Einleitung
Die Idee der Unendlichkeit ist wahrscheinlich ungefähr so alt wie die Zahlen selbst und geht auf die Zeit zurück, als die Menschen zum ersten Mal erkannten, dass sie ewig weiterzählen könnten. Aber obwohl wir ein Zeichen für Unendlichkeit haben und uns in beiläufigen Gesprächen auf das Konzept beziehen können, bleibt die Unendlichkeit selbst für Mathematiker zutiefst mysteriös. In dieser Folge plaudert Steven Strogatz mit seinem Mathematikerkollegen Justin Moore der Cornell University darüber, wie eine Unendlichkeit größer als eine andere sein kann (und ob wir sicher sein können, dass es zwischen ihnen keine Zwischen-Unendlichkeit gibt). Sie diskutieren auch, wie Physiker und Mathematiker die Unendlichkeit unterschiedlich verwenden und welche Bedeutung die Unendlichkeit für die Grundlagen der Mathematik hat.
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Abschrift
Steven Strogatz (00:03): Ich bin Steve Strogatz, und das ist Die Freude am Warum, ein Podcast von Quanta Magazine Das führt Sie zu einigen der größten unbeantworteten Fragen in Mathematik und Naturwissenschaften von heute.
(00:13) In dieser Folge werden wir über die Unendlichkeit sprechen. Niemand weiß wirklich, woher die Idee der Unendlichkeit stammt, aber sie muss sehr alt sein – so alt wie die Hoffnungen und Ängste der Menschen in Bezug auf Dinge, die möglicherweise ewig andauern könnten. Einige von ihnen sind beängstigend, wie bodenlose Abgründe, und einige von ihnen erhebend, wie endlose Liebe. In der Mathematik ist die Idee der Unendlichkeit wahrscheinlich so alt wie die Zahlen selbst. Als die Leute erkannten, dass sie einfach ewig weiterzählen konnten – 1, 2, 3 und so weiter. Aber obwohl die Unendlichkeit eine sehr alte Idee ist, bleibt sie zutiefst mysteriös. Seit Jahrtausenden grübeln die Menschen über die Unendlichkeit, spätestens seit Zenon und Aristoteles im antiken Griechenland.
(00:57) Aber wie verstehen Mathematiker heute die Unendlichkeit? Gibt es verschiedene Größen von Infinity? Ist Unendlich für Mathematiker nützlich? Und wenn ja, wie genau? Und was hat das alles mit den Grundlagen der Mathematik selbst zu tun?
(01:14) Justin Moore, Professor für Mathematik an der Cornell University, gesellt sich heute zu mir, um über Unendlichkeit zu diskutieren. Seine Forschungsinteressen umfassen Mengenlehre, mathematische Logik und unendliche Kombinatorik und deren Anwendungen auf andere Bereiche der Mathematik, wie Topologie, Funktionalanalysis und Algebra. Willkommen, Justin.
Justin Moore (01:33): Hey, Steve. Danke für die Einladung.
Strogatz (01:35): Ja, ich freue mich sehr, mit dir zu sprechen. Ich sollte sagen, vielleicht zur vollständigen Offenlegung, Justin ist mein Freund und Kollege in der mathematischen Abteilung von Cornell. OK, dann gehen wir also los und denken über die Unendlichkeit nach, wie Mathematiker darüber nachdenken. Vielleicht sollten wir, bevor wir in den mathematischen Teil eintauchen, einfach eine Sekunde über die reale Welt sprechen, denn wir werden nicht lange dort sein. Habe ich recht, dass Sie einst in der Welt der Physik ausgebildet wurden?
Moore (02:02): Ja, es war ein Physik-Doppelstudium mit Mathematik, als ich Student war. Ich bin in Physik irgendwie ausgebrannt. Ich fing an, Physik zu bevorzugen und interessierte mich auch eher in der Freizeit für Mathematik. Und irgendwie habe ich mich im Laufe der Zeit mehr für Mathematik und Physik interessiert.
Strogatz (02:18): Okay. Nun, was ist mit der Physik der Unendlichkeit? Macht es überhaupt Sinn? Gibt es unendlich viele Dinge in der realen Welt, von denen wir wissen?
Moore (02:26): Wissen Sie Dieses Video, Die Zehnerpotenzen, das von Charles und Ray Eames geschaffen wurde? Wo im Grunde alle – ich denke, es sind alle 10 Sekunden, bist du eine Potenz von 10 kleiner. Nun, zunächst denke ich, eine Potenz von 10 größer. Sie zoomen heraus. Und dann bist du alle 10 Sekunden um eine Zehnerpotenz kleiner und gehst von der größten Skala des Universums hinunter zur kleinsten Skala subatomarer Teilchen. Weißt du, das wurde damals, ich möchte sagen, in den späten 10ern oder frühen 70ern gemacht. Und ich denke, unser Verständnis einiger Dinge hat sich seitdem ein wenig weiterentwickelt, aber nicht enorm. Aber ich meine, der Punkt ist, dass es ungefähr 80 Potenzen von 40 gibt, die die kleinste Längenskala von der größten Längenskala trennen, und vielleicht können Sie großzügig sein und einige zusätzliche Potenzen von 10 einwerfen, nur zur Sicherheit. Aber es ist fair zu sagen, dass man in der Physik nichts messen kann, was größer als 10 ist100 oder 10200 oder sowas ähnliches.
(03:22) Und vielleicht ist unser Konzept, dass die Dinge kontinuierlich sind – kontinuierliche Bewegung oder was auch immer – vielleicht ist das alles nur eine Illusion. Vielleicht ist alles wirklich granular und endlich. Aber wahr ist, dass Physiker sicherlich viel über die Welt, in der wir leben, entdeckt haben, indem sie sich vorgestellt haben, dass die Dinge glatt und kontinuierlich sind und dass die Unendlichkeit Sinn macht. Wenn Sie sich mit den Bereichen der Physik befassen, in denen die Dinge noch nicht wirklich formalisiert sind, sind viele der Probleme, die Mathematiker mit dieser Verkürzung auf die Physiker haben, die Art, Unendlichkeit auf verschiedene Art und Weise zu behandeln und Unendlichkeiten von Unendlichkeiten zu subtrahieren , und vielleicht nicht so verantwortlich dafür, wie ein Mathematiker es gerne hätte. Ich glaube nicht, dass das wirklich eine umstrittene Aussage ist. Ich denke, ein Physiker würde – die meisten Physiker wahrscheinlich – ich meine, okay, vielleicht wüssten Sie es besser. Aber ich glaube, die meisten Physiker würden sagen, dass das eine ziemlich korrekte Aussage ist.
Strogatz (04:20): Also, in Bezug auf Ihre eigene persönliche Geschichte – ich verspreche, ich werde nicht zu tief gehen, um Sie in Verlegenheit zu bringen – aber was hat Sie in die Unendlichkeit gezogen? War Ihnen die Physik irgendwie zu klein? Oder magst du einfach die Strenge der Mathematik, oder…?
Moore (04:33): Ich meine, ich glaube, ich habe mich für Mathematik als Ganzes interessiert und bin von der Physik weggewachsen, bevor ich mich speziell für die Mengenlehre interessiert habe. Ironischerweise lag es daran, dass ich – naja, wenn du einen Physikkurs besuchst, wirst du irgendwann ziemlich schnell und locker mit der Mathematik. Und entweder bist du damit einverstanden oder nicht. Ich war einer der Menschen, die damit nicht einverstanden waren.
Strogatz (04:56): Huh. Und ich war einer, der in Ordnung war, und ich mache es immer noch. Weißt du, ich meine, diese Dinge haben mich nicht allzu sehr beunruhigt, obwohl ich die Sorgfalt respektiere, die – die intellektuelle Integrität, die reine Mathematiker haben, sich über diese Dinge Sorgen zu machen.
(05:11): OK, also angenommen, ich wäre nur, ich weiß nicht, wie ein neugieriger Teenager, und ich weiß nicht einmal, was Unendlichkeit ist. Was würden Sie sagen, es ist? Soll ich es als eine sehr große Zahl betrachten? Ist es irgendein Symbol? Ist es eine Immobilie? Was ist ein guter Weg, um darüber nachzudenken, was Unendlichkeit ist?
Moore (05:26): Ja, ich meine, ich denke, es ist – es kann ein idealisierter Punkt am Ende der Linie sein, okay? Es kann ein formales Symbol sein. Weißt du, man kann es sich ungefähr so vorstellen … ein formales Symbol im gleichen Sinne wie sagen wir, wir führen -1 ein, richtig? Und ich erinnere mich, dass Lehrer, als ich ein kleines Kind war, nicht bereit waren, klarzustellen, ob es sicher ist, über negative Zahlen zu sprechen. Und, richtig, das klingt im Nachhinein albern, aber auf einer gewissen Ebene, richtig, existiert -1 in der realen Welt? Aber Sie können es formell manipulieren und Sie können die Unendlichkeit auf einer gewissen Ebene formell manipulieren, aber Sie müssen vielleicht ein bisschen mehr Sorgfalt zeigen. Sie können die Unendlichkeit auch verwenden, um zu quantifizieren, wie viele von etwas vorhanden sind. Und das öffnet dort mehr Türen, weil man davon sprechen kann, dass es unendlich viele Sets gibt, von denen einige größer sind als andere.
Strogatz (06:15): Okay. In Ordnung. Sie haben also dieses Wort „Sets“ erwähnt, und wir werden heute sicherlich viel über Sets sprechen. Ich habe gesagt, dass Sie sich für Mengenlehre interessieren. Möchtest du noch etwas darüber sagen, was du mit einem Set meinst?
Moore (06:26): Ich denke, ich … Die Antwort ist sowohl Ja als auch Nein. Ich denke also, es ist in Ordnung, am Hosenboden vorbeizufliegen und es einfach als eine undefinierte Vorstellung zu betrachten und es irgendwie intuitiv zu verwenden. Aber es wurde auch als ein Mechanismus verwendet, um die Grundlagen für die Mathematik zu schaffen, als die Leute erkannten, dass wir welche brauchen, um eine sorgfältige Grundlage dessen zu schaffen, was Mathematik ist.
Strogatz (06:49): Äh huh. Das ist interessant. Weil ich – so gerne – als kleine Kinder lernen wir, an unseren Fingern zu zählen, oder unsere Eltern fangen wahrscheinlich an, Wörter zu sagen, und dann könnten sie auf Dinge zeigen und sagen: „1, 2, 3 …“ Und wir haben Geräusche gelernt – Kinder so, wenn sie sehr klein sind, ich weiß, oder? Ich meine, wenn Sie selbst kleine Kinder oder Verwandte haben. Da ist also diese Seite der Dinge. Und ich denke, die meisten Leute würden denken, dass Zahlen die Grundlage der Mathematik sind. Aber Sie sagen, und ich denke, die meisten Mathematiker würden zustimmen, dass es etwas noch Tieferes als Zahlen gibt, nämlich dieses Konzept von Mengen, richtig?
Moore (07:22): Ich denke, das Konzept „Set“ entstand als grundlegendes Konzept, weil es so grundlegend und so primitiv ist. Und wenn Sie etwas haben wollen, das Sie als Stoff für Mathematik verwenden können, möchten Sie mit etwas beginnen, dessen grundlegende Eigenschaften sehr primitiv erscheinen, und dann von dort aus beginnen. Und dann ist die Idee, dass Sie dann Mengen verwenden, um Dinge wie die Zählzahlen und Dinge wie die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen und so weiter zu codieren. Und von da an alle möglichen anderen komplizierteren mathematischen Konstruktionen, wie Mannigfaltigkeiten oder was auch immer.
Strogatz (07:57): So kann ich mich erinnern, in a Sesamstraße Folge, die ich früher mit meinen Kindern geschaut habe. Es war in einem Film; Ich denke, es war. Dass es einen Charakter gibt, der Fisch für einen Raum voller hungriger Pinguine bestellt hat. Und er bat die Pinguine zu rufen und sie sagen: „Fisch, Fisch, Fisch, Fisch, Fisch, Fisch.“ Und dann ruft der Kellner runter in die Küche: „Fisch, Fisch, Fisch, Fisch, Fisch.“ Und dann sagt jemand anderes: „Nein, das hast du falsch verstanden.“ Und jemand anderes sagt: „Nun, warum hast du nicht einfach gesagt, dass sie sechs Fische bestellt haben?“ Aber es macht deutlich, dass diese Idee einer Reihe von Objekten nach dieser Sammlung von Fischobjekten kommt. Und dann ist ein anderer Charakter überrascht und sagt: „Funktioniert es für Zündkerzen? Und Zimtschnecken?“
Moore (08:42): Ich meine, ich denke auch, es ist nur, wenn Sie daran interessiert sind, zu versuchen, es zu verstehen, können Sie das beweisen? Oder kannst du das beweisen? Und Sie versuchen, die Regeln aufzustellen, wie Sie Dinge beweisen würden oder was auch immer, Sie möchten, dass die Grundprinzipien so einfach wie möglich sind. Anstatt zu versuchen, Regeln aufzuschreiben, wie Arithmetik funktioniert, schreiben Sie zunächst einfachere Regeln für einfachere Dinge auf und bauen dann Arithmetik aus diesen grundlegenderen Bausteinen auf.
Strogatz (09:08): Okay. Also, und das erinnert mich auch an „New Math“, als wir als Kind in den 60er Jahren etwas über Schnittpunkte und Venn-Diagramme und Vereinigungen lernten, richtig? Das war der Beginn der Mengenlehre. Sie haben es uns in – ich weiß nicht mehr – in der zweiten oder dritten Klasse beigebracht; Meine Eltern wussten nicht warum. Aber ich schätze, es waren Mathematiker Ihres Typs oder andere, die dachten, Kinder sollten Mengen lernen, entweder bevor oder gleichzeitig sie etwas über Arithmetik lernen.
Moore (09:33): Ja, das meiste, was die Leute in Mengentheorie studieren, ich meine, heutzutage geht es wirklich darum, wie unendliche Mengen funktionieren. Weil unsere Intuition über unendliche Mengen nicht so gut ist wie unsere Intuition über endliche Mengen. Und ich denke, das ist einer der Gründe, warum der Antrieb für Stiftungen da war. Das lag zum Teil daran, dass wir gerne aufschreiben würden, OK, was sollten unserer Meinung nach die Eigenschaften von unendlichen Mengen und Mengen im Allgemeinen sein, und dann versuchen, daraus zu entwickeln, was über unendliche Mengen wahr ist?
Strogatz (10:03): OK, warum haben wir dann nicht ein paar Beispiele? Können Sie mir einige Beispiele für Dinge nennen, die unendliche Mengen sind?
Moore (10:08): Nun, wie die natürlichen Zahlen. Wie Sie sagten – wie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und so weiter – aber auch Dinge wie die rationalen Zahlen. Sie wissen schon, Brüche wie zwei natürliche Zahlen übereinander, oder vielleicht ein negativer Bruch. Aber dann gibt es auch Dinge wie die reellen Zahlen, wo – Sie wissen schon, alles, was Sie mit einer Dezimalzahl ausdrücken können, einschließlich Dinge wie Pi und e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Sie könnten also unendlich viele Nachkommastellen haben.
Moore (10:32): Ja, ja, unendlich viele Ziffern. Sie müssen nicht wiederholt werden.
Strogatz (10:35): Äh huh. Und was ist mit Dingen wie Formen oder Punkten oder geometrischen Dingen, nicht nur mit numerischen Dingen?
Moore (10:41): Ja, man kann auch über Ansammlungen geometrischer Formen sprechen.
Strogatz (10:45): OK, das ist also eine nette Eigenschaft von Mengen: dass wir uns mit Mengen vereinheitlichen oder zumindest eine gemeinsame Sprache haben können, um über Arithmetik, Geometrie, … zu sprechen.
Moore (10:54): Richtig.
Strogatz (10:55): Ich nehme an, wir könnten über eine Reihe von Funktionen sprechen, wenn wir einen Vorkalkulationskurs belegen würden. Sie wissen, wie die Menge der stetigen Funktionen, wenn wir in einem Analysiskurs wären.
Moore (11:04): Sicher. Ja.
Strogatz (11:05): Oder was auch immer. Also ja, das gibt uns also eine gemeinsame Sprache für alle verschiedenen Teile der Mathematik.
Moore (11:09): Richtig.
Strogatz (11:10): Und – aber es ist eine relativ neue Idee als Grundlage der Mathematik im Hinblick auf die gesamte Geschichte der Mathematik, finden Sie nicht?
Moore (11:16): Ja, ich meine, ich … Nun, die moderne Mathematik, wie wir sie kennen, ist ungefähr zwischen 100 und 150 Jahre alt. Aber ich verbinde es normalerweise damit – in der ersten Hälfte des letzten Jahrhunderts begannen wir wirklich zu sehen, wie sich alle wichtigen Teile der Mathematik, wie wir sie heute kennen, zu entwickeln begannen und wirklich eigenständige Themen wurden. Und das war auch ungefähr zur gleichen Zeit, als [Bertrand] Russell sein Paradoxon entdeckte, das die Notwendigkeit einer Art strenger Grundlagen für die Mathematik anspornte.
Strogatz (11:49): Äh, hm. Wir sollten erwähnen – ja. Bertrand Russell, über den wir jetzt sprechen, ist also oft besser als Philosoph oder Pazifist bekannt, und doch war er ein ziemlich starker Mathematiker und Logiker, jemand, der sich für Logik als Teil der Mathematik interessierte.
Moore: Ja Ja.
Strogatz (12:04): Also, wie Sie sagen, er war einer der Leute, die geholfen haben, die Mengenlehre wirklich ins Rollen zu bringen. Und noch vor ihm war dieser Herr, Georg Kantor, über die wir noch viel sprechen werden, in Deutschland im späten 1800. Jahrhundert.
(12:17): OK, also wie verwenden Mathematiker innerhalb der Mathematik, sagen wir, Unendlich? Sie haben erwähnt, wie hilfreich es sein kann. Wo kommt es zum Einsatz?
Moore (12:27): Ja, also, im Mathematikunterricht ist es ein nützliches Symbol für bestimmte Berechnungen. Sprechen Sie darüber, wie sich eine Funktion verhält, wenn die Eingabe sehr groß wird. Sie können über die Grenze bei Unendlich sprechen oder über Mengenverhältnisse, wenn eine Zahl gegen Null oder Unendlich geht oder so etwas. Das ist eine Vorstellung von Unendlichkeit, die im ersten Sinne, den ich erwähnt habe, wo Sie die Unendlichkeit als einen idealisierten Punkt am Ende der Linie betrachten.
(12:53) Aber man kann auch darüber sprechen – wissen Sie, Sie können, Sie können darüber sprechen, die Anzahl der Elemente einer Sammlung oder eines Satzes zu zählen und entweder zu verfolgen, wie endlich viele Elemente sie hat, oder vielleicht, wenn es unendlich viele Elemente hat, versuchen, zwischen verschiedenen Größen der Unendlichkeit zu unterscheiden. Ich meine, jeder versteht – oder gibt vor zu verstehen – den Unterschied zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit. Und ich denke Cantors bemerkenswerte Entdeckung war, dass Sie für eine unendliche Menge weitere Unterscheidungen treffen können. Man kann unterscheiden zwischen dem, was man zählbar nennt, und dem, was man unzählbar nennt. Oder auch nur allgemein höhere überzählbare Kardinäle als Unterscheidungen zwischen verschiedenen überzählbaren Kardinälen.
Strogatz (13:34): Also OK, gehen wir dorthin. Denn das bringt uns wirklich ins Herz unseres Themas. Ich denke, die durchschnittliche Person, die das Wort „zählbar“ zum ersten Mal hört, könnte denken, dass es buchstäblich zählbar bedeutet, wie etwas, das 10 hat. Weißt du, wenn 10 Zündkerzen auf dem Tisch liegen, könnte ich sie zählen – 1, 2, 3 , bis 10. Aber Sie und andere Mathematiker verwenden zählbar, um etwas anderes zu bedeuten.
Moore (13:56): Es bedeutet nur, dass man jedem Element der Menge eine natürliche Zahl zuweisen kann, damit keine natürliche Zahl doppelt verwendet wird.
Strogatz (13:56): Etwas kann also zählbar und unendlich sein.
Moore (13:57): Und unendlich. Die natürlichen Zahlen sind also offensichtlich zählbar, weil sie sich selbst zählen. Aber vielleicht etwas weniger offensichtlich ist, dass die ganzen Zahlen einschließlich der negativen der natürlichen Zahlen zählbar sind.
Strogatz (14:18): Reden wir kurz darüber. Also, wenn eine Person vorher noch nicht darüber nachgedacht hat, ist es interessant. Denn wie Sie sagten, werden Sie alle Zahlen berücksichtigen, alle positiven ganzen Zahlen, alle negativen ganzen Zahlen und die Null.
Moore (14:29): Ja.
Strogatz (14:30): Und Sie könnten es falsch machen. Wenn Sie zum Beispiel bei Null anfangen und nach rechts zählen und dann 0, 1, 2, 3 gehen, würden Sie nie wieder zu den negativen Zahlen zurückkehren. Und dann hätten Sie es versäumt, alle ganzen Zahlen zu zählen.
Moore (14:41): Ja.
Strogatz: Aber was soll man stattdessen machen?
Moore: Was Sie tun können, ist, Sie können zählen, wissen Sie, 0, 1, -1 und dann 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Und wenn Sie sie auf diese Weise auflisten, dann listen Sie schließlich alles auf.
Strogatz (14:55): Schön. Diese Zickzack-Argumentation, bei der Sie zwischen den positiven und den negativen Werten hin und her springen, ist eine schöne, organisierte und systematische Methode, um zu zeigen, dass, wenn Sie an eine ganze Zahl denken, diese schließlich auf der Liste stehen wird.
Moore: Ja. Ja.
Strogatz(15:07): Das ist also großartig. Also OK, also sind die ganzen Zahlen zählbar. Cantor entdeckte auch einige andere Dinge, die zählbar waren, nämlich – ich weiß nicht, ob er überrascht war, aber viele von uns sind überrascht, wenn wir zum ersten Mal davon erfahren. Wie, wie was?
Moore (15:21): Ja, ich denke, zwei gute Beispiele, die überraschend sind, sind die – erstens die Rationalität. Also ist die Menge aller Brüche zweier ganzer Zahlen abzählbar. Das ist eigentlich ziemlich einfach zu sehen, wenn man darüber nachdenkt, denn man kann einfach alle Brüche mit Nenner 1 auflisten – oder Zähler und Nenner absoluter Wert höchstens 1. Und dann höchstens 2, höchstens 3, höchstens 4 Und auf jeder Stufe gibt es nur endlich viele Brüche, bei denen Zähler und Nenner der Größe nach mindestens höchstens n sind. Und dann können Sie alle rationalen Argumente auf diese Weise erschöpfen.
Strogatz (15:55): Also, wenn ich die Zahl n als 3 nehmen würde, sagen Sie, ich könnte eine Zahl wie 1/2 oder 2/1 oder 0/3 haben, weil sich Zähler plus Nenner addieren bis 3?
Moore (16:06): Ja. Ein weiterer, wiederum überraschender Aspekt, ist die Anzahl der Wörter, die Sie im lateinischen Alphabet oder einem anderen beliebigen Alphabet aufschreiben können. Es gibt höchstens abzählbar viele endliche Wörter oder endliche Zeichenketten, die von diesem Alphabet stammen. Wenn Sie an alle Wörter oder alle Sätze denken, an alle Literaturstücke, wenn Sie so wollen –
Strogatz: Ohh.
Moore (16:30): — alles, was nicht nur jetzt existiert, sondern möglicherweise irgendwann in der Zukunft existieren könnte. Weißt du, du setzt diese unendlich vielen Affen an die Schreibmaschine und schaust dir an, was die Ergebnisse sind, die sie in einer begrenzten Zeit erzeugen könnten. Das ist alles nur eine abzählbare Menge.
Strogatz (16:44): Wow. Also alle möglichen Bücher in allen, sagen wir, in Latein, in allen möglichen Sprachen, die wir kennen?
Moore (16:50): In allen möglichen Sprachen. Ja. Ich meine, wenn Sie möchten, können Sie ein zählbares Alphabet haben, wenn Sie möchten. Das macht nichts größer.
Strogatz (16:56): So zählbar scheint eine sehr große Unendlichkeit zu sein. Und doch -
Moore (16:59): Ja. Das erste Überraschende ist, dass die Mengen, die größer als die natürlichen Zahlen zu sein scheinen, tatsächlich genauso groß sind wie die natürlichen Zahlen. Sie sind zählbar. Aber dann gibt es noch die andere Überraschung, nämlich dass die reellen Zahlen, die Menge der Dezimalzahlen, nicht zählbar sind.
Strogatz (17:13): Es gibt also diesen bemerkenswerten Punkt, den Sie erwähnt haben, dass es Mengen geben kann, die nicht zählbar sind. Und ich denke, das vielleicht einfachste Beispiel wäre: Stellen Sie sich eine Linie vor, die in beide Richtungen ins Unendliche geht. Also wie eine unendlich lange, gerade Linie. Die echte Linie, wie wir sie nennen würden. Das ist unzählbar.
Moore (17:32): Richtig. Wenn Sie mir eine Liste geben, eine angebliche Liste aller Elemente auf dieser Linie, gibt es eine Prozedur namens Diagonalargument, mit der Sie einen neuen Punkt erzeugen können, der auf der Linie, aber nicht auf Ihrer Liste steht. Das war Cantors berühmte Entdeckung.
Strogatz (17:49): Das war also eine wirklich total erstaunliche Entdeckung, denke ich damals, oder? Dass man jetzt plötzlich von zwei unendlichen Mengen sprechen und sie vergleichen könnte.
Moore (17:58): Ja, ja. Und die Unterscheidung zwischen zählbar und unzählbar ist in der Mathematik wirklich nützlich. Grundsätzlich kann man bei abzählbaren Mengen immer noch von Summen sprechen, die von abzählbar unendlicher Länge sind. Das ist etwas, was am Ende eines Standards gelehrt wird – am Ende eines Mathematikkurses im zweiten Semester. Wohingegen Summen über unzählige Mengen weniger aussagekräftig sind, oder man sie zumindest feiner definieren muss. Das heißt, eher etwas in der Art eines Integrals oder so ähnlich.
Strogatz (18:30): OK, jetzt haben wir also diese Unterscheidung von zählbar, wie die ganzen Zahlen – 1, 2, 3, 4, 5 – und unzählbar, wie die Punkte auf einer Linie. Es gibt noch eine andere Frage, die meiner Meinung nach gut wäre, wenn wir uns darauf etwas Zeit nehmen könnten. Genannt die Kontinuumshypothese. Können Sie uns sagen, was das ist?
Moore (18:50): Ja. Cantor fragte sich also: Gibt es etwas dazwischen? Sie können – wissen Sie, die natürlichen Zahlen sitzen in den reellen Zahlen, und die natürlichen Zahlen sind zählbar. Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar und größer als die natürlichen Zahlen. Gibt es eine Menge reeller Zahlen, die größer als die natürlichen Zahlen, aber kleiner als die —
Strogatz (19:10): Kleiner in diesem Sinne des Zählens.
Moore (19:12): — kleiner als die Linie? Gibt es auf dieser Geraden, auf der Zahlengerade, eine Menge von Punkten, die größer ist als die natürlichen Zahlen, größer als die rationalen Zahlen, aber kleiner als die ganze Gerade selbst? Die Behauptung, dass es keine solche Zwischenmenge gibt, wird als Kontinuumshypothese bezeichnet. Und das war Hilberts erstes Problem, ob die Kontinuumshypothese eine wahre oder falsche Aussage ist.
Strogatz (19:35): Uh huh, also war Hilbert ein großartiger Mathematiker dieser Art – vielleicht eine etwas spätere Generation, aber nicht viel später. Und in dem Jahr – was war es, 1900 oder so, glaube ich – kündigte er an oder gab eine Liste von einigen der seiner Meinung nach größten Probleme für die Zukunft, an denen die Mathematiker des 20. Jahrhunderts arbeiten sollten. Und ich denke, das war die Frage Nummer eins auf seiner Liste?
Moore (19:58): Ja, das war die Frage Nummer eins.
Strogatz (20:00): Wow. Es war also groß, darüber nachzudenken. Cantor, sagen Sie, nannte es eine Hypothese. Er dachte, es würde sich bewahrheiten.
Moore: Ja.
Strogatz (20:07): Dass es zwischen diesen beiden keine Unendlichkeit gab, von der er bereits wusste
Moore (20:11): Ja. Und die Sache ist die, es überlebt den Test, nach Gegenbeispielen zu suchen. Ich meine, wenn Sie anfangen, sich alle Mengen von reellen Zahlen anzusehen, Teilmengen der Linie, für die Sie eine Beschreibung aufschreiben oder die Sie auf irgendeine Weise konstruieren können. Das hat er versucht. Und er hat bewiesen, ich meine, er hat gezeigt, dass es keine Gegenbeispiele gibt. Es gibt sogar schon früh Sätze, die besagen, dass Mengen dieses oder jenes Typs keine Gegenbeispiele sein können.
Strogatz (20:40): Das ist erstaunlich. Lass mich dafür sorgen, dass ich das bekomme. Ich habe diese Aussage noch nie gehört: Allein die Tatsache, dass einige von ihnen beschreibbar sind, macht sie in gewissem Sinne nicht gut genug.
Moore (20:49): Zum Beispiel hat eine geschlossene Menge alle ihre Grenzpunkte. Cantor hat bewiesen, dass dies kein Gegenbeispiel sein kann. Es ist entweder zählbar oder es hat die gleiche Größe wie die Realzahlen.
Strogatz (21:00): Wenn es also ein Gegenbeispiel gibt, muss es unbeschreiblich sein.
Moore (21:04): Ja, es muss kompliziert sein.
Strogatz (21:06): Wow. Aber natürlich ist es möglich, dass es einen gibt, nur dass es etwas wirklich Bizarres wäre.
Moore (21:12): Ja. Das bringt uns also zu etwas, das auf diese grundlegende Frage zurückkommt. Wissen Sie, um diese Zeit fingen sie an zu versuchen, die Axiome der Mathematik zu formalisieren. Und irgendwann später, um die – in den 1930er Jahren, bewies [Kurt] Gödel, dass tatsächlich jede Art von verständlichem Axiomensystem, das Sie haben könnten, das das bescheidene Ziel erreicht, die Arithmetik auf den natürlichen Zahlen zu formalisieren, notwendigerweise unvollständig ist. Es gibt Aussagen, die Sie mit diesem Axiomensystem nicht beweisen können, und Sie können sie nicht mit den Axiomen widerlegen, indem Sie standardmäßige endliche Beweise verwenden.
(21:52) Und das war, glaube ich, ziemlich schockierend. Weil es Ihnen sagt, dass das Ziel, alle Ihre Probleme in der Mathematik irgendwie algorithmisch zu lösen und eine Art algorithmische Grundlage, eine vollständige Grundlage der Mathematik zu schaffen, in gewissem Sinne zum Scheitern verurteilt ist. Oder muss zumindest von einer höheren Intuition geleitet werden, die über – ich weiß nicht – hinausgeht, was damals verfügbar war.
(22:16) Und was Gödel bewies – eines der Dinge, die er später bewies, war, dass eine der Aussagen, die Sie weder beweisen noch widerlegen können, die Aussage ist, dass Ihr Axiomensystem überhaupt konsistent ist. Dass es zu keinen Widersprüchen kommt. Diese Aussage kann als eine Art Aussage über Zahlentheorie, über Arithmetik mit natürlichen Zahlen kodiert werden, aber nicht auf besonders natürliche Weise. Wenn Sie mit einem der Zahlentheoretiker in der Abteilung sprechen, würden sie das nicht als Problem oder Aussage der Zahlentheorie betrachten, obwohl es technisch gesehen so ist. Und so war es – eine Frage, die aus Gödels Zeit übrig geblieben war, war, ob die Kontinuumshypothese – oder ob es eine andere natürliche mathematische Aussage gibt, die aufgrund des Axiomensystems, in dem wir arbeiteten, unentscheidbar ist.
Strogatz (23:02): Also gibt es dieses Konzept von Axiomen. Wir sollten wahrscheinlich versuchen, uns daran zu erinnern, wie diese aussehen. Denn wenn wir sehr sorgfältig rechnen, müssen wir einige Definitionen festlegen, aber auch einige Dinge, die wir annehmen – ich weiß nicht, warum ich nicht sagen möchte, „dass wir für selbstverständlich halten“, sondern die wir akzeptieren als Grundgestein.
Moore (23:19): Ja, ja. Das ist also, ich meine, das ist etwas, was die Griechen getan haben, das heißt, Sie wissen schon – eine der Errungenschaften bei der Formalisierung der Geometrie – war, anstatt zu versuchen, zu definieren, was Geometrie ist, sie sozusagen zu betrachten als: Sie sind Ich werde ein paar undefinierte Begriffe aufschreiben und dann die Regeln oder Axiome aufschreiben, die bestimmen, wie sich diese undefinierten Begriffe verhalten. Für sie waren es Dinge wie ein Punkt und eine Linie. Und wenn ein Punkt auf einer Linie liegt, sind das die undefinierten Konzepte. Und wenn ein Punkt zwischen zwei anderen Punkten auf einer Linie liegt, sind das undefinierte Konzepte. Und dann schreiben Sie eine Reihe von Axiomen auf, die bestimmen, wie diese Konzepte funktionieren. Und wenn Sie es richtig gemacht haben, dann sind sich alle einig, dass diese Eigenschaften offensichtlich auf diese, diese Dinge zutreffen. Und deshalb sind diese Axiome Dinge, die irgendwie selbstverständlich wahr sind.
(23:19) Für die Geometrie gibt es also dieses berühmte parallele Postulat, das – man konnte es nicht von den anderen ableiten. Und es war etwas revolutionär, als entdeckt wurde, dass man tatsächlich Modelle der Geometrie konstruieren kann, die alle Axiome erfüllen, aber nicht das parallele Postulat. Und deshalb ist das parallele Postulat nicht aus den anderen Axiomen beweisbar. In gewissem Sinne hatte Gödel also eine Methode dafür entwickelt, aber auf der Ebene von mathematischen Modellen oder zumindest Modellen dieses Axiomensystems, das wir für die Mathematik haben.
Strogatz (24:45): Aha, das ist eine interessante Art, es zu sagen. Also, wo wir die euklidische Geometrie haben und dann haben wir auch diese eher neumodischen nicht-euklidischen Geometrien, die bekanntermaßen Einstein in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet hat, aber sie werden auch an anderen Stellen verwendet. Und sie sind logischerweise so gut wie die euklidische Geometrie. Aber anstatt nur über Geometrie zu sprechen, sagen Sie, es sei so, als könnten wir das Traditionelle haben – nun, ich bin mir nicht sicher, was die Worte sind. Was ist das Analogon zur euklidischen Geometrie? Gibt es traditionelle Mathematik?
Moore (25:16): Das ist eine offene Frage. Ich meine das, ich meine – ich denke, es ist teilweise eine philosophische Frage. Vielleicht ist es eine soziologische Frage, weil es darum geht, was Mathematik ist, oder? Es kommt auf diese grundlegende Frage zurück. Und ich denke, dass die Axiome, die wir haben, die ZFC-Axiome, die vor etwas mehr als 100 Jahren entwickelt wurden, diejenigen sind, bei denen wir uns im Allgemeinen einig sind, dass diese wahr sind, oder dies sind Eigenschaften, die „Set“ haben sollte, aber sie nicht vollständig.
Strogatz (25:44): Nun, warten Sie, packen wir das alles aus. Das hört sich gut an. Also ZFC, warum fangen wir nicht damit an? Das sind die Namen einiger Leute und einer Sache.
Moore (25:51): Ja, ja. „Mengenlehre von Zermelo-Frankel“ mit etwas, das als „Axiom der Wahl“ bezeichnet wird. Ja.
Strogatz (25:55): Okay. Das sind also Spielregeln, die weithin akzeptiert sind.
Moore (25:59): Ja, es ist eine Liste von Axiomen, die – sie ist ziemlich lang, aber nicht so lang. Dinge wie, wenn Sie zwei Mengen haben, gibt es eine Menge, die beide als ihre, ihre Elemente hat. Das Paarungsaxiom, dass man eine Menge von Mengen vereinigen kann, und das ist eine Menge. Usw.
Strogatz (26:15): Okay. Es gibt also die ZFC-Art, Mengenlehre zu machen, und das wurde, sagen Sie, zu einer bestimmten Zeit vorgeschlagen und die Leute mögen es, aber dann sagten Sie, es sei nicht vollständig?
Moore (26:26): Ja. Es ist also etwas, das Sie schreiben können. Ein Computeralgorithmus zum Auflisten der Axiome. Es ist eine unendliche Menge von Axiomen. Aber mit Ausnahme von zwei Arten von Axiomenhaufen ist es endlich. Wenn Sie nicht aufpassen, würden Sie tatsächlich denken, dass diese, jede dieser anderen Gruppen von Axiomen einzelne Axiome sind. Aber sie sind eigentlich eine unendliche Familie von Axiomen. Sie können ein Computerprogramm erstellen, das alle Axiome ausspuckt. Wir neigen dazu zu glauben, dass ZFC konsistent ist, weil wir keine Widersprüche entdeckt haben. Wenn Sie das glauben, dann wird ZFC nach Gödels Unvollständigkeitssatz nicht beweisen können, dass es konsistent ist.
(27:03) Und so gibt es Aussagen, wie etwa die Konsistenz von ZFC, die ZFC nicht beweisen kann. Das ist ein interessanter Punkt. Denn auch hier glauben wir, dass ZFC konsequent ist. Und das ist, ich meine, einer der Gründe dafür, dass, ich meine… die meisten Mathematiker an die Arbeit gehen, basiert auf dem Glauben, dass CFC konsistent ist. Rechts? Aber das halten wir für eine wahre Aussage. Aber es ist nicht etwas, das ZFC selbst beweisen kann.
Strogatz (27:27): Ich denke nur. Auf dem Weg hierher haben wir Gödel erwähnt. Ich weiß nicht, ob wir gesagt haben, wer er ist. Wollen Sie uns das kurz mitteilen?
Moore (27:34) Ja, das war er. Ich meine, er war eine Art revolutionärer Logiker. Dies, das Unvollständigkeitstheorem, war eine seiner größten Errungenschaften. Und seine andere große Errungenschaft bestand darin, zu zeigen, dass die Kontinuumshypothese nicht mit den ZFC-Axiomen widerlegt werden kann.
Strogatz (27:49): Manche halten ihn für den größten Logiker seit Aristoteles. Und Einstein, der sein Freund und Kollege am Institute for Advanced Study war, sagte, er liebe es, mit ihm zur Arbeit gehen zu können Kurt Gödel. Ich meine, er war in der gleichen intellektuellen Liga wie Einstein. Wenn Sie noch nichts von ihm gehört haben, empfehle ich Ihnen, sich ein Buch über ihn anzusehen, das heißt Reise an den Rand der Vernunft. Ein tolles Buch über Gödels Leben. Aber gut, er ist also ein Logiker aus der Mitte des 20., Anfang des 20. Jahrhunderts. Und Sie sagen, er hat das bewiesen – nun, sagen Sie es noch einmal über die Kontinuumshypothese?
Moore (28:23): Innerhalb jedes Modells der Mengenlehre konstruierte er ein kleineres Modell der Mengenlehre, das die Kontinuumshypothese erfüllt. Das zeigt also, dass man die Kontinuumshypothese innerhalb der Axiome der Mengenlehre nicht widerlegen kann. Aus einem Modell der Mengenlehre, wenn Sie eines haben, kann ich ein neues erstellen, das die Kontinuumshypothese erfüllt.
Strogatz (28:43): Ich verstehe. Es könnte also Versionen der Mengenlehre geben, kleinere Versionen, die immer noch ausreichen, um Arithmetik zu machen, nehme ich an.
Moore: Ja.
Strogatz (28:51): Aber in dem, OK, die Kontinuumshypothese ist wahr, genau wie Cantor vermutet hat.
Moore: Ja.
Strogatz (28:56): Und dann. Aber dann gibt es ein großes „aber“ zu dieser Geschichte.
Moore (28:59): Ja. So viele, viele Jahre später, [Paul] Kohen entwickelte eine Technik namens Forcen, die es ihm ermöglichte, Modelle der Mengenlehre zu erweitern. Und damit bewies er, dass man die Kontinuumshypothese nicht beweisen kann. Außer, dass seine Technik auch verwendet werden kann, um zu beweisen, dass man sie nicht widerlegen kann. Diese, ja, diese Technik namens Forcen ist wirklich sehr mächtig. Forcen und die Technik, ein kleineres Modell innerhalb Ihres Modells der Mengenlehre zu bauen. Dies sind die zwei Werkzeuge, die wir haben, um neue Modelle der Mengenlehre aus alten Modellen der Mengenlehre aufzubauen.
Moore (29:32): Zurück zur Geometrie-Analogie. Ich meine, selbst diese Modelle der hyperbolischen Ebene, die die nicht-euklidischen Modelle der Geometrie waren – diese selbst beginnen damit, die euklidische Ebene oder eine Teilmenge davon zu nehmen und das Modell der Geometrie wie die Punkte und Linien dort zu erstellen. Die Punkte sind nur gewöhnliche Punkte auf dieser Scheibe. Und die Linien dort sind Kreise, bestimmte Kreise in der ursprünglichen Geometrie. Der Punkt, den ich zu machen versuche, ist, dass dies eine Art fruchtbare Sache ist, die man in der Mathematik tut. Sie beginnen oft mit einer Struktur, die Ihr Axiomensystem erfüllt, wie eine Geometrie, die Ihre Axiome der Geometrie erfüllt, und Sie manipulieren sie irgendwie und produzieren ein neues Ding, das vielleicht einen anderen Satz von Axiomen erfüllt. Genau das taten Cohen und Gödel, indem sie ein Modell der Axiome der Mengenlehre nahmen – und daher in gewissem Sinne ein Modell der Mathematik – und es mit verschiedenen Techniken manipulierten, um neue Modelle zu erstellen, die entweder das erfüllten Kontinuumshypothese wahr ist oder dass die Kontinuumshypothese falsch ist.
Strogatz (30:36): Also das ist wirklich erstaunlich für mich, und ich bin mir sicher, dass viele Leute, wissen Sie… Plato hat diese Philosophie, dass es da draußen bestimmte ideale Formen und Wahrheiten gibt, die – vielleicht können wir das Ich sehe sie hier auf der Erde nicht, aber in irgendeinem platonischen Reich existiert ihre Wahrheit.
Moore: Ja Ja.
Strogatz (30:57): Und Sie würden das Gefühl haben, dass die reellen Zahlen existieren, ob Menschen darüber nachdenken oder nicht, und dass die Kontinuumshypothese entweder auf die reellen Zahlen zutrifft oder nicht. Aber du sagst es mir?
Moore (31:09): Nun, ich meine, ja, es gibt verschiedene Denkrichtungen dazu. Ich meine, Sie könnten nicht – Sie können es so sehen, dass es diese Sache gibt, von der ich denke, dass sie unter dem Namen läuft, diese generische Multiversum-Ansicht, dass es nichts mehr gibt, was Sie sagen können. Es gibt einfach alle diese Modelle der Mengenlehre. Und das Beste, was wir tun können, ist zu versuchen, zu verstehen, was in jedem von ihnen wahr ist, und uns zwischen ihnen zu bewegen. Und das ist eine sehr unplatonische Sicht der Dinge, eine Art formalistische Sicht der Dinge. Sie könnten auch den Standpunkt vertreten, dass es ein vielleicht bevorzugtes Modell der Mengenlehre gibt. Das ist, wissen Sie, die Realität, in der wir leben, und all diese anderen Modelle, sie sind Modelle der Axiome, aber sie sind nicht wirklich das, was wir mit den Axiomen zu beschreiben versuchen. Ich denke, die Analogie zur Geometrie ist da etwas anschaulich, oder? Ich meine, man kann viele verschiedene Geometriemodelle erstellen. Aber wir leben immer noch in einer physischen Welt, die eine Geometrie hat, und vielleicht ist das die Geometrie, die uns am meisten am Herzen liegt.
Strogatz (32:03): Ich verstehe. Genauso wie wir der euklidischen Geometrie einen bevorzugten Status geben könnten, weil es der ist, an den wir gewöhnt sind. Es ist das eine, das es schon lange gibt, weil es am einfachsten und offensichtlichsten ist, aber wir denken immer noch, dass diese anderen gut sind und ihre Bereiche haben, in denen sie nützlich und interessant sind.
Moore (32:20): Aber vielleicht ist es auch erwähnenswert, dass sogar unser Verständnis von – Nun, erstens bin ich mir nicht sicher, ob wir in einer euklidischen Geometrie leben. Aber es gibt eine Frage dazu. Aber sogar unser Verständnis der physikalischen Welt wird durch das Verstehen all dieser anderen Geometrien, dieses freie Erforschen anderer Geometriemodelle enorm bereichert. Und das gleiche gilt für die Mengenlehre. Ich denke, selbst wenn wir uns in Zukunft auf einen gewissen Konsens darüber einigen sollten, was ein neues Axiom für die Mengenlehre ist, ist das Erreichen dieses Ziels sicherlich nicht möglich gewesen ohne all diese Untersuchungen, die im Voraus stattfinden.
Strogatz (33:00): Was würde es bedeuten, die Kontinuumshypothese zu beweisen oder zu widerlegen? Für jedes dieser Lager? Was auf dem Spiel steht?
Moore (33:08): Ja, das ist – OK, also denke ich, dass das Lager, das diese Art von „alle Welten“-Sichtweise vertritt, einfach sagen würde, dass dies eine bedeutungslose Frage ist. Dass Cohen und Gödel und ihre Techniken zum Erstellen vieler Modelle der Mengenlehre das Ende der Diskussion bilden. Und wissen Sie, wir werden vielleicht viele neue Modelle der Mengenlehre hervorbringen, aber wir werden nie eine endgültige Antwort darauf haben, ob die Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist. Die Leute, die den Standpunkt einnehmen, dass diese Aussage in irgendeiner Weise wahr oder falsch ist, würden vermutlich versuchen, ein neues Axiom und vermutlich eine heuristische Begründung dafür zu finden, warum dieses Axiom wahr sein sollte – entweder eine heuristische oder vielleicht eine pragmatische Begründung dafür, warum es wahr ist. Und wenn Sie dann argumentieren, dass dieses Axiom akzeptiert werden sollte, dass es irgendwie eine Intuition enthält, die wir über Mathematik oder Mengen haben, dann würden Sie sehen, wenn dieses Axiom auch die Kontinuumshypothese in einer Art formalem Sinne des Wortes beweist oder widerlegt dass CH wahr oder falsch ist.
Strogatz (34:12): Das ist also ungefähr der Punkt, an dem wir jetzt sind. Dass es im Moment wirklich diese beiden Lager gibt.
Moore (34:16): Ja, bis zu einem gewissen Grad. Es ist so lange her, dass gezeigt wurde, dass die Kontinuumshypothese basierend auf den Axiomen unentscheidbar ist, dass ich denke, die meisten Mathematiker haben sich an die Tatsache gewöhnt, dass das vielleicht das Äußerste ist, was man sagen kann. Und ich denke, es wäre an diesem Punkt erstaunlich, wenn Mathematiker als Ganzes sich um eine neue Heuristik scharen könnten, die, wissen Sie, alle zustimmen könnten, sollte wahr sein. Und vielleicht wird das nie passieren. Vielleicht, vielleicht hat die Community zu viele verschiedene Standpunkte darin. Um fair zu sein, ich denke, es ist eine Art Konsensansicht, aber keine universelle Ansicht, dass ZFC die Menge der wahren Axiome für die Mathematik ist. Es gibt sicherlich Menschen, die der Meinung sind, dass es nichts Unendliches gibt. Und es macht keinen Sinn, darüber zu reden, und wir sollten nicht darüber reden.
Strogatz (35:05): Nun, das ist eine altehrwürdige Tradition. Ich meine, das ist – Aristoteles sagte uns, wir sollten uns vor der Unendlichkeit in Acht nehmen. Und in der Geschichte der Mathematik waren die Menschen sogar so großartig wie [Carl Friedrich] Gauß waren sehr vorsichtig mit diesem Konzept der vollendeten Unendlichkeit, und Cantor hat diese Dose voller Würmer für uns geöffnet. Aber ich weiß nicht, dass es Würmer sind. Es scheint, als wäre es – weißt du, was ist der Schaden? Wir lassen unserer Fantasie freien Lauf und entdecken viele interessante Dinge.
(35:30) Aber ich habe eine Frage. Als jemand, der kein Mengentheoretiker ist, möchte ich es nicht unhöflich fragen. Aber es könnte ein wenig unhöflich klingen, was – du weißt, worauf ich hinaus will, oder? Wie wirkt sich das auf mich aus? Spürt der Rest der Mathematik die Schwingungen, die innerhalb der Mengenlehre auftreten? Oder sind wir irgendwie isoliert von dem, was ihr tut?
Moore (35:49): Das ist eine gute Frage. Ich denke, die meisten Mathematiker stoßen nie auf eine Aussage, die innerhalb des üblichen Axiomensystems für Mathematik innerhalb von ZFC weder beweisbar noch widerlegbar ist. Und die Mengentheoretiker haben bis zu einem gewissen Grad eine Erklärung dafür gefunden. Es gibt ein Modell der Mengenlehre, das größer ist als Gödels ursprüngliches Modell, aber kleiner als das Universum aller Mengen, das Solid-Base-Modell genannt wird [Robert] Solovay entdeckt um die Zeit von Cohens Arbeit. Und die bemerkenswerte Entdeckung ist, dass dieses Modell – was darin wahr ist – nicht durch Zwang beeinflusst werden kann. Wenn Sie also etwas darüber sagen können, was in diesem Modell wahr oder falsch ist, ist es im Wesentlichen etwas, das gegen das Unabhängigkeitsphänomen weitgehend immun ist.
(36:35) Der Haken an der Sache ist, dass dieses Modell der Mengenlehre nicht – das Auswahlaxiom nicht erfüllt. Das Axiom der Wahl lautet also – dies ist hier eine weitere Dose voller Würmer. Aber einer der Gründe, warum sich das Entscheidungsaxiom von den anderen Axiomen unterscheidet, ist, dass es nicht konstruktiv ist. Alle anderen Axiome sagen Ihnen, dass eine Menge, von der Sie eine Beschreibung haben, tatsächlich eine Menge ist. Genau so funktionieren die Axiome. Aber das Auswahlaxiom sagt Ihnen, dass Sie bei einer gegebenen Sammlung von Mengen, die nicht leer sind, aus jeder etwas auswählen können – also Auswahl –, aber es sagt Ihnen nicht, wie Sie die Auswahl treffen werden. Dies war ein Axiom, das uns einerseits erlaubte, alle möglichen seltsamen, paradoxen Dinge zu konstruieren. Weißt du, ich denke, in der Größenordnung von vor 100 Jahren oder so, wie nicht messbare Mengen, was auch immer das ist. Da ist diese berühmte Zerlegung der Sphäre, das Banach-Tarski-Paradoxon, Das -
Strogatz (37:29): Oh, das ist interessant.
Moore (37:32): – Sie könnten die Kugel in endlich viele Stücke schneiden und sie dann wieder in zwei Kugeln zusammensetzen, die die gleichen Abmessungen wie die ursprüngliche Kugel haben. Und jetzt ist das absurd, weil man in der Lage sein sollte, jeder der – Sie wissen schon, der ursprünglichen Sphäre eine Masse zuzuordnen, und dann all diesen Stücken eine Masse zuzuordnen, in die Sie es zerlegen können, und solche sollte sich zur ursprünglichen Masse addieren. Und wenn Sie sie dann neu anordnen, sollte dieser Prozess die Masse nicht verändern. Aber irgendwie, wenn Sie sie wieder zusammenbauen, haben Sie die doppelte Masse, mit der Sie angefangen haben. Nun, der Punkt in diesem Argument – wo die Dinge schief gehen, ist das Zerschneiden der Sphäre, das Ihnen das Axiom der Wahl erlaubt, so schlecht, dass Sie diesen Stücken, die Sie haben, keine Massen zuweisen können.
(38:11) Nun, dieses paradoxe Verhalten führte dazu, dass die Leute dachten, dass das Axiom der Wahl vielleicht irgendwie problematisch sei. Vielleicht wird es zu einer Art Paradox innerhalb der Mathematik selbst führen. Und deshalb sollte das Axiom der Wahl nicht akzeptiert werden. Eines der Dinge, die Gödel zur gleichen Zeit bewies, als er bewies, dass man die Kontinuumshypothese nicht widerlegen kann, ist, dass es auch sicher ist, das Axiom der Wahl anzunehmen. Das heißt, wenn die Axiome von ZFC ohne das Wahlaxiom konsistent sind, dann ist dies auch der Satz von Axiomen von ZFC mit dem Wahlaxiom. Es gibt Ihnen vielleicht viele seltsame, exotische Dinge, aber aus grundlegender Sicht verschmutzt es das Wasser nicht.
(38:51) Einige Zeit später gab es die Entdeckung dieses Dings namens Zorns Lemma, das sich als Äquivalent zum Auswahlaxiom herausstellte. Und es ist wirklich sehr fruchtbar für die Entwicklung vieler verschiedener Zweige der Mathematik. Es ist etwas, das Sie lernen, wenn Sie ein fortgeschrittener Student oder ein Doktorand in Mathematik sind. Es ist irgendwie nur ein Teil des erforderlichen Lernens für einen Abschluss in Mathematik. Und wegen dieser extremen Nützlichkeit akzeptieren wir es heutzutage einfach. Ich denke, die meisten Mathematiker fühlen sich nicht wohl dabei, ohne das Wahlaxiom zu arbeiten, nur weil sie es in vielen Fällen verwenden, ohne es zu wissen.
(39:31) Also denke ich, dass dies auch ein Beispiel dafür ist, wie wir die Kontinuumshypothese klären könnten. Es ist, dass wir in der Zukunft ein Axiom entdecken, das für die Weiterentwicklung der Mathematik so nützlich ist, dass wir dieses Axiom nur bis zu einem gewissen Grad als wahr ansehen. Das ist, was mit Zorns Lemma passiert ist. Und mit dem Axiom der Wahl wurde es zunächst nicht als wahr angesehen. Tatsächlich wurde es anfangs mit einiger Skepsis betrachtet.
Strogatz (39:56): Aber lassen Sie mich sehen, ob ich es kann, denn das tut es … Wir haben jetzt viel über das Axiom der Wahl gesprochen: Seine Beziehung zur Kontinuumshypothese. Gibt es eine prägnante Art zu sagen, was das ist?
Moore (40:06): Wissen Sie, das Wahlaxiom und die Kontinuumshypothese haben eine merkwürdige Beziehung, weil sie … OK, die Kontinuumshypothese, aus der Sicht eines Mengentheoretikers erlaubt sie Ihnen, viele exotische Dinge zu konstruieren . Es ermöglicht Ihnen, eine unendlich lange, sogar unzählige lange Konstruktion durchzuführen, bei der Sie alles auf sehr kontrollierte, algorithmische Weise tun. Und ein seltsames Objekt zu bauen, bei dem Sie auf dem Weg viel Kontrolle behalten haben. In Ermangelung des Wahlaxioms ist die Kontinuumshypothese, wie ich sie ursprünglich formuliert habe, dass es keinen Satz von Regeln gibt, die dazwischen liegen, etwas, das nicht den gleichen Biss hat, als ob das Wahlaxiom wahr wäre. Und der Grund dafür ist, dass man zum Beispiel in Ermangelung des Auswahlaxioms von noch stärkeren Versionen der Kontinuumshypothese sprechen kann. Zum Beispiel ist jede Teilmenge dieses Zahlenstrahls, des reellen Zahlenstrahls, entweder zählbar, oder es gibt eine Kopie der Cantor-Menge, die darin lebt. Es gibt so etwas wie einen Punktbaum, einen binären Punktbaum, der sich innerhalb Ihres Sets befindet. Und das ist eine sehr konkrete Art zu sagen, dass es die gleiche Größe wie die reellen Zahlen hat.
Strogatz (41:14): Sollten wir also für den Rest von uns in der Mathematik außerhalb der Mengenlehre den Schlaf verlieren über den – was zu sein scheint – Art von unbestimmtem Status im Moment der Kontinuumshypothese? Uns wird gesagt, dass es im Standardmodell der Mengenlehre unentscheidbar ist. Weißt du, spielt es eine Rolle? Beeinflusst es den Rest der Mathematik?
Moore (41:35): Die Antwort ist meistens nein. Aber es ist nicht ganz bekannt. Die Kontinuumshypothese. Es stimmt in der Solovay-Modell, zum Beispiel: Jede Menge von reellen Zahlen ist entweder abzählbar oder es gibt eine abgeschlossene Menge von reellen Zahlen in ihr, die nicht abzählbar ist und keine isolierten Punkte hat. Aber es gibt Aussagen, die in der Mathematik auftauchen, Fragen, die natürlich, irgendwie organisch in anderen Bereichen auftauchen, wo sich herausstellt, dass sie entweder von der Kontinuumshypothese oder etwas anderem abhängig sind, was von den Axiomen der ZFC unabhängig ist. Ein Beispiel dafür ist etwas, das als mediale Grenze bezeichnet wird. Dies ist ein Instrument, das in Bezug auf Wahrscheinlichkeit und einige Teile der Wahrscheinlichkeit nützlich ist, um Grenzen von Dingen zu nehmen und dennoch zu behaupten, dass Dinge messbar sind. Mediale Grenzen sind etwas, das Sie mit der Kontinuumshypothese konstruieren können, aber nicht etwas, das Sie in ZFC erstellen können.
Strogatz (42:27): Das freut mich, muss ich sagen. Ich meine, ich möchte glauben, dass Mathematik ein großes Netz ist. Und das, wie es ein altes Sprichwort gibt: „Niemand ist eine Insel“, von wem auch immer, ich weiß es nicht. Aber wie auch immer, ich möchte nicht, dass irgendein Teil der Mathematik eine Insel ist. Ich würde es also hassen zu glauben, dass die Mengenlehre irgendwie etwas ist – ich meine, niemand würde sagen, dass es so ist, aber selbst der Teil, der die Kontinuumshypothese enthält, möchte ich nicht vom großen Kontinent trennen. Und es klingt, als wäre es das nicht.
Moore (42:52): Richtig. Wenn Sie einen Hilbert-Raum nehmen und sich die beschränkten Operatoren und die kompakten Operatoren ansehen, sind dies gut untersuchte Algebren von Objekten, die in der Mathematik untersucht werden. Sie können einen Quotienten davon bilden. Das Studium dessen, was die Automorphismengruppe genannt wird, ist etwas, worüber ein Mathematiker fragen könnte. Und in der Tat, Brown, Douglas und Fillmore fragte in den 1970er Jahren danach. Und es ist bekannt, ob die Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist, hängt davon ab, ob es sehr komplizierte Automorphismen dieser Algebra gibt oder nicht. Das ist etwas, das, wissen Sie, ein Standardgegenstand in einem Kurs zur Funktionsanalyse ist, den Sie auf Graduiertenebene unterrichten würden. Und das sind sozusagen sehr, sehr grundlegende Eigenschaften dieses Objekts.
(43:34) Aber der Punkt ist, dass dies auf den ersten Blick kein Problem der Mengenlehre ist. Verschiedene Mengentheoretiker haben unterschiedliche Ansichten darüber, warum das Thema wichtig ist. Aber für mich ist das Thema genau das – wofür es wichtig ist. Es spielt diese einzigartige Rolle, Sie wissen zu lassen, wenn Sie eine Frage stellen, die aufgrund der Axiome möglicherweise nicht entscheidbar ist. Weil Sie dieses Problem, das Sie ohne Erfolg nicht entscheiden können, nicht jahrelang und jahrelang studieren wollen. Und wenn Ihnen jemand sagen kann: „Nun, Sie werden nie wirklich eine Lösung für dieses Problem finden, weil Sie das weder beweisen noch widerlegen können“, richtig? Das ist gut zu wissen.
Strogatz (44:13): In Ordnung. Nun, für mich ist das eine sehr erhebende Botschaft, die du gibst, Justin, dass – John Donne! Das ist der Name, nach dem ich gesucht habe, John Donne. Und sagen wir es mal modern: Kein Mensch ist eine Insel. Und das gleiche ohne Teil der Mathematik. Es gibt – selbst die am meisten esoterisch erscheinenden Dinge in den Randgebieten der Mengenlehre sind wahrscheinlich immer noch mit sehr bodenständigen Teilen der Mathematik in der Funktionsanalyse verknüpft, die der Quantentheorie zugrunde liegt. Das ist also neu für mich, und ich möchte Ihnen nur dafür danken, dass Sie uns aufgeklärt haben. Das hat Spaß gemacht. Danke.
Moore (44:46): Danke, dass du mich hast.
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