Δύο μαθητές ξετυλίγουν μια ευρέως πιστευτή μαθηματική εικασία | Περιοδικό Quanta

Οι Summer Haag και Clyde Kertzer είχαν μεγάλες ελπίδες για το καλοκαιρινό ερευνητικό τους έργο. Η τυφλοποίηση ενός ολόκληρου υποπεδίου των μαθηματικών δεν ήταν ένα από αυτά.

Τον Μάιο, η Haag τελείωνε το πρώτο της έτος μεταπτυχιακών σπουδών στο Πανεπιστήμιο του Κολοράντο, στο Boulder, όπου η Kertzer ήταν προπτυχιακός. Και οι δύο ανυπομονούσαν για ένα διάλειμμα από τα μαθήματα. Ο Haag σχεδίαζε να εξερευνήσει νέες πεζοπορίες και διαδρομές αναρρίχησης. Ο Kertzer, ένας ντόπιος Boulder, ήθελε να παίξει ποδόσφαιρο και να προετοιμάσει την αίτησή του για αποφοίτηση. Αλλά ως επίδοξοι ερευνητές μαθηματικοί, είχαν επίσης υποβάλει αίτηση για ένα καλοκαιρινό ερευνητικό πρόγραμμα ημιχρόνου στην ομάδα του μαθηματικού Κάθριν Στάνγκ.

Η Stange είναι μια θεωρητικός αριθμών που περιγράφει τον εαυτό της ως μαθηματικό "βάτραχος” — κάποιος που εμβαθύνει στις περιπλοκές ενός προβλήματος πριν πάει σε ένα άλλο. Ενδιαφέρεται για «απλές φαινομενικές ερωτήσεις που οδηγούν σε έναν πλούτο δομής», είπε. Τα έργα της συχνά θίγουν τα άπιαστα ανοιχτά προβλήματα της θεωρίας αριθμών χρησιμοποιώντας υπολογιστές για τη δημιουργία μεγάλων συνόλων δεδομένων.

Ο Χάαγκ και ο Κέρτζερ ξεκίνησαν το πρόγραμμα στα 23α γενέθλια του Χάαγκ με ένα εβδομαδιαίο αστάρι πάνω σε απολλώνιες κύκλους — την αρχαία μελέτη του πώς οι κύκλοι μπορούν να συμπιεστούν αρμονικά σε έναν μεγαλύτερο κύκλο.

Φανταστείτε να τακτοποιείτε τρία νομίσματα έτσι ώστε το καθένα να αγγίζει τα άλλα. Μπορείτε πάντα να σχεδιάσετε έναν κύκλο γύρω τους που να αγγίζει και τα τρία από έξω. Στη συνέχεια, μπορείτε να αρχίσετε να κάνετε ερωτήσεις: Πώς σχετίζεται το μέγεθος αυτού του μεγαλύτερου κύκλου με αυτά των τριών νομισμάτων; Τι μέγεθος κύκλου θα χωρέσει στο κενό μεταξύ των τριών νομισμάτων; Και αν αρχίσετε να σχεδιάζετε κύκλους που συμπληρώνουν σταδιακά όλο και μικρότερα κενά μεταξύ των κύκλων - δημιουργώντας ένα φράκταλ μοτίβο γνωστό ως packing - πώς συνδέονται τα μεγέθη αυτών των κύκλων μεταξύ τους;

Αντί να σκεφτούν τη διάμετρο αυτών των κύκλων, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν ένα μέτρο που ονομάζεται καμπυλότητα - το αντίστροφο της ακτίνας. Άρα ένας κύκλος με ακτίνα 2 έχει καμπυλότητα 1/2 και ένας κύκλος με ακτίνα 1/3 έχει καμπυλότητα 3. Όσο μικρότερος είναι ο κύκλος, τόσο μεγαλύτερη είναι η καμπυλότητα.

Οι μαθηματικοί της Αναγέννησης απέδειξαν ότι εάν οι τέσσερις πρώτοι κύκλοι έχουν καμπυλότητα που είναι ακέραιος, οι καμπυλότητες όλων των επόμενων κύκλων στη συσκευασία είναι εγγυημένα ότι είναι ακέραιοι αριθμοί. Αυτό από μόνο του είναι αξιοσημείωτο. Αλλά οι μαθηματικοί έχουν προχωρήσει το πρόβλημα ένα βήμα παραπέρα θέτοντας ερωτήσεις σχετικά με το ποιοι ακέραιοι αριθμοί εμφανίζονται καθώς οι κύκλοι γίνονται όλο και μικρότεροι και οι καμπυλότητες γίνονται όλο και μεγαλύτερες.

Σε 2010, Έλενα Φουξ, θεωρητικός αριθμών τώρα στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, Davis, αποδείχθηκε ότι οι καμπυλότητες ακολουθούν μια συγκεκριμένη σχέση που τις αναγκάζει σε ορισμένους αριθμητικούς κάδους. Λίγο αργότερα, οι μαθηματικοί πείστηκαν ότι όχι μόνο οι καμπυλότητες πρέπει να πέφτουν στον έναν ή τον άλλον κάδο, αλλά και ότι πρέπει να χρησιμοποιείται κάθε δυνατός αριθμός σε κάθε κάδο. Η ιδέα έγινε γνωστή ως η τοπική-παγκόσμια εικασία.

«Πολλά έργα το ανέφεραν σαν να ήταν ήδη γεγονός», είπε ο Kertzer. «Το συζητήσαμε σαν να επρόκειτο να αποδειχτεί κάποια στιγμή στο εγγύς μέλλον».

Τζέιμς Ρίκαρντς, ένας μαθηματικός στο Boulder που εργάζεται με τον Stange και τους μαθητές, είχε γράψει κώδικα για να εξετάσει οποιαδήποτε επιθυμητή διάταξη κυκλικών συσκευασιών. Έτσι, όταν ο Haag και ο Kertzer εντάχθηκαν στο συγκρότημα στις 15 Μαΐου, σκέφτηκαν ότι θα δημιουργήσουν καταπληκτικές πλοκές του αξιόπιστου τοπικού σε παγκόσμιου κανόνα.

Ο Stange πέταξε στη Γαλλία για ένα συνέδριο στις αρχές Ιουνίου. Όταν επέστρεψε στις 12 Ιουνίου, η ομάδα στριμώχτηκε γύρω από γραφήματα που έδειχναν πώς σε μερικούς κάδους φαινόταν να λείπουν ορισμένοι αριθμοί.

«Δεν ερευνούσαμε αυτό το φαινόμενο», είπε ο Rickards. «Δεν προσπαθούσα να δοκιμάσω ότι είναι αλήθεια. Ήξερα ότι ήταν αλήθεια - απλώς υπέθεσα ότι ήταν αλήθεια. Και ξαφνικά, ερχόμαστε αντιμέτωποι με δεδομένα που λένε ότι δεν είναι».

Μέχρι το τέλος της εβδομάδας, η ομάδα ήταν σίγουρη ότι η εικασία ήταν ψευδής. Αριθμοί που περίμεναν να εμφανιστούν δεν έγιναν ποτέ. Επεξεργάστηκαν μια απόδειξη και στις 6 Ιουλίου δημοσίευσαν την εργασία τους στον επιστημονικό ιστότοπο προεκτύπωσης arxiv.org.

Ο Φουξ θυμάται ότι μίλησε με τον Στάνγκ αμέσως μετά το χτύπημα της απόδειξης. "Πόσο πιστεύετε την εικασία από τοπικό σε παγκόσμιο;" ρώτησε ο Στάνγκ. Η Φουξ απάντησε ότι φυσικά το πίστευε. «Μετά μου έδειξε όλα αυτά τα δεδομένα και είπα, «Θεέ μου, αυτό είναι καταπληκτικό», είπε ο Φουξ. «Εννοώ, πίστευα πραγματικά ότι η εικασία από τοπικό σε παγκόσμιο ήταν αληθινή».

«Μόλις το δεις, λες απλώς «Αχα! Φυσικά!» είπε Πίτερ Σάρνακ, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών και στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον του οποίου πρώιμες παρατηρήσεις βοήθησε να τροφοδοτήσει την τοπική-παγκόσμια εικασία.

"Είναι μια φανταστική εικόνα", πρόσθεσε Άλεξ Κοντόροβιτς του Πανεπιστημίου Rutgers. "Όλοι μας κλωτσάμε που δεν το βρήκαμε πριν από 20 χρόνια, όταν οι άνθρωποι άρχισαν να παίζουν για πρώτη φορά με αυτό."

Ανάμεσα στα ερείπια που άφησε το αποτέλεσμα, η εργασία αποκάλυψε μια ρωγμή στα θεμέλια άλλων εικασιών στη θεωρία αριθμών. Οι μαθηματικοί έχουν αφεθεί να αναρωτιούνται ποια ευρέως διαδεδομένη πεποίθηση θα μπορούσε να είναι η επόμενη που θα πέσει.

Ιστορία κυκλικού κόμβου

Οι απολλώνιες συσκευασίες κύκλων πήραν το όνομά τους από τον πιθανό δημιουργό τους, τον Απολλώνιο της Πέργας. Πριν από περίπου 2,200 χρόνια, ο Έλληνας γεωμέτρης έγραψε ένα βιβλίο με το όνομα Εφαπτομενές για το πώς να κατασκευάσετε έναν κύκλο που να εφάπτεται σε τρεις άλλους. Το βιβλίο έχει χαθεί στο χρόνο. Αλλά περίπου 500 χρόνια αργότερα, ο Έλληνας μαθηματικός Πάππος της Αλεξάνδρειας συνέταξε μια επιτομή που θα επιζούσε από την κατάρρευση της Βυζαντινής αυτοκρατορίας.

Χρησιμοποιώντας μόνο την περιγραφή του Pappus για Εφαπτομενές, μαθηματικοί της Αναγέννησης προσπάθησαν να ξαναβρούν το αρχικό έργο. Μέχρι το 1643, ο René Descartes είχε ανακαλύψει μια απλή σχέση μεταξύ των καμπυλοτήτων οποιωνδήποτε τεσσάρων κύκλων που εφάπτονται μεταξύ τους. Ο Ντεκάρτ υποστήριξε ότι το άθροισμα όλων των τετραγωνικών καμπυλοτήτων ισούται με το μισό του τετραγώνου του αθροίσματος των καμπυλοτήτων. Αυτό σημαίνει ότι, δεδομένων τριών κύκλων, είναι δυνατός ο υπολογισμός της ακτίνας ενός τέταρτου εφαπτομενικού κύκλου. Για παράδειγμα, εάν έχετε τρεις κύκλους με καμπυλότητες 11, 14 και 15, μπορείτε να συνδέσετε αυτούς τους αριθμούς στην εξίσωση του Descartes και να υπολογίσετε την καμπυλότητα του κύκλου που θα χωρούσε μέσα τους: 86.

Το 1936, ο βραβευμένος με Νόμπελ ραδιοχημικός Φρέντερικ Σόντι παρατήρησε κάτι περίεργο καθώς έφτιαχνε συσκευασίες με τη σχέση του Ντεκάρτ. Καθώς οι κύκλοι γίνονταν μικρότεροι και οι καμπυλότητες μεγαλύτερες, περίμενε ότι θα έπαιρνε βαρύγδουπους αριθμούς με τετραγωνικές ρίζες ή άπειρα δεκαδικά ψηφία. Αντίθετα, όλες οι καμπυλότητες ήταν ακέραιοι. Αυτό ήταν μια αρκετά απλή συνέπεια της εξίσωσης του Ντεκάρτ, αλλά κανείς δεν το είχε προσέξει για εκατοντάδες χρόνια. Ενέπνευσε τον Soddy να δημοσιεύσει ένα ποίημα στο επιστημονικό περιοδικό Φύση, που ξεκίνησε:

Για ζευγάρια χείλη για να φιλήσω ίσως
Δεν περιλαμβάνει τριγωνομετρία.
Δεν είναι έτσι όταν φιλιούνται τέσσερις κύκλοι
Το ένα το ένα τα άλλα τρία.

Το Πιθανό και το Αναπόφευκτο

Μόλις διαπιστώθηκε ότι υπάρχουν συσκευασίες γεμάτες ακέραιους αριθμούς, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να βρουν μοτίβα σε αυτούς τους ακέραιους αριθμούς.

Το 2010, οι Φουξ και Κάθριν Σάντεν βάλθηκε να χτίσει πάνω σε α χαρτί από το 2003. Το δίδυμο παρατήρησε ότι εάν διαιρούσατε κάθε καμπυλότητα σε μια δεδομένη συσκευασία με το 24, προέκυψε ένας κανόνας. Ορισμένες συσκευασίες έχουν μόνο καμπυλότητες με υπολείμματα 0, 1, 4, 9, 12 ή 16, για παράδειγμα. Άλλοι αφήνουν μόνο υπολείμματα των 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 ή 22. Υπήρχαν έξι διαφορετικές πιθανές ομάδες.

Καθώς οι μαθηματικοί εξέταζαν τις διάφορες κατηγορίες συσκευασιών, άρχισαν να παρατηρούν ότι για αρκετά μικρούς κύκλους - αυτούς με μεγάλες καμπυλότητες - φαινόταν ότι κάθε πιθανός αριθμός σε κάθε κατηγορία εμφανιζόταν για συσκευασίες αυτού του τύπου. Αυτή η ιδέα έφτασε να ονομάζεται τοπική-παγκόσμια εικασία. Αποδεικνύοντας ότι έγινε «ένα από τα όνειρά μου αυτών των μικρών μαθηματικών», είπε ο Φουξ. «Λοιπόν, ίσως κάποια στιγμή σε πολλά χρόνια από τώρα να μπορέσω να το λύσω».

Το 2012, οι Kontorovich και Jean Bourgain (οι οποίοι πέθανε το 2018) το απέδειξε σχεδόν κάθε αριθμό που προβλέπεται από την εικασία συμβαίνει. Αλλά «σχεδόν όλα» δεν σημαίνει «όλα». Για παράδειγμα, τα τέλεια τετράγωνα είναι αρκετά σπάνια ώστε, μαθηματικά, «σχεδόν όλοι» οι ακέραιοι αριθμοί δεν είναι τέλεια τετράγωνα, παρόλο που, για παράδειγμα, το 25 και το 49 είναι. Οι μαθηματικοί πίστευαν ότι τα σπάνια αντιπαραδείγματα που παρέμειναν πιθανά μετά την εργασία των Kontorovich και Bourgain δεν υπήρχαν στην πραγματικότητα, κυρίως επειδή οι δύο ή τρεις πιο καλά μελετημένοι κύκλοι φαινόταν να ακολουθούν τόσο καλά την τοπική-παγκόσμια εικασία, είπε ο Kontorovich.

Ανεβάζοντας αυτό το καντράν

Όταν ο Haag και ο Kertzer ξεκίνησαν αυτό το καλοκαίρι στο Boulder, ο Rickards έγραψε ιδέες σε έναν πίνακα στο γραφείο του Stange. «Είχαμε μια ολόκληρη λίστα», είπε ο Rickards. Είχαν τέσσερα ή πέντε σημεία εκκίνησης για να πειραματιστούν. «Πράγματα με τα οποία μπορείτε απλά να παίξετε και να δείτε τι συμβαίνει».

Μια ιδέα ήταν να υπολογιστούν όλα τα πιθανά πακέτα κύκλων που περιέχουν δύο αυθαίρετες καμπυλότητες Α και Β. Ο Rickards έγραψε ένα πρόγραμμα που βγάζει ένα είδος βιβλίου που αναφέρει ποιοι ακέραιοι αριθμοί εμφανίζονται στο πάρτι όταν φιλοξενεί το Α.

Με βάση αυτό το πρόγραμμα, ο Haag θρόισε μαζί ένα σενάριο Python που σχεδίαζε τόνους προσομοιώσεων ταυτόχρονα. Ήταν σαν ένας πίνακας πολλαπλασιασμού: ο Haag επέλεξε ποιες σειρές και στήλες να συμπεριλάβει με βάση τα υπολείμματά τους όταν διαιρούνταν με το 24. Τα ζεύγη αριθμών που εμφανίζονται σε μια Απολλώνια συσκευασία μαζί πήραν λευκά εικονοστοιχεία. αυτά που δεν έχουν μαύρα pixel.

Ο Χάαγκ όργωσε δεκάδες οικόπεδα — ένα για κάθε ζευγάρι υπολειμμάτων σε καθεμία από τις έξι ομάδες.

Έμοιαζαν ακριβώς όπως αναμενόταν: ένας τοίχος από λευκό, πιπερωμένο με μαύρες κηλίδες για μικρότερους ακέραιους αριθμούς. «Περιμέναμε να εξαφανιστούν οι μαύρες κουκίδες», είπε ο Stange. Ο Rickards πρόσθεσε, «Σκέφτηκα ότι ίσως θα ήταν ακόμη δυνατό να αποδείξω ότι απογοητεύτηκαν». Υπέθεσε ότι κοιτάζοντας γραφήματα που συνέθεταν πολλές συσκευασίες μαζί, η ομάδα θα ήταν σε θέση να αποδείξει αποτελέσματα που δεν ήταν δυνατά όταν εξέταζε κάθε συσκευασία από μόνη της.

Ενώ ο Stange ήταν μακριά, ο Haag ολοκλήρωσε σχεδίαση κάθε ζεύγους υπολειμμάτων — περίπου 120. Δεν υπάρχουν εκπλήξεις εκεί. Μετά πήγε πολύ.

Ο Haag σχεδίαζε πώς αλληλεπιδρούν 1,000 ακέραιοι αριθμοί. (Το γράφημα είναι μεγαλύτερο από ό,τι ακούγεται, αφού περιλαμβάνει 1 εκατομμύριο πιθανά ζεύγη.) Στη συνέχεια άνοιξε τον επιλογέα έως και 10,000 φορές 10,000. Σε ένα γράφημα, κανονικές σειρές και στήλες μαύρων κηλίδων αρνήθηκαν να διαλυθούν. Δεν έμοιαζε καθόλου με αυτό που θα προέβλεπε η τοπική-παγκόσμια εικασία.

Η ομάδα συναντήθηκε τη Δευτέρα μετά την επιστροφή του Stange. Η Haag παρουσίασε τα γραφήματα της και όλες επικεντρώθηκαν σε αυτό με τις περίεργες κουκκίδες. «Ήταν απλώς ένα συνεχές μοτίβο», είπε ο Haag. «Και τότε ήταν που η Κέιτ είπε: «Κι αν η εικασία του τοπικού-παγκόσμιου δεν είναι αληθινή;»».

«Αυτό μοιάζει με μοτίβο. Πρέπει να συνεχιστεί. Επομένως, η εικασία τοπικού-παγκόσμιας πρέπει να είναι ψευδής», θυμάται ο Stange. «Ο Τζέιμς ήταν πιο δύσπιστος».

«Η πρώτη μου σκέψη ήταν ότι πρέπει να υπάρχει ένα σφάλμα στον κώδικά μου», είπε ο Rickards. «Εννοώ, αυτό ήταν το μόνο λογικό πράγμα που μπορούσα να σκεφτώ».

Μέσα σε μισή μέρα, ο Rickards ήρθε γύρω. Το σχέδιο απέκλεισε όλα τα ζεύγη όπου ο πρώτος αριθμός είναι της μορφής 8 × (3n ± 1)² και το δεύτερο είναι 24 φορές οποιοδήποτε τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι το 24 και το 8 δεν εμφανίζονται ποτέ στην ίδια συσκευασία. Οι αριθμοί που θα περιμένατε να εμφανιστούν όχι.

«Ήμουν κάπως ζαλισμένος. Δεν είναι πολύ συχνά που κάτι σε εκπλήσσει πραγματικά», είπε ο Stange. «Αλλά αυτή είναι η μαγεία του παιχνιδιού με δεδομένα».

Η Έγγραφο Ιουλίου περιγράφει μια αυστηρή απόδειξη ότι το μοτίβο που παρατήρησαν συνεχίζεται επ' αόριστον, διαψεύδοντας την εικασία. Η απόδειξη βασίζεται σε μια αρχή αιώνων που ονομάζεται τετραγωνική αμοιβαιότητα που περιλαμβάνει τα τετράγωνα δύο πρώτων αριθμών. Η ομάδα του Stange ανακάλυψε πώς εφαρμόζεται η αμοιβαιότητα στα κυκλικά packings. Εξηγεί γιατί ορισμένες καμπυλότητες δεν μπορούν να εφάπτονται μεταξύ τους. Ο κανόνας, που ονομάζεται απόφραξη, διαδίδεται σε όλη τη συσκευασία. «Είναι απλώς ένα εντελώς νέο πράγμα», είπε Τζέφρι Λαγαριάς, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν που ήταν συν-συγγραφέας στο χαρτί συσκευασίας κύκλων το 2003. «Το βρήκαν έξυπνα», είπε ο Σαρνάκ. «Εάν εμφανίζονταν αυτοί οι αριθμοί, θα παραβίαζαν την αμοιβαιότητα».

Το Φθινόπωρο

Μια σειρά από άλλες εικασίες στη θεωρία αριθμών μπορεί τώρα να είναι υπό αμφισβήτηση. Όπως η τοπική-παγκόσμια εικασία, είναι δύσκολο να αποδειχθούν, αλλά έχουν ήδη αποδειχθεί ότι ισχύουν σχεδόν για όλες τις περιπτώσεις και γενικά θεωρείται ότι είναι αληθινές.

Για παράδειγμα, ο Fuchs μελετά τα τριπλάσια Markov, σύνολα αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση x² + y² + z² = 3xyz. Αυτή και άλλοι έχουν δείξει ότι ορισμένοι τύποι λύσεων συνδέονται για πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους από 10³⁹². Όλοι πιστεύουν ότι το σχέδιο πρέπει να συνεχίσει στο άπειρο. Όμως, υπό το πρίσμα του νέου αποτελέσματος, η Fuchs επέτρεψε στον εαυτό της να αισθανθεί μια μικρή αμφιβολία. «Ίσως μου διαφεύγει κάτι», είπε. «Ίσως κάτι χάνει σε όλους».

«Τώρα που έχουμε ένα μόνο παράδειγμα όπου είναι ψευδές, το ερώτημα είναι: Είναι λάθος και για αυτά τα άλλα παραδείγματα;» είπε ο Rickards.

Υπάρχει και η εικασία του Ζαρέμπα. Λέει ότι ένα κλάσμα με οποιονδήποτε παρονομαστή μπορεί να εκφραστεί ως συνεχόμενο κλάσμα που χρησιμοποιεί μόνο τους αριθμούς μεταξύ 1 και 5. Το 2014, οι Kontorovich και Bourgain έδειξαν ότι η εικασία του Zaremba ισχύει για όλους σχεδόν τους αριθμούς. Αλλά η έκπληξη σχετικά με το packing κύκλου έχει υπονομεύσει την εμπιστοσύνη στην εικασία του Zaremba.

Εάν το πρόβλημα της συσκευασίας είναι προάγγελος των μελλοντικών πραγμάτων, τα υπολογιστικά δεδομένα μπορεί να είναι το εργαλείο για την αναίρεση του.

«Πάντα βρίσκω συναρπαστικό όταν τα νέα μαθηματικά γεννιούνται από την απλή εξέταση των δεδομένων», είπε ο Fuchs. "Χωρίς αυτό, είναι πραγματικά δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι [θα] είχαν σκοντάψει σε αυτό."

Ο Stange πρόσθεσε ότι τίποτα από αυτά δεν θα είχε συμβεί χωρίς το χαμηλών στοιχημάτων καλοκαιρινό έργο. «Το Serendipity και η στάση παιχνιδιάρικης εξερεύνησης έχουν τόσο τεράστιο ρόλο στην ανακάλυψη», είπε.

«Ήταν καθαρή σύμπτωση», είπε ο Haag. «Αν δεν προχωρούσα αρκετά, δεν θα το είχαμε προσέξει». Η εργασία προμηνύεται καλά για το μέλλον της θεωρίας αριθμών. «Μπορείτε να αποκτήσετε κατανόηση των μαθηματικών μέσω της διαίσθησής σας, μέσω των αποδείξεων», είπε ο Stange. «Και το εμπιστεύεστε πολύ αυτό γιατί αφιερώσατε πολύ χρόνο για να το σκεφτείτε. Αλλά δεν μπορείς να διαφωνήσεις με τα δεδομένα».

Σημείωση του συντάκτη: Ο Alex Kontorovich είναι μέλος του Quanta Magazineτου επιστημονικού συμβουλευτικού συμβουλίου. Πήρε συνέντευξη για αυτήν την ιστορία, αλλά δεν συνέβαλε διαφορετικά στην παραγωγή της.