Mathematiker eliminieren langjährige Bedrohung für Knotenvermutungen

Vor über 60 Jahren stellte Ralph Fox ein Problem mit Knoten, das Mathematiker bis heute verfolgt. Seine Frage wird heute oft als „Slice-Ribbon-Vermutung“ formuliert, die postuliert, dass zwei scheinbar unterschiedliche Gruppen von Knoten tatsächlich gleich sind. Mit seinem Vorschlag eleganter Einfachheit in der Welt der Knoten ist es zu einem der bekanntesten Probleme in der Knotentheorie geworden. „Das würde bedeuten, dass die Welt ein bisschen strukturierter ist, als man es sonst vielleicht erwarten würde“, sagte er Arunima Strahl, Mathematiker am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn.

Jahrzehntelang wurde ein bestimmter Knoten als möglicher Weg zur Klärung der Vermutung vermutet. Doch in einem Papier veröffentlicht im letzten Sommer, fanden fünf Mathematiker heraus, dass dieser Knoten doch nicht funktionieren wird. Während die von ihnen eingeführten Argumente neue Einblicke in eine breitere Klasse von Knoten liefern werden, lässt die Arbeit als Ganzes die Mathematiker hinsichtlich der Vermutung im Ungewissen. „Ich denke, es gibt tatsächlich legitime Kontroversen darüber, ob es sich als wahr herausstellen wird oder nicht“, sagte er Kristen Hendriks, Mathematiker an der Rutgers University.

Die Slice-Ribbon-Vermutung betrifft zwei Arten von Knoten: Slice-Knoten und Ribbon-Knoten. Herauszufinden, welche Knoten Slice sind, ist „eine der grundlegenden Fragen, um die sich unser Thema dreht“, sagte er Abhishek Mallick, einer der Autoren des neuen Papiers.

Ein mathematischer Knoten kann als eine gewöhnliche Schnurschleife betrachtet werden. Mathematiker nennen eine einfache Schlaufe ohne Knoten darin „Unknoten“. (Obwohl dies kein Knoten im gewöhnlichen Sinne des Wortes ist, halten Mathematiker den Unknoten für das einfachste Beispiel eines Knotens.)

Knoten definieren auch die Grenze einer Form, die Mathematiker als Scheibe bezeichnen, obwohl sie nicht immer wie eine Scheibe im gewöhnlichen Sinne des Wortes aussieht. Das einfachste Beispiel, der Unknoten, bildet die Grenze eines Kreises – eine „Scheibe“, die tatsächlich wie eine Scheibe aussieht. Die Schlaufe bildet aber nicht nur die Grenze eines Kreises, der flach auf einem Tisch liegt, sondern auch einer Schale, die sich ins Dreidimensionale ausdehnt und verkehrt herum auf den Tisch gelegt wird. Die Scheiben, die Knoten definieren, können weiter von drei Dimensionen in vier erweitert werden.

Wenn es einen Knoten in der Schnur gibt, werden die Scheiben komplizierter. Im dreidimensionalen Raum haben diese Scheiben Singularitäten – Punkte, an denen sie sich mathematisch schlecht verhalten. Slice-Knoten sind solche, für die es möglich ist – in vier Dimensionen – eine Scheibe ohne solche Singularitäten zu finden. Scheibenknoten sind die „nächstbeste Sache zum Knoten“, wie Peter Teichner, ebenfalls vom Max-Planck-Institut, hat es ausgedrückt.

Trotzdem können die Scheiben, die in drei Dimensionen durch Slice-Knoten begrenzt sind, hässlich und schwierig zu bearbeiten sein. Die Slice-Ribbon-Vermutung besagt, dass sie es nicht unbedingt sein müssen.

Bandknoten sind Knoten, deren Scheiben Bändern ähneln. In drei Dimensionen können diese Bänder durch sich selbst hindurchgehen, genauso wie ein gewöhnliches Band durch einen Schnitt in seiner Mitte gezogen werden kann. Mathematisch wird ein solcher Durchgang Bandsingularität genannt. Im Gegensatz zu anderen Arten von Singularitäten kann die Bandsingularität leicht eliminiert werden, indem man sich in vier Dimensionen bewegt. Dies macht es Mathematikern leicht zu zeigen, dass alle Bandknoten geschnitten sind.

Das Gegenteil – dass jeder Slice-Knoten auch ein Band ist – ist die Slice-Ribbon-Vermutung, die seit Jahrzehnten eine offene Frage ist. (Um die Sache noch komplizierter zu machen, Slice-Knoten haben mehrere verwandte Klassifikationen, darunter „glattes Slice“ und „topologisches Slice“. Die Vermutung gilt nur für die Art des Knotens „glattes Slice“, was Mathematiker normalerweise mit „Slice“ meinen.)

Um die Vermutung zu widerlegen, reicht es aus, einen Knoten zu finden, der glatt geschnitten ist, aber kein Band. Jahrzehntelang hatten Mathematiker einen Kandidaten im Auge: das (2, 1)-Kabel des Achterknotens, das hergestellt wird, indem eine zweite Schnur entlang eines Achterknotens gefädelt und dann die beiden Schnüre zu einem einzigen Knoten zusammengeführt werden.

1980 bewies Akio Kawauchi, dass dieser Knoten sowohl rational als auch algebraisch geschnitten ist, Eigenschaften, die denen eines glatten Schnitts ähneln, aber nicht ganz gleich sind. 1994 bewies Katura Miyazaki, dass es kein Band ist, und hinterließ eine spannende Öffnung für Mathematiker. Wenn Kawauchis Ergebnis nur um eine Berührung verstärkt werden könnte, um zu zeigen, dass der Knoten glatt durchtrennt ist, würde dies die Vermutung widerlegen.

Das neue Papier beweist, dass der fragliche Knoten doch kein Slice ist, und schlägt diese Tür zu.

"Slice-Ribbon-Vermutung, die immer noch stark ist", sagte Hendricks, der eng mit zwei der Autoren des neuen Papiers zusammengearbeitet hat. „Das ist sehr spannend, weil man schon lange versucht hat, dieses Beispiel zu verstehen.“

Der neue Beweis basiert auf einer sogenannten verzweigten Doppelabdeckung. Sie können sich eine verzweigte Doppelhülle vorstellen, indem Sie an eine Hohlkugel denken, wie einen Basketball. Um eine verzweigte doppelte Hülle aus einem Basketball zu machen, schneide ihn entlang einer der Längenlinien von oben nach unten auf. Ziehen Sie nun an einer Seite des Gummis an der Stelle, an der Sie geschnitten haben, und strecken Sie es entlang des Äquators, bis sich das Material vollständig umwickelt. Sobald Sie diese Transformation abgeschlossen haben, haben Sie einen Basketball aus zwei austauschbaren Materialschichten, daher die „doppelte Hülle“. (In diesem Szenario kann das Gummi nach Belieben gedehnt und gedreht werden, ohne zu brechen oder zu zerknittern.)

Das „verzweigt“ in „verzweigter Doppeldeckel“ kommt von einer Eigenart der Verwandlung. Da Sie sich horizontal gedehnt haben, gibt es immer noch nur eine Schicht an den obersten und untersten Punkten der Kugel, dem Nord- und Südpol. Diese Punkte werden als Verzweigungspunkte bezeichnet, und ihre Anwesenheit macht die Doppelabdeckung zu einer verzweigten Doppelabdeckung.

In Sachen Knoten ist die verzweigte Doppelhülle so aufgebaut, dass die Verzweigungspunkte der Knoten selbst sind: die Punkte, die wie der Nord- und Südpol des Basketballs nur einmal bedeckt sind.

„In der Vergangenheit war die Betrachtung doppelt verzweigter Abdeckungen ein Standardwerkzeug des Handels“, sagte er Jennifer Hom, ein Mathematiker am Georgia Institute of Technology, der mit zwei der Autoren der neuen Arbeit zusammengearbeitet hat. Denn – so wie ein Basketball einen Luftball umgibt – die verzweigte Doppelhülle eines Scheibenknotens umgibt eine bestimmte vierdimensionale Form. Wenn Mathematiker zeigen können, dass die verzweigte Doppelhülle eines Knotens nicht die richtige 4D-Form umgibt, können sie die Möglichkeit ausschließen, dass der Knoten ein Slice ist.

Doch das funktioniert beim (2, 1)-Kabel des Achterknotens nicht ganz: Seine verzweigte Doppelhülle umschließt die richtige Art von vierdimensionaler Form. Zu zeigen, dass das (2, 1)-Kabel des Achterknotens kein Slice ist, hängt von einer oft übersehenen Symmetrie der Form ab.

Wenn Sie die Oberfläche eines Basketballs zu einer verzweigten Doppelhülle dehnen, können Sie sich vorstellen, etwas Analoges zu tun wie der dreidimensionale Luftball im Inneren. Wenn Sie das Gummi um den Ball ziehen, ziehen Sie einfach die Luft mit. So wie die beiden Gummischichten austauschbar sind, gibt es im Luftball zwei Halbkugeln, die beide an der gleichen Stelle enden. Mit anderen Worten, die Symmetrie von der Außenseite der Kugel erstreckt sich nach innen.

Ebenso reichen die Symmetrien auf der verzweigten Doppelhülle eines Scheibenknotens in den 4D-Raum hinein. Mathematiker ignorieren diese Symmetrie normalerweise, wenn sie versuchen zu zeigen, dass Knoten keine Scheiben sind. Aber in diesem Fall war es wichtig. Wenn die Autoren der neuen Arbeit zeigen könnten, dass es keine solche Symmetrie gibt, könnten sie daraus schließen, dass der Knoten kein Slice ist.

„Weil sich die Frage auf keine Symmetrie bezieht, würde man denken: Nun, wie kommt die Symmetrie ins Bild, um etwas darüber auszusagen? Aber irgendwie, magisch, kommt in diesem Fall die Symmetrie ins Bild und löst das Problem für Sie“, sagte Mallick, der das neue Papier mit verfasst hat Irving Dai der Stanford University, JungHwan Park des Korea Advanced Institute of Science and Technology, Matthäus Stoffregen der Michigan State University und Sungkyung Kang des Institute for Basic Science in Südkorea.

„Wir wussten, dass diese Struktur da war. Aber ein Grund, warum die Leute es nicht studiert haben, ist, dass wir keine Möglichkeit hatten, diese Struktur im Auge zu behalten“, sagte Ray. „Man braucht ein ausgefallenes, leistungsstarkes Tool, um das zu erkennen.“

Um das zu argumentieren, musste das Team tiefgreifende, komplizierte Mathematik im Zusammenhang mit dem Knoten und seinem umgebenden Raum anwenden und sich auf Symmetrien verlassen, die sogar subtiler sind als die der verzweigten Doppelabdeckung. In zwei frühere Papiere, Dai, Mallick und Stoffregen hatten einige dieser Eigenschaften berechnet. Als Kang letzten Sommer Stoffregen im Bundesstaat Michigan einen Besuch abstattete, das (2, 1)-Kabel des Achterknotens immer noch im Kopf hatte, erkannten die Forscher schnell, dass diese Formeln das Problem seiner Schnittigkeit lösen würden. „Es gibt eine Intuition, die mir sagte, dass diese Berechnung funktionieren sollte“, sagte Kang. „Und indem wir es einfach berechnen, sollten wir in der Lage sein, dieses Problem jetzt zu lösen.“

Ende Juli wurde ihre Zeitung online gestellt, was beweist, dass der Knoten tatsächlich kein Slice war. Die Ideen in dem Papier, sagte Park, sollten auf viele Knoten anwendbar sein, deren Schnittigkeit derzeit in Frage gestellt wird. „Das ist erst der Anfang“, sagte er. Obwohl sich dieses Papier auf einen bestimmten Knoten konzentriert, sagte Park, dass die von ihnen entwickelten Werkzeuge für weitaus allgemeinere Knotenfamilien funktionieren werden. Die Nicht-Sliceness des ursprünglichen Knotens sorgt jedoch dafür, dass die Slice-Ribbon-Vermutung vorerst ungeklärt bleibt.