The Quest to Decode the Mandelbrot Set, Math's Famed Fractal | Περιοδικό Quanta

Στα μέσα της δεκαετίας του 1980, όπως τα κασετόφωνα Walkman και τα πουκάμισα με γραβάτα, η σιλουέτα του σετ Mandelbrot ήταν παντού.

Οι μαθητές το σοβάτισαν στους τοίχους των κοιτώνων σε όλο τον κόσμο. Οι μαθηματικοί έλαβαν εκατοντάδες γράμματα, ανυπόμονα αιτήματα για εκτυπώσεις του σετ. (Σε απάντηση, ορισμένοι από αυτούς παρήγαγαν καταλόγους, με τιμοκαταλόγους· άλλοι συνέταξαν τα πιο εντυπωσιακά χαρακτηριστικά του σε βιβλία.) Περισσότεροι λάτρεις της τεχνολογίας θα μπορούσαν να στραφούν στο τεύχος Αυγούστου 1985 του Scientific American. Στο εξώφυλλό του, το σύνολο Mandelbrot ξεδιπλώθηκε σε πύρινες έλικες, με τα σύνορά του να φλέγονται. μέσα υπήρχαν προσεκτικές οδηγίες προγραμματισμού, που περιγράφουν λεπτομερώς πώς οι αναγνώστες θα μπορούσαν να δημιουργήσουν την εικονική εικόνα για τον εαυτό τους.

Μέχρι τότε, αυτά τα τρυπάνια είχαν επίσης επεκτείνει την εμβέλειά τους πολύ πέρα ​​από τα μαθηματικά, σε φαινομενικά άσχετες γωνιές της καθημερινής ζωής. Μέσα στα επόμενα χρόνια, το σετ Mandelbrot θα ενέπνευσε τους νεότερους πίνακες του David Hockney και τις νεότερες συνθέσεις αρκετών μουσικών — κομμάτια που μοιάζουν με φούγκα στο στυλ του Bach. Θα εμφανιζόταν στις σελίδες της μυθοπλασίας του John Updike και θα καθοδηγούσε πώς ο κριτικός λογοτεχνίας Hugh Kenner ανέλυσε την ποίηση του Ezra Pound. Θα γινόταν θέμα ψυχεδελικών παραισθήσεων και ενός δημοφιλούς ντοκιμαντέρ που αφηγείται ο σπουδαίος επιστημονικής φαντασίας Άρθουρ Σ. Κλαρκ.

Το σετ Mandelbrot είναι ένα ιδιαίτερο σχήμα, με φράκταλ περίγραμμα. Χρησιμοποιήστε έναν υπολογιστή για να κάνετε μεγέθυνση στο οδοντωτό όριο του σετ και θα συναντήσετε κοιλάδες με ιππόκαμπους και παρελάσεις ελεφάντων, σπειροειδείς γαλαξίες και νήματα που μοιάζουν με νευρώνες. Ανεξάρτητα από το πόσο βαθιά εξερευνάτε, θα βλέπετε πάντα σχεδόν αντίγραφα του αρχικού σετ — έναν άπειρο, ιλιγγιώδη καταρράκτη αυτοομοιότητας.

Αυτή η ομοιότητα με τον εαυτό ήταν βασικό στοιχείο του βιβλίου του Τζέιμς Γκλάικ με τις μεγαλύτερες πωλήσεις Χάος, που εδραίωσε τη θέση του σετ Mandelbrot στη λαϊκή κουλτούρα. «Διατηρούσε ένα σύμπαν ιδεών», έγραψε ο Gleick. «Μια μοντέρνα φιλοσοφία της τέχνης, μια δικαίωση του νέου ρόλου του πειραματισμού στα μαθηματικά, ένας τρόπος να φέρουμε σύνθετα συστήματα ενώπιον ενός μεγάλου κοινού».

Το σετ Mandelbrot είχε γίνει σύμβολο. Αντιπροσώπευε την ανάγκη για μια νέα μαθηματική γλώσσα, έναν καλύτερο τρόπο για να περιγράψουμε τη φύση του φράκταλ του κόσμου γύρω μας. Έδειξε πόσο βαθιά πολυπλοκότητα μπορεί να προκύψει από τους απλούστερους κανόνες - όπως η ίδια η ζωή. («Είναι λοιπόν ένα πραγματικό μήνυμα ελπίδας», Τζον Χάμπαρντ, ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που μελέτησαν το σύνολο, είπε σε ένα βίντεο του 1989, «ότι η βιολογία μπορεί να γίνει πραγματικά κατανοητή με τον ίδιο τρόπο που μπορούν να γίνουν κατανοητές αυτές οι εικόνες».) Στο σύνολο του Mandelbrot, η τάξη και το χάος ζούσαν σε αρμονία. Ο ντετερμινισμός και η ελεύθερη βούληση θα μπορούσαν να συμβιβαστούν. Ένας μαθηματικός θυμήθηκε ότι σκόνταψε στο σετ ως έφηβος και το είδε ως μεταφορά για το περίπλοκο όριο μεταξύ αλήθειας και ψεύδους.

Το σετ Mandelbrot ήταν παντού, μέχρι που δεν ήταν.

Μέσα σε μια δεκαετία, φαινόταν να εξαφανίζεται. Οι μαθηματικοί προχώρησαν σε άλλα θέματα και το κοινό προχώρησε σε άλλα σύμβολα. Σήμερα, μόλις 40 χρόνια μετά την ανακάλυψή του, το φράκταλ έχει γίνει ένα κλισέ, οριακό κιτς.

Αλλά μια χούφτα μαθηματικοί αρνήθηκαν να το αφήσουν να φύγει. Έχουν αφιερώσει τη ζωή τους για να αποκαλύψουν τα μυστικά του σετ Mandelbrot. Τώρα, νομίζουν ότι είναι επιτέλους στα πρόθυρα να το καταλάβουν πραγματικά.

Η ιστορία τους είναι μια ιστορία εξερεύνησης, πειραματισμού - και πώς η τεχνολογία διαμορφώνει τον τρόπο που σκεφτόμαστε και τις ερωτήσεις που θέτουμε για τον κόσμο.

Οι Κυνηγοί Επικηρυγμένων

Τον Οκτώβριο του 2023, 20 μαθηματικοί από όλο τον κόσμο συγκεντρώθηκαν σε ένα οκλαδόν κτήριο από τούβλα σε αυτό που κάποτε ήταν μια δανική στρατιωτική ερευνητική βάση. Η βάση, που χτίστηκε στα τέλη του 1800 στη μέση του δάσους, ήταν κρυμμένη σε ένα φιόρδ στη βορειοδυτική ακτή του πολυπληθέστερου νησιού της Δανίας. Μια παλιά τορπίλη φύλαγε την είσοδο. Ασπρόμαυρες φωτογραφίες, που απεικονίζουν αξιωματικούς του ναυτικού με στολή, βάρκες παρατεταγμένες σε μια αποβάθρα και δοκιμές υποβρυχίων σε εξέλιξη, κοσμούσαν τους τοίχους. Για τρεις ημέρες, καθώς ένας σφοδρός άνεμος χτύπησε το νερό έξω από τα παράθυρα σε αφρισμένα άσπρα καπάκια, η ομάδα συμμετείχε σε μια σειρά ομιλιών, οι περισσότερες από αυτές από δύο μαθηματικούς από το Πανεπιστήμιο Stony Brook στη Νέα Υόρκη: Μίσα Λιούμπιτς και Ντίμα Ντούντκο.

Στο κοινό του εργαστηρίου ήταν μερικοί από τους πιο ατρόμητους εξερευνητές του σετ Mandelbrot. Κοντά στο μπροστινό μέρος κάθισε Mitsuhiro Shishikura του Πανεπιστημίου του Κιότο, ο οποίος στη δεκαετία του 1990 απέδειξε ότι τα όρια του σετ είναι όσο περίπλοκα μπορεί να είναι. Λίγες θέσεις ήταν πάνω Hiroyuki Inou, ο οποίος μαζί με τον Shishikura ανέπτυξε σημαντικές τεχνικές για τη μελέτη μιας ιδιαίτερα υψηλού προφίλ περιοχής του συνόλου Mandelbrot. Στην τελευταία σειρά ήταν Wolf Jung, ο δημιουργός του Mandel, του λογισμικού που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για τη διαδραστική διερεύνηση του συνόλου Mandelbrot. Παρόντες ήταν επίσης Arnaud Chéritat του Πανεπιστημίου της Τουλούζης, Κάρστεν Πίτερσεν του Πανεπιστημίου Roskilde (που οργάνωσε το εργαστήριο) και αρκετών άλλων που είχαν συμβάλει σημαντικά στην κατανόηση των μαθηματικών για το σύνολο του Mandelbrot.

Και στον πίνακα στέκονταν ο Lyubich, ο κορυφαίος ειδικός στον κόσμο στο θέμα, και ο Dudko, ένας από τους στενότερους συνεργάτες του. Μαζί με τους μαθηματικούς Τζέρεμι Καν και Άλεξ Καπιάμπα, εργάζονται για να αποδείξουν μια μακροχρόνια εικασία σχετικά με τη γεωμετρική δομή του συνόλου Mandelbrot. Αυτή η εικασία, γνωστή ως MLC, είναι το τελευταίο εμπόδιο στην προσπάθεια δεκαετιών να χαρακτηριστεί το φράκταλ, να δαμάσει την μπερδεμένη ερημιά του.

Χτίζοντας και ακονίζοντας ένα ισχυρό σύνολο εργαλείων, οι μαθηματικοί έχουν παλέψει τον έλεγχο της γεωμετρίας «σχεδόν τα πάντα στο σύνολο Mandelbrot», είπε. Καρολάιν Ντέιβις του Πανεπιστημίου της Ιντιάνα — εκτός από μερικές υπόλοιπες περιπτώσεις. «Ο Misha και ο Dima και ο Jeremy και ο Alex είναι σαν κυνηγοί επικηρυγμένων που προσπαθούν να εντοπίσουν αυτούς τους τελευταίους».

Ο Lyubich και ο Dudko ήταν στη Δανία για να ενημερώσουν άλλους μαθηματικούς σχετικά με την πρόσφατη πρόοδο προς την απόδειξη του MLC και τις τεχνικές που είχαν αναπτύξει για να το κάνουν. Τα τελευταία 20 χρόνια, ερευνητές έχουν συγκεντρωθεί εδώ για εργαστήρια αφιερωμένα στην αποσυσκευασία των αποτελεσμάτων και των μεθόδων στον τομέα της σύνθετης ανάλυσης, της μαθηματικής μελέτης των ειδών αριθμών και συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία του συνόλου Mandelbrot.

Ήταν ένα ασυνήθιστο στήσιμο: οι μαθηματικοί έτρωγαν όλα τα γεύματά τους μαζί και μιλούσαν και γελούσαν πίνοντας μπίρες μέχρι τις πρώτες πρωινές ώρες. Όταν τελικά αποφάσισαν να κοιμηθούν, αποσύρθηκαν σε κουκέτες ή κούνιες σε μικρά δωμάτια που μοιράζονταν στον δεύτερο όροφο της εγκατάστασης. (Μετά την άφιξή μας, μας είπαν να αρπάξουμε σεντόνια και μαξιλαροθήκες από ένα σωρό και να τα ανεβούμε για να φτιάξουμε τα κρεβάτια μας.) Κάποια χρόνια, οι συμμετέχοντες στο συνέδριο κολυμπούσαν με θάρρος στο παγωμένο νερό. πιο συχνά, περιπλανιούνται στο δάσος. Αλλά ως επί το πλείστον, δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε εκτός από τα μαθηματικά.

Χαρακτηριστικά, μου είπε ένας από τους παρευρισκόμενους, το εργαστήριο προσελκύει πολλούς νεότερους μαθηματικούς. Αλλά αυτό δεν συνέβη αυτή τη φορά - ίσως επειδή ήταν τα μέσα του εξαμήνου, ή, υπέθεσε, λόγω του πόσο δύσκολο ήταν το θέμα. Εξομολογήθηκε ότι εκείνη τη στιγμή ένιωθε λίγο τρομοκρατημένος για την προοπτική να δώσει μια ομιλία μπροστά σε τόσους μεγάλους του χώρου.

Αλλά δεδομένου ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί στον ευρύτερο τομέα της σύνθετης ανάλυσης δεν εργάζονται πλέον απευθείας στο σύνολο Mandelbrot, γιατί να αφιερώσουμε ένα ολόκληρο εργαστήριο στο MLC;

Το σύνολο Mandelbrot είναι κάτι περισσότερο από ένα φράκταλ, και όχι μόνο με μεταφορική έννοια. Χρησιμεύει ως ένα είδος κύριου καταλόγου δυναμικών συστημάτων — όλων των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους ένα σημείο μπορεί να κινηθεί στο χώρο σύμφωνα με έναν απλό κανόνα. Για να κατανοήσει κανείς αυτόν τον κύριο κατάλογο, πρέπει να διασχίσει πολλά διαφορετικά μαθηματικά τοπία. Το σύνολο Mandelbrot σχετίζεται βαθιά όχι μόνο με τη δυναμική, αλλά και με τη θεωρία των αριθμών, την τοπολογία, την αλγεβρική γεωμετρία, τη θεωρία ομάδων και ακόμη και τη φυσική. «Αλληλεπιδρά με τα υπόλοιπα μαθηματικά με όμορφο τρόπο», είπε Sabyasachi Mukherjee του Tata Institute of Fundamental Research στην Ινδία.

Για να σημειώσουν πρόοδο στο MLC, οι μαθηματικοί έπρεπε να αναπτύξουν ένα εξελιγμένο σύνολο τεχνικών - αυτό που ο Chéritat αποκαλεί «μια ισχυρή φιλοσοφία». Αυτά τα εργαλεία έχουν συγκεντρώσει μεγάλη προσοχή. Σήμερα αποτελούν κεντρικό πυλώνα στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων ευρύτερα. Αποδείχθηκαν κρίσιμα για την επίλυση πολλών άλλων προβλημάτων — προβλήματα που δεν έχουν καμία σχέση με το σύνολο του Mandelbrot. Και έχουν μετατρέψει το MLC από μια εξειδικευμένη ερώτηση σε μια από τις βαθύτερες και πιο σημαντικές ανοιχτές εικασίες του πεδίου.

Ο Lyubich, ο μαθηματικός αναμφισβήτητα ο πιο υπεύθυνος για τη διαμόρφωση αυτής της «φιλοσοφίας» στη σημερινή της μορφή, στέκεται ψηλός και ίσιος και μιλάει ήσυχα. Όταν άλλοι μαθηματικοί στο εργαστήριο τον πλησιάζουν για να συζητήσουν μια ιδέα ή να κάνουν μια ερώτηση, κλείνει τα μάτια του και ακούει προσεκτικά, με τα πυκνά του φρύδια ραγισμένα. Απαντά προσεκτικά, με ρώσικη προφορά.

Αλλά είναι επίσης γρήγορος να ξεσπάσει σε δυνατά, ζεστά γέλια και να κάνει αστεία αστεία. Είναι γενναιόδωρος με τον χρόνο και τις συμβουλές του. «Έχει γαλουχήσει πραγματικά αρκετές γενιές μαθηματικών», είπε ο Mukherjee, ένας από τους πρώην μεταδιδάκτορες του Lyubich και συχνός συνεργάτης του. Όπως λέει, όποιος ενδιαφέρεται για τη μελέτη της σύνθετης δυναμικής περνάει λίγο χρόνο στο Stony Brook μαθαίνοντας από τον Lyubich. «Ο Misha έχει αυτό το όραμα για το πώς πρέπει να προχωρήσουμε σε ένα συγκεκριμένο έργο ή τι να δούμε στη συνέχεια», είπε ο Mukherjee. «Έχει αυτή τη μεγάλη εικόνα στο μυαλό του. Και είναι στην ευχάριστη θέση να το μοιραστεί αυτό με τους ανθρώπους».

Για πρώτη φορά, ο Lyubich αισθάνεται ότι μπορεί να δει αυτή τη μεγάλη εικόνα στο σύνολό της.

Οι Μαχητές του Βραβείου

Το σετ Mandelbrot ξεκίνησε με ένα έπαθλο.

Το 1915, με κίνητρο την πρόσφατη πρόοδο στη μελέτη των συναρτήσεων, η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών ανακοίνωσε έναν διαγωνισμό: Σε τρία χρόνια, θα πρόσφερε ένα μεγάλο βραβείο 3,000 φράγκων για εργασία στη διαδικασία της επανάληψης — την ίδια τη διαδικασία που θα αργότερα δημιουργήσει το σύνολο Mandelbrot.

Η επανάληψη είναι η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή ενός κανόνα. Συνδέστε έναν αριθμό σε μια συνάρτηση και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την έξοδο ως την επόμενη είσοδο. Συνεχίστε να το κάνετε αυτό και παρατηρήστε τι συμβαίνει με τον καιρό. Καθώς συνεχίζετε να επαναλαμβάνετε τη συνάρτησή σας, οι αριθμοί που λαμβάνετε ενδέχεται να αυξηθούν γρήγορα προς το άπειρο. Ή μπορεί να έλκονται προς έναν αριθμό συγκεκριμένα, όπως τα ρινίσματα σιδήρου που κινούνται προς έναν μαγνήτη. Ή καταλήγουν να αναπηδούν μεταξύ των ίδιων δύο αριθμών, ή τριών ή χιλίων, σε μια σταθερή τροχιά από την οποία δεν μπορούν ποτέ να ξεφύγουν. Ή μεταπηδήστε από τον έναν αριθμό στον άλλο χωρίς ομοιοκαταληξία ή λόγο, ακολουθώντας ένα χαοτικό, απρόβλεπτο μονοπάτι.

Η Γαλλική Ακαδημία, και οι μαθηματικοί ευρύτερα, είχαν έναν άλλο λόγο να ενδιαφέρονται για την επανάληψη. Η διαδικασία έπαιξε σημαντικό ρόλο στη μελέτη δυναμικών συστημάτων - συστήματα όπως η περιστροφή πλανητών γύρω από τον ήλιο ή η ροή ενός τυρβώδους ρεύματος, συστήματα που αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με κάποιο καθορισμένο σύνολο κανόνων.

Το βραβείο ενέπνευσε δύο μαθηματικούς να αναπτύξουν ένα εντελώς νέο πεδίο σπουδών.

Πρώτος ήταν ο Pierre Fatou, ο οποίος σε μια άλλη ζωή μπορεί να ήταν ναυτικός (μια οικογενειακή παράδοση), αν δεν ήταν η κακή υγεία του. Αντίθετα, ακολούθησε μια καριέρα στα μαθηματικά και την αστρονομία, και μέχρι το 1915 είχε ήδη αποδείξει αρκετά σημαντικά αποτελέσματα στην ανάλυση. Μετά ήταν ο Γκαστόν Τζούλια, ένας πολλά υποσχόμενος νεαρός μαθηματικός που γεννήθηκε στην κατεχόμενη από τους Γάλλους Αλγερία, του οποίου οι σπουδές διακόπηκαν από τον Α' Παγκόσμιο Πόλεμο και τη στρατολόγηση του στον γαλλικό στρατό. Σε ηλικία 22 ετών, αφού υπέστη σοβαρό τραυματισμό λίγο μετά την έναρξη της υπηρεσίας του - θα φορούσε ένα δερμάτινο λουράκι στο πρόσωπό του για το υπόλοιπο της ζωής του, αφού οι γιατροί δεν κατάφεραν να επιδιορθώσουν τη ζημιά - επέστρεψε στα μαθηματικά, κάνοντας μερικά από το έργο που θα υπέβαλλε για το βραβείο της Ακαδημίας από νοσοκομειακό κρεβάτι.

Το βραβείο παρακίνησε τόσο τη Φάτου όσο και τη Τζούλια να μελετήσουν τι συμβαίνει όταν επαναλαμβάνετε συναρτήσεις. Εργάστηκαν ανεξάρτητα, αλλά κατέληξαν να κάνουν πολύ παρόμοιες ανακαλύψεις. Υπήρχε τόση αλληλεπικάλυψη στα αποτελέσματά τους που ακόμη και τώρα, δεν είναι πάντα σαφές πώς να εκχωρηθεί η πίστωση. (Η Τζούλια ήταν πιο εξωστρεφής και γι' αυτό έλαβε περισσότερη προσοχή. Κατέληξε να κερδίσει το βραβείο· ο Φάτου δεν έκανε καν αίτηση.) Λόγω αυτής της δουλειάς, οι δύο θεωρούνται πλέον οι ιδρυτές του τομέα της σύνθετης δυναμικής.

«Μιγαδικός», επειδή ο Φάτου και η Τζούλια επανέλαβαν συναρτήσεις μιγαδικών αριθμών — αριθμοί που συνδυάζουν έναν οικείο πραγματικό αριθμό με έναν λεγόμενο φανταστικό αριθμό (πολλαπλάσιο του i, το σύμβολο που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για να δηλώσουν την τετραγωνική ρίζα του −1). Ενώ οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να οριστούν ως σημεία σε μια ευθεία, οι μιγαδικοί αριθμοί οπτικοποιούνται ως σημεία σε ένα επίπεδο, όπως:

Η Fatou και η Julia διαπίστωσαν ότι η επανάληψη ακόμη και απλών σύνθετων συναρτήσεων (όχι παράδοξο στη σφαίρα των μαθηματικών!) θα μπορούσε να οδηγήσει σε πλούσια και περίπλοκη συμπεριφορά, ανάλογα με το σημείο εκκίνησης. Άρχισαν να τεκμηριώνουν αυτές τις συμπεριφορές και να τις αναπαριστούν γεωμετρικά.

Στη συνέχεια όμως το έργο τους έσβησε στην αφάνεια για μισό αιώνα. «Οι άνθρωποι δεν ήξεραν καν τι να ψάξουν. Περιορίζονταν στο τι ερωτήσεις να κάνουν», είπε Αρτούρ Αβίλα, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης.

Αυτό άλλαξε όταν τα γραφικά υπολογιστών άρχισαν να ενηλικιώνονται τη δεκαετία του 1970.

Μέχρι τότε, ο μαθηματικός Benoît Mandelbrot είχε αποκτήσει τη φήμη του ακαδημαϊκού ντιλέταντου. Είχε ασχοληθεί με πολλούς διαφορετικούς τομείς, από την οικονομία μέχρι την αστρονομία, ενώ εργαζόταν στο ερευνητικό κέντρο της IBM βόρεια της Νέας Υόρκης. Όταν διορίστηκε υπότροφος της IBM το 1974, είχε ακόμη μεγαλύτερη ελευθερία να επιδιώκει ανεξάρτητα έργα. Αποφάσισε να εφαρμόσει τη σημαντική υπολογιστική ισχύ του κέντρου για να βγάλει σύνθετες δυναμικές από την κατάσταση αδρανοποίησης.

Στην αρχή, ο Mandelbrot χρησιμοποίησε τους υπολογιστές για να δημιουργήσει τα είδη των σχημάτων που είχαν μελετήσει η Fatou και η Julia. Οι εικόνες κωδικοποιούσαν πληροφορίες για το πότε ένα σημείο εκκίνησης, όταν επαναλαμβανόταν, θα διαφεύγει στο άπειρο και πότε θα παγιδευόταν σε κάποιο άλλο μοτίβο. Τα σχέδια της Fatou και της Julia από 60 χρόνια νωρίτερα έμοιαζαν με συστάδες κύκλων και τριγώνων - αλλά οι εικόνες που δημιουργήθηκαν από υπολογιστή που έκανε ο Mandelbrot έμοιαζαν με δράκους και πεταλούδες, κουνέλια και καθεδρικούς ναούς και κεφάλια κουνουπιδιού, μερικές φορές ακόμη και αποσυνδεμένα σύννεφα σκόνης. Μέχρι τότε, ο Mandelbrot είχε ήδη επινοήσει τη λέξη «fractal» για σχήματα που έμοιαζαν σε διαφορετικές κλίμακες. η λέξη προκάλεσε την έννοια ενός νέου είδους γεωμετρίας — κάτι κατακερματισμένο, κλασματικό ή σπασμένο.

Οι εικόνες που εμφανίστηκαν στην οθόνη του υπολογιστή του - σήμερα γνωστές ως σετ Julia - ήταν μερικά από τα πιο όμορφα και περίπλοκα παραδείγματα φράκταλ που είχε δει ποτέ ο Mandelbrot.

Το έργο της Fatou και της Julia είχε επικεντρωθεί στη γεωμετρία και τη δυναμική καθενός από αυτά τα σύνολα (και τις αντίστοιχες λειτουργίες τους) ξεχωριστά. Αλλά οι υπολογιστές έδωσαν στον Mandelbrot έναν τρόπο να σκεφτεί μια ολόκληρη οικογένεια λειτουργιών ταυτόχρονα. Μπορούσε να τα κωδικοποιήσει όλα στην εικόνα που θα φέρει το όνομά του, αν και παραμένει θέμα συζήτησης αν ήταν πράγματι ο πρώτος που το ανακάλυψε.

Το σύνολο Mandelbrot ασχολείται με τις απλούστερες εξισώσεις που εξακολουθούν να κάνουν κάτι ενδιαφέρον όταν επαναλαμβάνονται. Αυτές είναι τετραγωνικές συναρτήσεις της φόρμας f(z) = z² + c. Διορθώστε μια τιμή του c — μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. Εάν επαναλάβετε την εξίσωση ξεκινώντας από z = 0 και βρείτε ότι οι αριθμοί που δημιουργείτε παραμένουν μικροί (ή περιορισμένοι, όπως λένε οι μαθηματικοί), τότε c βρίσκεται στο σετ Mandelbrot. Εάν, από την άλλη πλευρά, επαναλάβετε και διαπιστώσετε ότι τελικά οι αριθμοί σας αρχίσουν να αυξάνονται προς το άπειρο, τότε c δεν είναι στο σετ Mandelbrot.

Είναι απλό να δείξουμε ότι οι τιμές του c κοντά στο μηδέν βρίσκονται στο σύνολο. Και είναι εξίσου απλό να δείξουμε ότι οι μεγάλες αξίες του c δεν είναι. Αλλά οι μιγαδικοί αριθμοί ανταποκρίνονται στο όνομά τους: Τα όρια του συνόλου είναι υπέροχα περίπλοκα. Δεν υπάρχει προφανής λόγος για αλλαγή c κατά μικροσκοπικά ποσά θα πρέπει να σας κάνει να συνεχίσετε να περνάτε τα όρια, αλλά καθώς τα μεγεθύνετε, εμφανίζονται ατελείωτες ποσότητες λεπτομέρειας.

Επιπλέον, το σύνολο Mandelbrot λειτουργεί σαν ένας χάρτης των συνόλων Julia, όπως φαίνεται στο παρακάτω διαδραστικό σχήμα. Επιλέξτε μια τιμή του c στο σετ Mandelbrot. Θα συνδεθεί το αντίστοιχο σετ Julia. Αλλά αν αφήσετε το σετ Mandelbrot, τότε το αντίστοιχο σετ Julia θα αποσυνδεθεί από τη σκόνη.