Wie kann jemand mit Gewissheit über die Unendlichkeit sprechen? Was können wir wirklich über die mysteriösen Primzahlen wissen, ohne sie alle zu kennen? So wie Wissenschaftler Daten benötigen, um ihre Hypothesen zu bewerten, brauchen Mathematiker Beweise, um Vermutungen zu beweisen oder zu widerlegen. Aber was gilt im immateriellen Bereich der Zahlentheorie als Beweis? In dieser Folge spricht Steven Strogatz mit Melanie Matchett Wood, Professor für Mathematik an der Harvard University, um zu erfahren, wie Wahrscheinlichkeit und Zufälligkeit dazu beitragen können, Beweise für die stichhaltigen Argumente zu liefern, die von Mathematikern verlangt werden.
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Steven Strogatz (00:02): Ich bin Steve Strogatz, und das ist Die Freude am Warum, ein Podcast von Quanta Magazine Das führt Sie zu einigen der größten unbeantworteten Fragen in Mathematik und Naturwissenschaften von heute. In dieser Folge werden wir darüber sprechen Beweise in der Mathematik. Welche Arten von Beweisen verwenden Mathematiker? Was lässt sie vermuten, dass etwas wahr sein könnte, bevor sie einen wasserdichten Beweis haben?
(00:26) Es mag paradox klingen, aber es stellt sich heraus, dass Argumentation auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Untersuchung von Zufall und Zufälligkeit, manchmal zu dem führen kann, wonach Mathematiker wirklich suchen, nämlich Gewissheit, nicht nur Wahrscheinlichkeit. Zum Beispiel gibt es im Bereich der Mathematik, der als Zahlentheorie bekannt ist, eine lange Geschichte der Verwendung von Zufälligkeit, um Mathematikern zu helfen, zu erraten, was wahr ist. Jetzt wird die Wahrscheinlichkeit benutzt, um ihnen zu helfen, zu beweisen, was wahr ist.
(00:53) Wir konzentrieren uns hier auf Primzahlen. Sie erinnern sich wahrscheinlich an Primzahlen, oder? Sie haben sie in der Schule kennengelernt. Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst geteilt werden kann. Zum Beispiel 7 oder 11. Das sind Primzahlen, aber 15 ist es nicht, weil 15 durch 3 oder durch 5 teilbar ist. Sie können sich Primzahlen so ähnlich wie die Elemente im Periodensystem der Chemie vorstellen dass sie die unteilbaren Atome sind, aus denen alle anderen Zahlen bestehen.
(01:27) Primzahlen scheinen einfach zu sein, aber einige der größten Rätsel in der Mathematik sind Fragen zu Primzahlen. Teilweise Fragen, die es schon seit Hunderten von Jahren gibt. Primzahlen haben wirklich etwas sehr Subtiles. Sie scheinen in einem Grenzgebiet zwischen Ordnung und Zufälligkeit zu leben. Mein Gast heute wird uns dabei helfen, mehr über die Natur von Beweisen in der Mathematik zu verstehen, und insbesondere, wie und warum Zufälligkeit uns so viel über Primzahlen sagen kann und warum auf Wahrscheinlichkeit basierende Modelle an der Spitze der Zahlentheorie so nützlich sein können. Melanie Matchett Wood, Mathematikprofessorin an der Harvard University, gesellt sich jetzt zu mir, um all dies zu diskutieren. Willkommen, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Hallo, es tut gut mit dir zu reden.
Strogatz (02:11): Es ist sehr gut, mit dir zu reden, ich bin ein großer Fan. Lassen Sie uns über Mathematik und Naturwissenschaften in Bezug zueinander sprechen, weil die Wörter oft zusammen verwendet werden, und doch sind die Techniken, die wir verwenden, um Beweise und Gewissheit in der Mathematik zu finden, etwas anders als das, was wir in der Wissenschaft zu tun versuchen. Wenn wir zum Beispiel über das Sammeln von Beweisen in der Mathematik sprechen, inwiefern ist es dasselbe oder wie unterscheidet es sich vom Sammeln von Beweisen durch die wissenschaftliche Methode in der Wissenschaft?
Holz (02:38): Ein mathematischer Beweis ist ein absolut wasserdichtes, vollständig logisches Argument dafür, dass eine mathematische Behauptung so sein muss und nicht anders sein könnte. Im Gegensatz zu einer wissenschaftlichen Theorie – die vielleicht die beste ist, die wir haben, basierend auf den Beweisen, die wir heute haben, aber wir werden in den nächsten 10 Jahren mehr Beweise bekommen, wissen Sie, und vielleicht wird es eine neue Theorie geben – einen mathematischen Beweis sagt, dass eine Aussage so sein muss, können wir unmöglich feststellen, dass sie in 10 oder 20 Jahren falsch sein wird.
Strogatz (03:17): Nun, welche Dinge zählen in der Mathematik als Beweise?
Holz (03:19): Man sieht also vielleicht, dass an vielen Beispielen etwas stimmt. Und basierend darauf, dass es in vielen Beispielen wahr ist, was man vielleicht als Beweis für diese Tatsache bezeichnen könnte, du könntest eine Vermutung anstellen, was Mathematiker eine Vermutung nennen würden, eine Vermutung, dass etwas wahr ist. Aber was Mathematiker wollen, wäre ein Beweis dafür, dass das, was Sie in so vielen Beispielen gesehen haben, immer so funktioniert, wie Sie es behauptet haben.
Strogatz (03:49): Richtig, ganz anders als nur das Gewicht der Beweise. Dies ist eine Aussage, dass es einen Grund gibt, warum etwas für immer, für alle Zeiten, in jedem Fall wahr sein wird.
Holz (03:58): Und nicht nur „na ja, ich habe mir eine Million Fälle angeschaut und es stimmt in jedem einzelnen davon.“ Was ein Grund ist, zu vermuten oder zu vermuten, dass es immer wahr ist. Aber in der Mathematik unterscheiden wir zwischen einer solchen Vermutung, die auf vielen Fällen oder Beweisen beruhen könnte, und einem Theorem oder Beweis, einem Argument, das Ihnen sagt, dass es in jedem Fall funktionieren wird, sogar in denen, die Sie haben nicht versucht.
Strogatz (04:25): Nun, ist es nur so, dass Mathematiker von Natur aus anspruchsvoll sind, oder gibt es Fälle, in denen etwas, das bis zu einer sehr großen Anzahl von Möglichkeiten so aussah, als ob es wahr war, über eine andere große Zahl hinaus nicht wahr war? ?
Holz (04:39): Oh, das ist eine großartige Frage. Nun, hier ist ein Beispiel, das mir gefällt, weil ich die Primzahlen mag. Wenn Sie also die Primzahlen – 2, 3, 5, 7 – durchgehen, könnten Sie vielleicht schauen und sagen: „Hey, sind sie durch 2 teilbar?“ Und das stellt sich als wenig interessant heraus. Nach 2 ist keiner von ihnen durch 2 teilbar. Sie sind alle, sie sind alle ungerade.
(05:10) Und dann denkst du vielleicht: „Nun, sind sie durch 3 teilbar?“ Und natürlich können sie nach 3 auch nicht durch 3 teilbar sein, da sie Primzahlen sind. Sie werden jedoch feststellen, dass einige von ihnen, wenn Sie sie durch 3 teilen, einen Rest von 1 erhalten, dass sie um 1 mehr als ein Vielfaches von 3 sind. Also Dinge wie 7, was 1 mehr als 6 ist, oder 13 , was 1 mehr als 12 ist. Und einige dieser Primzahlen, wie 11 oder 17, was 2 mehr als 15 ist, haben einen Rest von 2, wenn Sie sie durch 3 teilen, weil sie 2 mehr als a sind Vielfaches von 3.
(05:47) Und so könnte man sich diese Primzahlen in Teams vorstellen. Team 1 sind alle, die um 1 mehr als ein Vielfaches von 3 sind, und Team 2 sind alle, die um 2 mehr als ein Vielfaches von 3 sind. Und während Sie die Primzahlen durchgehen und die Primzahlen auflisten, könnten Sie alle auflisten Primzahlen und Sie könnten zusammenzählen und sehen, wie viele in Team 1 und wie viele in Team 2 sind. Und wenn Sie das bis zu 600 Milliarden zusammenzählen würden, an jedem Punkt, jede Zahl bis zu 600 Milliarden, würden Sie das finden Es gibt mehr Team-2-Primzahlen als Team-1-Primzahlen. Auf der Grundlage dieser Beweise könnten Sie also natürlich vermuten, dass es immer mehr Primzahlen von Team 2 als Primzahlen von Team 1 geben wird.
Strogatz (06:33): Sicher. Klingt total danach.
Holz: Es stellt sich heraus, dass sich bei einer Zahl um die 608-Milliarden-irgendwas, ich habe die genaue Zahl vergessen, sie ändert.
Strogatz (06:46): Ach, komm schon.
Holz: Ja, es ändert sich wirklich. Und jetzt liegt plötzlich Team 1 in Führung. Das ist also ein –
Strogatz (06:53): Moment mal. Warte, aber das ist erstaunlich. Was – jetzt, ändern sie sich ständig? Wissen wir, was passiert, wenn Sie weitermachen? Ändern sie sich ständig?
Holz (07:01): Ja, gute Frage. Es ist also tatsächlich ein Theorem, dass sie die Leads unendlich oft wechseln werden.
Strogatz (07:07): Wirklich?
Holz: Also werden sie weiterhin mit den Leads handeln. Aber es ist ein wirklich großartiges Beispiel, das man beim Studium der Primzahlen im Hinterkopf behalten sollte: Nur weil etwas für die ersten 600 Milliarden Fälle wahr war, bedeutet das nicht, dass es immer wahr sein wird.
Strogatz (07:25): Oh, wow. Nett. Okay. Wie kommt man also allgemein von einer Vermutung zu einem Beweis?
Holz (07:31): Es kommt sehr auf den Fall an. Ich meine, es gibt viele mathematische Fälle, in denen wir Vermutungen und keine Beweise haben. Es gibt also kein einfaches Rezept, um von einer Vermutung zu einem Beweis zu gelangen, oder wir hätten nicht so viele berühmte offene Probleme, bei denen es einige gibt – einige Vermutungen, von denen die Leute denken, dass etwas auf eine bestimmte Weise funktioniert, aber wir tun es nicht. Ich weiß es nicht genau. Aber wissen Sie, manchmal könnte die Vermutung Gründe dafür vorschlagen, dass etwas wahr ist. Manchmal ist es nur die mathematische Theorie, die auf immer mehr mathematischer Theorie aufbaut, die Menschen seit Hunderten von Jahren entwickeln, die uns genügend Werkzeuge und Strukturen gibt, mit denen wir arbeiten können, um Dinge zu verstehen, die uns einen Beweis liefern. Aber es ist nicht so, dass die Vermutung notwendigerweise zum Beweis führt. Die Vermutung mag Menschen dazu inspirieren, zu versuchen, den Beweis zu finden, aber die Art und Weise, wie der Beweis zustande kommt, kann völlig unabhängig von der Vermutung selbst sein.
Strogatz (08:31): Ja, ich bin daran interessiert, die Arten von Beweisen aufzuzählen oder aufzulisten, die einen Beweis verfehlen, die die Menschen dazu bringen, das Vertrauen zu haben, dass es sich lohnt, nach einem Beweis zu suchen.
Holz (08:41): Ja, eine andere Sache, die wir als Beweise bezeichnen könnten, die nicht nur Beispiele sind, wäre eine Heuristik. Eine Heuristik könnte so etwas wie ein Argument sein, außer auf einem viel niedrigeren Strengestandard. Es ist nur so, scheint das okay zu sein? Nicht „habe ich diese Tatsache mit absoluter Sicherheit über jeden Zweifel erhaben festgestellt?“ aber „macht das – ja, es scheint ziemlich plausibel.“ Eine Heuristik könnte also eine Argumentationslinie sein, die ziemlich plausibel erscheint, wissen Sie, aber eigentlich kein rigoroses Argument ist. Das ist also eine Art von Beweisen.
(09:12) Manchmal könnte man ein Modell haben, von dem wir glauben, dass es die wesentlichen Elemente des mathematischen Systems erfasst, das wir zu verstehen versuchen, und dann würden Sie vermuten, dass Ihr System das gleiche Verhalten wie Ihr Modell hat.
Strogatz (09:30): Okay. Irgendwann möchte ich einige Beispiele für Modelle und Vermutungen hören und wissen Sie, inwieweit sie bei einigen Fragen funktionieren oder nicht funktionieren oder nicht, aber wenn es Ihnen nichts ausmacht, würde ich es tun Ich möchte nur auf ein paar kleine persönliche Dinge zurückkommen, weil wir hier über Zahlen sprechen und Sie ein Zahlentheoretiker sind. Die Menschen kennen viele Zahlentheoretiker in ihrem Alltag möglicherweise nicht. Also, ich frage mich, ob Sie uns das sagen könnten was ist zahlentheorie, und warum findest du es interessant? Warum bist du gekommen, um es zu studieren?
Holz (10:02) Nun, die Zahlentheorie ist die mathematische Untersuchung der ganzen Zahlen. Denken Sie also an 1, 2, 3, 4, 5. Und besonders wichtig bei den ganzen Zahlen sind die Primzahlen. Wie du schon ganz am Anfang erklärt hast, sind sie die Bausteine, aus denen wir durch Multiplikation alle anderen Zahlen aufbauen können. Da sich die Zahlentheorie also mit all diesen ganzen Zahlen befasst, befasst sie sich auch mit ihren Bausteinen, den Primzahlen, und wie andere Zahlen in Primzahlen einfließen und wie sie sind aufgebaut – aus Primzahlen.
Strogatz (10:37): Also wird die Zahlentheorie für unsere heutigen Zwecke, denke ich, das Studium der ganzen Zahlen sein, mit besonderem Interesse an Primzahlen. Das scheint ein ziemlich guter Anfang zu sein. Ich schätze, es ist mehr als das. Aber vielleicht ist das jetzt eine gute Definition für uns. Denkst du so?
Holz (10:50): Das ist gut, das ist ein guter Anfang. Ich meine, von da an erforscht man weitere Dinge wie, nun, was ist, wenn man anfängt, Zahlensysteme in Betracht zu ziehen, die komplizierter sind als nur die ganzen Zahlen? Wenn Sie anfangen, andere Zahlen einzugeben, wie die Quadratwurzel aus 2, was passiert dann mit Primzahlen und Faktorisierung? Sie werden zu weiteren Fragen geführt. Aber ehrlich gesagt steckt in den ganzen Zahlen und den Primzahlen viel reiche und schöne Mathematik.
Strogatz (11:16): Also, wenn Sie das im Hinterkopf behalten, warum finden Sie es überzeugend? Warum magst du das Studium der Zahlentheorie? Was hat Sie daran gereizt?
Holz (11:22): Ich glaube, ich mag es, dass die Fragen so konkret sein können. Weißt du, ich gehe und rede mit Grundschulkindern. Und ich kann ihnen erzählen, wissen Sie, einige der Dinge, an die ich denke. Es macht mir also Spaß, an etwas zu arbeiten, bei dem einerseits die Fragen so konkret sein können, andererseits das Rätsel, es zu lösen, so schwierig sein kann. Ich meine, die Leute haben buchstäblich seit Tausenden von Jahren versucht, Fragen zu den ganzen Zahlen, zu den Primzahlen, zu beantworten.
(11:54) Und es gibt viele Zweige der Mathematik. Einer der wichtigen Teile der modernen Zahlentheorie ist, dass man neue Ideen einbringen und Verbindungen zu anderen Teilen der Mathematik herstellen muss, um bei diesen hartnäckigen alten Fragen voranzukommen, an denen die Menschen so lange gearbeitet haben. Obwohl ich mich also als Zahlentheoretiker bezeichnen würde, verwende ich Mathematik aus allen möglichen Bereichen. Vom Studium der Geometrie und Topologie und der Formen von Räumen bis hin zur Wahrscheinlichkeit und dem Studium der Zufälligkeit. Ich benutze alle Arten von Mathematik, aber um zu versuchen, etwas über Dinge wie die ganzen Zahlen und Primzahlen und die Faktorisierung zu sagen.
Strogatz (12:36): Ja, ich liebe diese Vision von Mathematik als dieses riesige, miteinander verbundene Netz von Ideen, und Sie können in einem bestimmten Teil davon leben wollen, der Ihnen am besten gefällt. Aber Sie haben die Primzahlen als ein besonderes Interessengebiet der Zahlentheorie erwähnt, eigentlich als den grundlegendsten Teil davon. Was ist schwer an ihnen? In unserer Diskussion ist noch nicht klar, was da so mysteriös ist? So wie wir sie definiert haben, könnten wir sie wahrscheinlich weiter auflisten, nehme ich an. Was sind einige der Probleme, auf die Sie sich beziehen, die Hunderte von Jahren alt sind?
Holz (13:05): Nun, eine der größten und wichtigsten Fragen, die vielleicht etwa 120 Jahre oder so alt ist, ist, Sie sagten: „Oh, Sie könnten sie auflisten. Wenn Sie das tun würden, wie viele würden Sie finden?“ Nehmen wir also an, Sie haben die Primzahlen aufgelistet, bis zu hundert oder tausend oder hunderttausend oder einer Million, einer Milliarde. Wenn Sie Primzahlen bis hin zu immer größeren Zahlen auflisten, wie viele dieser Zahlen, die Sie durchgehen, werden tatsächlich Primzahlen sein? Das Verständnis dieser Menge ist also wirklich das Herzstück von die Riemann-Hypothese, das eines der Clay Math Institute ist Millennium-Preis-Probleme, es gibt einen Millionenpreis für eine Antwort. Das ist eine der berühmtesten Fragen, und wir haben keine Ahnung, wie man das macht, und es geht wirklich nur um die Frage: Wie viele werden Sie finden, wenn Sie diese Primzahlen auflisten?
Strogatz (13:58): Okay. Es ist lustig, oder? Denn wenn Sie anfangen, die Liste zu erstellen, selbst wenn jemand nur beiläufig angefangen hat, die Zahlen aufzulisten, die Primzahlen bis 100 sind, bemerken Sie einige lustige Dinge. Zum Beispiel, zuerst 11 und 13, sie sind 2 voneinander entfernt. Fünfzehn, naja, das geht nicht, weil es durch 5 und 3 teilbar ist. Dann 17, also gibt es jetzt eine Lücke von 4, zwischen 13 und 17. Aber dann ist 19 wieder nah dran. Ich weiß nicht, ich meine, also kann der Abstand zwischen den Primzahlen etwas wackelig sein. Manchmal gibt es dort eine ziemlich große Lücke, und manchmal sind sie direkt nebeneinander, nur 2 voneinander entfernt.
Holz (14:31): Ja, also war das Verständnis dieser Abstände und Lücken auch eine große Frage von Interesse. In den letzten zehn Jahren gab es bemerkenswerte Fortschritte beim Verständnis des Abstands zwischen den Primzahlen. Aber es gibt immer noch eine wirklich verlockende, grundlegende Frage, auf die wir keine Antwort wissen. Sie haben also erwähnt, dass diese Primzahlen, 11 und 13, nur 2 voneinander entfernt sind. Solche Primzahlen werden also Primzahlzwillinge genannt. Wir konnten nicht erwarten, dass Primzahlen näher als 2 voneinander entfernt liegen, da nach 2 alle ungerade sein müssen. Hier ist eine offene Frage in Mathematik, was bedeutet, dass wir die Antwort nicht kennen, und das ist: Gibt es unendlich viele Paare von Primzahlzwillingen?? Und hier gibt es also eine Vermutung, die Vermutung wäre, ja. Ich meine, es gibt nicht nur eine Vermutung, dass „ja, sie sollten für immer weitergehen, und es sollte immer mehr von ihnen geben“, sondern es gibt sogar eine Vermutung darüber, wie viele Sie im Laufe der Zeit finden werden. Aber das ist völlig offen. Soweit wir wissen, könnte es sein, dass, sobald Sie zu einer wirklich großen Zahl kommen, sie einfach aufhören und Sie überhaupt keine Paare von Primzahlzwillingen mehr finden.
Strogatz (15:40): Das hat etwas sehr Poetisches, Ergreifendes, dieser Gedanke, dass das irgendwann das Ende der Fahnenstange sein könnte. Ich meine, wahrscheinlich glaubt keiner von uns das. Aber es ist möglich, schätze ich, es ist vorstellbar, dass ein letztes einsames Zwillingspaar in der Dunkelheit kuschelt, weit draußen, Sie wissen schon, auf der Zahlenlinie.
Holz (15:57): Ja, das könnte es geben. Und, wissen Sie, als Mathematiker würden wir sagen, wissen Sie, wir wissen es nicht. Selbst wenn Sie ein Diagramm erstellen könnten, wie viele Sie gefunden haben, wenn Sie dieses Diagramm zeichnen, sieht es so aus, als würde es wirklich definitiv mit einer Geschwindigkeit steigen und steigen, die sich niemals – niemals umkehren würde. Aber ich denke, das ist ein Teil des Unterschieds zwischen Mathematik und Naturwissenschaften, dass wir diese Skepsis behalten und sagen, nun, wir wissen es nicht. Ich meine, vielleicht dreht sich die Grafik irgendwann einfach um, und es gibt keine mehr.
Strogatz (16:29): Also, das – ich mag dein Bild dort von einem Diagramm, weil ich denke, dass sich jeder mit dieser Idee identifizieren kann, ein Diagramm zu erstellen, eine Art Diagramm zu erstellen. Wissen Sie, die Primzahlen sind so etwas wie Daten. Und deshalb denke ich, dass dies vielleicht ein guter Zeitpunkt für uns ist, uns umzudrehen und anzufangen, über Wahrscheinlichkeitstheorie zu sprechen. Und es scheint ein wenig seltsam, im Zusammenhang mit den Primzahlen von Wahrscheinlichkeit und Statistik zu sprechen, weil hier kein Zufall im Spiel ist. Die Primzahlen werden durch die Definition bestimmt, die wir gegeben haben, dass sie nicht teilbar sind. Dennoch haben Mathematiker und Zahlentheoretiker wie Sie statistische oder wahrscheinlichkeitstheoretische Argumente verwendet, um über die Primzahlen nachzudenken. Ich frage mich, ob Sie mir so etwas mit Münzwurf skizzieren könnten, und zurück zu dem, worüber wir am Anfang gesprochen haben, ungerade Zahlen und gerade Zahlen.
Holz (17:14): Okay. Im Gegensatz zu den Primzahlen verstehen wir also das Muster von ungeraden und geraden Zahlen sehr gut. Sie werden natürlich ungerade, gerade, ungerade, gerade. Aber angenommen, wir hätten dieses Muster nicht verstanden. Und wir verwenden dies, um zu verstehen, wie viele ungerade Zahlen Sie finden könnten, wenn Sie sich alle Zahlen bis zu einer Million ansehen. Sie können sich vorstellen, da es zwei Möglichkeiten gibt, eine Zahl könnte ungerade oder eine Zahl gerade sein, dass vielleicht jemand vorbeiging und für jede Zahl eine Münze warf, und wenn die Münze Kopf zeigte, war die Zahl ungerade. Und wenn die Münze Zahl zeigte, war die Zahl gerade. Und so könnten Sie Ihre Person, die Münzen wirft, sozusagen entlang der Zahlenlinie laufen lassen, bei jeder Zahl eine Münze werfen, und es kommt, sagen wir, darauf, diese Zahl entweder für gerade oder für ungerade zu erklären.
(18:03) Das ist einerseits Unsinn. Auf der anderen Seite wird das Coin-Flipping-Modell einige Dinge richtig machen. Wenn Sie zum Beispiel sagen, Sie wissen ungefähr, wie viele der Zahlen bis zu einer Million gerade sind? Wir wissen, dass ungefähr die Hälfte der Münzwürfe, die beispielsweise Zahl ergeben, wenn Sie eine große Anzahl von Münzwürfen machen, etwa eine Million, etwa die Hälfte davon beträgt. Und so kann dieses Modell, so dumm es auch sein mag, immer noch einige Vorhersagen richtig treffen. Und ich sollte sagen, das mag albern klingen, weil wir die Antwort auf diese Frage bereits kennen. Die Idee ist, dass wir Modelle für kompliziertere Muster erstellen, wie zum Beispiel wo die Primzahlen zwischen den Zahlen erscheinen, anstatt nur dort, wo die Quoten erscheinen.
Strogatz (18:55): Ja. Ich meine, ich denke, wir müssen das unterstreichen – wie zutiefst mysteriös die Primzahlen sind. Es gibt keine Formel für die Primzahlen, wie es eine Formel für ungerade Zahlen gibt. Wenn Sie zum Beispiel denken, oh, komm schon, das ist – wir reden hier wirklich über absurdes Zeug, es ist tatsächlich sehr wertvoll, diese statistischen Modelle zu haben, die Eigenschaften vorhersagen können, die durchschnittliche Eigenschaften sind. Wie das Analogon von wird die Hälfte der Zahlen, die kleiner als eine große Zahl sind, ungerade sein. Das ist etwas, was im Fall von Primzahlen eine sehr ernste, interessante Frage ist. Welcher Bruchteil von Zahlen kleiner als eine große Zahl sind Primzahlen? Und, wie Sie sagen, Sie können ein statistisches Modell erstellen, das das richtig macht. Und was dann, das gleiche Modell kann dann verwendet werden, um vorherzusagen, wie viele Primzahlzwillinge es weniger als eine große Zahl geben würde? Macht das gleiche Modell in diesem Fall einen guten Job?
Holz (19:41): Also im Fall von Primzahlen, wenn wir ein Modell bauen würden – wissen Sie, und es gibt ein Modell, das Mathematiker nennen das Cramér-Modell der Primzahlen – Wenn wir ein Münzwurfmodell der Primzahlen bauen würden, bei dem wir uns vorstellen, dass jemand entlang der Zahlenlinie geht und bei jeder Zahl, wissen Sie, eine Münze wirft, sagen wir, um zu entscheiden, ob diese Zahl eine Primzahl ist oder nicht, würden wir das tun Nehmen Sie so viel wie wir über die Primzahlen wissen in dieses Modell auf. Zunächst einmal wissen wir also, dass große Zahlen mit geringerer Wahrscheinlichkeit Primzahlen sind als kleinere Zahlen. Diese Münzen müssten also gewogen werden. Und wir würden – wir müssten versuchen, genau die Gewichtungen einzubringen, die wir erwarten. Und wir wissen Dinge wie, man kann nicht zwei Primzahlen nebeneinander haben, weil eine davon ungerade und eine gerade sein müsste. Also haben wir das in das Modell eingebaut. Und dann gibt es noch mehr Dinge, die wir über die Primzahlen wissen.
(20:37) Also ist das Modell etwas, das mit diesem Münzwurfmodell beginnt, aber dann wird es durch all diese anderen Regeln und all die anderen Dinge, die wir über die Primzahlen wissen, modifiziert. Und sobald Sie all diese Dinge, die wir wissen, in das Modell gesteckt haben, fragen Sie dieses Münzwerfen, Sie wissen schon, Modell, nun, sehen Sie unendlich oft Münzen, die nur 2 voneinander entfernt auftauchen? Und das Modell sagt Ihnen, oh ja, das sehen wir. Tatsächlich sehen wir es in dieser ganz bestimmten Rate, für die wir Ihnen eine Formel geben können. Und wenn Sie dann die Anzahl der tatsächlichen Primzahlzwillinge in den tatsächlichen Zahlen, bei denen keine Münzen geworfen werden, gegen die Vorhersagen des Modells darstellen, sehen Sie, dass das Modell Ihnen eine sehr genaue Vorhersage für die Anzahl der Paare von Primzahlzwillingen gibt Sie werden feststellen, wie Sie weitergehen. Und dann denkst du, weißt du, vielleicht weiß dieses Modell, wovon es spricht.
Strogatz (21:31): Das ist großartig. Ich meine, das ist irgendwie wichtig, worauf wir gerade gekommen sind, dass – Sie haben das Wort Computer noch nicht benutzt. Ich gehe aber davon aus, dass du das nicht von Hand machst. Die Leute, die Primzahlzwillinge auflisten, ich weiß nicht, wovon reden wir? Billionen Billionen Billionen? Ich meine, das sind große Zahlen, über die wir reden, nicht wahr?
Holz (21:49): Nun, für die Auflistung der Primzahlzwillinge, das heißt – würde absolut per Computer erfolgen. Aber dafür, dieses Modell zu bauen und die Formel zu finden, die das Modell gibt. Weißt du, das wird im Wesentlichen von Hand gemacht, von Mathematikern, die über das Modell nachdenken und damit herausfinden.
Strogatz (22:07): Das ist so cool. Das ist also, wo das Modell seine Sachen zeigt, dass das Modell tatsächlich vorhersagen kann, was der Computer sieht. Und es ist kein Computer erforderlich, um diese Vorhersage zu treffen. Das kann von Hand gemacht werden, von Menschen, und kann tatsächlich zu Beweisen führen. Abgesehen davon, dass es sich um Beweise für Eigenschaften des Modells handelt, nicht unbedingt um Beweise für das, was Sie interessiert.
Holz (22:28): Richtig. Und irgendwann bleibt der Computer stehen. Weißt du, es gibt nur so viel Rechenleistung. Aber diese Formel, die Sie bekommen würden, die das Modell Ihnen geben würde, die Sie beweisen könnten, ist wieder wahr, in Bezug auf diese Modell-Münzwurf-Situation, diese Formel wird weitergehen. Sie können immer größere Zahlen in diese Formel einsetzen, viel größere, als Ihr Computer jemals damit rechnen könnte.
Strogatz (22:53): Sie haben uns also ein wenig darüber erzählt, wie Zufälligkeit dabei helfen kann, Modelle für interessante Phänomene in der Zahlentheorie zu erstellen, und ich bin sicher, dass dies auch in anderen Bereichen der Mathematik zutrifft. Gibt es Fälle, in denen Sie den Zufall verwenden können, um tatsächliche Beweise zu liefern, nicht nur Modelle?
Holz (23:10): Absolut. Ein weiterer Zweig der Mathematik ist die Wahrscheinlichkeitstheorie. Und in der Wahrscheinlichkeitstheorie beweisen sie Theoreme über zufällige Systeme und wie sie sich verhalten. Und Sie denken vielleicht, dass, nun, wenn Sie mit etwas Zufälligem beginnen und etwas damit machen, Sie immer etwas Zufälliges haben werden. Aber eines der bemerkenswert schönen Dinge, die man in der Wahrscheinlichkeitstheorie findet, ist, dass man manchmal etwas Deterministisches aus etwas Zufälligem machen kann.
Strogatz (23:45): Na, wie geht das? Wie was?
Holz (23:48): Ja. Sie haben also die Glockenkurve gesehen, oder die Normalverteilung, wie Mathematiker es nennen würden. Es kommt überall in der Natur vor. So wie es aussieht, wenn man sich den Blutdruck der Leute oder das Geburtsgewicht des Babys oder so etwas ansieht. Und Sie denken vielleicht, oh, diese Glockenkurve, dass dies eine Tatsache der Natur ist. Aber tatsächlich gibt es einen Satz, der in der Wahrscheinlichkeitstheorie Zentraler Grenzwertsatz genannt wird, der Ihnen sagt, dass diese Glockenkurve in gewissem Sinne keine Tatsache der Natur, sondern eine Tatsache der Mathematik ist. Der zentrale Grenzwertsatz sagt Ihnen, dass, wenn Sie eine ganze Reihe kleiner zufälliger Effekte unabhängig voneinander kombinieren, die Ausgabe davon immer einer bestimmten Verteilung entspricht. Diese Form, diese Glockenkurve. Mathematik und die Wahrscheinlichkeitstheorie können beweisen, dass, wenn Sie viele kleine unabhängige zufällige Dinge kombinieren, das Ergebnis all dieser Kombinationen Ihnen eine Verteilung geben wird, die wie diese Glockenkurve aussieht. Und so – auch wenn Sie nicht wissen, wie die Eingaben waren. Und das ist ein wirklich mächtiges Theorem und ein wirklich mächtiges Werkzeug in der Mathematik.
Strogatz (25:05): Ja, das ist es auf jeden Fall. Und ich mochte Ihre Betonung darauf, dass Sie nicht wissen müssen, was mit den kleinen Effekten los ist. Dass das irgendwie ausgewaschen wird. Diese Informationen werden nicht benötigt. Die Glockenkurve ist vorhersehbar, auch wenn Sie nicht wissen, was die Art der kleinen Effekte ist. Solange es viele von ihnen gibt und sie klein sind. Und sie beeinflussen sich nicht gegenseitig, richtig, sie sind in gewissem Sinne unabhängig.
Holz (25:27): Ja, absolut. Und das ist eine Idee, wissen Sie, manchmal wird sie in der Wahrscheinlichkeitstheorie als Universalität bezeichnet, dass es bestimmte Arten von Maschinen gibt, die, wenn Sie viele zufällige Eingaben eingeben, die Ausgabe vorhersagen können. Zum Beispiel, dass Sie diese Glockenkurve oder diese Normalverteilung erhalten würden, selbst wenn Sie nicht wissen, was Sie in die Maschine eingeben. Und das ist unglaublich mächtig, wenn es Dinge gibt, die wir nicht sehr gut verstehen, denn –
Strogatz (25:56): Aber sagen Sie mir – oh, es tut mir leid, Sie zu unterbrechen – aber sagen Sie mir, dass dies jetzt auch in der Zahlentheorie passiert? Dass wir irgendwie dazu kommen, dass die Idee der Universalität in der Zahlentheorie auftaucht? Oder träume ich?
Holz (26:09): Nun, in gewisser Weise würde ich sagen, dass das ein Traum von mir ist, der beginnt. Weißt du, wir unternehmen nur die ersten Schritte, um zu sehen, dass es verwirklicht wird. Es ist also nicht nur dein Traum, es ist auch mein Traum. Ein Teil der Arbeit, die ich heute mache und an der meine Mitarbeiter und ich arbeiten, ist der Versuch, diese Art von Traum Wirklichkeit werden zu lassen, damit einige dieser rätselhaften Fragen zu Zahlen, auf die wir keine Antwort kennen, vielleicht könnten verstehen, dass es Muster gibt, die herauskommen, wie eine Glockenkurve, wie eine Normalverteilung, von denen wir beweisen können, dass sie aus der Maschine stammen, selbst wenn wir nicht wissen, welche Geheimnisse hineingesteckt wurden.
Strogatz (26:55): Nun, es ist eigentlich eine sehr inspirierende, aufregende Vision, und ich hoffe, dass sich alles erfüllt. Vielen Dank, dass Sie heute mit uns gesprochen haben, Melanie.
Holz (27:03): Danke. Das hat viel Spaß gemacht.
Ansager (27:06): Wenn Sie möchten Die Freude am Warum, Besuche die Wissenschaftspodcast des Quanta-Magazins, moderiert von mir, Susan Valot, einer der Produzenten dieser Show. Erzählen Sie auch Ihren Freunden von diesem Podcast und geben Sie uns ein „Gefällt mir“ oder folgen Sie dort, wo Sie ihn hören. Es hilft Menschen zu finden Die Freude am Warum Podcast.
Strogatz (27: 26): Die Freude am Warum ist ein Podcast von Quanta Magazine, eine redaktionell unabhängige Publikation, die von der Simons Foundation unterstützt wird. Förderentscheidungen der Simons Foundation haben keinen Einfluss auf die Auswahl von Themen, Gästen oder sonstigen redaktionellen Entscheidungen in diesem Podcast oder in Quanta Magazine. Die Freude am Warum wird von Susan Valot und Polly Stryker produziert. Unsere Herausgeber sind John Rennie und Thomas Lin, mit Unterstützung von Matt Carlstrom, Annie Melchor und Leila Sloman. Unsere Themenmusik wurde von Richie Johnson komponiert. Unser Logo ist von Jackie King und das Artwork für die Episoden ist von Michael Driver und Samuel Velasco. Ich bin Ihr Gastgeber, Steve Strogatz. Wenn Sie Fragen oder Kommentare an uns haben, senden Sie uns bitte eine E-Mail an quanta@simonsfoundation.org. Danke fürs Zuhören.
