Ein paar Minuten nach einem Vortrag von 2018 an der University of Michigan, Ian Tobasco nahm ein großes Stück Papier und zerknüllte es zu einem scheinbar ungeordneten Ball aus Chaos. Er hielt es hoch, damit das Publikum es sehen konnte, drückte es zur Sicherheit zusammen und breitete es dann wieder aus.
"Ich bekomme eine wilde Masse von Falten, die entstehen, und das ist das Rätsel", sagte er. „Was unterscheidet dieses Muster von einem anderen, geordneteren Muster?“
Dann hielt er ein zweites großes Stück Papier hoch – dieses vorgefaltete zu einem berühmten Origami-Muster aus Parallelogrammen, das als Miura-ori bekannt ist – und drückte es flach. Die Kraft, die er auf jedes Blatt Papier aufwendete, sei ungefähr gleich, sagte er, aber die Ergebnisse hätten unterschiedlicher nicht sein können. Das Miura-ori wurde fein säuberlich in geometrische Regionen unterteilt; der zerknitterte Ball war ein Durcheinander aus gezackten Linien.
„Man hat das Gefühl, das hier“, sagte er und deutete auf die verstreute Anordnung von Falten auf dem zerknitterten Laken, „ist nur eine zufällige, ungeordnete Version davon.“ Er deutete auf die ordentliche, ordentliche Miura-ori. “Aber wir haben nicht den Finger darauf gelegt, ob das stimmt oder nicht.”
Um diese Verbindung herzustellen, wäre nichts Geringeres erforderlich, als universelle mathematische Regeln für elastische Muster aufzustellen. Tobasco arbeitet seit Jahren daran und untersucht Gleichungen, die dünne elastische Materialien beschreiben – Dinge, die auf eine Verformung reagieren, indem sie versuchen, in ihre ursprüngliche Form zurückzuspringen. Stoßen Sie einen Ballon fest genug an und es bildet sich ein Sternenmuster aus radialen Falten; Entfernen Sie Ihren Finger und sie werden wieder glatt. Drücken Sie ein zerknittertes Papier zusammen und es wird sich ausdehnen, wenn Sie es loslassen (obwohl es nicht vollständig zerknüllt wird). Ingenieure und Physiker haben untersucht, wie diese Muster unter bestimmten Umständen entstehen, aber für einen Mathematiker legen diese praktischen Ergebnisse eine grundlegendere Frage nahe: Ist es im Allgemeinen möglich zu verstehen, was ein Muster eher auswählt als ein anderes?
Im Januar 2021 veröffentlichte Tobasco ein Papier das hat diese Frage bejaht – zumindest im Fall einer glatten, gekrümmten, elastischen Platte, die in die Ebene gedrückt wird (eine Situation, die eine klare Möglichkeit bietet, die Frage zu untersuchen). Seine Gleichungen sagen voraus, wie scheinbar zufällige Falten „geordnete“ Domänen enthalten, die ein sich wiederholendes, identifizierbares Muster aufweisen. Und er war Mitautor eines im letzten Monat veröffentlichten Papiers, das eine neue physikalische Theorie aufzeigt, die auf strenger Mathematik basiert und Muster in realistischen Szenarien vorhersagen könnte.
Bemerkenswerterweise legt Tobascos Arbeit nahe, dass Faltenbildung in ihren vielen Erscheinungsformen als Lösung für ein geometrisches Problem angesehen werden kann. "Es ist ein wunderschönes Stück mathematischer Analyse", sagte er Stefan Müller des Hausdorff-Zentrums für Mathematik der Universität Bonn in Deutschland.
Es legt zum ersten Mal auf elegante Weise die mathematischen Regeln – und ein neues Verständnis – hinter diesem weit verbreiteten Phänomen dar. „Die Rolle der Mathematik bestand hier nicht darin, eine Vermutung zu beweisen, die Physiker bereits aufgestellt hatten“, sagte er Robert Kohn, Mathematiker am Courant Institute der New York University und Berater der Graduiertenschule von Tobasco, „sondern eher eine Theorie zu liefern, wo es vorher kein systematisches Verständnis gab.“
Ausstrecken
Das Ziel, eine Theorie von Falten und elastischen Mustern zu entwickeln, ist alt. 1894 in einer Rezension in Natur, wies der Mathematiker George Greenhill auf den Unterschied zwischen Theoretikern („Was sollen wir denken?“) und den nützlichen Anwendungen hin, die sie erfinden könnten („Was sollen wir tun?“).
Im 19. und 20. Jahrhundert machten Wissenschaftler große Fortschritte bei letzterem und untersuchten Probleme mit Falten in bestimmten Objekten, die deformiert werden. Frühe Beispiele sind das Problem des Schmiedens glatter, gebogener Metallplatten für Seeschiffe und der Versuch, die Bildung von Bergen mit der Erwärmung der Erdkruste in Verbindung zu bringen.
In jüngerer Zeit haben Mathematiker und Physiker ihre Bemühungen ausgeweitet, Theorie und Beobachtung mit einem breiten Spektrum von Faltensituationen, Geometrien und Materialien zu verbinden. „Das geht seit ungefähr 10 Jahren so, wo wir zuerst Experimente machen und dann versuchen, die Theorie zu finden, um sie zu verstehen“, sagte der Mathematiker Dominik Vella der Universität Oxford. „Erst vor kurzem haben wir begonnen, ein richtiges Verständnis zu entwickeln.“
Es gab spannende Meilensteine. Im Jahr 2015 hat Pedro Reis, ein Maschinenbauingenieur am Massachusetts Institute of Technology, beschrieben physikalische Gesetze für die geometrischen Muster, die sich auf entleerten Silikonkugeln bilden. Seine Arbeit verband diese Falten mit der Dicke der inneren und äußeren Schichten des elastischen Materials. Reis bemerkte auch, dass Falten, anstatt als Defekte betrachtet zu werden, Möglichkeiten bieten könnten, neuartige mechanische Verhaltensweisen zu entwickeln. Dann 2017 Vella leitete die Analyse der Faltenbildungsinstabilitäten eines dünnen elastischen Films unter Druck, der charakterisiert, wie sich die Anzahl der Falten entsprechend der Tiefe des anfänglichen Stoßes und anderer spezifischer Details ändert.
Aber diese Entwicklungen lösten immer noch nur Teile des Problems. Für ein allgemeineres mathematisches Verständnis der Faltenbildung war ein anderer Ansatz erforderlich. Tobasco wäre derjenige, der es vorantreibt.
Nach Neugier
Als er jünger war, dachte Tobasco, dass er in die Luft- und Raumfahrttechnik gehen würde. Er schloss sein Studium an der University of Michigan im Jahr 2011 mit einem Bachelor-Abschluss auf diesem Gebiet ab, aber zu diesem Zeitpunkt hatte er sich bereits intensiv mit mathematischem Denken und physikalischen Systemen beschäftigt. Er hat in Mathematik promoviert, aber er beschuldigt Joey Paulsen, einen Physiker, der jetzt an der Syracuse University ist, ihn auf den spezifischen Weg der Falten gebracht zu haben.
Zu Beginn seiner Karriere lernte Paulsen, als er die Eigenschaften ungewöhnlicher Materialien untersuchte, die Herstellung und Analyse ultradünner Polymerfilme mit einer Technik namens Spin Coating. Zuerst würde er ein spezielles flüssiges Material herstellen, das Spuren von gelöstem Polymer enthält; dann legte er das Material auf eine sich drehende Platte. Der größte Teil der Flüssigkeit würde verdampfen, während sich das Polymer zu einer gleichmäßigen Dicke ausbreitete, bevor es sich verfestigte. Als er sein eigenes Labor in Syracuse hatte, lernte Paulsen, wie man Rotationsbeschichtungen anpasst, um gekrümmte Filme herzustellen – wie ultradünne Schildkrötenpanzer.
Eines Tages legte er einige dieser gekrümmten Filme auf stilles Wasser und fotografierte, wie sie sich auf der Oberfläche absetzten. „Es war rein aus Neugier getrieben“, sagte er. Die Bilder fielen Tobasco bei einem informellen Treffen mit Paulsen im Jahr 2017 auf.
„Sie zeigten, dass man diese zufälligen, ungeordneten Faltenmuster bekommen konnte – wenn man das Experiment zweimal durchführte, bekam man zwei verschiedene Muster“, sagte Tobasco, der jetzt Assistenzprofessor an der University of Illinois, Chicago ist. „Ich wollte sehen, ob ich einen aus der Elastizität ableitbaren Weg finden könnte, [um diese Muster vorherzusagen], der die Form der Schale beinhaltet. Und dass sich das Modell nicht von Schale zu Schale ändern würde.“
Faltenmuster sind Konfigurationen mit möglichst geringer Energie. Das heißt, wenn sich der dünne Film auf einer flachen Oberfläche absetzt, verändert er sich, bis er die Anordnung von Falten findet, ungeordnet oder nicht, die die geringste Menge an Energie erfordert, um sie aufrechtzuerhalten. "Sie können Muster nach der Menge an Energie organisieren, die gespeichert wird, wenn [das Muster] sich manifestiert", sagte Tobasco.
Von diesem Leitprinzip geleitet, isolierte er einige Eigenschaften des Films, die sich als diejenigen herausstellten, die sein Muster auswählten, darunter ein Maß für seine Form, die als Gaußsche Krümmung bezeichnet wird. Eine Fläche mit positiver Gaußscher Krümmung biegt sich wie die Außenseite einer Kugel von sich selbst weg. Negativ gekrümmte Flächen hingegen sind sattelförmig, wie ein Pringles-Chip: Geht man in die eine Richtung, fährt man nach oben, geht man in die andere Richtung, geht es nach unten.
Tobasco fand heraus, dass Bereiche mit positiver Gaußscher Krümmung eine Art der Anordnung geordneter und ungeordneter Domänen erzeugen und Bereiche mit negativer Krümmung andere Arten erzeugen. „Die detaillierte Geometrie ist nicht so wichtig“, sagte Vella. „Es hängt wirklich nur vom Vorzeichen der Gaußschen Krümmung ab.“
Sie hatten vermutet, dass die Gaußsche Krümmung für die Faltenbildung wichtig sei, aber Vella sagte, es sei eine Überraschung, dass die Domänen so stark vom Vorzeichen abhingen. Darüber hinaus gilt Tobascos Theorie auch für ein breites Spektrum elastischer Materialien, nicht nur für Paulsens Formen. "Es ist eine schöne geometrische Konstruktion, die zeigt, wo Falten erscheinen werden", sagte Vella. „Aber zu verstehen, woher das kommt, ist wirklich tiefgründig und irgendwie überraschend.“
Paulson stimmte zu. "Was Ians Theorie sehr schön macht, ist, Ihnen das ganze Muster auf einmal zu geben."
Echte Falten
Anfang 2018 hatte Tobasco seine Theorie größtenteils festgelegt – aber obwohl sie auf dem Papier funktionierte, konnte er nicht sicher sein, dass sie in der realen Welt genau sein würde. Tobasco kontaktierte Paulsen und fragte, ob er an einer Zusammenarbeit interessiert sei. „Irgendetwas hat auf Anhieb funktioniert“, sagte Paulsen. „Mit einigen von Ians Vorhersagen, die auf experimentelle Bilder gelegt wurden, konnten wir sofort sehen, dass sie in einer Reihe lagen.“
Auf der diesjährigen Konferenz der Society for Industrial and Applied Mathematics zu mathematischen Aspekten der Materialwissenschaften wurde Tobasco vorgestellt Eleni Katifori, ein Physiker an der University of Pennsylvania, der das Problem der Faltenmuster in begrenzten Schalen untersuchte und eine Datenbank mit Ergebnissen aufbaute. Es war ein glücklicher Moment. „Wir konnten die Domänen [in den Simulationen] sehen, die Ians Arbeit erklärte“, sagte sie. Das Match war unheimlich. Schon während ihrer ersten Gespräche war klar, dass Tobascos Theorie, Paulsens experimentelle Bilder und Katiforis Simulationen alle dieselben Phänomene beschreiben. „Sogar in der Anfangsphase, als wir nichts Konkretes hatten, konnten wir den Zusammenhang sehen.“
Diese frühe Aufregung ließ schnell Skepsis aufkommen. Es schien fast zu schön, um wahr zu sein. „Er ist Mathematiker und macht all diese Dinge nicht-dimensional“, sagte Paulsen und verwies darauf, wie Tobascos Ideen zur Krümmung weit über zweidimensionale flache Materialien hinaus erweitert werden könnten. „Betrachten wir wirklich dasselbe System? Es stimmt zu, aber hätte es zustimmen sollen?“
In den nächsten zwei Jahren arbeiteten die drei Forscher die Details aus und zeigten, dass Tobascos Theorie wirklich – genau – die Anordnung von Falten vorhersagte, die Paulsen in seinen Experimenten und Katifori in ihren Computermodellen fand. Am 25. August veröffentlichten sie ein Papier in Naturphysik zeigt wie die drei Ansätze alle auf der gleichen, einfachen geometrischen Anordnung von Falten zusammenlaufen. Bemerkenswerterweise fanden sie heraus, dass die Muster in ordentliche Familien von gleichschenkligen Dreiecken fallen, die Bereiche der Ordnung und Unordnung abgrenzten. Darüber hinaus beschränken sich die Ergebnisse nicht auf mathematische Abstraktionen von unglaublich dünnen Materialien, sondern beziehen sich auf mehrere Größenordnungen der Dicke.
Ihre Arbeit schlägt auch Möglichkeiten vor, die Theorie und ihre Anwendungen zu erweitern. Katifori sagte, dass sie als Physikerin daran interessiert ist, die Vorhersagen zu nutzen, um neue Materialien zu entwickeln. „Ich möchte verstehen, wie man Oberflächen so gestalten kann, dass sie die Faltenmuster tatsächlich zu etwas organisieren, das man will.“
Eine weitere offene Frage ist, wie allgemein die Theorie auf verschiedene Arten von gekrümmten Oberflächen angewendet werden kann. „Es konzentriert sich sehr auf Situationen, in denen [Gaußsche Krümmung] entweder positiv oder negativ ist, aber es gibt viele Situationen mit einigen Regionen, die positiv und andere negativ sind“, sagte Vella.
Paulsen stimmte zu, dass dies eine aufregende Möglichkeit sei, und Tobasco sagte, er arbeite aktiv auf diesem Gebiet und erwäge andere Formen von Muscheln – etwa solche mit Löchern.
Aber Paulsen sagte, dass die Theorie, selbst in ihrer jetzigen Form, schön und überraschend sei. „Wenn ich Ihnen eine Muschel und eine Begrenzungsform und diese einfachen Regeln gebe, die Ians Theorie vorhergesagt hat, dann können Sie einen Kompass und ein Lineal nehmen und im Grunde die Falten zeichnen“, sagte er. „So hätte es nicht kommen müssen. Es hätte total entsetzlich werden können.“
