Einleitung
Der Kosmos scheint eine Vorliebe für runde Dinge zu haben. Planeten und Sterne neigen dazu, Kugeln zu sein, weil die Gravitation Gas- und Staubwolken zum Massenmittelpunkt zieht. Dasselbe gilt für Schwarze Löcher – oder genauer gesagt die Ereignishorizonte von Schwarzen Löchern – die in einem Universum mit drei räumlichen und einer zeitlichen Dimension der Theorie zufolge kugelförmig sein müssen.
Aber gelten die gleichen Einschränkungen, wenn unser Universum höhere Dimensionen hat, wie manchmal postuliert wird – Dimensionen, die wir nicht sehen können, deren Auswirkungen aber dennoch spürbar sind? Sind in diesen Einstellungen andere Formen von Schwarzen Löchern möglich?
Die Antwort auf letztere Frage, sagt uns die Mathematik, lautet ja. In den letzten zwei Jahrzehnten haben Forscher gelegentlich Ausnahmen von der Regel gefunden, die Schwarze Löcher auf eine Kugelform beschränkt.
Nun eine neue Krepppapier geht viel weiter und zeigt in einem umfassenden mathematischen Beweis, dass eine unendliche Anzahl von Formen in den Dimensionen fünf und darüber möglich sind. Das Papier zeigt, dass die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein eine große Vielfalt von exotisch aussehenden, höherdimensionalen Schwarzen Löchern hervorbringen können.
Die neue Arbeit ist rein theoretisch. Es sagt uns nicht, ob solche schwarzen Löcher in der Natur existieren. Aber wenn wir solche seltsam geformten Schwarzen Löcher irgendwie entdecken würden – vielleicht als mikroskopische Produkte von Kollisionen an einem Teilchenbeschleuniger – „würde das automatisch zeigen, dass unser Universum höherdimensional ist“, sagte er Marcus Khuri, ein Geometer an der Stony Brook University und Co-Autor der neuen Arbeit zusammen mit Jordan Rainone, ein neuer Stony Brook Math Ph.D. „Also heißt es jetzt abwarten, ob unsere Experimente welche entdecken können.“
Schwarzes-Loch-Donut
Wie so viele Geschichten über Schwarze Löcher beginnt auch diese mit Stephen Hawking – genauer gesagt mit seinem Beweis von 1972, dass die Oberfläche eines Schwarzen Lochs zu einem bestimmten Zeitpunkt eine zweidimensionale Kugel sein muss. (Während ein Schwarzes Loch ein dreidimensionales Objekt ist, hat seine Oberfläche nur zwei räumliche Dimensionen.)
Bis in die 1980er und 90er Jahre, als die Begeisterung für die Stringtheorie zunahm – eine Idee, die die Existenz von vielleicht 10 oder 11 Dimensionen voraussetzt, wurde wenig darüber nachgedacht, Hawkings Theorem zu erweitern. Physiker und Mathematiker begannen dann ernsthaft darüber nachzudenken, was diese zusätzlichen Dimensionen für die Topologie Schwarzer Löcher bedeuten könnten.
Schwarze Löcher sind einige der verwirrendsten Vorhersagen von Einsteins Gleichungen – 10 verknüpfte nichtlineare Differentialgleichungen, die unglaublich schwierig zu handhaben sind. Sie können im Allgemeinen nur unter sehr symmetrischen und damit vereinfachten Umständen explizit gelöst werden.
Im Jahr 2002, drei Jahrzehnte nach Hawkings Ergebnis, die Physiker Roberto Emparan und Harvey Real – jetzt an der Universität Barcelona bzw. der Universität Cambridge – fand eine hochsymmetrische Schwarzes-Loch-Lösung für die Einstein-Gleichungen in fünf Dimensionen (vier Raum plus eine Zeit). Emparan und Reall nannten dieses Objekt ein „schwarzer Ring“ – eine dreidimensionale Oberfläche mit den allgemeinen Konturen eines Donuts.
Es ist schwierig, sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem fünfdimensionalen Raum vorzustellen, also stellen wir uns stattdessen einen gewöhnlichen Kreis vor. Für jeden Punkt auf diesem Kreis können wir eine zweidimensionale Kugel einsetzen. Das Ergebnis dieser Kombination aus Kreis und Kugeln ist ein dreidimensionales Objekt, das man sich wie einen festen, klumpigen Donut vorstellen könnte.
Im Prinzip könnten sich solche Donut-ähnlichen Schwarzen Löcher bilden, wenn sie sich mit genau der richtigen Geschwindigkeit drehen würden. „Wenn sie sich zu schnell drehen, brechen sie auseinander, und wenn sie sich nicht schnell genug drehen, werden sie wieder zu einem Ball“, sagte Rainone. „Emparan und Reall haben einen idealen Punkt gefunden: Ihr Ring drehte sich gerade schnell genug, um wie ein Donut zu bleiben.“
Als er von diesem Ergebnis erfuhr, gab Rainone, einem Topologen, Hoffnung, der sagte: „Unser Universum wäre ein langweiliger Ort, wenn jeder Planet, Stern und jedes Schwarze Loch einer Kugel ähneln würde.“
Ein neuer Fokus
Im Jahr 2006 begann das Nicht-Kugel-Universum der Schwarzen Löcher wirklich zu blühen. Dieses Jahr, Gregor Galloway der University of Miami und Richard Schön von der Stanford University verallgemeinerte Hawkings Theorem, um alle möglichen Formen zu beschreiben, die Schwarze Löcher potenziell in Dimensionen jenseits von vier annehmen könnten. Zu den zulässigen Formen gehören: die bekannte Kugel, der zuvor gezeigte Ring und eine breite Klasse von Objekten, die als Linsenräume bezeichnet werden.
Linsenräume sind eine besondere Art der mathematischen Konstruktion, die sowohl in der Geometrie als auch in der Topologie seit langem wichtig ist. „Von allen möglichen Formen, die das Universum in drei Dimensionen auf uns werfen könnte“, sagte Khuri, „ist die Kugel die einfachste, und Linsenräume sind der zweiteinfachste Fall.“
Khuri stellt sich Linsenräume als „zusammengefaltete Kugeln“ vor. Du nimmst eine Kugel und faltest sie auf sehr komplizierte Weise zusammen.“ Um zu verstehen, wie das funktioniert, beginnen Sie mit einer einfacheren Form – einem Kreis. Teilen Sie diesen Kreis in eine obere und eine untere Hälfte. Bewegen Sie dann jeden Punkt in der unteren Hälfte des Kreises zu dem Punkt in der oberen Hälfte, der ihm diametral gegenüberliegt. Damit bleiben uns nur der obere Halbkreis und zwei Antipodenpunkte – einer an jedem Ende des Halbkreises. Diese müssen aneinander geklebt werden, sodass ein kleinerer Kreis mit dem halben Umfang des Originals entsteht.
Wechseln Sie als Nächstes zu zwei Dimensionen, wo die Dinge kompliziert werden. Beginnen Sie mit einer zweidimensionalen Kugel – einer hohlen Kugel – und bewegen Sie jeden Punkt in der unteren Hälfte nach oben, sodass er den Antipodenpunkt in der oberen Hälfte berührt. Ihnen bleibt nur die obere Hemisphäre. Aber auch die Punkte entlang des Äquators müssen miteinander „identifiziert“ (bzw. verbunden) werden, und wegen der vielen notwendigen Kreuze wird die resultierende Oberfläche extrem verzerrt.
Wenn Mathematiker von Linsenräumen sprechen, beziehen sie sich normalerweise auf die dreidimensionale Variante. Beginnen wir wieder mit dem einfachsten Beispiel, einem soliden Globus, der die Oberflächen- und Innenpunkte enthält. Führen Sie Längslinien über den Globus vom Nord- zum Südpol. In diesem Fall haben Sie nur zwei Linien, die den Globus in zwei Hemisphären teilen (Ost und West, könnte man sagen). Sie können dann Punkte auf einer Hemisphäre mit den Antipodenpunkten auf der anderen identifizieren.
Aber Sie können auch viel mehr Längslinien und viele verschiedene Möglichkeiten haben, die Sektoren zu verbinden, die sie definieren. Mathematiker verfolgen diese Möglichkeiten in einem Linsenraum mit der Notation L(p, q), woher p gibt an, in wie viele Sektoren der Globus unterteilt ist, während q sagt Ihnen, wie diese Sektoren miteinander zu identifizieren sind. Ein Linsenraum beschriftet L(2, 1) gibt zwei Sektoren (oder Hemisphären) mit nur einer Möglichkeit an, Punkte zu identifizieren, nämlich antipodisch.
Wenn der Globus in mehr Sektoren aufgeteilt ist, gibt es mehr Möglichkeiten, sie zusammenzufügen. Zum Beispiel in einem L(4, 3) Linsenraum, es gibt vier Sektoren, und jeder obere Sektor ist drei Sektoren weiter an sein unteres Gegenstück angepasst: der obere Sektor 1 geht zum unteren Sektor 4, der obere Sektor 2 geht zum unteren Sektor 1 und so weiter. „Man kann sich diesen [Prozess] als Drehen der Oberseite vorstellen, um die richtige Stelle auf der Unterseite zum Kleben zu finden“, sagte Khuri. „Die Menge der Verdrehung wird bestimmt durch q.“ Wenn mehr Verdrehen erforderlich wird, können die resultierenden Formen immer ausgefeilter werden.
„Manchmal fragen mich Leute: Wie stelle ich mir diese Dinge vor?“ sagte Hari Kunduri, ein mathematischer Physiker an der McMaster University. „Die Antwort ist, ich nicht. Wir behandeln diese Objekte nur mathematisch, was für die Kraft der Abstraktion spricht. Sie können damit arbeiten, ohne Bilder zu zeichnen.“
Alle Schwarzen Löcher
Im Jahr 2014 Kunduri und Jakob Lucietti der University of Edinburgh bewies die Existenz eines Schwarzen Lochs L(2, 1) geben Sie in fünf Dimensionen ein.
Die Kunduri-Lucietti-Lösung, die sie als „schwarze Linse“ bezeichnen, hat einige wichtige Merkmale. Ihre Lösung beschreibt eine „asymptotisch flache“ Raumzeit, was bedeutet, dass die Krümmung der Raumzeit, die in der Nähe eines Schwarzen Lochs hoch wäre, gegen Null geht, wenn man sich ins Unendliche bewegt. Diese Eigenschaft trägt dazu bei, dass die Ergebnisse physikalisch relevant sind. „Es ist nicht so schwer, eine schwarze Linse herzustellen“, bemerkte Kunduri. „Der schwierige Teil besteht darin, die Raumzeit im Unendlichen flach zu machen.“
So wie die Rotation verhindert, dass der schwarze Ring von Emparan und Reall in sich zusammenfällt, muss sich auch die schwarze Kunduri-Lucietti-Linse drehen. Aber Kunduri und Lucietti verwendeten auch ein „Materie“-Feld – in diesem Fall eine Art elektrische Ladung – um ihre Linse zusammenzuhalten.
In ihren Papier vom Dezember 2022, Khuri und Rainone verallgemeinerten das Kunduri-Lucietti-Ergebnis so weit wie möglich. Sie bewiesen erstmals die Existenz von Schwarzen Löchern mit Linsentopologie in fünf Dimensionen L(p, q), für jeden Wert von p und q größer oder gleich 1 – solange p größer ist als q und p und q haben keine Primfaktoren gemeinsam.
Dann gingen sie weiter. Sie fanden heraus, dass sie ein Schwarzes Loch in der Form eines beliebigen Linsenraums erzeugen konnten – beliebige Werte von p und q (die dieselben Bedingungen erfüllen) in jeder höheren Dimension – was eine unendliche Anzahl möglicher Schwarzer Löcher in einer unendlichen Anzahl von Dimensionen ergibt. Es gibt eine Einschränkung, wies Khuri darauf hin: „Wenn Sie zu Dimensionen über fünf gehen, ist der Linsenraum nur ein Teil der gesamten Topologie.“ Das Schwarze Loch ist noch komplexer als der ohnehin schon optisch herausfordernde Linsenraum, den es enthält.
Die Schwarzen Löcher von Khuri-Rainone können rotieren, müssen es aber nicht. Ihre Lösung bezieht sich auch auf eine asymptotisch flache Raumzeit. Khuri und Rainone benötigten jedoch eine etwas andere Art von Materiefeld – eines, das aus Partikeln besteht, die mit höheren Dimensionen assoziiert sind – um die Form ihrer Schwarzen Löcher zu bewahren und Defekte oder Unregelmäßigkeiten zu verhindern, die ihr Ergebnis beeinträchtigen würden. Die von ihnen konstruierten schwarzen Linsen haben wie der schwarze Ring zwei unabhängige Rotationssymmetrien (in fünf Dimensionen), um die Lösung der Einstein-Gleichungen zu erleichtern. „Das ist eine vereinfachende Annahme, aber eine, die nicht unvernünftig ist“, sagte Rainone. „Und ohne sie haben wir kein Papier.“
„Es ist wirklich schöne und originelle Arbeit“, sagte Kunduri. „Sie haben gezeigt, dass alle von Galloway und Schoen vorgestellten Möglichkeiten explizit realisiert werden können“, wenn man die oben erwähnten Rotationssymmetrien berücksichtigt.
Galloway war besonders beeindruckt von der von Khuri und Rainone erfundenen Strategie. Die Existenz einer gegebenen fünfdimensionalen schwarzen Linse beweisen p und q, betteten sie das Schwarze Loch zuerst in eine höherdimensionale Raumzeit ein, wo seine Existenz leichter zu beweisen war, teilweise weil es mehr Bewegungsraum gibt. Als nächstes kontrahierten sie ihre Raumzeit auf fünf Dimensionen, während sie die gewünschte Größe beibehielten Topologie intakt. "Es ist eine schöne Idee", sagte Galloway.
Das Tolle an dem Verfahren, das Khuri und Rainone eingeführt haben, sagte Kunduri, „ist, dass es sehr allgemein ist und sich auf alle Möglichkeiten gleichzeitig bezieht.“
Was als Nächstes angeht, hat Khuri damit begonnen zu untersuchen, ob Linsenlösungen für Schwarze Löcher existieren und in einem Vakuum ohne Materiefelder, die sie unterstützen, stabil bleiben können. Ein Papier von Lucietti und Fred Tomlinson aus dem Jahr 2021 kam zu dem Schluss, dass es nicht möglich ist — dass eine Art Materiefeld benötigt wird. Ihr Argument basierte jedoch nicht auf einem mathematischen Beweis, sondern auf rechnerischen Beweisen, „also ist es immer noch eine offene Frage“, sagte Khuri.
Unterdessen taucht ein noch größeres Rätsel auf. „Leben wir wirklich in einem höherdimensionalen Bereich?“ fragte Khuri. Physiker haben vorausgesagt, dass winzige Schwarze Löcher eines Tages am Large Hadron Collider oder einem anderen Teilchenbeschleuniger mit noch höherer Energie produziert werden könnten. Wenn ein von einem Beschleuniger erzeugtes Schwarzes Loch während seiner kurzen Lebenszeit von Bruchteilen einer Sekunde entdeckt und beobachtet werden könnte, dass es eine nichtsphärische Topologie aufweist, wäre dies ein Beweis dafür, dass unser Universum mehr als drei Raum- und eine Zeitdimensionen hat, sagte Khuri .
Ein solcher Befund könnte eine andere, etwas akademischere Frage klären. „Die Allgemeine Relativitätstheorie“, sagte Khuri, „war traditionell eine vierdimensionale Theorie.“ Bei der Erforschung von Ideen über Schwarze Löcher in den fünften und höheren Dimensionen „wetten wir darauf, dass die allgemeine Relativitätstheorie in höheren Dimensionen gültig ist. Wenn exotische [nicht-sphärische] Schwarze Löcher entdeckt werden, würde uns das sagen, dass unsere Wette gerechtfertigt war.“
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- Quelle: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-an-infinity-of-possible-black-hole-shapes-20230124/
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