståelse
- Universe
- universitet
- University of California
- indtil
- brug
- anvendte
- ved brug af
- sædvanligvis
- forgæves
- Værdier
- Venus
- meget
- Wake
- Vågn op
- ønsker
- var
- Vej..
- WebP
- GODT
- gik
- var
- Hvad
- hvornår
- som
- mens
- WHO
- hvorfor
- bredt
- Wild
- vilje
- med
- inden for
- Arbejde
- arbejder
- bekymre sig
- ville
- år
- år
- Du
- zephyrnet