Einleitung
Seit Jahrhunderten versuchen Mathematiker, die Bewegung von Flüssigkeiten zu verstehen und zu modellieren. Die Gleichungen, die beschreiben, wie Wellen die Oberfläche eines Teichs kräuseln, haben Forschern auch dabei geholfen, das Wetter vorherzusagen, bessere Flugzeuge zu konstruieren und zu charakterisieren, wie Blut durch das Kreislaufsystem fließt. Diese Gleichungen sind täuschend einfach, wenn sie in der richtigen mathematischen Sprache geschrieben werden. Ihre Lösungen sind jedoch so komplex, dass es unerschwinglich schwierig sein kann, selbst grundlegende Fragen zu ihnen zu verstehen.
Die vielleicht älteste und prominenteste dieser Gleichungen, die vor mehr als 250 Jahren von Leonhard Euler formuliert wurde, beschreibt die Strömung einer idealen, inkompressiblen Flüssigkeit: einer Flüssigkeit ohne Viskosität oder innere Reibung, die nicht in ein kleineres Volumen gezwungen werden kann. „Fast alle nichtlinearen Flüssigkeitsgleichungen sind irgendwie von den Euler-Gleichungen abgeleitet“, sagte er Tarek Elgindi, Mathematiker an der Duke University. „Sie sind die Ersten, könnte man sagen.“
Dennoch bleibt vieles über die Euler-Gleichungen unbekannt – einschließlich der Frage, ob sie immer ein genaues Modell des idealen Flüssigkeitsflusses sind. Eines der zentralen Probleme in der Fluiddynamik besteht darin, herauszufinden, ob die Gleichungen jemals versagen und unsinnige Werte ausgeben, die sie unfähig machen, die zukünftigen Zustände einer Flüssigkeit vorherzusagen.
Mathematiker vermuten seit langem, dass es Anfangsbedingungen gibt, die dazu führen, dass die Gleichungen zusammenbrechen. Aber sie konnten es nicht beweisen.
In ein Preprint Letzten Monat online gestellt, haben zwei Mathematiker gezeigt, dass eine bestimmte Version der Euler-Gleichungen tatsächlich manchmal fehlschlägt. Der Beweis stellt einen großen Durchbruch dar – und obwohl er das Problem für die allgemeinere Version der Gleichungen nicht vollständig löst, gibt er Hoffnung, dass eine solche Lösung endlich in Reichweite ist. „Das ist ein erstaunliches Ergebnis“, sagte er Tristan Buckmaster, ein Mathematiker an der University of Maryland, der nicht an der Arbeit beteiligt war. „Es gibt keine Ergebnisse dieser Art in der Literatur.“
Es gibt nur einen Haken.
Der 177-seitige Korrekturabzug – das Ergebnis eines jahrzehntelangen Forschungsprogramms – macht erheblichen Gebrauch von Computern. Dies macht es wohl für andere Mathematiker schwierig, dies zu überprüfen. (Tatsächlich sind sie noch dabei, obwohl viele Experten glauben, dass sich das neue Werk als richtig herausstellen wird.) Es zwingt sie auch, mit philosophischen Fragen darüber zu rechnen, was ein „Beweis“ ist und was er sein wird meinen, wenn solche wichtigen Fragen in Zukunft nur noch mit Hilfe von Computern gelöst werden können.
Sichtung der Bestie
Wenn Sie den Ort und die Geschwindigkeit jedes Teilchens in einer Flüssigkeit kennen, sollten die Euler-Gleichungen im Prinzip in der Lage sein, vorherzusagen, wie sich die Flüssigkeit für alle Zeiten entwickeln wird. Aber Mathematiker wollen wissen, ob das wirklich so ist. Vielleicht laufen die Gleichungen in einigen Situationen wie erwartet ab und liefern zu jedem Zeitpunkt präzise Werte für den Zustand der Flüssigkeit, nur damit einer dieser Werte plötzlich ins Unendliche schießt. An diesem Punkt sollen die Euler-Gleichungen zu einer „Singularität“ führen – oder, dramatischer, zu „explodieren“.
Sobald sie diese Singularität erreichen, können die Gleichungen den Fluss der Flüssigkeit nicht mehr berechnen. Aber „vor ein paar Jahren war das, was die Leute tun konnten, sehr, sehr weit hinter dem [Proving Blowup] zurück“, sagte er Charlie Feffermann, Mathematiker an der Princeton University.
Noch komplizierter wird es, wenn Sie versuchen, eine Flüssigkeit mit Viskosität zu modellieren (wie es fast alle realen Flüssigkeiten tun). Ein Millionen-Dollar-Millennium-Preis des Clay Mathematics Institute wartet auf jeden, der beweisen kann, ob ähnliche Fehler in den Navier-Stokes-Gleichungen auftreten, einer Verallgemeinerung der Euler-Gleichungen, die die Viskosität erklären.
In 2013, Thomas Hou, ein Mathematiker am California Institute of Technology, und Guo Luo, jetzt an der Hang Seng University of Hong Kong, schlug ein Szenario vor, in dem die Euler-Gleichungen zu einer Singularität führen würden. Sie entwickelten eine Computersimulation einer Flüssigkeit in einem Zylinder, dessen obere Hälfte im Uhrzeigersinn wirbelte, während seine untere Hälfte gegen den Uhrzeigersinn wirbelte. Während sie die Simulation durchführten, begannen sich kompliziertere Strömungen auf und ab zu bewegen. Das wiederum führte zu einem seltsamen Verhalten entlang der Zylindergrenze, wo sich entgegengesetzte Strömungen trafen. Die Verwirbelung der Flüssigkeit – ein Maß für die Rotation – wuchs so schnell, dass sie kurz vor der Explosion zu stehen schien.
Die Arbeit von Hou und Luo war anregend, aber kein echter Beweis. Das liegt daran, dass es für einen Computer unmöglich ist, unendlich viele Werte zu berechnen. Es kann einer Singularität sehr nahe kommen, aber es kann sie nicht wirklich erreichen – was bedeutet, dass die Lösung sehr genau sein kann, aber immer noch eine Annäherung ist. Ohne die Unterstützung eines mathematischen Beweises scheint der Wert der Vorticity aufgrund einiger Artefakte der Simulation nur bis ins Unendliche zu steigen. Die Lösungen könnten stattdessen zu einer enormen Zahl anwachsen, bevor sie wieder nachlassen.
Solche Umkehrungen waren schon früher vorgekommen: Eine Simulation würde anzeigen, dass ein Wert in den Gleichungen explodierte, nur für ausgefeiltere Berechnungsmethoden, um das Gegenteil zu zeigen. „Diese Probleme sind so heikel, dass die Straße mit den Trümmern früherer Simulationen übersät ist“, sagte Fefferman. Tatsächlich hat Hou auf diesem Gebiet so angefangen: Mehrere seiner früheren Ergebnisse widerlegten die Bildung hypothetischer Singularitäten.
Als er und Luo ihre Lösung veröffentlichten, hielten die meisten Mathematiker es jedoch für sehr wahrscheinlich, dass es sich um eine echte Singularität handelte. „Es war sehr akribisch, sehr präzise“, sagte er Wladimir Swerak, Mathematiker an der University of Minnesota. „Sie haben wirklich große Anstrengungen unternommen, um festzustellen, dass dies ein reales Szenario ist.“ Nachfolgende Arbeiten von Elgindi, Sverak und anderen hat diese Überzeugung nur verstärkt.
Aber ein Beweis blieb aus. »Sie haben die Bestie gesichtet«, sagte Fefferman. „Dann versuchst du, es einzufangen.“ Das bedeutete zu zeigen, dass die Näherungslösung, die Hou und Luo so sorgfältig simulierten, in einem bestimmten mathematischen Sinne einer exakten Lösung der Gleichungen sehr, sehr nahe kommt.
Jetzt, neun Jahre nach dieser ersten Sichtung, Hou und sein ehemaliger Doktorand Jiajie Chen ist es endlich gelungen, die Existenz dieser nahe gelegenen Singularität zu beweisen.
Der Umzug in ein selbstähnliches Land
Hou, später ergänzt durch Chen, machte sich zunutze, dass die Näherungslösung von 2013 bei näherer Betrachtung eine besondere Struktur zu haben schien. Als sich die Gleichungen im Laufe der Zeit weiterentwickelten, zeigte die Lösung ein sogenanntes selbstähnliches Muster: Seine Form sah später seiner früheren Form sehr ähnlich, nur auf eine bestimmte Weise neu skaliert.
Folglich mussten die Mathematiker nicht versuchen, die Singularität selbst zu betrachten. Stattdessen könnten sie es indirekt studieren, indem sie sich auf einen früheren Zeitpunkt konzentrieren. Indem sie diesen Teil der Lösung mit der richtigen Rate heranzoomen – die auf der Grundlage der selbstähnlichen Struktur der Lösung bestimmt wird – konnten sie modellieren, was später passieren würde, einschließlich der Singularität selbst.
Es dauerte ein paar Jahre, bis sie ein selbstähnliches Analogon zum Blowup-Szenario von 2013 fanden. (Anfang dieses Jahres verwendete ein anderes Team von Mathematikern, zu dem auch Buckmaster gehörte, andere Methoden, um Finden Sie eine ähnliche Näherungslösung. Sie verwenden diese Lösung derzeit, um einen unabhängigen Nachweis der Singularitätsbildung zu entwickeln.)
Mit einer ungefähren selbstähnlichen Lösung in der Hand mussten Hou und Chen zeigen, dass eine exakte Lösung in der Nähe existiert. Mathematisch entspricht dies dem Beweis, dass ihre ungefähre selbstähnliche Lösung stabil ist – selbst wenn Sie sie leicht stören und dann die Gleichungen ausgehend von diesen gestörten Werten entwickeln würden, gäbe es keine Möglichkeit, einer kleinen Nachbarschaft um die herum zu entkommen ungefähre Lösung. „Es ist wie ein schwarzes Loch“, sagte Hou. „Wenn Sie mit einem Profil in der Nähe beginnen, werden Sie hineingezogen.“
Aber eine allgemeine Strategie zu haben, war nur ein Schritt zur Lösung. „Peinliche Details sind wichtig“, sagte Fefferman. Als Hou und Chen die nächsten Jahre damit verbrachten, diese Details auszuarbeiten, stellten sie fest, dass sie sich erneut auf Computer verlassen mussten – diesmal jedoch auf eine völlig neue Art und Weise.
Ein hybrider Ansatz
Zu ihren ersten Herausforderungen gehörte es, die genaue Aussage herauszufinden, die sie beweisen mussten. Sie wollten zeigen, dass die Ausgabe nicht weit abweichen kann, wenn sie einen beliebigen Satz von Werten nahe ihrer Näherungslösung nehmen und ihn in die Gleichungen einsetzen. Aber was bedeutet es, wenn eine Eingabe „nah“ an der Näherungslösung liegt? Sie mussten dies in einer mathematischen Aussage spezifizieren – aber es gibt viele Möglichkeiten, den Begriff der Entfernung in diesem Zusammenhang zu definieren. Damit ihr Beweis funktionierte, mussten sie den richtigen auswählen.
"Es muss verschiedene physikalische Effekte messen", sagte er Rafael de la Llavé, Mathematiker am Georgia Institute of Technology. „Also muss es mit einem tiefen Verständnis des Problems ausgewählt werden.“
Sobald sie die richtige Art hatten, „Nähe“ zu beschreiben, mussten Hou und Chen die Aussage beweisen, was auf eine komplizierte Ungleichung hinauslief, die Terme sowohl aus den neu skalierten Gleichungen als auch aus der Näherungslösung umfasste. Die Mathematiker mussten dafür sorgen, dass sich die Werte all dieser Terme zu etwas sehr Kleinem ausgleichen: Wenn ein Wert am Ende groß wird, müssen andere Werte negativ werden oder in Schach gehalten werden.
„Wenn Sie etwas ein bisschen zu groß oder ein bisschen zu klein machen, bricht das Ganze zusammen“, sagte er Javier Gómez-Serrano, Mathematiker an der Brown University. „Es ist also eine sehr, sehr sorgfältige, heikle Arbeit.“
"Es ist ein wirklich heftiger Kampf", fügte Elgindi hinzu.
Um die engen Grenzen zu finden, die sie für all diese unterschiedlichen Bedingungen brauchten, zerlegten Hou und Chen die Ungleichung in zwei große Teile. Den ersten Teil konnten sie von Hand erledigen, unter anderem mit Techniken, die bis ins 18. Jahrhundert zurückreichen, als der französische Mathematiker Gaspard Monge nach einer optimalen Methode zum Transport von Erde zum Bau von Befestigungen für Napoleons Armee suchte. „Solche Sachen wurden schon früher gemacht, aber ich fand es bemerkenswert, dass [Hou und Chen] sie dafür benutzten“, sagte Fefferman.
Damit blieb der zweite Teil der Ungleichung. Um dies zu bewältigen, wäre Computerunterstützung erforderlich. Zunächst einmal mussten so viele Berechnungen durchgeführt werden, und es war so viel Präzision erforderlich, dass „die Menge an Arbeit, die Sie mit Bleistift und Papier erledigen müssten, atemberaubend wäre“, sagte de la Llave. Um verschiedene Terme zum Ausgleich zu bringen, mussten die Mathematiker eine Reihe von Optimierungsproblemen lösen, die für Computer relativ einfach, für Menschen jedoch äußerst zeitaufwändig sind. Einige der Werte hingen auch von Größen aus der Näherungslösung ab; Da dies mit einem Computer berechnet wurde, war es einfacher, auch einen Computer zu verwenden, um diese zusätzlichen Berechnungen durchzuführen.
„Wenn Sie versuchen, einige dieser Schätzungen manuell vorzunehmen, überschätzen Sie sich wahrscheinlich irgendwann, und dann verlieren Sie“, sagte Gómez-Serrano. „Die Zahlen sind so winzig und eng … und die Marge ist unglaublich dünn.“
Da Computer jedoch nicht unendlich viele Ziffern verarbeiten können, treten zwangsläufig winzige Fehler auf. Hou und Chen mussten diese Fehler sorgfältig verfolgen, um sicherzustellen, dass sie den Rest des Balanceakts nicht störten.
Schließlich konnten sie für alle Terme Grenzen finden und damit den Beweis vervollständigen: Die Gleichungen hatten tatsächlich eine Singularität erzeugt.
Beweis per Computer
Es bleibt offen, ob kompliziertere Gleichungen – die Euler-Gleichungen ohne Vorhandensein eines zylindrischen Randes und die Navier-Stokes-Gleichungen – eine Singularität entwickeln können. „Aber [diese Arbeit] gibt mir zumindest Hoffnung“, sagte Hou. „Ich sehe einen Weg nach vorne, einen Weg, vielleicht sogar das gesamte Millennium-Problem zu lösen.“
In der Zwischenzeit arbeiten Buckmaster und Gómez-Serrano an einem eigenen computergestützten Beweis – einem, von dem sie hoffen, dass er allgemeiner ist und daher in der Lage ist, nicht nur das Problem anzugehen, das Hou und Chen gelöst haben, sondern auch viele andere.
Diese Bemühungen kennzeichnen einen wachsenden Trend auf dem Gebiet der Fluiddynamik: die Verwendung von Computern zur Lösung wichtiger Probleme.
"In verschiedenen Bereichen der Mathematik tritt es immer häufiger auf", sagte er Susanne Friedländer, Mathematiker an der University of Southern California.
Aber in der Strömungsmechanik sind computergestützte Beweise noch eine relativ neue Technik. Tatsächlich ist der Beweis von Hou und Chen, wenn es um Aussagen zur Bildung von Singularitäten geht, der erste seiner Art: Bisherige computergestützte Beweise konnten nur Spielzeugprobleme in diesem Bereich angehen.
Solche Beweise seien weniger umstritten als „Geschmackssache“, hieß es Peter Konstantin der Princeton University. Mathematiker stimmen im Allgemeinen darin überein, dass ein Beweis andere Mathematiker davon überzeugen muss, dass eine Argumentation richtig ist. Viele argumentieren jedoch, dass es auch ihr Verständnis dafür verbessern sollte, warum eine bestimmte Aussage wahr ist, anstatt nur zu bestätigen, dass sie richtig ist. „Lernen wir irgendetwas grundlegend Neues oder wissen wir nur die Antwort auf die Frage?“ sagte Elgindi. „Wenn Sie Mathematik als Kunst betrachten, dann ist das nicht so ästhetisch.“
„Ein Computer kann helfen. Es ist wundervoll. Es gibt mir Einblick. Aber es gibt mir kein vollständiges Verständnis“, fügte Constantin hinzu. „Das Verständnis kommt von uns.“
Elgindi seinerseits hofft immer noch, einen alternativen Explosionsbeweis vollständig von Hand erarbeiten zu können. „Ich bin insgesamt froh, dass es das gibt“, sagte er über die Arbeit von Hou und Chen. „Aber ich nehme es eher als Motivation, zu versuchen, es auf eine weniger computerabhängige Weise zu tun.“
Andere Mathematiker betrachten Computer als ein wichtiges neues Werkzeug, das es ermöglichen wird, zuvor unlösbare Probleme anzugehen. „Jetzt besteht die Arbeit nicht mehr nur aus Papier und Bleistift“, sagte Chen. "Sie haben die Möglichkeit, etwas Stärkeres zu verwenden."
Laut ihm und anderen (einschließlich Elgindi, trotz seiner persönlichen Vorliebe, Beweise von Hand zu schreiben), besteht eine gute Möglichkeit, dass der einzige Weg zur Lösung großer Probleme in der Fluiddynamik – das heißt Probleme, die immer kompliziertere Gleichungen beinhalten – darin besteht, sich zu verlassen stark auf Computerunterstützung. „Für mich sieht es so aus, als ob der Versuch, dies ohne den starken Einsatz computergestützter Beweise zu tun, so wäre, als würde man sich eine oder möglicherweise zwei Hände auf den Rücken binden“, sagte Fefferman.
Wenn dies der Fall ist und „Sie keine Wahl haben“, sagte Elgindi, „dann sollten Leute … wie ich, die sagen würden, dass dies suboptimal ist, ruhig sein.“ Das würde auch bedeuten, dass mehr Mathematiker damit beginnen müssten, die Fähigkeiten zu erlernen, die zum Schreiben computergestützter Beweise erforderlich sind – etwas, das die Arbeit von Hou und Chen hoffentlich inspirieren wird. „Ich denke, es gab viele Leute, die einfach darauf gewartet haben, dass jemand ein solches Problem löst, bevor sie ihre eigene Zeit in diesen Ansatz investieren“, sagte Buckmaster.
Wenn es jedoch um Debatten darüber geht, inwieweit sich Mathematiker auf Computer verlassen sollten, „muss man sich nicht für eine Seite entscheiden“, sagte Gómez-Serrano. „Der Beweis von [Hou und Chen] würde ohne die Analyse nicht funktionieren, und der Beweis würde nicht ohne Computerunterstützung funktionieren. … Ich denke, der Wert ist, dass die Leute beide Sprachen sprechen können.“
Damit sagte de la Llave: „Es gibt ein neues Spiel in der Stadt.“
