Dahlem Center for Complex Quantum Systems, Freie Universität Berlin, Deutschland
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Abstrakt
Die Anwendungen zufälliger Quantenschaltkreise reichen von Quantencomputing und Quanten-Vielteilchensystemen bis hin zur Physik von Schwarzen Löchern. Viele dieser Anwendungen beziehen sich auf die Erzeugung von Quanten-Pseudozufällen: Zufällige Quantenschaltkreise sind dafür bekannt, unitäre $t$-Designs zu approximieren. Unitäre $t$-Designs sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die die Haar-Zufälligkeit bis zu $t$th Momenten nachahmen. In einer wegweisenden Arbeit beweisen Brandão, Harrow und Horodecki, dass zufällige Quantenschaltkreise auf Qubits in einer gemauerten Architektur der Tiefe $O(nt^{10.5})$ ungefähr einheitliche $t$-Designs sind. In dieser Arbeit greifen wir dieses Argument erneut auf, das die spektrale Lücke von Momentoperatoren für lokale zufällige Quantenschaltkreise durch $Omega(n^{-1}t^{-9.5})$ untere Grenzen setzt. Wir verbessern diese Untergrenze zu $Omega(n^{-1}t^{-4-o(1)})$, wobei der Term $o(1)$ als $ttoinfty$ zu $0$ geht. Eine direkte Folge dieser Skalierung ist, dass zufällige Quantenschaltkreise ungefähr einheitliche $t$-Designs in der Tiefe $O(nt^{5+o(1)})$ erzeugen. Unsere Techniken beinhalten Gaos Quantenvereinigungsbindung und die unvernünftige Effektivität der Clifford-Gruppe. Als Hilfsergebnis beweisen wir eine schnelle Konvergenz zum Haar-Maß für zufällige Clifford-Einheiten, die mit Haar-zufälligen einzelnen Qubit-Einheiten verschachtelt sind.
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