Einleitung
Stellen Sie sich vor, dass sich vor Ihnen ein wabenartiges Gitter aus Sechsecken erstreckt. Einige Sechsecke sind leer; andere werden von einer 6 Fuß hohen Säule aus massivem Beton gefüllt. Das Ergebnis ist eine Art Labyrinth. Seit über einem halben Jahrhundert stellen Mathematiker Fragen zu solchen zufällig erzeugten Labyrinthen. Wie groß ist das größte Netz geräumter Wege? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es einen Weg von einem Rand zur Mitte des Gitters und wieder heraus gibt? Wie ändern sich diese Chancen, wenn das Gitter größer wird und immer mehr Sechsecke an seinen Rändern hinzugefügt werden?
Diese Fragen lassen sich leicht beantworten, wenn entweder viel Leerraum oder viel Beton vorhanden ist. Angenommen, jedem Sechseck wird sein Zustand zufällig und unabhängig von allen anderen Sechsecken zugewiesen, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit, die über das gesamte Gitter hinweg konstant ist. Es könnte beispielsweise eine Wahrscheinlichkeit von 1 % bestehen, dass jedes Sechseck leer ist. Beton drängt sich auf das Gitter und hinterlässt nur kleine Lufteinschlüsse dazwischen, sodass die Chance, einen Weg zum Rand zu finden, praktisch gleich null ist. Wenn andererseits die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Sechseck leer ist, bei 99 % liegt, gibt es nur dünne Betonwände und unterbrochene Streifen offenen Raums – kein großes Labyrinth. In diesem Fall ist es nahezu sicher, einen Weg von der Mitte zum Rand zu finden.
Bei großen Gittern kommt es zu einer bemerkenswert plötzlichen Änderung, wenn die Wahrscheinlichkeit 1/2 erreicht. So wie Eis bei genau null Grad Celsius zu flüssigem Wasser schmilzt, ändert sich der Charakter des Labyrinths an diesem Übergangspunkt, der sogenannten kritischen Wahrscheinlichkeit, drastisch. Unterhalb der kritischen Wahrscheinlichkeit liegt der größte Teil des Gitters unter Beton, während leere Wege unweigerlich in Sackgassen enden. Oberhalb der kritischen Wahrscheinlichkeit bleiben riesige Flächen leer, und es sind die Betonwände, die mit Sicherheit verfallen werden. Wenn Sie genau bei der kritischen Wahrscheinlichkeit anhalten, gleichen sich Beton und Leere aus, und keiner von beiden ist in der Lage, das Labyrinth zu dominieren.
„Am kritischen Punkt entsteht ein höherer Grad an Symmetrie“, sagte er Michael Aizenmann, ein mathematischer Physiker an der Princeton University. „Das öffnet die Tür zu einem riesigen Bereich der Mathematik.“ Es gibt auch praktische Anwendungen für alles, vom Design von Gasmasken bis hin zu Analysen, wie sich Infektionskrankheiten ausbreiten oder wie Öl durch Gestein sickert.
In einer Artikel, der letzten Herbst veröffentlicht wurdehaben vier Forscher schließlich die Chance, einen Weg für Labyrinthe zu finden, mit der kritischen Wahrscheinlichkeit von 1/2 berechnet.
Ein Wettrüsten
Als Doktorand in Frankreich Mitte der 2000er Jahre Pierre Nolin untersuchte das kritische Wahrscheinlichkeitsszenario sehr detailliert. Das Zufallslabyrinth ist seiner Meinung nach „ein wirklich schönes Modell, vielleicht eines der einfachsten Modelle, die man erfinden kann.“ Gegen Ende seines Doktoratsstudiums, das er 2008 abschloss, beschäftigte sich Nolin mit einer besonders herausfordernden Frage, wie sich ein hexagonales Gitter bei der kritischen Wahrscheinlichkeit verhält. Angenommen, Sie bauen ein Gitter um einen zentralen Punkt auf, so dass es einem Kreis ähnelt, und bauen von dort aus nach dem Zufallsprinzip Ihr Labyrinth auf. Nolin wollte die Chance erkunden, dass man einen offenen Weg finden kann, der vom Rand bis zur Mitte und wieder hinaus reicht, ohne sich selbst umzukehren. Mathematiker nennen dies einen monochromatischen zweiarmigen Pfad, da sich sowohl die nach innen als auch nach außen gerichteten „Arme“ auf offenen Pfaden befinden. (Manchmal wird davon ausgegangen, dass solche Gitter aus zwei verschiedenen Farben bestehen, beispielsweise Hellblau und Dunkelblau, und nicht aus offenen und geschlossenen Zellen.) Wenn Sie das Labyrinth vergrößern, wird auch die Länge des benötigten Pfads größer , und die Chance, einen solchen Weg zu finden, wird immer kleiner. Aber wie schnell nehmen die Chancen ab, wenn das Labyrinth beliebig groß wird?
Einfachere verwandte Fragen wurden bereits vor Jahrzehnten beantwortet. Berechnungen aus dem Jahr 1979 von Marcel den Nijs Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit ab, dass Sie einen Weg oder Arm vom Rand zur Mitte finden können. (Vergleichen Sie dies mit Nolins Forderung, dass es einen Arm hinein und einen separaten Arm geben muss.) Die Arbeit von Den Nijs sagte voraus, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Arm in einem sechseckigen Gitter zu finden, proportional zu $latex 1/n^{5/48}$ ist , Wo n ist die Anzahl der Kacheln von der Mitte bis zum Rand oder der Radius des Gitters. In 2002, Gregor Lawler, Oded Schramm und Wendelin Werner endlich erwies sich dass die einarmige Vorhersage richtig war. Um die abnehmende Wahrscheinlichkeit mit zunehmender Größe des Gitters prägnant zu quantifizieren, verwenden Forscher den Exponenten des Nenners, 5/48, der als einarmiger Exponent bekannt ist.
Nolin wollte den schwerer fassbaren monochromatischen zweiarmigen Exponenten berechnen. Numerische Simulationen im Jahr 1999 zeigte, dass er sehr nahe bei 0.3568 lag, die Mathematiker konnten den genauen Wert jedoch nicht bestimmen.
Es war viel einfacher, den sogenannten polychromatischen zweiarmigen Exponenten zu berechnen, der die Wahrscheinlichkeit charakterisiert, dass man ausgehend von der Mitte nicht nur einen „offenen“ Pfad zum Umfang, sondern auch einen separaten „geschlossenen“ Pfad finden kann. (Stellen Sie sich den geschlossenen Pfad als einen vor, der über die Betonwände des Labyrinths führt.) Im Jahr 2001 haben Stanislav Smirnov und Werner erwies sich dass dieser Exponent 1/4 war. (Da 1/4 wesentlich größer als 5/48 ist, schrumpft $latex 1/n^{1/4}$ schneller als $latex 1/n^{5/48}$ as n wächst. Die Wahrscheinlichkeit einer polychromatischen zweiarmigen Struktur ist also viel geringer als die Chance einer einarmigen Struktur, wie man erwarten könnte.)
Diese Berechnung stützte sich stark auf Kenntnisse über die Form der Cluster im Diagramm. Stellen Sie sich vor, dass ein Labyrinth bei der kritischen Wahrscheinlichkeit extrem groß ist – bestehend aus Millionen und Abermillionen von Sechsecken. Suchen Sie nun eine Ansammlung leerer Sechsecke und zeichnen Sie den Rand der Ansammlung mit einem dicken schwarzen Filzstift nach. Dies wird wahrscheinlich nicht zu einem einfachen, runden Klecks führen. Aus der Luft sieht man aus der Luft eine sich schlängelnde Kurve, die sich ständig umkehrt und oft so aussieht, als ob sie sich gleich selbst kreuzen würde, sich aber nie ganz festsetzt.
Dabei handelt es sich um einen Kurventyp namens SLE-Kurve, der von Schramm in a eingeführt wurde 2000 Papier das hat das Feld neu definiert. Ein Mathematiker, der die Chancen untersucht, einen offenen und einen geschlossenen Pfad zu finden, weiß, dass diese Pfade innerhalb größerer Cluster offener und geschlossener Stellen liegen müssen, die sich schließlich entlang einer SLE-Kurve treffen. Die mathematischen Eigenschaften der SLE-Kurven führen dann zu unschätzbaren Informationen über die Pfade im Labyrinth. Wenn Mathematiker jedoch nach mehreren Pfaden desselben Typs suchen, verlieren SLE-Kurven einen Großteil ihrer Wirksamkeit.
Bis 2007 hatten Nolin und sein Mitarbeiter Vincent Beffara numerische Simulationen erstellt, die zeigten, dass der monochromatische zweiarmige Exponent etwa 0.35 betrug. Dies lag verdächtig nahe bei 17/48 – der Summe aus dem einarmigen Exponenten 5/48 und dem polychromatischen zweiarmigen Exponenten 1/4 (oder 12/48). „17/48 ist wirklich beeindruckend“, sagte Nolin. Er begann zu vermuten, dass 17/48 die wahre Antwort war – was bedeutete, dass es einen einfachen Zusammenhang zwischen den verschiedenen Arten von Exponenten gab. Man könnte sie einfach zusammenzählen. „Wir sagten: Okay, es ist zu schön, um falsch zu sein. es muss wahr sein.“
Einleitung
Aus der Vermutung von Nolin und Beffara wurde eine Zeit lang nichts, obwohl Nolin sie auf seiner Website veröffentlichte, damit andere davon ausgehen konnten. Er zog 2017 nach Hongkong, um eine Professur an der City University of Hong Kong zu übernehmen, und arbeitete weiter an dem Problem. Im Jahr 2018 brachte er den Exponenten im Gespräch mit zur Sprache Wei Qian, der damals Postdoktorand an der Universität Cambridge in England war. Qian untersuchte Zufallsgeometrie im kontinuierlichen statt im diskreten Kontext, mit besonderem Schwerpunkt auf SLE-Kurven. Sie befand sich mitten in einem Projekt, bei dem SLE zur Berechnung von Exponenten in einem anderen Zufallsmodelltyp verwendet wurde, und Nolin begann zu vermuten, dass ihr Fachwissen auch für den monochromatischen zweiarmigen Exponenten relevant war. Das Paar fand bald eine scheinbar einfach erscheinende Gleichung, deren Lösung den Exponenten ergeben würde, aber diese Gleichung beruhte auf einer Zwischengröße, die mit dem von einer SLE-Kurve am Rand des Gitters eingeschlossenen Raum zu tun hatte. Nolin und Qian konnten diese Zahl nicht genau bestimmen.
„Ich habe viele Berechnungen durchgeführt, konnte diese Eigenschaft aber immer noch nicht berechnen“, sagte Qian. „Es gelang mir nicht, also habe ich einfach eine Zeit lang aufgehört.“
„Wir haben es niemandem gegenüber erwähnt, weil wir nicht sicher waren, ob es nützlich sein würde oder nicht“, fügte Nolin hinzu.
Der Backbone-Exponent
Der monochromatische zweiarmige Exponent ist besonders interessant, weil er auch das „Rückgrat“ eines Gitters beschreibt: die Ansammlung von Sechsecken, die mit zwei unterschiedlichen Armen verbunden sind und sich zu zwei nicht überlappenden Armen erstrecken: einem zum Rand des Labyrinths und einem zum Rand des Labyrinths sein Zentrum. Wenn diese Seiten eingefärbt werden, bilden sie ein Netz, das sich über das gesamte Raster erstreckt und als Rückgrat bezeichnet wird. Wenn Forscher die Ausbreitung von Krankheiten oder porösen Gesteinsformationen modellieren, ist das Rückgrat eine Autobahn, auf der Mikroben oder Öl fließen können. Der von Nolin und Qian gesuchte Exponent verrät die Größe des Rückgrats und wird als Rückgratexponent bezeichnet.
Nolin und Qian waren nicht die einzigen, die es auf das Rückgrat abgesehen hatten. Xin Sonne, damals an der University of Pennsylvania, hatte ebenfalls versucht, den Backbone-Exponenten zu berechnen. In den vergangenen Jahren hatten Sun und seine Mitarbeiter, darunter Nina Holden von der New York University, eine Möglichkeit gefunden, SLE-Kurven mithilfe zufälliger fraktaler Oberflächen zu untersuchen. Diese ausgedehnten, geschwungenen Flächen haben gewellte Kanten, die in lange Ranken übergehen. Einige Punkte sind nur einen Katzensprung von ihren Nachbarn entfernt, während andere eine monatelange Reise erfordern. An manchen Orten sind diese Effekte zu extrem, um sie sich vorstellen zu können. „Es ist eigentlich nicht möglich, es ganz genau zu zeichnen“, sagte Holden. „Man müsste die Oberfläche stark dehnen.“
Im Sommer 2022 engagierte Sun Zijie Zhuang, einen Doktoranden im zweiten Jahr, für die Erforschung des Zufallslabyrinths bei der kritischen Wahrscheinlichkeit. Sie betrachteten Zufallslabyrinthe, bei denen die Sechsecke auf einer zufälligen fraktalen Oberfläche statt auf einer flachen Ebene lagen. Da der Zufall bestimmt, wo und um wie viel die Oberfläche gedehnt und gestaucht wird, weist die Oberfläche einzigartige Eigenschaften auf. (Diese Eigenschaften machen solche Oberflächen auch für Physiker nützlich, die Modelle der Quantengravitation in einem zweidimensionalen Universum untersuchen, was ihnen ihren Namen gibt: Liouville-Quantengravitationsoberflächen.) Wenn Sie beispielsweise eine Schere zu einer solchen Oberfläche nehmen, werden die Formen der zwei Hälften sind nicht voneinander abhängig. „Diese Art der Unabhängigkeit vereinfacht die Dinge wirklich enorm“, sagte er Scott Sheffield des Massachusetts Institute of Technology. Wenn Dinge zufällig sind, weiß man weniger über sie, aber das bedeutet möglicherweise auch, dass weniger Informationen mühsam berücksichtigt werden müssen.
Sun und Zhuang versuchten zunächst, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass es einen offenen Pfad gab, der einen kleinen Kreis um die Mitte des Gitters mit einem größeren, ihn umgebenden Kreis verband. Nachdem sie diese Frage beantwortet hatten, schlug Sun eine Steigerung ihrer Ambitionen vor: die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Pfade gibt, die die verschachtelten Kreise verbinden, was ihnen eine Möglichkeit gegeben hätte, den Backbone-Exponenten zu berechnen. Bald jedoch gerieten sie in Schwierigkeiten. „Wir haben diesen Ansatz mehrere Monate lang ausprobiert, aber die Berechnung scheint nicht sehr nachvollziehbar zu sein“, schrieb Zhuang in einer E-Mail.
Einleitung
Obwohl es Nolin und Qian nicht gelungen war, den Wert des Exponenten zu ermitteln, machten sie in der Zwischenzeit auf andere Weise Fortschritte. Qian ließ sich von ihrer Position am französischen Nationalen Zentrum für wissenschaftliche Forschung beurlauben und kam als Professorin an die City University of Hong Kong zu Nolin. (Sie haben auch geheiratet.) Im Sommer 2021 stieß sie auf einige Artikel von Sun und seinen Mitarbeitern, die sie faszinierten. Da die Reisebeschränkungen aufgrund der Pandemie aufgehoben wurden, plante sie im Dezember 2022 einen Besuch am Institute for Advanced Study in Princeton , New Jersey, wo Sun das Jahr verbrachte.
Es war ein gewinnbringender Besuch. Als Qian die Gleichung beschrieb, die sie und Nolin gefunden hatten, begann Sun zu glauben, dass sie möglicherweise für seine und Zhuangs Technik, die Labyrinthe auf Liouville-Quantengravitationsoberflächen zu überlagern, geeignet sein könnte. „Es ist irgendwie ein Zufall“, sagte Sun. „Einer hat ein Schloss, einer hat einen Schlüssel.“
Zhuang war etwas skeptisch. „Wir haben keine Vorhersagen und wir wissen nicht einmal, ob die Formel eine schöne Lösung bieten wird“, beschrieb er den damaligen Stand der Dinge. Sun und Zhuang verbrachten die nächsten Monate damit, ihre Liouville-Quantengravitationstechniken – den Schlüssel – zu nutzen, um die schwer fassbare Größe in Nolins und Qians Gleichung von Jahren zuvor zu entschlüsseln – das Schloss.
Nach viermonatiger Arbeit hatten Sun und Zhuang das metaphorische Schloss geöffnet. Sun schickte eine E-Mail an Zhuang, Qian und Nolin und verkündete: „Tolle Neuigkeiten: Genaue Formel für den Backbone-Exponenten.“ Er fand, dass die Antwort ein mäßig komplizierter Ausdruck von Quadratwurzeln und der trigonometrischen Sinusfunktion war. Es stimmte mit den früheren Schätzungen überein, ein endloser Strom von Ziffern, beginnend mit 0.3566668.
Die vier verwandelten ihre Arbeit in eine schriftliche Arbeit und verfeinerten die Argumentation, bis sich die Ideen von Nolin und Qian auf der einen und Sun und Zhuang auf der anderen Seite zu einem Beweis zusammenfügten, den Sheffield, der Suns Doktorvater war, als „einen wunderschönen Beweis“ bezeichnete Juwel." „Die Beweisstrategie ist definitiv überraschend und sehr originell, aber wenn man sie sieht, fühlt sie sich auch irgendwie natürlich an“, sagte Holden.
Nolin beklagt seinen Verdacht aus dem Jahr 2011, dass der Exponent genau 17/48 betrug. „Wir haben das Feld lange Zeit in die Irre geführt. Ich bin nicht sehr stolz darauf.“ Der Backbone-Exponent unterscheidet sich deutlich von seinen polychromatischen Verwandten. Es ist nicht nur irrational, sondern auch transzendental, was bedeutet, dass es wie $latex pi$ und ekann es nicht als Lösung einer einfachen Polynomgleichung geschrieben werden.
„Der Beweis erklärt nicht wirklich, woher diese Formel kommt“, sagte er. „Wir haben es Physikern gezeigt und freuen uns sehr auf ihre Erkenntnisse.“
Die transzendentale Natur des Rückgratexponenten erregte die Aufmerksamkeit anderer auf diesem Gebiet. Gregory Huber vom Chan Zuckerberg Biohub, Mitautor von a Folgeartikel über den Backbone-Exponenten sagte er, dass das Ergebnis der „erste Blick auf einen neuen Kontinent“ in der statistischen Mechanik sei. Obwohl die Kombination von SLE-Kurven und Liouville-Quantengravitation äußerst technisch sei, sei die klare und einfache numerische Antwort, die dabei herauskam, „erstaunlich einfach und elegant“, schrieb er.
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- Quelle: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
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