1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, The Barcelona Institute of Science and Technology, 08860 Castelldefels, Spanien
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 Barcelona, Spanien
3Univ Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, Frankreich
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 Barcelona, Spanien
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Abstrakt
Gegenseitig unverzerrte Basen entsprechen sehr nützlichen Paaren von Messungen in der Quanteninformationstheorie. Es ist bekannt, dass in der kleinsten zusammengesetzten Dimension, sechs, zwischen drei und sieben voneinander unvoreingenommene Basen existieren, wobei eine jahrzehntealte Vermutung, bekannt als Zauners Vermutung, besagt, dass es höchstens drei gibt. Hier behandeln wir Zauners Vermutung numerisch durch die Konstruktion von Bell-Ungleichungen für jedes Paar ganzer Zahlen $n,d ge 2$, die in der Dimension $d$ maximal verletzt werden können, wenn und nur wenn $n$ MUBs in dieser Dimension existieren. Daher verwandeln wir Zauners Vermutung in ein Optimierungsproblem, das wir mit Hilfe von drei numerischen Methoden angehen: Wippenoptimierung, nichtlineare semidefinite Programmierung und Monte-Carlo-Techniken. Alle drei Methoden identifizieren die bekannten Fälle in niedrigen Dimensionen korrekt und alle legen nahe, dass es in Dimension sechs keine vier voneinander unbeeinflussten Basen gibt, wobei alle dieselben Basen finden, die die entsprechende Bell-Ungleichung numerisch optimieren. Darüber hinaus scheinen diese numerischen Optimierer mit den „vier am weitesten entfernten Basen“ in Dimension sechs zusammenzufallen, die durch numerische Optimierung eines Abstandsmaßes in [P. Raynal, X. Lü, B.-G. Englert, {Phys. Rev. A}, {83} 062303 (2011)]. Schließlich deuten die Monte-Carlo-Ergebnisse darauf hin, dass höchstens drei MUBs in Dimension zehn existieren.
Ausgewähltes Bild: Die relative Differenz zwischen dem Wert unserer Bell-Ungleichungen unter der Annahme, dass n MUBs in Dimension d existieren, und dem Wert, der durch unsere numerischen Methoden gefunden wird. Nullwerte bedeuten, dass die Methoden n MUBs in Dimension d gefunden haben, während Werte ungleich Null bedeuten, dass die Methoden keine n MUBs in Dimension d gefunden haben. Alle bekannten Fälle (Dimension zwei bis fünf und Dimension sechs mit zwei und drei MUBs) werden korrekt durch die Numerik identifiziert. In Dimension sechs findet keines der Verfahren vier MUBs, und alle Verfahren konvergieren zu demselben Satz von vier Basen.
Populäre Zusammenfassung
Trotz ihres breiten Einsatzes bleiben noch offene Fragen zum Aufbau von MUBs. Am auffälligsten ist, dass die maximale Anzahl von Messungen, die paarweise unverzerrt sind („die Anzahl von MUBs“), unbekannt ist, wenn die Dimension des Quantensystems eine zusammengesetzte Zahl ist. Insbesondere in Dimension sechs wissen wir nur, dass die Anzahl der MUBs zwischen drei und sieben liegt. Eine seit langem offene Vermutung ist die von Zauner, die besagt, dass es in Dimension sechs nicht mehr als drei MUBs gibt. Diese jahrzehntelange Vermutung wird durch einige numerische Beweise gestützt, aber bis heute gibt es keinen Beweis.
In dieser Arbeit behandeln wir Zauners Vermutung durch Bell-Nichtlokalität. Die Bell-Nichtlokalität betrifft zwei Experimentatoren, die nicht kommunizieren dürfen, aber einige Korrelationen in Form von klassischer Zufälligkeit oder einem gemeinsamen Quantenzustand teilen können. Es hat sich gezeigt, dass das Teilen von Quantenressourcen zu experimentellen Daten führen kann, die nicht durch die klassische Physik (genauer gesagt durch sogenannte lokale Hidden-Variable-Modelle) erklärt werden können. Dies ist als Theorem von Bell bekannt und wurde im letzten Jahrzehnt experimentell verifiziert. Der Nachweis der Nicht-Klassizität experimenteller Daten erfolgt am häufigsten über sogenannte Bell-Ungleichungen, die Funktionen der im Experiment auftretenden Messergebniswahrscheinlichkeiten sind. Klassische Daten müssen Bellsche Ungleichungen erfüllen, während Quantendaten sie verletzen können.
Kürzlich wurden Bell-Ungleichungen gefunden, die maximal verletzt werden, wenn eine der Parteien ein Paar von MUB-Messungen einer gegebenen Dimension verwendet. In dieser Arbeit erweitern wir diese Ungleichungen auf neue, maximal verletzt durch eine ausgewählte Anzahl von MUB-Messungen in einer gegebenen Dimension. Darüber hinaus wird, wenn die Dimension im Experiment festgelegt ist, die maximale Verletzung genau dann erhalten, wenn die verwendeten Messungen der ausgewählten Anzahl von MUBs in der gegebenen Dimension entsprechen. Daher ist die Entscheidung, ob eine ausgewählte Anzahl von MUBs in einer gegebenen Dimension existiert, gleichbedeutend damit, die maximale Verletzung der entsprechenden Bell-Ungleichung in dieser festen Dimension zu finden.
Während das Finden dieser maximalen Verletzung im Allgemeinen ein schwieriges Problem ist, verwenden wir drei verschiedene numerische Methoden als Versuch, die maximale Verletzung unserer Bell-Ungleichungen in einer festen Dimension zu finden. Zwei dieser Methoden sind Varianten semidefiniter Programmiertechniken, während die dritte von der statistischen Physik inspiriert ist und Simulated Annealing genannt wird. Während all diese Methoden heuristisch sind – das heißt, es gibt keine Garantie dafür, dass sie das wahre Optimum des Problems finden – kann man ihre Leistung messen, indem man sie auf Optimierungsprobleme anwendet, deren Optimum bekannt ist. Insbesondere stellen wir fest, dass alle drei Methoden MUB-Messungen in den Fällen, in denen sie bekannt sind, korrekt identifizieren können. Darüber hinaus konvergieren in den Fällen, in denen sie bekanntermaßen nicht existieren, alle drei Methoden bis zur numerischen Genauigkeit auf denselben Satz von Messungen. Dann wenden wir unsere Methoden auf den ersten unbekannten Fall an, also vier MUBs in Dimension sechs. Keines der Verfahren ist in der Lage, vier MUBs in der sechsten Dimension zu identifizieren, aber wieder konvergieren sie alle bis zur numerischen Genauigkeit zu demselben Satz von vier Messungen. Außerdem findet die Technik des simulierten Abkühlens keine vier MUBs in der nächsten zusammengesetzten Dimension, Dimension zehn. Obwohl aufgrund der heuristischen Natur unserer Techniken keine strengen Behauptungen aufgestellt werden können, unterstützen unsere Ergebnisse Zauners Vermutung aus der neuen Perspektive der Bell-Nichtlokalität.
► BibTeX-Daten
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