Τα πλακίδια που δεν επαναλαμβάνονται ποτέ μπορούν να προστατεύσουν τις κβαντικές πληροφορίες | Περιοδικό Quanta

Εάν θέλετε να πλακώσετε ένα δάπεδο μπάνιου, τα τετράγωνα πλακάκια είναι η απλούστερη επιλογή — ταιριάζουν μεταξύ τους χωρίς κενά σε ένα μοτίβο πλέγματος που μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον. Αυτό το τετράγωνο πλέγμα έχει μια ιδιότητα που μοιράζονται πολλά άλλα πλακάκια: Μετατοπίστε ολόκληρο το πλέγμα κατά ένα σταθερό ποσό και το μοτίβο που προκύπτει δεν διακρίνεται από το αρχικό. Αλλά για πολλούς μαθηματικούς, τέτοιες «περιοδικές» πλακάκια είναι βαρετές. Αν έχετε δει ένα μικρό έμπλαστρο, τα έχετε δει όλα.

Στη δεκαετία του 1960, οι μαθηματικοί άρχισαν να μελετούν «απεριοδικά» σετ πλακιδίων με πολύ πιο πλούσια συμπεριφορά. Ίσως το πιο διάσημο είναι ένα ζευγάρι πλακάκια σε σχήμα διαμαντιού που ανακαλύφθηκαν τη δεκαετία του 1970 από τον πολυμαθήτρια φυσικό και μελλοντικό βραβευμένο με Νόμπελ Ρότζερ Πενρόζ. Τα αντίγραφα αυτών των δύο πλακιδίων μπορούν να σχηματίσουν άπειρα διαφορετικά μοτίβα που διαρκούν για πάντα, που ονομάζονται πλακάκια Penrose. Ωστόσο, ανεξάρτητα από το πώς τακτοποιείτε τα πλακίδια, δεν θα έχετε ποτέ ένα περιοδικό επαναλαμβανόμενο μοτίβο.

«Πρόκειται για πλακάκια που δεν θα έπρεπε πραγματικά να υπάρχουν», είπε Nikolas Breuckmann, φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Μπρίστολ.

Για περισσότερο από μισό αιώνα, τα απεριοδικά πλακίδια έχουν γοητεύσει μαθηματικούς, χομπίστες και ερευνητές σε πολλούς άλλους τομείς. Τώρα, δύο φυσικοί ανακάλυψαν μια σύνδεση μεταξύ των απεριοδικών πλακιδίων και ενός φαινομενικά άσχετου κλάδου της επιστήμης των υπολογιστών: τη μελέτη του πώς οι μελλοντικοί κβαντικοί υπολογιστές μπορούν να κωδικοποιήσουν πληροφορίες σε προστατέψτε το από λάθη. Σε μία χαρτί Αναρτήθηκε στον διακομιστή προεκτύπωσης arxiv.org τον Νοέμβριο, οι ερευνητές έδειξαν πώς να μετατρέψουν τα πλακίδια Penrose σε έναν εντελώς νέο τύπο κβαντικού κώδικα διόρθωσης σφαλμάτων. Κατασκεύασαν επίσης παρόμοιους κώδικες με βάση δύο άλλα είδη απεριοδικής πλακιδίων.

Στο επίκεντρο της αλληλογραφίας βρίσκεται μια απλή παρατήρηση: Τόσο στους απεριοδικούς κωδικούς όσο και στους κβαντικούς κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων, η εκμάθηση για ένα μικρό μέρος ενός μεγάλου συστήματος δεν αποκαλύπτει τίποτα για το σύστημα ως σύνολο.

«Είναι ένα από εκείνα τα όμορφα πράγματα που φαίνονται προφανή εκ των υστέρων», είπε Toby Cubitt, ερευνητής κβαντικών πληροφοριών στο University College του Λονδίνου. "Λες, "Γιατί δεν το σκέφτηκα;"

Απαγορευμένη Γνώση

Οι συνηθισμένοι υπολογιστές αντιπροσωπεύουν πληροφορίες που χρησιμοποιούν bit με δύο διακριτές καταστάσεις, με τις ετικέτες 0 και 1. Τα κβαντικά bit, ή qubits, έχουν επίσης δύο καταστάσεις, αλλά μπορούν επίσης να ενσωματωθούν σε λεγόμενες υπερθέσεις στις οποίες συνυπάρχουν οι καταστάσεις 0 και 1. Αξιοποιώντας πιο περίπλοκες υπερθέσεις που περιλαμβάνουν πολλά qubits, κβαντικούς υπολογιστές μπορεί να εκτελέσει ορισμένους υπολογισμούς πολύ πιο γρήγορα από οποιοδήποτε συμβατικό μηχάνημα.

Ωστόσο, οι κβαντικές υπερθέσεις είναι σκωπτικά πλάσματα. Μετρήστε ένα qubit σε κατάσταση υπέρθεσης και θα συμπτύξει είτε στο 0 είτε στο 1, διαγράφοντας κάθε υπολογισμό σε εξέλιξη. Για να γίνουν τα πράγματα χειρότερα, τα σφάλματα που προέρχονται από αδύναμες αλληλεπιδράσεις μεταξύ των qubits και του περιβάλλοντός τους μπορούν να μιμηθούν τις καταστροφικές επιπτώσεις της μέτρησης. Οτιδήποτε τρίβει ένα qubit με λάθος τρόπο, είτε πρόκειται για έναν αδιάκριτο ερευνητή είτε για ένα αδέσποτο φωτόνιο, μπορεί να χαλάσει τον υπολογισμό.

Αυτή η ακραία ευθραυστότητα μπορεί να κάνει τους κβαντικούς υπολογιστές να ακούγονται απελπιστικοί. Αλλά το 1995, ο εφαρμοσμένος μαθηματικός Peter Shor ανακάλυψαν ένας έξυπνος τρόπος αποθήκευσης κβαντικών πληροφοριών. Η κωδικοποίησή του είχε δύο βασικές ιδιότητες. Πρώτον, μπορούσε να ανεχθεί σφάλματα που επηρέαζαν μόνο μεμονωμένα qubit. Δεύτερον, συνοδεύτηκε από μια διαδικασία για τη διόρθωση των σφαλμάτων καθώς συνέβαιναν, εμποδίζοντάς τα να συσσωρευτούν και να εκτροχιάσουν έναν υπολογισμό. Η ανακάλυψη του Shor ήταν το πρώτο παράδειγμα κώδικα διόρθωσης κβαντικών σφαλμάτων και οι δύο βασικές του ιδιότητες είναι τα καθοριστικά χαρακτηριστικά όλων αυτών των κωδίκων.

Η πρώτη ιδιότητα πηγάζει από μια απλή αρχή: Οι μυστικές πληροφορίες είναι λιγότερο ευάλωτες όταν χωρίζονται. Τα κατασκοπευτικά δίκτυα χρησιμοποιούν παρόμοια στρατηγική. Κάθε κατάσκοπος γνωρίζει ελάχιστα για το δίκτυο στο σύνολό του, επομένως η οργάνωση παραμένει ασφαλής ακόμα και αν κάποιο άτομο συλληφθεί. Αλλά οι κβαντικοί κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων οδηγούν αυτή τη λογική στα άκρα. Σε ένα κβαντικό δίκτυο κατασκοπείας, κανένας μόνος κατάσκοπος δεν θα ήξερε τίποτα απολύτως, αλλά μαζί θα ήξεραν πολλά.

Κάθε κώδικας διόρθωσης κβαντικού σφάλματος είναι μια συγκεκριμένη συνταγή για τη διανομή κβαντικών πληροφοριών σε πολλά qubits σε μια κατάσταση συλλογικής υπέρθεσης. Αυτή η διαδικασία μετατρέπει αποτελεσματικά ένα σύμπλεγμα φυσικών qubits σε ένα μόνο εικονικό qubit. Επαναλάβετε τη διαδικασία πολλές φορές με μια μεγάλη σειρά qubits και θα λάβετε πολλά εικονικά qubits που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να εκτελέσετε υπολογισμούς.

Τα φυσικά qubits που απαρτίζουν κάθε εικονικό qubit είναι σαν αυτούς τους αγνοημένους κβαντικούς κατασκόπους. Μετρήστε οποιοδήποτε από αυτά και δεν θα μάθετε τίποτα για την κατάσταση του εικονικού qubit του οποίου είναι μέρος — μια ιδιότητα που ονομάζεται τοπική αδιακρισιμότητα. Δεδομένου ότι κάθε φυσικό qubit δεν κωδικοποιεί πληροφορίες, τα σφάλματα σε μεμονωμένα qubit δεν θα καταστρέψουν έναν υπολογισμό. Οι πληροφορίες που έχουν σημασία είναι κατά κάποιο τρόπο παντού, αλλά πουθενά συγκεκριμένα.

«Δεν μπορείτε να το προσαρμόσετε σε κανένα μεμονωμένο qubit», είπε ο Cubitt.

Όλοι οι κβαντικοί κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων μπορούν να απορροφήσουν τουλάχιστον ένα σφάλμα χωρίς καμία επίδραση στις κωδικοποιημένες πληροφορίες, αλλά τελικά όλοι θα υποκύψουν καθώς συσσωρεύονται σφάλματα. Εκεί εμφανίζεται η δεύτερη ιδιότητα των κβαντικών κωδικών διόρθωσης σφαλμάτων - η πραγματική διόρθωση σφαλμάτων. Αυτό σχετίζεται στενά με την τοπική δυσδιάκριση: Επειδή τα σφάλματα σε μεμονωμένα qubit δεν καταστρέφουν καμία πληροφορία, είναι πάντα δυνατό να αντιστρέψτε οποιοδήποτε λάθος χρησιμοποιώντας καθιερωμένες διαδικασίες ειδικά για κάθε κωδικό.

Λήψη για βόλτα

Ζι Λι, μεταδιδάκτορας στο Perimeter Institute for Theoretical Physics στο Waterloo του Καναδά, ήταν πολύ έμπειρος στη θεωρία της διόρθωσης κβαντικών σφαλμάτων. Αλλά το θέμα ήταν μακριά από το μυαλό του όταν άνοιξε μια συζήτηση με τον συνάδελφό του Λάθαμ Μπόιλ. Ήταν το φθινόπωρο του 2022 και οι δύο φυσικοί ήταν σε ένα βραδινό λεωφορείο από το Βατερλό στο Τορόντο. Ο Μπόιλ, ειδικός σε απεριοδικά πλακάκια που ζούσε στο Τορόντο εκείνη την εποχή και τώρα βρίσκεται στο Πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου, ήταν ένα οικείο πρόσωπο σε αυτές τις βόλτες με το λεωφορείο, που συχνά κολλούσε σε μεγάλη κίνηση.

«Κανονικά θα μπορούσαν να είναι πολύ άθλιοι», είπε ο Μπόιλ. «Αυτό ήταν σαν το καλύτερο όλων των εποχών».

Πριν από εκείνο το μοιραίο απόγευμα, ο Λι και ο Μπόιλ γνώριζαν ο ένας τη δουλειά του άλλου, αλλά οι ερευνητικοί τους τομείς δεν αλληλεπικαλύπτονταν άμεσα και δεν είχαν ποτέ συνομιλία ένας προς έναν. Όμως, όπως και αμέτρητοι ερευνητές σε άσχετα πεδία, ο Λι ήταν περίεργος για τα απεριοδικά πλακίδια. «Είναι πολύ δύσκολο να μην σε ενδιαφέρει», είπε.

Το ενδιαφέρον μετατράπηκε σε γοητεία όταν ο Μπόιλ ανέφερε μια ιδιαίτερη ιδιότητα των απεριοδικών πλακιδίων: την τοπική δυσδιάκριση. Σε αυτό το πλαίσιο, ο όρος σημαίνει κάτι διαφορετικό. Το ίδιο σύνολο πλακιδίων μπορεί να σχηματίσει άπειρα πλακάκια που φαίνονται εντελώς διαφορετικά συνολικά, αλλά είναι αδύνατο να ξεχωρίσετε δύο πλακάκια εξετάζοντας οποιαδήποτε τοπική περιοχή. Αυτό συμβαίνει επειδή κάθε πεπερασμένο έμπλαστρο οποιουδήποτε πλακιδίου, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλο είναι, θα εμφανίζεται κάπου σε κάθε άλλο πλακάκι.

«Αν σε ρίξω στο ένα ή στο άλλο πλακάκι και σου δώσω την υπόλοιπη ζωή σου να εξερευνήσεις, δεν θα μπορέσεις ποτέ να καταλάβεις αν σε έβαλα κάτω στα πλακάκια σου ή στο πλακάκι μου», είπε ο Μπόιλ.

Στον Li, αυτό φαινόταν δελεαστικά παρόμοιο με τον ορισμό της τοπικής δυσδιάκρισης στην κβαντική διόρθωση σφαλμάτων. Ανέφερε τη σύνδεση με τον Μπόιλ, ο οποίος αιφνιδιάστηκε αμέσως. Τα υποκείμενα μαθηματικά στις δύο περιπτώσεις ήταν αρκετά διαφορετικά, αλλά η ομοιότητα ήταν πολύ ενδιαφέρουσα για να απορριφθεί.

Ο Li και ο Boyle αναρωτήθηκαν αν θα μπορούσαν να δημιουργήσουν μια πιο ακριβή σύνδεση μεταξύ των δύο ορισμών της τοπικής δυσδιάκρισης δημιουργώντας έναν κβαντικό κώδικα διόρθωσης σφαλμάτων που βασίζεται σε μια κατηγορία απεριοδικών πλαισίων. Συνέχισαν να μιλάνε καθ' όλη τη διάρκεια της δίωρης διαδρομής με το λεωφορείο και μέχρι να φτάσουν στο Τορόντο ήταν σίγουροι ότι ένας τέτοιος κωδικός ήταν δυνατός - ήταν απλώς θέμα κατασκευής μιας επίσημης απόδειξης.

Κβαντικά Πλακίδια

Ο Λι και ο Μπόιλ αποφάσισαν να ξεκινήσουν με πλακάκια Penrose, τα οποία ήταν απλά και οικεία. Για να τα μετατρέψουν σε κώδικα διόρθωσης κβαντικών σφαλμάτων, θα έπρεπε πρώτα να καθορίσουν πώς θα φαίνονται οι κβαντικές καταστάσεις και τα σφάλματα σε αυτό το ασυνήθιστο σύστημα. Αυτό το κομμάτι ήταν εύκολο. Ένα άπειρο δισδιάστατο επίπεδο καλυμμένο με πλακίδια Penrose, όπως ένα πλέγμα από qubits, μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας το μαθηματικό πλαίσιο της κβαντικής φυσικής: Οι κβαντικές καταστάσεις είναι συγκεκριμένες παραθέσεις αντί για 0 ​​και 1. Ένα σφάλμα απλώς διαγράφει μια ενημερωμένη έκδοση του μοτίβου παράθεσης, με τον τρόπο που ορισμένα σφάλματα σε πίνακες qubit εξαλείφουν την κατάσταση κάθε qubit σε ένα μικρό σύμπλεγμα.

Το επόμενο βήμα ήταν να προσδιοριστούν οι διαμορφώσεις πλακιδίων που δεν θα επηρεάζονταν από εντοπισμένα σφάλματα, όπως οι εικονικές καταστάσεις qubit σε συνηθισμένους κβαντικούς κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων. Η λύση, όπως σε έναν συνηθισμένο κώδικα, ήταν η χρήση υπερθέσεων. Μια προσεκτικά επιλεγμένη υπέρθεση πλακιδίων Penrose μοιάζει με μια διάταξη πλακιδίων μπάνιου που προτείνει ο πιο αναποφάσιστος διακοσμητής εσωτερικού χώρου στον κόσμο. Ακόμα κι αν λείπει ένα κομμάτι από αυτό το μπερδεμένο σχέδιο, δεν θα προδώσει καμία πληροφορία για τη συνολική κάτοψη.

Για να λειτουργήσει αυτή η προσέγγιση, ο Λι και ο Μπόιλ έπρεπε πρώτα να διακρίνουν δύο ποιοτικά διαφορετικές σχέσεις μεταξύ διαφορετικών πλακιδίων Penrose. Δεδομένου οποιουδήποτε πλακιδίου, μπορείτε να δημιουργήσετε έναν άπειρο αριθμό νέων πλακιδίων μετακινώντας το προς οποιαδήποτε κατεύθυνση ή περιστρέφοντάς το. Το σύνολο όλων των πλαισίων που δημιουργούνται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται κλάση ισοδυναμίας.

Αλλά δεν ανήκουν όλα τα πλακάκια Penrose στην ίδια κατηγορία ισοδυναμίας. Μια παράθεση σε μια κλάση ισοδυναμίας δεν μπορεί να μετατραπεί σε πλακίδιο σε μια άλλη κλάση μέσω οποιουδήποτε συνδυασμού περιστροφών και μεταφράσεων — τα δύο άπειρα μοτίβα είναι ποιοτικά διαφορετικά, αλλά ακόμα τοπικά δυσδιάκριτα.

Με αυτή τη διάκριση, ο Li και ο Boyle θα μπορούσαν τελικά να κατασκευάσουν έναν κώδικα διόρθωσης σφαλμάτων. Θυμηθείτε ότι σε έναν συνηθισμένο κβαντικό κώδικα διόρθωσης σφαλμάτων, ένα εικονικό qubit κωδικοποιείται σε υπερθέσεις φυσικών qubit. Στον κώδικά τους που βασίζεται σε παράθεση, οι ανάλογες καταστάσεις είναι υπερθέσεις όλων των πλαισίων μέσα σε μια ενιαία κλάση ισοδυναμίας. Εάν το αεροπλάνο είναι επιστρωμένο με αυτό το είδος υπέρθεσης, υπάρχει μια διαδικασία για την πλήρωση κενών χωρίς να αποκαλύπτονται πληροφορίες σχετικά με τη συνολική κβαντική κατάσταση.

«Το πλακάκι Penrose κατά κάποιο τρόπο γνώριζε για την κβαντική διόρθωση σφαλμάτων πριν από την εφεύρεση του κβαντικού υπολογιστή», είπε ο Boyle.

Η διαίσθηση του Λι και του Μπόιλ στη διαδρομή με το λεωφορείο ήταν σωστή. Σε βαθύ επίπεδο, οι δύο ορισμοί της τοπικής δυσδιάκρισης ήταν οι ίδιοι δυσδιάκριτοι.

Εύρεση του Μοτίβου

Αν και μαθηματικά καλά καθορισμένος, ο νέος κώδικας των Λι και Μπόιλ δεν ήταν σχεδόν πρακτικός. Οι άκρες των πλακιδίων στα πλακίδια Penrose δεν πέφτουν σε τακτά χρονικά διαστήματα, επομένως ο καθορισμός της κατανομής τους απαιτεί συνεχείς πραγματικούς αριθμούς αντί για διακριτούς ακέραιους. Οι κβαντικοί υπολογιστές, από την άλλη πλευρά, χρησιμοποιούν συνήθως διακριτά συστήματα όπως πλέγματα qubits. Ακόμη χειρότερα, τα πλακάκια Penrose δεν διακρίνονται μόνο τοπικά σε ένα άπειρο επίπεδο, κάτι που δεν μεταφράζεται καλά στον πεπερασμένο πραγματικό κόσμο.

«Είναι μια πολύ περίεργη σύνδεση», είπε Μπάρμπαρα Τερχάλ, ερευνητής κβαντικών υπολογιστών στο Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο του Ντελφτ. «Αλλά είναι επίσης καλό να το φέρνεις στη γη».

Ο Λι και ο Μπόιλ έχουν κάνει ήδη ένα βήμα προς αυτή την κατεύθυνση, κατασκευάζοντας δύο άλλους κώδικες που βασίζονται σε πλακίδια, στους οποίους το υποκείμενο κβαντικό σύστημα είναι πεπερασμένο στη μία περίπτωση και διακριτό στην άλλη. Ο διακριτός κώδικας μπορεί επίσης να γίνει πεπερασμένος, αλλά παραμένουν άλλες προκλήσεις. Και οι δύο πεπερασμένοι κώδικες μπορούν να διορθώσουν μόνο σφάλματα που συγκεντρώνονται μαζί, ενώ οι πιο δημοφιλείς κβαντικοί κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων μπορούν να χειριστούν τυχαία κατανεμημένα σφάλματα. Δεν είναι ακόμη σαφές εάν πρόκειται για έναν εγγενή περιορισμό των κωδικών που βασίζονται σε πλακάκια ή εάν θα μπορούσε να παρακαμφθεί με έναν πιο έξυπνο σχεδιασμό.

«Υπάρχουν πολλές επακόλουθες εργασίες που μπορούν να γίνουν», είπε Felix Flicker, φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Μπρίστολ. «Όλα τα καλά χαρτιά πρέπει να το κάνουν αυτό».

Δεν είναι μόνο οι τεχνικές λεπτομέρειες που πρέπει να γίνουν καλύτερα κατανοητές – η νέα ανακάλυψη εγείρει επίσης πιο θεμελιώδη ερωτήματα. Ένα προφανές επόμενο βήμα είναι να προσδιορίσετε ποια άλλα πλακίδια λειτουργούν επίσης ως κωδικοί. Μόλις πέρυσι, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια οικογένεια απεριοδικών πλακιδίων ότι το καθένα χρησιμοποιεί μόνο ένα πλακίδιο. «Θα ήταν συναρπαστικό να δούμε πώς αυτές οι πρόσφατες εξελίξεις θα μπορούσαν ίσως να συνδεθούν με το ζήτημα της κβαντικής διόρθωσης σφαλμάτων», έγραψε ο Penrose σε ένα email.

Μια άλλη κατεύθυνση περιλαμβάνει την εξερεύνηση των συνδέσεων μεταξύ κβαντικών κωδίκων διόρθωσης σφαλμάτων και ορισμένων μοντέλα κβαντικής βαρύτητας. Σε μία χαρτί 2020, Boyle, Flicker και η αείμνηστη Madeline Dickens έδειξαν ότι τα απεριοδικά πλακίδια εμφανίζονται στη χωροχρονική γεωμετρία αυτών των μοντέλων. Αλλά αυτή η σύνδεση προήλθε από μια ιδιότητα των πλακιδίων που δεν παίζει κανένα ρόλο στο έργο του Λι και του Μπόιλ. Φαίνεται ότι η κβαντική βαρύτητα, η κβαντική διόρθωση σφαλμάτων και τα απεριοδικά πλακίδια είναι διαφορετικά κομμάτια ενός παζλ του οποίου οι ερευνητές μόλις αρχίζουν να καταλαβαίνουν τα περιγράμματα. Όπως και με τα ίδια τα απεριοδικά πλακάκια, το να καταλάβετε πώς αυτά τα κομμάτια ταιριάζουν μεταξύ τους μπορεί να είναι εξαιρετικά λεπτή.

«Υπάρχουν βαθιές ρίζες που συνδέουν αυτά τα διαφορετικά πράγματα», είπε ο Flicker. «Αυτό το δελεαστικό σύνολο διασυνδέσεων ζητάει να επιλυθεί».