„Entropie-Bagels“ und andere komplexe Strukturen entstehen aus einfachen Regeln | Quanta-Magazin

Wiederholungen müssen nicht immer eintönig sein. In der Mathematik ist es eine mächtige Kraft, die in der Lage ist, verblüffende Komplexität zu erzeugen.

Auch nach jahrzehntelangem Studium sind Mathematiker nicht in der Lage, Fragen zur wiederholten Ausführung sehr einfacher Regeln – der grundlegendsten „dynamischen Systeme“ – zu beantworten. Doch bei ihrem Versuch haben sie tiefe Verbindungen zwischen diesen Regeln und anderen scheinbar weit entfernten Bereichen der Mathematik aufgedeckt.

Zum Beispiel die Mandelbrot-Menge, die ich schrieb über Letzten Monat ist eine Karte, wie eine Familie von Funktionen – beschrieben durch die Gleichung f(x) = x² + c – verhält sich wie der Wert von c erstreckt sich über die sogenannte komplexe Ebene. (Im Gegensatz zu reellen Zahlen, die auf einer Linie platziert werden können, bestehen komplexe Zahlen aus zwei Komponenten, die auf der Linie dargestellt werden können x- machen y-Achsen einer zweidimensionalen Ebene.)

Ganz gleich, wie sehr man die Mandelbrot-Menge vergrößert, es entstehen immer und ohne Grenzen neue Muster. „Es ist für mich selbst jetzt noch völlig überwältigend, dass diese sehr komplexe Struktur aus so einfachen Regeln entsteht“, sagte er Matthias Bäcker des Georgia Institute of Technology. „Es ist eine der wirklich überraschenden Entdeckungen des 20. Jahrhunderts.“

Die Komplexität der Mandelbrot-Menge entsteht teilweise dadurch, dass sie durch Zahlen definiert wird, die selbst, nun ja, komplex sind. Aber vielleicht überraschend ist das nicht die ganze Geschichte. Sogar wenn c eine einfache reelle Zahl wie beispielsweise –3/2 ist, können alle möglichen seltsamen Phänomene auftreten. Niemand weiß, was passiert, wenn man die Gleichung wiederholt anwendet f(x) = x² – 3/2, wobei jede Ausgabe als nächste Eingabe in einem Prozess verwendet wird, der als Iteration bezeichnet wird. Wenn Sie mit der Iteration beginnen x = 0 (der „kritische Punkt“ einer quadratischen Gleichung) ist unklar, ob Sie eine Sequenz erzeugen, die schließlich zu einem sich wiederholenden Zyklus von Werten konvergiert, oder eine, die endlos in einem chaotischen Muster hin und her springt.

Für Werte von c kleiner als –2 oder größer als 1/4, die Iteration geht schnell in die Unendlichkeit. Aber innerhalb dieses Intervalls gibt es unendlich viele Werte von c Es ist bekannt, dass es chaotisches Verhalten hervorruft, und es gibt unendlich viele Fälle wie –3/2, bei denen „wir nicht wissen, was passiert, obwohl es sehr konkret ist“, sagte er Giulio Tiozzo der University of Toronto.

Aber in den 1990er Jahren wurde der Mathematiker der Stony Brook University Mischa Ljubitsch, der in meinem Bericht über die Mandelbrot-Menge eine herausragende Rolle spielte, erwies sich dass im Intervall zwischen –2 und 1/4 die überwiegende Mehrheit der Werte von c erzeugen schönes „hyperbolisches“ Verhalten. (Die Mathematiker Jacek Graczyk und Grzegorz Swiatek unabhängig bewiesen das Ergebnis etwa zur gleichen Zeit.) Dies bedeutet, dass die entsprechenden Gleichungen bei der Iteration zu einem einzelnen Wert oder zu einem sich wiederholenden Zahlenzyklus konvergieren.

Ein Jahrzehnt später zeigte ein Trio von Mathematikern, dass die meisten Werte von c sind nicht nur für quadratische Gleichungen hyperbolisch, sondern auch für jede Familie reeller Polynome (Allgemeinere Funktionen, die Potenzen kombinieren, z. B x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Und jetzt einer von ihnen, Sebastian van Strien vom Imperial College London glaubt, einen Beweis für diese Eigenschaft für eine noch breitere Klasse von Gleichungen zu haben, die als reelle analytische Funktionen bezeichnet werden und zu denen Sinus-, Kosinus- und Exponentialfunktionen gehören. Van Strien hofft, das Ergebnis im Mai bekannt geben zu können. Wenn es nach der Begutachtung durch Fachkollegen Bestand hat, wird es einen großen Fortschritt bei der Charakterisierung des Verhaltens realer eindimensionaler Systeme darstellen.

Unwahrscheinliche Schnittmengen und Entropie-Bagels

Es gibt unendlich viele reelle quadratische Gleichungen, von denen bekannt ist, dass sie, wenn sie von Null aus iteriert werden, am Ende einen sich wiederholenden Zahlenzyklus erzeugen. Aber wenn Sie einschränken c Für rationale Werte – solche, die als Brüche geschrieben werden können – erzeugen schließlich nur drei Werte periodische Folgen: 0, –1 und –2. „Diese dynamischen Systeme sind etwas ganz Besonderes“, sagte er Clayton Petsche der Oregon State University.

In ein Papier letztes Jahr erschienen, Petsche und Chatchai Noytaptim von der University of Waterloo bewiesen, dass sie noch spezieller sind, als sie auf den ersten Blick erscheinen. Die Mathematiker betrachteten „völlig reelle“ Zahlen, die restriktiver als reelle Zahlen, aber weniger restriktiv als rationale Zahlen sind.

Wenn Sie eine Zahl in ein Polynom einsetzen und eine Ausgabe von Null erhalten, ist diese Zahl eine Lösung oder Wurzel des Polynoms. Beispielsweise ist 2 eine Wurzel von f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30 und unendlich viele andere Gleichungen. Solche Polynome können reelle oder komplexe Wurzeln haben. (Zum Beispiel die Wurzeln von x² + 1 ist die Quadratwurzel von –1, geschrieben als i, und -i — beides komplexe Zahlen.)

Eine Zahl ist völlig reell, wenn sie eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllt, die nur reelle Wurzeln hat. Alle rationalen Zahlen sind völlig real, einige irrationale Zahlen jedoch auch. Zum Beispiel ist $latex sqrt{2}$ völlig real, weil es eine Lösung für ist f(x) = x² – 2, die nur echte Wurzeln hat ($latex sqrt{2}$ und ihre „Schwester“-Wurzel $latex -sqrt{2}$). Aber die Kubikwurzel von 2, $latex sqrt[3]{2}$, ist nicht ganz real. Es ist eine Lösung für f(x) = x³ – 2, das zusätzlich zwei Schwesterwurzeln hat, die auch als Galois-Konjugate bekannt sind und komplex sind.

Petsche und Noytaptim haben bewiesen, dass es keine irrationalen, völlig reellen Zahlen gibt, die letztendlich periodische Zyklen erzeugen. Vielmehr sind 0, –1 und –2 die einzigen völlig reellen Zahlen, die dies tun. Sie stellen eine unwahrscheinliche Schnittstelle zwischen Eigenschaften aus zwei scheinbar unterschiedlichen Welten dar – der Zahlentheorie (das Studium ganzer Zahlen) und dynamischen Systemen. Petsche und Noytaptim verwendeten in ihrem Beweis wichtige Ergebnisse der Zahlentheorie und verdeutlichten den Zusammenhang zwischen den beiden Feldern.

Die Mathematiker Xavier Buff machen Sara Koch gefunden eine weitere unwahrscheinliche Kreuzung. Sie zeigten, dass nur vier völlig reale Werte von c – 1/4, –3/4, –5/4 und –7/4 – erzeugen Sequenzen eines bestimmten, gut verstandenen Typs, der als parabolischer Zyklus bezeichnet wird.

Galois-Konjugate ebneten auch den Weg zur Entdeckung eines mysteriösen Objekts namens „Entropie-Bagel“, eines leuchtenden fraktalen Rings in der komplexen Ebene. Entropie ist ein Maß für Zufälligkeit; In diesem Zusammenhang misst es, wie schwierig es ist, die durch Iteration erzeugte Zahlenfolge vorherzusagen x² + c. In dem letzte Arbeit, die er geschrieben hat Bevor er 2012 starb, zeichnete der renommierte Topologe William Thurston die Menge der Entropiewerte grafisch auf, die fast einer Milliarde verschiedener realer Werte entspricht c – zusammen mit den Galois-Konjugaten dieser Entropiewerte, die komplex sein können. Der Begriff der Entropie „ist genau richtig, aber irgendwie kann man immer noch diesen Schatten der komplexen Welt erkennen“, sagte Tiozzo.

„Sie sehen, dass sich dies in dieser unglaublichen fraktalen Spitzenstruktur organisiert“, sagte Koch. "Das ist so cool." Der Entropie-Bagel ist nur ein sehr kompliziertes Muster, das aus der Iteration reeller quadratischer Gleichungen hervorgeht. „Wir lernen immer noch all diese magischen Aussagen – kleine Juwelen – über echte quadratische Polynome“, fügte sie hinzu. „Sie können jederzeit zurückgehen und sich von etwas überraschen lassen, von dem Sie dachten, Sie wüssten es sehr gut.“