„Richtige“ Verschiebungsregeln für Ableitungen gestört-parametrischer Quantenentwicklungen

„Richtige“ Verschiebungsregeln für Ableitungen gestört-parametrischer Quantenentwicklungen

Zeitstempel: 11. Juli 2023, 5:48 Uhr

Dirk Oliver Theis

Theoretische Informatik, Universität Tartu, Estland

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Abstrakt

Banchi & Crooks (Quantum, 2021) haben Methoden zur Schätzung von Ableitungen von Erwartungswerten in Abhängigkeit von einem Parameter angegeben, der über eine sogenannte „gestörte“ Quantenentwicklung $xmapsto e^{i(x A + B)/hbar}$ eintritt. Ihre Methoden erfordern Modifikationen der angezeigten Unitarien, die über die bloße Änderung von Parametern hinausgehen. Darüber hinaus scheint für den Fall, dass der $B$-Term unvermeidbar ist, keine genaue Methode (unvoreingenommener Schätzer) für die Ableitung bekannt zu sein: Die Methode von Banchi & Crooks liefert eine Näherung.
In diesem Artikel stellen wir zum Schätzen der Ableitungen parametrisierter Erwartungswerte dieser Art eine Methode vor, die nur das Verschieben von Parametern und keine weiteren Modifikationen der Quantenentwicklungen erfordert (eine „richtige“ Verschiebungsregel). Unsere Methode ist exakt (dh sie liefert analytische Ableitungen und erwartungstreue Schätzer) und weist die gleiche Worst-Case-Varianz auf wie die von Banchi-Crooks.
Darüber hinaus diskutieren wir die Theorie rund um die richtigen Verschiebungsregeln, basierend auf der Fourier-Analyse gestörter parametrischer Quantenentwicklungen, was zu einer Charakterisierung der richtigen Verschiebungsregeln anhand ihrer Fourier-Transformationen führt, was uns wiederum zu Nichtexistenzergebnissen der richtigen führt Schichtregeln mit exponentieller Konzentration der Schichten. Wir leiten abgeschnittene Methoden ab, die Approximationsfehler aufweisen, und vergleichen sie mit denen von Banchi-Crooks auf der Grundlage vorläufiger numerischer Simulationen.

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Ausgewähltes Bild: Vorläufige numerische Ergebnisse deuten darauf hin, dass die neue Methode besser ist als der Stand der Technik. Hier ist ein Diagramm, das für eine zufällig ausgewählte parametrisierte Quantenentwicklung den Fehler (Bias) bei der Schätzung der Ableitungen auf der Vertikalen und den Parameterwert auf der Horizontalen zeigt. Die grünen Punkte zeigen den Fehler der neuen Methode, die roten Punkte geben den Stand der Technik an. (Andere Leistungsvariablen sind für beide Methoden festgelegt und gleich.)

Populäre Zusammenfassung

Bei Versuchen, aktuelle oder in naher Zukunft befindliche Quantengeräte für sinnvolle Berechnungen zu nutzen, wird häufig der Variations-Hybrid-Quanten-Klassik-Ansatz verfolgt. Es besteht darin, die Quantenentwicklung zu parametrisieren und diese Parameter dann in einer Schleife zu optimieren, wobei zwischen Quanten- und klassischer Berechnung gewechselt wird.

Ein anderer Ansatz besteht darin, ein Rechenproblem auf einen Hamilton-Operator abzubilden, der auf Quantenhardware realisiert werden kann. Beispielsweise kann die Rydberg-Blockade zur Modellierung des Maximum Stable Set-Problems bei Quantengeräten mit kalten Atomen als Möglichkeit dienen, die Stabilitätsbeschränkungen teilweise zu realisieren.

Natürlich gibt es Versuche, die beiden Ansätze zu kombinieren.

Zur Optimierung der Parameter verwendet der Variationsansatz typischerweise Schätzer des Gradienten, und diese Schätzer sollten einen kleinen Bias und eine kleine Varianz aufweisen. In der Welt des digitalen Quantencomputings – also Quantenschaltungen mit (parametrisierten) Gates – ist die Schätzung der Gradienten gut verstanden und basiert auf sogenannten 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝑟𝑢𝑙𝑒𝑠. Bei der Kombination des Digitalen mit dem Analogen entsteht jedoch die Situation, dass der parametrisierte Teil des Hamilton-Operators nicht mit anderen Teilen kommutiert.
Stellen Sie sich vor, Sie wählen als einen der Parameter die Rabi-Frequenz, beispielsweise lokal für ein einzelnes Atom, in einer Reihe von Rydberg-Atomen: Der Rabi-Term vertauscht sich nicht mit den Rydberg-Blockade-Termen. Es gibt noch viele weitere Beispiele. In solchen Situationen versagt die bekannte Schichtregeltheorie.
In unserer Arbeit schlagen wir eine neue Methode zur Schätzung von Derivaten für diese Situationen vor. Unsere Methode basiert auf dem bekannten Shift-Rule-Paradigma und verbessert den Stand der Technik bei der Reduzierung der Verzerrung des Schätzers.

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Zitiert von

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