Eine alte Vermutung stürzt ab und macht Kugeln viel komplizierter | Quanta-Magazin

Anfang Juni wuchs die Begeisterung, als Mathematiker am Londoner Flughafen Heathrow landeten. Ihr Ziel war die Universität Oxford und a Konferenz zu Ehren des 65. Geburtstages von Michael Hopkins, ein Mathematiker an der Harvard University, der vielen Teilnehmern als Mentor gedient hatte.

Hopkins machte sich Ende der 1980er Jahre mit der Arbeit an sieben Vermutungen einen Namen Doug Ravenel der University of Rochester hatte ein Jahrzehnt zuvor formuliert. Dabei ging es um Techniken zur Bestimmung, wann zwei Formen oder Räume, die unterschiedlich aussehen könnten, wirklich gleich sind. Hopkins und seine Mitarbeiter bewiesen alle Vermutungen Ravenels bis auf eine, ein Problem mit einem suggestiven, aber mysteriösen Namen namens „Teleskopvermutung“.

Zu dieser Zeit legte Hopkins seine Arbeit auf Ravenels Vermutungen beiseite. Jahrzehntelang schien die Teleskop-Vermutung nahezu unmöglich zu lösen.

„Einen solchen Satz kann man nicht anfassen“, sagte Hopkins.

Doch als Mathematiker in London landeten, gab es Gerüchte, dass es getan worden sei – von einer Gruppe von vier Mathematikern mit Verbindungen zum Massachusetts Institute of Technology, von denen drei von Hopkins während ihres Graduiertenstudiums beraten worden waren. Der jüngste der vier, ein Doktorand namens Ishan Levy, sollte am Dienstag, dem zweiten Tag der Konferenz, einen Vortrag halten, an dem offenbar ein Beweis bekannt gegeben werden könnte.

„Ich hatte Gerüchte gehört, dass dies bevorstehe, und ich wusste nicht genau, was mich erwarten würde“, sagte er Vesna Stojanoska, ein Mathematiker an der University of Illinois, Urbana-Champaign, der an der Konferenz teilnahm.

Es war schnell klar, dass die Gerüchte wahr waren. Ab Dienstag und in den nächsten drei Tagen werden Levy und seine Co-Autoren – Robert Burklund, Jeremy Hahn und Tomer Schlank – erklärten der Menge von rund 200 Mathematikern, wie sie bewiesen hatten, dass die Teleskopvermutung falsch war und sie damit die einzige von Ravenels ursprünglichen Vermutungen war, die nicht wahr war.

Die Widerlegung der Teleskopvermutung hat weitreichende Implikationen, aber eine der einfachsten und tiefgreifendsten ist diese: Sie bedeutet, dass in sehr hohen Dimensionen (denken Sie an eine 100-dimensionale Kugel) das Universum mit seinen verschiedenen Formen weitaus komplizierter ist als Mathematiker erwartet.

Kartieren der Karten

Um Formen oder topologische Räume zu klassifizieren, unterscheiden Mathematiker zwischen wichtigen und unwichtigen Unterschieden. Die Homotopietheorie ist eine Perspektive, aus der diese Unterscheidungen getroffen werden können. Es geht davon aus, dass eine Kugel und ein Ei im Grunde derselbe topologische Raum sind, weil man sie ineinander biegen und strecken kann, ohne sie zu zerreißen. Ebenso geht die Homotopietheorie davon aus, dass eine Kugel und ein Innenrohr grundsätzlich unterschiedlich sind, da man ein Loch in die Kugel reißen muss, um sie in das Innenrohr zu verformen.

Homotopie eignet sich zur Klassifizierung topologischer Räume – zum Erstellen eines Diagramms aller möglichen Formen. Es ist auch wichtig, um etwas anderes zu verstehen, das Mathematikern wichtig ist: Karten zwischen Räumen. Wenn Sie zwei topologische Räume haben, besteht eine Möglichkeit, deren Eigenschaften zu untersuchen, darin, nach Funktionen zu suchen, die Punkte auf dem einen in Punkte auf dem anderen umwandeln oder abbilden – geben Sie einen Punkt auf Raum A ein, erhalten Sie einen Punkt auf Raum B als Ausgabe. und machen Sie das für alle Punkte auf A.

Um zu sehen, wie diese Karten funktionieren und warum sie die Eigenschaften der beteiligten Räume beleuchten, beginnen Sie mit einem Kreis. Ordnen Sie es nun der zweidimensionalen Kugel zu, die die Oberfläche einer Kugel darstellt. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dies zu tun. Wenn Sie sich die Kugel als Erdoberfläche vorstellen, könnten Sie Ihren Kreis beispielsweise auf einer beliebigen Breitengradlinie platzieren. Aus Sicht der Homotopietheorie sind sie alle gleichwertig oder homotopisch, weil sie alle auf einen Punkt am Nord- oder Südpol schrumpfen können.

Als nächstes bilden Sie den Kreis auf die zweidimensionale Oberfläche eines Innenrohrs (einen einlochigen Torus) ab. Auch hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten, und die meisten sind homotopisch. Aber nicht alle von ihnen. Sie können einen Kreis horizontal oder vertikal um den Torus legen, und keiner kann sanft in den anderen übergehen. Dies sind zwei (von vielen) Möglichkeiten, einen Kreis auf den Torus abzubilden, während es nur eine Möglichkeit gibt, ihn auf eine Kugel abzubilden, was einen grundlegenden Unterschied zwischen den beiden Räumen widerspiegelt: Der Torus hat ein Loch, während die Kugel keines hat.

Es ist leicht zu zählen, wie wir den Kreis auf die zweidimensionale Kugel oder den Torus übertragen können. Es sind vertraute Räume, die man sich leicht vorstellen kann. Aber das Zählen von Karten ist viel schwieriger, wenn es um höherdimensionale Räume geht.

Dimensionsunterschiede

Wenn zwei Kugeln die gleiche Dimension haben, liegen zwischen ihnen immer unendlich viele Karten. Und wenn der Raum, von dem aus Sie kartieren, niedrigerdimensional ist als der Raum, auf den Sie kartieren (wie in unserem Beispiel des eindimensionalen Kreises, der auf eine zweidimensionale Kugel abgebildet wird), gibt es immer nur eine Karte.

Teilweise aus diesem Grund ist das Zählen von Karten am interessantesten, wenn der Raum, von dem aus Sie kartieren, eine höhere Dimension hat als der Raum, auf den Sie kartieren, beispielsweise wenn Sie eine siebendimensionale Kugel auf eine dreidimensionale Kugel abbilden. In solchen Fällen ist die Anzahl der Karten immer endlich.

„Die Karten zwischen Sphären sind im Allgemeinen interessanter, wenn die Quelle eine größere Dimension hat“, sagte Hahn.

Darüber hinaus hängt die Anzahl der Karten nur von der Differenz in der Anzahl der Dimensionen ab (sobald die Dimensionen im Vergleich zur Differenz groß genug sind). Das heißt, die Anzahl der Abbildungen von einer 73-dimensionalen Kugel auf eine 53-dimensionale Kugel ist dieselbe wie die Anzahl der Abbildungen von einer 225-dimensionalen Kugel auf eine 205-dimensionale Kugel, da in beiden Fällen der Dimensionsunterschied beträgt 20.

Mathematiker möchten wissen, wie viele Abbildungen es zwischen Räumen beliebiger Dimensionsdifferenz gibt. Sie haben es geschafft, die Anzahl der Karten für fast alle Dimensionsunterschiede bis zu 100 zu berechnen: Es gibt 24 Karten zwischen den Kugeln, wenn der Unterschied 20 beträgt, und 3,144,960, wenn er 23 beträgt.

Aber die Berechnung der Anzahl der Karten für jede Differenz größer als 100 erschöpft die moderne Rechenleistung. Gleichzeitig haben Mathematiker nicht genügend Muster in der Anzahl der Karten entdeckt, um sie weiter zu extrapolieren. Ihr Ziel ist es, eine Tabelle auszufüllen, die die Anzahl der Karten für jeden Dimensionsunterschied angibt, aber dieses Ziel scheint sehr weit entfernt zu sein.

„Das ist keine Frage, von der ich zu Lebzeiten meiner Enkelkinder eine vollständige Lösung erwarte“, sagte Ravenel, der 76 Jahre alt ist.

Die Teleskopvermutung macht eine Vorhersage darüber, wie die Anzahl der Karten mit zunehmendem Dimensionsunterschied zunimmt. Tatsächlich wird prognostiziert, dass die Zahl langsam wächst. Wenn es wahr gewesen wäre, hätte es das Problem, diese Tabelle auszufüllen, ein wenig erleichtert.

Zweifel wird zum Unglauben

Die Teleskopvermutung erhielt ihren Namen auf unwahrscheinliche Weise.

Es begann mit der Tatsache, dass in sehr hohen Dimensionen die in niedrigeren Dimensionen gebildete geometrische Intuition oft zusammenbricht und es schwierig ist, Karten zwischen Sphären zu zählen. Aber als er seine Vermutung formulierte, verstand Ravenel, dass das nicht nötig ist. Anstatt Karten zwischen Kugeln zu zählen, können Sie eine einfachere Proxy-Zählung von Karten zwischen Kugeln und Objekten, sogenannten Teleskopen, durchführen.

Bei Teleskopen handelt es sich um eine Reihe von Kopien einer geschlossenen höherdimensionalen Kurve, von denen jede eine verkleinerte Version der vorherigen ist. Die Kurvenreihe ähnelt den ineinandergreifenden Rohren eines echten zusammenklappbaren Teleskops. „So bizarr dieses Teleskop auch klingt, wenn man es beschreibt, ist es tatsächlich ein einfacher zu handhabendes Objekt als die Kugel selbst“, sagte Ravenel.

Dennoch können Kugeln auf viele verschiedene Arten auf Teleskopen abgebildet werden, und die Herausforderung besteht darin, zu wissen, wann diese Karten wirklich unterschiedlich sind.

Um festzustellen, ob zwei Räume homotopisch sind, ist ein mathematischer Test erforderlich, der als Invariante bezeichnet wird. Dabei handelt es sich um eine Berechnung, die auf den Eigenschaften der Räume basiert. Wenn die Berechnung für jeden Raum einen anderen Wert ergibt, wissen Sie, dass sie aus Sicht der Homotopie einzigartig sind.

Es gibt viele Arten von Invarianten, und einige können Unterschiede wahrnehmen, für die andere Invarianten blind sind. Die Teleskopvermutung sagt eine Invariante namens Morava voraus E-Theorie (und ihre Symmetrien) kann alle Karten zwischen Kugeln und Teleskopen bis zur Homotopie perfekt unterscheiden – das heißt, wenn Morava E-Die Theorie besagt, dass die Karten unterschiedlich sind, sie sind unterschiedlich, und wenn sie besagt, dass sie gleich sind, sind sie gleich.

Doch 1989 begann Ravenel an der Wahrheit zu zweifeln. Seine Skepsis ergab sich aus Berechnungen, die er anstellte und die nicht mit der Vermutung übereinzustimmen schienen. Aber erst im Oktober desselben Jahres, als während seines Aufenthalts in Berkeley ein schweres Erdbeben die Bay Area erschütterte, verwandelten sich diese Zweifel in völlige Ungläubigkeit.

„Ich bin innerhalb von ein oder zwei Tagen nach dem Erdbeben zu diesem Schluss gekommen, daher denke ich gerne, dass etwas passiert ist, das mich glauben lässt, dass es nicht wahr ist“, sagte Ravenel.

Um die Teleskop-Vermutung zu widerlegen, müsste man eine leistungsfähigere Invariante finden, die Morava-Dinge sehen könnte E-Theorie kann nicht. Jahrzehntelang schien keine solche Invariante verfügbar zu sein, was die Vermutung völlig unerreichbar machte. Aber der Fortschritt der letzten Jahre hat das geändert – und Burklund, Hahn, Levy und Schlank haben daraus Kapital gemacht.

Der explodierende Exot

Ihr Beweis stützt sich auf eine Reihe von Werkzeugen namens Algebra K-Theorie, die in den 1950er Jahren von Alexander Grothendieck begründet wurde und sich im letzten Jahrzehnt rasant weiterentwickelt hat. Es findet Anwendung in der gesamten Mathematik, auch in der Geometrie, wo es die Fähigkeit besitzt, eine Invariante zu überladen.

Die vier Autoren verwenden Algebraik K-Theorie als Gadget: Sie geben Morava ein E-Theorie, und ihre Ausgabe ist eine neue Invariante, die sie als Algebra bezeichnen K-Theorie der Fixpunkte von Morava E-Theorie. Anschließend wenden sie diese neue Invariante auf Karten von Kugeln bis hin zu Teleskopen an und beweisen, dass sie Karten von Morava erkennen kann E-Theorie kann nicht.

Und es ist nicht nur so, dass diese neue Invariante ein paar weitere Karten sieht. Es sieht viel mehr, sogar unendlich mehr. So viele mehr, dass man mit Fug und Recht Morava sagen kann E-Die Theorie kratzte kaum an der Oberfläche, wenn es darum ging, Karten von Kugeln bis hin zu Teleskopen zu identifizieren.

Unendlich mehr Karten von Kugeln zu Teleskopen bedeuten unendlich mehr Karten zwischen den Kugeln selbst. Die Anzahl solcher Karten ist für jeden Dimensionsunterschied endlich, aber der neue Beweis zeigt, dass die Anzahl schnell und unaufhaltsam wächst.

Dass es so viele Karten gibt, weist auf eine beunruhigende geometrische Realität hin: Es gibt so viele Kugeln.

1956 identifizierte John Milnor die ersten Beispiele sogenannter „exotischer“ Sphären. Dabei handelt es sich um Räume, die sich aus der Perspektive der Homotopie in die eigentliche Sphäre verformen lassen, sich aber in einem bestimmten, präzisen Sinne von der Sphäre unterscheiden. In den Dimensionen eins, zwei oder drei gibt es überhaupt keine exotischen Sphären, und niemand hat Beispiele dafür unterhalb der siebten Dimension entdeckt – der Dimension, in der Milnor sie zum ersten Mal fand. Doch mit zunehmender Dimension explodiert die Zahl der exotischen Sphären. In Dimension 16,256 gibt es 15 und in Dimension 523,264 19.

Und doch, so groß diese Zahlen auch sind, bedeutet die Widerlegung der Teleskopvermutung, dass es noch viel mehr gibt. Die Widerlegung bedeutet, dass es mehr Karten zwischen den Sphären gibt als erwartet, als Ravenel die Vermutung aufstellte, und die einzige Möglichkeit, mehr Karten zu erhalten, besteht darin, eine größere Vielfalt an Sphären zu haben, zwischen denen man kartieren kann.

Es gibt verschiedene Arten von Fortschritten in Mathematik und Naturwissenschaften. Eine Art bringt Ordnung ins Chaos. Aber ein anderer verschärft das Chaos, indem er hoffnungsvolle Annahmen zerstreut, die nicht wahr waren. Die Widerlegung der Teleskopvermutung ist so. Es vertieft die Komplexität der Geometrie und erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass viele Generationen von Enkeln kommen und gehen werden, bevor irgendjemand die Karten zwischen den Sphären vollständig versteht.

„Jeder große Fortschritt in diesem Bereich scheint uns zu zeigen, dass die Antwort viel komplizierter ist, als wir vorher dachten“, sagte Ravenel.