Neuer Beweis führt die Nadel auf ein Problem mit klebriger Geometrie ein | Quanta-Magazin

Im Jahr 1917 stellte der japanische Mathematiker Sōichi Kakeya etwas vor, das zunächst wie eine lustige Übung in Geometrie schien. Legen Sie eine unendlich dünne, zentimeterlange Nadel auf eine ebene Fläche und drehen Sie sie dann so, dass sie abwechselnd in alle Richtungen zeigt. Was ist der kleinste Bereich, den die Nadel abdecken kann?

Wenn Sie es einfach um seinen Mittelpunkt drehen, erhalten Sie einen Kreis. Aber es ist möglich, die Nadel auf erfinderische Weise zu bewegen, sodass Sie viel weniger Platz herausschneiden. Mathematiker haben seitdem eine verwandte Version dieser Frage gestellt, die Kakeya-Vermutung. Bei ihren Lösungsversuchen haben sie überraschende Verbindungen zur harmonischen Analyse, zur Zahlentheorie und sogar zur Physik entdeckt.

„Irgendwie ist diese Geometrie von Linien, die in viele verschiedene Richtungen zeigen, in einem großen Teil der Mathematik allgegenwärtig“, sagte er Jonathan Hickmann der Universität Edinburgh.

Aber es ist auch etwas, das Mathematiker immer noch nicht vollständig verstehen. In den letzten Jahren haben sie Variationen der Kakeya-Vermutung bewiesen in einfacheren Einstellungen, aber im normalen, dreidimensionalen Raum bleibt die Frage ungelöst. Eine Zeit lang schien es, als ob bei dieser Version der Vermutung jeglicher Fortschritt ins Stocken geraten wäre, obwohl sie zahlreiche mathematische Konsequenzen hat.

Nun haben zwei Mathematiker sozusagen die Nadel bewegt. Ihr neuer Beweis überwindet ein großes Hindernis das seit Jahrzehnten Bestand hat – und die Hoffnung neu entfacht, dass endlich eine Lösung in Sicht sein könnte.

Was ist der kleine Deal?

Kakeya interessierte sich für Mengen in der Ebene, die in jede Richtung ein Liniensegment der Länge 1 enthalten. Es gibt viele Beispiele für solche Sets, das einfachste ist eine Scheibe mit einem Durchmesser von 1. Kakeya wollte wissen, wie das kleinste solche Set aussehen würde.

Er schlug ein Dreieck mit leicht nach innen gebogenen Seiten vor, einen sogenannten Deltamuskel, der die halbe Fläche der Bandscheibe hat. Es stellte sich jedoch heraus, dass es noch viel, viel besser gehen kann.

Im Jahr 1919, nur ein paar Jahre nachdem Kakeya sein Problem gestellt hatte, zeigte der russische Mathematiker Abram Besicovitch, dass man eine dornig aussehende Menge mit einer beliebig kleinen Fläche konstruieren kann, wenn man seine Nadeln auf eine ganz bestimmte Weise anordnet. (Aufgrund des Ersten Weltkriegs und der Russischen Revolution gelangte sein Ergebnis mehrere Jahre lang nicht in den Rest der mathematischen Welt.)

Um zu sehen, wie das funktionieren könnte, nehmen Sie ein Dreieck und teilen Sie es entlang seiner Basis in dünnere dreieckige Stücke. Schieben Sie diese Teile dann so herum, dass sie sich so weit wie möglich überlappen, aber in leicht unterschiedliche Richtungen hervorstehen. Indem Sie den Vorgang immer wieder wiederholen – Ihr Dreieck in immer dünnere Fragmente unterteilen und diese sorgfältig im Raum neu anordnen – können Sie Ihr Set so klein machen, wie Sie möchten. Im unendlichen Grenzfall können Sie eine Menge erhalten, die mathematisch keine Fläche hat, aber paradoxerweise dennoch eine Nadel aufnehmen kann, die in eine beliebige Richtung zeigt.

„Das ist irgendwie überraschend und kontraintuitiv“, sagte er Ruixiang Zhang der University of California, Berkeley. „Es ist ein Satz, der sehr pathologisch ist.“

Dieses Ergebnis kann auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden: Es ist möglich, eine Menge mit beliebig kleinem Volumen zu konstruieren, die ein Einheitsliniensegment enthält, das in alle Richtungen zeigt n-dimensionaler Raum.

Besicovitch schien Kakeyas Frage vollständig gelöst zu haben. Aber Jahrzehnte später begannen Mathematiker, an einer anderen Version des Problems zu arbeiten, bei der sie die Fläche (oder das Volumen im höherdimensionalen Fall) durch einen anderen Größenbegriff ersetzten.

Um diese Neuformulierung der Frage zu verstehen, nehmen Sie zunächst jedes Liniensegment in einem Kakeya-Satz und machen Sie es ein wenig dicker – als ob Sie eine echte Nadel verwenden würden und nicht eine idealisierte. In der Ebene besteht Ihr Satz aus extrem dünnen Rechtecken; Im dreidimensionalen Raum entsteht eine Ansammlung extrem dünner Röhren.

Diese fetten Mengen haben immer eine gewisse Fläche (oder Volumen, aber wir bleiben vorerst beim zweidimensionalen Fall). Wenn Sie die Breite Ihrer Nadel ändern, ändert sich dieser Bereich. In den 1970er Jahren zeigte der Mathematiker Roy Davies (der letzten Monat starb), dass sich die Breite jeder Nadel drastisch ändern muss, wenn sich die Gesamtfläche um einen kleinen Betrag ändert. Wenn Sie beispielsweise möchten, dass eine dickere Version von Besicovitchs Set eine Fläche von 1/10 Quadratzoll hat, muss jede Nadel eine Dicke von etwa 0.000045 Zoll haben: e^-10 von einem Zoll, um genau zu sein. Aber wenn Sie die Gesamtfläche auf 1/100 Quadratzoll – also zehnmal kleiner – machen wollten, müsste die Nadel so sein e^-100 von einem Zoll dick. (Dreiundvierzig Nullen folgen dem Dezimalpunkt, bevor Sie zu den anderen Ziffern gelangen.)

„Wenn Sie mir sagen, wie klein die Fläche sein soll, dann muss ich eine Nadel verlangen, die einfach unglaublich dünn ist“, sagte er Karl Feffermann der Princeton-Universität.

Mathematiker messen die „Größe“ der Kakeya-Menge mithilfe einer Größe namens Minkowski-Dimension, die mit einer gewöhnlichen Dimension verwandt ist, aber nicht ganz mit dieser übereinstimmt (definiert als die Anzahl unabhängiger Richtungen, die Sie zur Beschreibung eines Raums benötigen).

Hier ist eine Möglichkeit, über die Minkowski-Dimension nachzudenken: Nehmen Sie Ihr Set und bedecken Sie es mit winzigen Kugeln, die jeweils einen Durchmesser von einem Millionstel Ihrer bevorzugten Einheit haben. Wenn es sich bei Ihrer Menge um ein Liniensegment der Länge 1 handelt, benötigen Sie mindestens 1 Million Bälle, um es abzudecken. Wenn Ihre Menge ein Quadrat der Fläche 1 ist, benötigen Sie noch viel mehr: eine Million im Quadrat oder eine Billion. Für eine Kugel mit Volumen 1 sind es etwa 1 Million Kubikmeter (eine Trillion) und so weiter. Die Minkowski-Dimension ist der Wert dieses Exponenten. Es misst die Geschwindigkeit, mit der die Anzahl der Bälle, die Sie zum Abdecken Ihres Satzes benötigen, zunimmt, wenn der Durchmesser jedes Balls kleiner wird. Ein Liniensegment hat die Dimension 1, ein Quadrat hat die Dimension 2 und ein Würfel hat die Dimension 3.

Diese Dimensionen sind bekannt. Aber mit Minkowskis Definition wird es möglich, eine Menge zu konstruieren, die beispielsweise eine Dimension von 2.7 hat. Obwohl eine solche Menge den dreidimensionalen Raum nicht ausfüllt, ist sie in gewisser Weise „größer“ als eine zweidimensionale Oberfläche.

Wenn Sie ein Set mit Kugeln eines bestimmten Durchmessers bedecken, nähern Sie sich dem Volumen der aufgefetteten Version des Sets an. Je langsamer das Volumen des Sets mit der Größe Ihrer Nadel abnimmt, desto mehr Kugeln benötigen Sie, um es zu bedecken. Sie können daher das Ergebnis von Davies – das besagt, dass die Fläche einer Kakeya-Menge in der Ebene langsam abnimmt – umschreiben, um zu zeigen, dass die Menge eine Minkowski-Dimension von 2 haben muss. Die Kakeya-Vermutung verallgemeinert diese Behauptung auf höhere Dimensionen: Eine Kakeya-Menge muss haben immer die gleiche Dimension wie der Raum, den sie bewohnen.

Es war überraschend schwierig, diese einfache Aussage zu beweisen.

Ein Turm voller Vermutungen

Bis Fefferman es machte eine verblüffende Entdeckung 1971 galt die Vermutung als Kuriosität.

Er arbeitete damals an einem ganz anderen Problem. Er wollte die Fourier-Transformation verstehen, ein leistungsstarkes Werkzeug, das es Mathematikern ermöglicht, Funktionen zu untersuchen, indem sie sie als Summen von Sinuswellen schreiben. Stellen Sie sich eine Musiknote vor, die aus vielen überlappenden Frequenzen besteht. (Deshalb klingt ein mittleres C auf einem Klavier anders als ein mittleres C auf einer Violine.) Mit der Fourier-Transformation können Mathematiker die Grundfrequenzen einer bestimmten Note berechnen. Das gleiche Prinzip gilt für Geräusche, die so kompliziert sind wie die menschliche Sprache.

Mathematiker möchten auch wissen, ob sie die ursprüngliche Funktion wiederherstellen können, wenn ihnen nur einige ihrer unendlich vielen Grundfrequenzen gegeben werden. Sie haben ein gutes Verständnis dafür, wie man dies in einer Dimension bewerkstelligen kann. Aber in höheren Dimensionen können sie unterschiedliche Entscheidungen darüber treffen, welche Frequenzen sie verwenden und welche sie ignorieren. Zur Überraschung seiner Kollegen bewies Fefferman, dass es möglicherweise nicht gelingt, die Funktion wiederherzustellen, wenn man sich auf eine besonders bekannte Methode zur Auswahl von Frequenzen verlässt.

Sein Beweis beruhte auf der Konstruktion einer Funktion durch Modifizierung der Kakeya-Menge von Besicovitch. Dies inspirierte Mathematiker später dazu, eine Hierarchie von Vermutungen über das höherdimensionale Verhalten der Fourier-Transformation zu entwickeln. Heute umfasst die Hierarchie sogar Vermutungen über das Verhalten wichtiger partieller Differentialgleichungen in der Physik, wie der Schrödinger-Gleichung. Jede Vermutung in der Hierarchie impliziert automatisch die darunter liegende.

Die Kakeya-Vermutung liegt dem Fuß dieses Turms zugrunde. Wenn es falsch ist, dann sind es auch die Aussagen weiter oben in der Hierarchie. Andererseits würde der Beweis, dass es wahr ist, nicht sofort die Wahrheit der darüber liegenden Vermutungen implizieren, aber es könnte Werkzeuge und Erkenntnisse liefern, um sie anzugreifen.

„Das Erstaunliche an der Kakeya-Vermutung ist, dass es sich nicht nur um ein Spaßproblem handelt; Es ist ein echter theoretischer Engpass“, sagte Hickman. „Wir verstehen viele dieser Phänomene in partiellen Differentialgleichungen und der Fourier-Analyse nicht, weil wir diese Kakeya-Mengen nicht verstehen.“

Einen Plan ausbrüten

Feffermans Beweis – zusammen mit später entdeckten Verbindungen zur Zahlentheorie, zur Kombinatorik und anderen Bereichen – belebte das Interesse am Kakeya-Problem unter Spitzenmathematikern wieder.

Im Jahr 1995 bewies Thomas Wolff, dass die Minkowski-Dimension eines Kakeya-Sets im 3D-Raum mindestens 2.5 betragen muss. Es stellte sich heraus, dass es schwierig war, diese Untergrenze zu erhöhen. Dann, im Jahr 1999, die Mathematiker Netz Katz, Izabella Łaba und Terence tao habe es geschafft, es zu schlagen. Ihre neue Grenze: 2.500000001. So gering die Verbesserung auch war, es überwand eine gewaltige theoretische Hürde. Ihr Papier war veröffentlicht im Annalen der Mathematik, die renommierteste Zeitschrift der Branche.

Katz und Tao hofften später, einige der Ideen aus dieser Arbeit anwenden zu können, um die 3D-Kakeya-Vermutung auf andere Weise anzugehen. Sie stellten die Hypothese auf, dass jedes Gegenbeispiel drei bestimmte Eigenschaften haben muss und dass die Koexistenz dieser Eigenschaften zu einem Widerspruch führen muss. Wenn sie dies beweisen könnten, würde das bedeuten, dass die Kakeya-Vermutung in drei Dimensionen wahr wäre.

Sie schafften es zwar nicht bis zum Ende, aber sie machten einige Fortschritte. Insbesondere zeigten sie (zusammen mit anderen Mathematikern), dass jedes Gegenbeispiel zwei der drei Eigenschaften haben muss. Es muss „plany“ sein, was bedeutet, dass immer dann, wenn sich Liniensegmente in einem Punkt schneiden, diese Segmente auch nahezu in derselben Ebene liegen. Es muss außerdem „körnig“ sein, was erfordert, dass die Ebenen benachbarter Schnittpunkte ähnlich ausgerichtet sind.

Damit blieb das dritte Anwesen übrig. In einer „klebrigen“ Menge müssen Liniensegmente, die nahezu in die gleiche Richtung zeigen, auch im Raum nahe beieinander liegen. Katz und Tao konnten nicht beweisen, dass alle Gegenbeispiele klebrig sein müssen. Aber intuitiv scheint ein Sticky-Set die beste Möglichkeit zu sein, eine große Überlappung zwischen den Liniensegmenten zu erzwingen und dadurch das Set so klein wie möglich zu machen – genau das, was Sie zum Erstellen eines Gegenbeispiels benötigen. Wenn jemand zeigen könnte, dass ein klebriges Kakeya-Set eine Minkowski-Dimension von weniger als 3 hat, würde dies die 3D-Kakeya-Vermutung widerlegen. „Es hört sich so an, als wäre ‚klebrig‘ der besorgniserregendste Fall“, sagte er Larry Gut des Massachusetts Institute of Technology.

Es ist kein Grund zur Sorge mehr.

Der Knackpunkt

Im Jahr 2014 – mehr als ein Jahrzehnt nachdem Katz und Tao versucht hatten, die Kakeya-Vermutung zu beweisen – wurde Tao haben einen Überblick über ihren Ansatz gepostet auf seinem Blog und gibt anderen Mathematikern die Möglichkeit, es selbst auszuprobieren.

In 2021, Hong Wang, ein Mathematiker an der New York University, und Josua Zahl von der University of British Columbia beschloss, dort weiterzumachen, wo Tao und Katz aufgehört hatten.

Sie gingen zunächst von der Existenz eines klebrigen Gegenbeispiels mit einer Minkowski-Dimension von weniger als 3 aus. Aus früheren Arbeiten wussten sie, dass ein solches Gegenbeispiel planar und körnig sein musste. „Wir befanden uns also in der Welt, an die Terry Tao und Nets Katz dachten“, sagte Zahl. Nun mussten sie zeigen, dass die planaren, körnigen und klebrigen Eigenschaften gegeneinander spielten und zu einem Widerspruch führten, was bedeuten würde, dass dieses Gegenbeispiel tatsächlich nicht existieren konnte.

Um diesen Widerspruch zu verstehen, wandten Wang und Zahl ihre Aufmerksamkeit jedoch einer Richtung zu, die Katz und Tao nicht erwartet hatten – einem Bereich, der als Projektionstheorie bekannt ist.

Sie begannen damit, die Struktur ihres klebrigen Gegenbeispiels genauer zu analysieren. Betrachtet man die idealisierte Version der Menge, so weist sie unendlich viele Liniensegmente auf, die in alle Richtungen zeigen. Aber denken Sie bei diesem Problem daran, dass Sie es mit verdickten Versionen dieser Liniensegmente zu tun haben – einem Haufen Nadeln. Jede dieser Nadeln kann viele der idealisierten Liniensegmente enthalten, was bedeutet, dass Sie die gesamte unendliche Menge mit einer endlichen Anzahl von Nadeln kodieren können. Je nachdem, wie dick die Nadeln sind, sieht Ihr Mastset möglicherweise ganz anders aus.

Wenn das Set klebrig ist, sieht es mehr oder weniger gleich aus, egal wie dick die Nadeln sind.

Wang und Zahl nutzten diese Eigenschaft, um zu zeigen, dass das Set immer flacher wird, je dünner die Nadeln werden. Durch diesen Prozess könnten sie „ein noch pathologischeres Objekt extrahieren“, sagte Zahl – etwas, das unmögliche Eigenschaften zu haben schien.

Das haben sie als nächstes gezeigt. Sie bewiesen, dass dieses pathologische Objekt auf zwei Arten aussehen musste, die beide zu Widersprüchen führten. Entweder könnte man es so in den 2D-Raum projizieren, dass es in viele Richtungen viel kleiner wird – etwas, das Wang und ihre Kollegen gerade hatten als unmöglich erwiesen. Oder im zweiten Fall wären die Nadeln im Set nach einer ganz bestimmten Funktion organisiert, was Zahl und seine Mitarbeiter kürzlich nachgewiesen hatten konnte nicht existieren, weil es zu anderen Arten von Projektionen führen würde, die keinen Sinn ergeben.

Wang und Zahl hatten nun ihren Widerspruch – was bedeutet, dass es keine überzeugenden Gegenbeispiele zur Kakeya-Vermutung gibt. (Sie zeigten dies nicht nur für die Minkowski-Dimension, sondern auch für eine verwandte Größe, die Hausdorff-Dimension genannt wird.) „Das Ergebnis schließt diese gesamte Klasse von Gegenbeispielen aus“, sagte Zahl – genau die Art von Menge, die Mathematiker als am wahrscheinlichsten zu widerlegen angesehen hatten die Vermutung.

Die neue Arbeit „ist ein starker Beleg dafür, dass die Kakeya-Vermutung wahr ist“, sagte er Pablo Shmerkin der University of British Columbia. Während es nur auf den dreidimensionalen Fall anwendbar ist, könnten einige seiner Techniken in höheren Dimensionen nützlich sein. Nachdem Mathematiker jahrelang Fortschritte bei der Vermutung in anderen Zahlensystemen gemacht haben, sind sie von dieser Rückkehr zum ursprünglichen Bereich der reellen Zahlen begeistert.

„Es ist bemerkenswert, dass sie diesen Fall vollständig gelöst haben“, sagte Zhang. „In der realen Umgebung ist das äußerst selten.“ Und wenn jemand beweisen kann, dass ein Gegenbeispiel klebrig sein muss, wird das neue Ergebnis die vollständige Vermutung in drei Dimensionen implizieren. Die darüber aufgebaute Hierarchie der Vermutungen bleibt dann sicher und ihr Fundament stabil.

„Irgendwie passen diese beiden unterschiedlichen Probleme der Projektionstheorie, die auf den ersten Blick nicht viel miteinander zu tun haben, ganz gut zusammen und ergeben genau das, was für Kakeya benötigt wurde“, sagte Zahl.