Die einfache Geometrie hinter Brownie Bake Offs und gleichen Flächen

Gina, die Geometriestudentin, ist letzte Nacht zu lange aufgeblieben, hat ihre Hausaufgaben gemacht und dabei zugesehen Die Great British Bake Off, und als sie schließlich ins Bett ging, war ihr verschlafener Geist immer noch voller Cupcakes und Kompasse. Dies führte zu einem höchst ungewöhnlichen Traum.

Gina fand sich als Richterin des Great Brownie Bake Off an der Imaginary University wieder, einer Schule, an der die Schüler viel Geometrie, aber sehr wenig Arithmetik lernen. Teams von Imaginary U-Studenten wurden beauftragt, den größten Brownie zu machen, den sie konnten, und es lag an Gina, den Gewinner zu ermitteln.

Team Alpha war als erstes fertig und präsentierte stolz seinen rechteckigen Brownie zur Beurteilung. Gina zog ein Lineal heraus und maß den Brownie: Er war 16 Zoll lang und 9 Zoll breit. Team Beta folgte schnell mit seinem quadratischen Brownie, der auf jeder Seite 12 Zoll misst. Da fing der Ärger an.

„Unser Brownie ist viel länger als deiner“, sagte der Kapitän von Team Alpha. „Unserer ist deutlich größer, also sind wir die Gewinner!“

„Aber die kurze Seite Ihres Rechtecks ​​ist viel kürzer als die Seite unseres Quadrats“, sagte ein Vertreter von Team Beta. „Unser Platz ist deutlich größer. Wir haben gewonnen!"

Gina fand es seltsam, darüber zu streiten. „Die Fläche des rechteckigen Brownies beträgt 9 mal 16, was 144 Quadratzoll entspricht“, sagte sie. „Die Fläche des quadratischen Brownies beträgt 12 mal 12, was ebenfalls 144 Quadratzoll entspricht. Die Brownies haben die gleiche Größe: Es ist ein Unentschieden.“

Beide Teams sahen sich verwirrt an. „Ich verstehe nicht, was Sie mit ‚Zeiten' meinen“, sagte ein Schüler, der noch nie Multiplikation gelernt hatte. „Ich auch nicht“, sagte ein anderer. Ein dritter sagte: „Ich habe einmal von Studenten am Complex College gehört, die Flächen mit Zahlen gemessen haben, aber was bedeutet das überhaupt?“ Die imaginäre Universität war in der Tat ein seltsamer Ort, selbst wenn es um Träume ging.

Was sollte Gina tun? Wie konnte sie die Teams davon überzeugen, dass ihre Brownies die gleiche Größe hatten, wenn sie nicht verstanden, wie man Flächen misst und Zahlen multipliziert? Zum Glück hatte Gina eine geniale Idee. „Gib mir ein Messer“, sagte sie.

Gina maß 12 Zoll entlang der langen Seite des rechteckigen Brownies und machte einen Schnitt parallel zur kurzen Seite. Dadurch wurden aus dem großen Rechteck zwei kleinere: eines mit den Maßen 9 x 12 und das andere 9 x 4. Mit drei schnellen Schnitten verwandelte sie das 9-mal-4-Stück in drei kleinere 3-mal-4-Stücke. Ein bisschen Umarrangieren führte zu hörbaren Oohs und Aahs aus der Menge: Gina hatte das Rechteck in eine exakte Nachbildung des Quadrats verwandelt.

Beide Teams mussten sich nun darauf einigen, dass ihre Brownies gleich groß waren. Indem Gina das eine sezierte und neu anordnete, um das andere zu bilden, zeigte sie, dass die beiden Brownies die gleiche Gesamtfläche einnahmen. Dissektionen wie diese werden in der Geometrie seit Tausenden von Jahren verwendet, um zu zeigen, dass Figuren die gleiche Größe haben, und es gibt viele bemerkenswerte Ergebnisse über Dissektionen und Äquivalenzen. Sogar heute noch verwenden Mathematiker Dissektion und Neuordnung, um vollständig zu verstehen, wann bestimmte Formen äquivalent sind, was zu einigen überraschenden jüngsten Ergebnissen geführt hat.

Sie haben wahrscheinlich im Mathematikunterricht geometrische Zerlegungen gesehen, als Sie die Flächenformeln für Grundformen entwickelt haben. Vielleicht erinnerst du dich zum Beispiel daran, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich der Länge seiner Basis mal seiner Höhe ist: Das liegt daran, dass ein Parallelogramm zerlegt und zu einem Rechteck neu angeordnet werden kann.

Diese Zerlegung zeigt, dass die Fläche des Parallelogramms gleich der Fläche eines Rechtecks ​​mit derselben Basis und Höhe ist, was, wie jeder weiß, der nicht an der Imaginary University teilgenommen hat, das Produkt dieser beiden Zahlen ist.

Apropos Imaginary U, das Great Brownie Bake Off wurde gerade aufgeheizt. Team Gamma näherte sich mit einem großen dreieckigen Brownie. „Hier ist der Gewinner“, verkündeten sie mutig. „Unsere beiden Seiten sind viel länger als die anderen.“

Gina hat die Seiten gemessen. "Das hat auch die gleiche Fläche!" rief sie aus. „Das ist ein rechtwinkliges Dreieck, und die Beine messen 18 und 16, also ist die Fläche …“ Gina hielt einen Moment inne, als sie die verblüfften Blicke auf allen Gesichtern bemerkte. "Vergiss es. Gib mir einfach das Messer.“

Gina schnitt geschickt vom Mittelpunkt der Hypotenuse zum Mittelpunkt des längeren Beins und drehte dann das neu geformte Dreieck so, dass es ein perfektes Rechteck ergab, wenn es sich in das größere Stück schmiegte.

„Das ist genau unser Brownie!“ rief Team Alpha. Tatsächlich war das resultierende Rechteck 9 mal 16: genau so groß wie ihres.

Team Beta hatte seine Zweifel. „Aber wie verhält sich dieses Dreieck zu unserem Quadrat?“ fragte ihr Teamleiter.

Darauf war Gina vorbereitet. „Wir wissen bereits, dass das Rechteck und das Quadrat die gleiche Größe haben, also sind das Dreieck und das Quadrat durch die Transitivität gleich groß.“ Transitivität ist eine der wichtigsten Eigenschaften der Gleichheit: Sie besagt, dass wenn a = b und b = c und dann a = c. Gina fuhr fort: „Wenn die Fläche des ersten Brownies gleich der Fläche des zweiten und die Fläche des zweiten Brownies gleich der Fläche des dritten ist, müssen der erste und der dritte Brownie auch die gleiche Fläche haben.“

Aber Gina hatte zu viel Spaß mit Sektionen, um hier aufzuhören. „Oder wir könnten einfach noch ein paar Kürzungen vornehmen.“

Zuerst drehte Gina das Rechteck, das früher ein Dreieck war. Dann schnitt sie es mit genau dem gleichen Muster, das sie für das Rechteck von Team Alpha verwendet hatte.

Dann zeigte sie, wie diese neue Zerlegung des Dreiecks von Team Gamma in das Quadrat von Team Beta umgewandelt werden konnte, genau wie sie es mit dem Rechteck von Team Alpha getan hatte.

Wir sagen in dieser Situation, dass das Dreieck und das Quadrat „scherenkongruent“ sind: Man kann sich vorstellen, mit einer Schere eine Figur in endlich viele Teile zu zerschneiden, die sich dann zu einer anderen zusammenfügen lassen. Im Falle des Dreiecks und des Quadrats zeigen die Brownies genau, wie diese Scherenkongruenz funktioniert.

Beachten Sie, dass das Muster in beide Richtungen funktioniert: Es könnte verwendet werden, um das Dreieck in ein Quadrat oder das Quadrat in ein Dreieck zu verwandeln. Mit anderen Worten, die Scherenkongruenz ist symmetrisch: Wenn Form A eine Schere ist, die kongruent zu Form B ist, dann ist Form B auch eine Schere, die kongruent zu Form A ist.

Tatsächlich zeigt das obige Argument, das das Dreieck, das Rechteck und das Quadrat betrifft, dass die Scherenkongruenz ebenfalls transitiv ist. Da das Dreieck scherenkongruent zum Rechteck und das Rechteck scherenkongruent zum Quadrat ist, ist das Dreieck scherenkongruent zum Quadrat. Der Beweis liegt in den Mustern: Legen Sie sie einfach auf die Zwischenform, wie es mit dem Rechteck oben gemacht wurde.

Wenn Sie das Dreieck in Stücke schneiden, die das Rechteck ergeben, und dann das Rechteck in Stücke schneiden, die das Quadrat ergeben, können die resultierenden Stücke verwendet werden, um eine der drei Formen zu bilden.

Die Tatsache, dass die Scherenkongruenz transitiv ist, ist der Kern eines erstaunlichen Ergebnisses: Wenn zwei Polygone denselben Flächeninhalt haben, dann sind sie scherenkongruent. Dies bedeutet, dass Sie bei zwei beliebigen Polygonen mit derselben Fläche immer eines in eine endliche Anzahl von Teilen zerlegen und sie neu anordnen können, um das andere zu erstellen.

Der Beweis dieses bemerkenswerten Satzes ist auch bemerkenswert einfach. Schneiden Sie zuerst jedes Polygon in Dreiecke.

Zweitens, verwandeln Sie jedes Dreieck in ein Rechteck, ähnlich wie Gina den dreieckigen Brownie neu angeordnet hat.

Jetzt kommt der knifflige technische Teil: Verwandle jedes Rechteck in ein neues Rechteck, das eine Einheit breit ist.

Beginnen Sie dazu, Stücke von dem Rechteck abzuschneiden, die eine Einheit breit sind.

Wenn Sie das Rechteck in eine ganze Zahl von Stücken der Breite 1 schneiden können, sind Sie fertig: Stapeln Sie sie einfach übereinander. Andernfalls hören Sie auf zu hacken, wenn das letzte Stück zwischen 1 und 2 Einheiten breit ist, und stapeln Sie den Rest übereinander.

Machen Sie sich keine Sorgen, wenn das Rechteck selbst weniger als 1 Einheit breit ist: Schneiden Sie es einfach in zwei Hälften und verwenden Sie die beiden Teile, um ein neues Rechteck zu erstellen, das doppelt so lang und halb so dick ist. Wiederholen Sie diesen Vorgang so lange, bis Sie ein Rechteck mit einer Breite von 1 bis 2 Einheiten haben.

Stellen Sie sich nun vor, dass dieses letzte Rechteck eine Höhe hat h und Breite w, mit 1 w < 2. Wir werden dieses Rechteck zerschneiden und es in ein Rechteck mit Breite 1 und Höhe neu anordnen h × w. Überlagern Sie dazu die h × w Rechteck mit dem gewünschten hw × 1 Rechteck so.

Schneiden Sie dann von Ecke zu Ecke entlang der gestrichelten Linie und schneiden Sie das kleine Dreieck unten rechts entlang der rechten Kante des ab hw × 1 Rechteck.

Dies schneidet die h × w Rechteck in drei Teile, die neu angeordnet werden können hw × 1 Rechteck. (Um diese abschließende Zergliederung zu rechtfertigen, sind einige clevere Argumente erforderlich, die ähnliche Dreiecke beinhalten. Siehe die Übungen unten für die Details.)

Legen Sie schließlich dieses letzte Rechteck oben auf den Stapel, und Sie haben dieses Polygon – wirklich jedes Polygon – erfolgreich in ein Rechteck mit der Breite 1 umgewandelt.

Nun, wenn die Fläche des ursprünglichen Polygons war A, dann muss die Höhe dieses Rechtecks ​​sein A, also jedes Polygon mit Fläche A ist scherenkongruent zu einem Rechteck mit Breite 1 und Höhe A. Das heißt, wenn zwei Polygone Fläche haben A, dann sind sie beide zu demselben Rechteck kongruente Scheren, also sind sie aufgrund der Transitivität zueinander kongruente Scheren. Dies zeigt, dass jedes Polygon eine Fläche hat A ist scherenkongruent zu jedem anderen Polygon mit Fläche A.

Aber selbst dieses starke Ergebnis reichte nicht aus, um die Bewertung von Brownie Bake Off der Imaginary University erfolgreich abzuschließen. Es war noch ein Eintrag übrig, und niemand war überrascht, mit was Team Pi auftauchte.

In dem Moment, als Gina diesen Kreis kommen sah, wachte sie in kaltem Schweiß aus ihrem Traum auf. Sie wusste, dass es unmöglich war, einen Kreis in endlich viele Stücke zu zerschneiden und sie neu anzuordnen, um ein Quadrat oder ein Rechteck oder ein beliebiges Vieleck zu bilden. 1964 bewiesen die Mathematiker Lester Dubins, Morris Hirsch und Jack Karush, dass ein Kreis keine zu einem Polygon kongruente Schere ist. Ginas Traum hatte sich in einen geometrischen Alptraum verwandelt.

Aber wie sie es immer zu tun scheinen, verwandelten Mathematiker dieses Hindernis in neue Mathematik. 1990 hat Miklós Laczkovich bewiesen, dass es möglich ist, einen Kreis zu zerschneiden und ihn zu einem Quadrat neu anzuordnen, solange man unendlich kleine, unendlich unzusammenhängende, unendlich gezackte Stücke verwenden kann, die unmöglich mit einer Schere hergestellt werden könnten.

So überraschend und spannend Laczkovichs Ergebnis auch war, es bewies nur, dass eine solche Zerlegung theoretisch möglich ist. Es erklärte nicht, wie man die Teile konstruierte, sondern nur, dass sie existieren könnten. Und hier kamen Andras Máthé, Oleg Pikhurko und Jonathan Noel ins Spiel: Anfang 2022 sie ein Papier gepostet in denen sie Laczkovichs Leistung entsprachen, aber mit Stücken, die man sich vorstellen kann.

Leider können Sie ihr Ergebnis nicht verwenden, um Brownie-Bake-offs zu begleichen. Eine Schere allein kann die 10 nicht hervorbringen²⁰⁰ Stücke, die in ihrer Zersetzung benötigt werden. Aber es ist ein weiterer Schritt vorwärts bei der Beantwortung einer langen Reihe von Fragen, die begannen, als Archimedes zum ersten Mal $latex pi$ erfand oder entdeckte. Und es hält uns auf dem Weg, neue Mathematik zu erfinden oder zu entdecken, von der frühere Generationen nicht träumen konnten.

Übungen

1. Erklären Sie, woher wir wissen, dass bei der Herleitung der Flächenformel für ein Parallelogramm das abgeschnittene Dreieck perfekt in den Raum auf der anderen Seite des Parallelogramms passt.

2. Erklären Sie, warum jedes Dreieck in ein Rechteck zerlegt werden kann.

Betrachten Sie für die Übungen 3 und 4 das Diagramm, das verwendet wird, um zu zeigen, dass an h × w Rechteck ist eine Schere kongruent zu einem hw × 1 Rechteck, mit beschrifteten Punkten.

3. Erkläre warum $Latexdreieck$ XYQ ist ähnlich wie $latextriangle$ ABX. Was bedeutet das für die Länge QY?

4. Erkläre warum $Latexdreieck$ PCX ist kongruent zu $latexdreieck$ AZQ.