Pierre de Fermats Link zum besten Mathematikbeweis eines Oberstufenschülers | Quanta-Magazin

Wie viele Mathematikstudenten träumte ich von mathematischer Größe. Ich dachte, ich wäre einmal nah dran. Eine schwierige Algebra-Aufgabe im College ließ mich bis spät in die Nacht arbeiten. Nach stundenlangem Kampf spürte ich, dass ein Durchbruch bevorstand. Ich habe Ausdrücke geschickt manipuliert. Ich habe faktorisiert, multipliziert und vereinfacht, bis sich meine Entdeckung schließlich offenbarte:

$Latex 1 + 1 = 2$.

Ich konnte nicht anders als zu lachen. Die Welt wusste bereits, dass $Latex 1 + 1 = 2$ ist, also sollte „Honners Theorem“ nicht gelten. Und obwohl viele junge Mathematiker die Enttäuschung über den nicht ganz bahnbrechenden Durchbruch erlebt haben, ist das Bemerkenswerte Geschichte von Daniel Larsen hält den Traum am Leben.

Larsen war 2022 Gymnasiast, als er ein Ergebnis über eine bestimmte Art von Zahl bewies, das den Mathematikern jahrzehntelang entgangen war. Er bewies, dass Carmichael-Zahlen – eine merkwürdige Art von Nicht-Primzahlzahlen – häufiger vorkommen als bisher bekannt, und begründete damit einen neuen Satz, der für immer mit seiner Arbeit verbunden sein wird. Was sind also Carmichael-Zahlen? Um das zu beantworten, müssen wir in die Vergangenheit reisen.

Pierre de Fermat trägt seinen Namen auf einem der berühmtesten Theoreme der Mathematik. Über 300 Jahre lang galt Fermats letzter Satz als ultimatives Symbol unerreichbarer mathematischer Größe. Im 1600. Jahrhundert kritzelte Fermat in ein Buch, das er gerade las, eine Notiz über seinen vorgeschlagenen Satz und behauptete, er wisse, wie er ihn beweisen könne, ohne Einzelheiten anzugeben. Mathematiker versuchten, das Problem selbst zu lösen, bis Andrew Wiles es schließlich in den 1990er Jahren mit neuen Techniken bewies, die Hunderte Jahre nach Fermats Tod entdeckt wurden.

Aber es ist Fermats weniger berühmter „kleiner Satz“, der sich auf Carmichael-Zahlen bezieht. Hier ist eine Möglichkeit, es auszudrücken:

Bei einer gegebenen Primzahl $latex p$ ist für jede ganze Zahl $latex a$ die Menge $latex a^p – a$ durch $latex p$ teilbar.

Nehmen Sie zum Beispiel die Primzahl $latex p = 11$ und die ganze Zahl $latex a = 2$. Fermats kleiner Satz besagt, dass $latex 2^{11} – 2 = 2046$ durch 11 teilbar ist, und es lautet: $latex 2046 div 11 = 186$. Oder nehmen Sie $latex p = 7$ und $latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 mal 2340$, also ist $latex 4^7 – 4$ tatsächlich durch 7 teilbar.

Anders als bei Fermats letztem Satz dauerte es nicht 300 Jahre, um seinen kleinen Satz zu lösen. Weniger als ein Jahrhundert später veröffentlichte Leonhard Euler einen Beweis. Und weil es um Primzahlen geht, haben die Leute Wege gefunden, sie zu nutzen.

Eine Möglichkeit, den kleinen Satz von Fermat zu verwenden, besteht darin, zu zeigen, dass eine Zahl keine Primzahl ist. Nehmen wir an, Sie fragen sich, ob 21 eine Primzahl ist oder nicht. Wenn 21 eine Primzahl wäre, müsste nach dem kleinen Satz von Fermat für jede ganze Zahl $latex a$ $latex a^{21}$ – $latex a$ durch 21 teilbar sein. Aber wenn Sie einige Werte von $ ausprobieren Latex a$ Sie sehen, dass das nicht funktioniert. Beispiel: $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, was kein Vielfaches von 21 ist. Da es Fermats kleinen Satz nicht erfüllt, kann 21 daher keine Primzahl sein.

Dies scheint eine alberne Methode zu sein, um zu überprüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist. Schließlich wissen wir, dass $Latex 21 = 3 mal 7$ ist. Doch die Prüfung, ob große Zahlen Primzahlen sind, ist in der modernen Mathematik eine zeitaufwändige und wichtige Aufgabe, weshalb Mathematiker immer nach Abkürzungen suchen. Zu diesem Zweck haben sich Mathematiker gefragt, ob die Umkehrung von Fermats kleinem Satz wahr sein könnte.

Was ist die Umkehrung eines Theorems? Sie erinnern sich vielleicht aus dem Mathematikunterricht daran, dass ein Theorem als eine bedingte Aussage der Form „wenn“ betrachtet werden kann P dann Q.“ Ein Satz besagt, dass, wenn die P Teil (der Antezedens oder die Hypothese) wahr ist, dann Q Teil (die Konsequenz oder Konklusion) muss ebenfalls wahr sein. Die Umkehrung eines Theorems ist die Aussage, die man erhält, wenn man Antezedens und Konsequenz vertauscht. Die Umkehrung von „Wenn P dann Q“ ist die Aussage „Wenn Q dann P"

Betrachten wir den Satz des Pythagoras. Uns wird oft gesagt, dass dort $latex a^2 + b^2 = c^2$ steht. Aber das ist nicht ganz richtig. Der Satz des Pythagoras ist eigentlich eine bedingte Aussage: Er besagt, dass, wenn ein rechtwinkliges Dreieck die Seitenlängen $latex a$, $latex b$ und $latex c$ hat, wobei $latex c$ die Länge der Hypotenuse ist, dann $latex a ^2 + b^2 = c^2$. Was ist also das Gegenteil? Darin heißt es: Wenn die Seitenlängen $latex a$, $latex b$ und $latex c$ die Gleichung $latex a^2 + b^2 = c^2$ erfüllen, dann handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

Es ist verlockend zu glauben, dass die Umkehrung eines Theorems immer wahr ist, und viele Studenten sind in diese Falle getappt. Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras ist wahr, was uns zu dem Schluss führt, dass ein Dreieck mit den Seitenlängen 9, 40 und 41 ein rechtwinkliges Dreieck sein muss, da $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. Aber die Umkehrung einer wahren Aussage muss nicht wahr sein: Während es beispielsweise wahr ist, dass, wenn $latex x$ eine positive Zahl ist, auch $latex x^2$ positiv ist, gilt das Gegenteil – wenn $latex x^2$ positiv ist eine positive Zahl, dann ist $latex x$ positiv – nicht, da $latex (-1)^2$ positiv ist, −1 selbst jedoch nicht.

Es ist gute mathematische Praxis, die Umkehrung einer Aussage zu untersuchen, und Mathematiker, die nach Primzahltests suchen, wollten wissen, ob die Umkehrung von Fermats kleinem Satz wahr ist. Die Umkehrung besagt, dass bei gegebener Ganzzahl $latex q$, wenn die Zahl $latex a^q – a$ für jede ganze Zahl $latex a$ durch $latex q$ teilbar ist, $latex q$ eine Primzahl sein muss. Wenn dies wahr wäre, würde es einen Teil der rechnerischen Arbeit umgehen, zu prüfen, ob $latex q$ durch andere Zahlen als 1 und sich selbst teilbar ist. Wie so oft in der Mathematik führte diese eine Frage zu neuen Fragen, die letztendlich zu einigen neuen mathematischen Ideen führten.

Wenn Sie beginnen, die Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat zu erforschen, werden Sie feststellen, dass dies für viele Zahlen gilt. Beispielsweise ist für jede ganze Zahl $latex a$ die Zahl $latex a^2 – a$ durch 2 teilbar. Sie können dies sehen, indem Sie $latex a^2 – a$ als $latex a mal (a-1) faktorisieren. $. Seit a und $latex a − 1$ sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen, eine davon muss gerade sein und ihr Produkt muss daher durch 2 teilbar sein.

Ähnliche Argumente zeigen, dass $latex a^3 – a$ immer durch 3 teilbar ist und $latex a^5 – a$ immer durch 5 teilbar ist (weitere Einzelheiten finden Sie in den Übungen unten). Die Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat gilt also für 3 und 5. Die Umkehrung sagt uns, was wir auch für kleine Nicht-Primzahlen erwarten. Wenn wir damit prüfen, ob 4 eine Primzahl ist oder nicht, berechnen wir $latex 2^4 – 2$ und stellen fest, dass 14 nicht durch 4 teilbar ist.

Tatsächlich können Sie bis zur Zahl 561 nachprüfen, und alles deutet darauf hin, dass die Umkehrung von Fermats kleinem Theorem wahr ist. Primzahlen kleiner als 561 teilen $latex a^p – a$ für jeden a, und Nicht-Primzahlen kleiner als 561 nicht. Aber das ändert sich bei 561. Mit etwas fortgeschrittener Zahlentheorie kann gezeigt werden, dass $latex a^{561} – a$ immer durch 561 teilbar ist. Wenn also die Umkehrung von Fermats kleinem Satz wahr wäre, dann müsste 561 eine Primzahl sein . Aber es ist nicht: $latex 561 = 3 × 11 × 17$. Die Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat ist also falsch.

Mathematiker nennen Zahlen wie 561 „Pseudoprimzahlen“, weil sie einige Bedingungen erfüllen, die mit der Primzahl verbunden sind (z. B. die Division von $latex a^p – a$ für alle). a), sind aber eigentlich keine Primzahlen. Es wurden weitere Gegenbeispiele zur Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat gefunden – die nächsten drei sind 1,105, 1,729 und 2,465. Diese wurden als Carmichael-Zahlen bekannt, benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Robert Carmichael. Nachdem sie entdeckt wurden, tauchten neue Fragen auf: Gibt es andere Möglichkeiten, Carmichael-Zahlen zu identifizieren? Haben sie noch weitere besondere Eigenschaften? Gibt es davon unendlich viele? Wenn ja, wie häufig kommen sie vor?

Es war diese letzte Frage, die letztendlich die Aufmerksamkeit von Daniel Larsen erregte. Mathematiker hatten bewiesen, dass es tatsächlich unendlich viele Carmichael-Zahlen gab, aber um dies zu zeigen, mussten sie Carmichael-Zahlen konstruieren, die sehr weit voneinander entfernt lagen. Dies ließ die Frage offen, wie diese unendlich vielen Carmichael-Zahlen entlang der Zahlenlinie verteilt sind. Sind sie von Natur aus immer weit voneinander entfernt oder treten sie möglicherweise häufiger und regelmäßiger auf, als dieser erste Beweis zeigte?

Solche Fragen zu Pseudoprimzahlen erinnern an ähnliche und wichtige Fragen zu den Primzahlen selbst. Vor zweitausend Jahren bewies Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, aber es dauerte viel länger, um zu verstehen, wie die Primzahlen auf der Zahlenlinie verteilt sind. Im 1800. Jahrhundert zeigte Bertrands Postulat, dass es für jedes $latex n > 3$ immer eine Primzahl zwischen $latex n$ und $latex 2n$ gibt. Dies gibt uns eine Vorstellung davon, wie oft Primzahlen auf unserem Weg entlang der Zahlengeraden zu erwarten sind.

Mathematiker fragten sich, ob eine Version von Bertrands Postulat für Carmichael-Zahlen zutrifft. Das fragte sich auch Daniel Larsen und baute dabei auf der Arbeit einiger berühmter moderner Mathematiker auf – der Fields-Medaillengewinner James Maynard und Terence Tao, unter anderem – Er wandte seine Neugier zu einem neuen Ergebnis über die Verteilung der Carmichael-Zahlen. Und während junge Mathematiker wahrscheinlich nicht damit rechnen sollten, so viel zu erreichen, während sie ihre heutigen Hausaufgaben erledigen, sollten Daniel Larsens harte Arbeit, Ausdauer und Erfolg sie dazu inspirieren, weiterzumachen, selbst wenn sie es tun etwas erneut beweisen, was wir bereits wissen.

Übungen

1. Verwenden Sie die Faktorisierung, um zu zeigen, dass $latex a^3 – a$ immer durch 3 teilbar ist, wenn $latex a$ eine natürliche Zahl ist.

2. Die Aussage „Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind die Diagonalen des Vierecks deckungsgleich“ ist wahr. Ist das Gegenteil der Fall?

3. Zeigen Sie, dass, wenn $latex a$ eine natürliche Zahl ist, die Zahl $latex a^5 – a$ immer durch 5 teilbar ist.