Η απλή γεωμετρία που προβλέπει τα μοριακά μωσαϊκά | Περιοδικό Quanta

Ένα Σάββατο απόγευμα του φθινοπώρου του 2021, Σίλβιο Ντέκουρτινς ξεφύλλιζε ένα χαρτί με έναν τίτλο που θα μπορούσε να είχε βγει από ένα κόμικ για εφήβους με μαθηματικά κλίση: «Ο κύβος του Πλάτωνα και η φυσική γεωμετρία του κατακερματισμού».

Δεν ήταν ο ασυνήθιστος τίτλος που τράβηξε το μάτι του, αλλά οι εικόνες στην τρίτη σελίδα — γεωλογικά μοτίβα σε κάθε κλίμακα από το ραγισμένο μόνιμο πάγο μέχρι τις τεκτονικές πλάκες της Γης. Ο Decurtins, χημικός στο Πανεπιστήμιο της Βέρνης, υπενθύμισε τα υλικά που μελετούσε. «Αχ! Έχω και μοτίβα!». σκέφτηκε. «Είναι απλώς θέμα κλίμακας».

Τα σχέδια των Decurtins δεν σχηματίστηκαν από ρωγμές στη γη, αλλά από μόρια: ήταν μωσαϊκά πλακάκια μορίων σε φύλλα πάχους μόνο ενός μορίου. Αυτά τα δισδιάστατα υλικά μπορούν να έχουν περίεργες και πρακτικές ιδιότητες που εξαρτώνται από το πώς είναι διατεταγμένα τα μοριακά τους δομικά στοιχεία.

Για παράδειγμα, είναι δυνατό να τακτοποιήσουμε μόρια σε μοτίβα 2D που χρησιμοποιούν ηλεκτρόνια ως υπολογιστικά bit ή για αποθήκευση δεδομένων. Μοτίβα με κενά μπορούν να λειτουργήσουν ως μεμβράνες. Και τα σχέδια που περιέχουν μεταλλικά ιόντα μπορούν να είναι ισχυροί καταλύτες.

Είναι δυνατό να κατασκευαστούν αυτά τα δισδιάστατα υλικά άτομο προς άτομο, αλλά αυτό είναι δαπανηρό, δύσκολο και χρονοβόρο. Τόσοι πολλοί επιστήμονες, συμπεριλαμβανομένου του Decurtins και των συναδέλφων του, θέλουν να σχεδιάσουν υλικά που συναρμολογούνται μόνοι τους. Η πρόβλεψη του τρόπου με τον οποίο τα μόρια αυτοσυναρμολογούνται σε φύλλα 2D είναι μια από τις μεγάλες προκλήσεις της επιστήμης των υλικών, είπε Γιοχάνες Μπαρθ, φυσικός στο Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Μονάχου.

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η φύση δεν ήταν ιδιαίτερα φιλόξενη με τη μοριακή της φιλοσοφία σχεδιασμού. Η πρόβλεψη αυτοσυναρμολόγησης είναι δουλειά για τους υπερυπολογιστές και τα βαρέα προγράμματα που απαιτούνται μπορεί να χρειαστούν μέρες ή εβδομάδες για να εκτελεστούν.

Έτσι ο Decurtins ήρθε σε επαφή Γκάμπορ Δομοκός, ο πρώτος συγγραφέας της μελέτης, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Τεχνολογίας και Οικονομικών Επιστημών της Βουδαπέστης. Ο Decurtins αναρωτήθηκε αν η ίδια γεωμετρία που περιγράφει το πώς σπάνε οι πλανήτες θα μπορούσε να εξηγήσει πώς συναρμολογούνται τα μόρια.

Τον επόμενο χρόνο, ο Δομοκός και οι συνάδελφοί του χρησιμοποίησαν γεωμετρική σκέψη για να αποσυσκευάσουν τους κανόνες της μοριακής αυτοσυναρμολόγησης — επινοώντας έναν νέο τρόπο να περιορίσει τα μωσαϊκά που μπορούν να σχηματίσουν τα μόρια, χρησιμοποιώντας μόνο την απλή γεωμετρία της πλάκας.

«Στην αρχή δεν πίστευαν ότι μπορείς να το κάνεις», είπε ο Δομοκός. «Έκαναν τεχνητή νοημοσύνη, υπερυπολογιστές και όλο αυτό το είδος τζαζ. Και τώρα κοιτάζουν απλώς φόρμουλες. Και αυτό είναι πολύ χαλαρωτικό.”

Από τους πλανήτες στα άτομα

 Αφού ήρθαν σε επαφή οι Decurtins, ο Δομοκός προσπάθησε να πουλήσει την ιδέα Krisztina Regős, μεταπτυχιακός φοιτητής του. Ο Decurtins είχε στείλει μια χούφτα εικόνων που απεικονίζουν μοτίβα σε ατομική κλίμακα - πλακάκια ενός μορίου που είχε σχεδιαστεί και συντεθεί από τον συνάδελφό του Σι-Ξία Λιου — παρατηρείται μέσα από το μάτι ενός ισχυρού μικροσκοπίου. Ο Δομοκός ήθελε να δει αν ο Regős θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει τη γεωμετρία που είχε αρχικά αναπτύξει για να περιγράψει γεωλογικά κατάγματα για να χαρακτηρίσει τα μοτίβα στις εικόνες του Decurtins.

Για να ξεκινήσετε, ο Regős αντιμετώπισε τα δισδιάστατα υλικά ως απλές πολυγωνικές πλάκες — μοτίβα που ταιριάζουν μεταξύ τους χωρίς κενά και επαναλαμβάνονται απεριόριστα. Στη συνέχεια, ακολουθώντας την προσέγγιση της Δομοκού, υπολόγισε δύο αριθμούς για κάθε σχέδιο. Το πρώτο ήταν ο μέσος αριθμός κορυφών, ή γωνιών, ανά πολύγωνο. Το δεύτερο ήταν ο μέσος αριθμός πολυγώνων που περιβάλλουν κάθε κορυφή.

Μαζί, αυτές οι δύο μέσες τιμές είναι σαν τις συντεταγμένες GPS ενός μοτίβου. Δίνουν τη θέση του μέσα σε ένα τοπίο όλων των πιθανών μαρτυριών.

Αυτό το τοπίο ονομάζεται συμβολικό επίπεδο. Είναι ένα απλό πλέγμα 2D με τον μέσο αριθμό σχημάτων ανά κορυφή στο x-άξονας και ο μέσος αριθμός κορυφών ανά σχήμα στο y-άξονας. Κάθε τετράγωνο πρέπει να σχεδιάζεται ακριβώς σε ένα σημείο εντός του επιπέδου. Ένα τέλειο μοτίβο κηρήθρας, για παράδειγμα, είναι μια πείρα από εξάγωνα με έξι άκρες που συναντώνται σε τρίες σε κάθε κορυφή - ένα σημείο στο (3, 6) στο συμβολικό επίπεδο.

Αλλά τα περισσότερα φυσικά μωσαϊκά, από τις ρωγμές των βράχων έως τις μοριακές μονοστοιβάδες, δεν είναι τέλεια περιοδικές πλάκες.

Για παράδειγμα, τα κύτταρα μιας πραγματικής κηρήθρας από κερί δεν είναι όλα τέλεια εξάγωνα. Οι μέλισσες κάνουν λάθη. Αλλά όσο ακατάστατο κι αν είναι, μια κηρήθρα εξακολουθεί να είναι, κατά μέσο όρο, μια κηρήθρα. Και κατά μέσο όρο, εξακολουθεί να σχεδιάζει ένα σημείο στο (3, 6) στο συμβολικό επίπεδο. Αντί να είναι μια υπεραπλούστευση, η μέθοδος του Δομοκού για τον υπολογισμό των μέσων όρων είναι διορατική, είπε ο μαθηματικός Marjorie Senechal του Smith College, ο οποίος ανασκόπησε τη νέα μελέτη. Πετώντας τα λάθη και αντιμετωπίζοντας τα μοτίβα ως μέσους όρους, αποκαλύπτει ένα είδος ιδανικής πραγματικότητας που συνήθως κρύβεται κάτω από σωρεία περιστατικών.

Αλλά όταν η Regős προσπάθησε να εφαρμόσει αυτή τη μέθοδο στις μοριακές εικόνες της Decurtins, αντιμετώπισε γρήγορα προβλήματα. «Άρχισα να τα βάζω στο συμβολικό επίπεδο», είπε, «και μετά κατάλαβα ότι δεν μπορώ».

Το πρόβλημα ήταν κλίμακας. Σε αντίθεση με τα γεωλογικά μοτίβα με τα οποία είχε δουλέψει ο Δομοκός στο παρελθόν, τα μοριακά μωσαϊκά είναι πραγματικά μοτίβα μέσα σε σχέδια. Σε διαφορετικές μεγεθύνσεις, έχουν διαφορετική γεωμετρία. Ο Regős δεν μπορούσε να περιγράψει τα μοριακά μωσαϊκά με ένα μόνο ζεύγος τιμών, επειδή τα σχέδια σχεδίαζαν διαφορετικά σημεία στο συμβολικό επίπεδο, ανάλογα με τη μεγέθυνση μιας εικόνας. Ήταν λίγο σαν να μεγεθύνετε σε ένα εξαγωνικό πλακάκι και να ανακαλύψετε ότι τα βασικά δομικά στοιχεία του είναι πραγματικά τρίγωνα.

«Έτσι ο Kriszti είπε: Εντάξει, αυτό είναι ένα χάος», είπε ο Δομοκός.

Μετά κατάλαβε πώς να τακτοποιήσει τα μωσαϊκά. Αντί να εξαναγκάσει τα ένθετα μοτίβα των υλικών σε ένα μόνο ζεύγος μέσων όρων, τα έσπασε σε τρία επίπεδα οργάνωσης, καθένα από τα οποία αντιπροσωπεύεται από το δικό του σημείο στο συμβολικό επίπεδο.

Στο χαμηλότερο επίπεδο, τα άτομα σε κάθε μόριο συνδυάζονται για να σχηματίσουν ένα πολύγωνο. Στη συνέχεια, αυτά τα μόρια συνδέονται μεταξύ τους μέσω δεσμών υδρογόνου, δημιουργώντας ένα τετράγωνο πολυγώνων. Τέλος, στο πιο σμίκρυνση επίπεδο, μεμονωμένα μόρια συρρικνώνονται σε σημεία και αυτά τα σημεία συνδέονται για να σχηματίσουν ένα μωσαϊκό.

Στο νέο πλαίσιο του Regős, κάθε επίπεδο αναπαρίσταται ως ένα απλό πλέγμα σημείων και γραμμών — ένα γράφημα.

Η χρήση της θεωρίας γραφημάτων για την περιγραφή μοριακών μοτίβων «είναι πολύ ισχυρή», είπε Carlos-Andres Palma, χημικός φυσικός στην Κινεζική Ακαδημία Επιστημών και στο Πανεπιστήμιο Humboldt του Βερολίνου. Παραδοσιακά, οι επιστήμονες ταξινομούν τα μοτίβα με βάση τις συμμετρίες τους. Αλλά αυτό δεν αντανακλά την ακαταστασία της πραγματικότητας – τα πραγματικά νανοϋλικά σπάνια είναι απόλυτα περιοδικά ή συμμετρικά, είπε η Palma. Έτσι, η μείωση των μοριακών μοτίβων σε απλά, ευέλικτα γραφήματα «μας επιτρέπει να επικοινωνούμε με τον φυσικό κόσμο, κατά τη γνώμη μου, πολύ καλύτερα», είπε.

Πρόβλεψη μοτίβων

Ο Regős και ο Domokos είχαν τώρα έναν τρόπο να περιγράψουν τα μοριακά μωσαϊκά του Decurtins, ένα βασικό βήμα προς την πρόβλεψη του τρόπου με τον οποίο τα μόρια θα μπορούσαν να αυτοσυναρμολογηθούν.

«Είμαστε πολύ κακοί στην πρόβλεψη», είπε Ούλριχ Ασχάουερ, ένας υπολογιστικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Σάλτσμπουργκ που εργάζεται στην αυτοσυναρμολόγηση.

Παραδοσιακά, οι επιστήμονες χρησιμοποιούν μια ποικιλία μεθόδων για να προβλέψουν πώς θα αυτοσυναρμολογηθούν τα μόρια. Ο Aschauer προσομοιώνει πώς αλληλεπιδρούν τα μόρια σε μια επιφάνεια. Στη συνέχεια, εντοπίζει τα μοτίβα που απαιτούν τη λιγότερη ενέργεια για να σχηματιστούν, τα οποία θα πρέπει να είναι και τα πιο πιθανά να εμφανιστούν. Άλλοι επιστήμονες εξετάζουν τεράστιους αριθμούς προτύπων που δημιουργούνται τυχαία ή εκπαιδεύουν αλγόριθμους μηχανικής μάθησης για να προβλέπουν αυτοσυναρμολόγηση. Όλες αυτές οι μέθοδοι είναι υπολογιστικά δαπανηρές — η Πάλμα θυμήθηκε πώς κάποτε ένας συνάδελφος προσομοίωσε μόρια νερού για χρόνια, απλώς για να κάνει μια ενιαία πρόβλεψη σχετικά με το πώς το νερό αυτοσυγκεντρώνεται. Οι αλγόριθμοι μηχανικής μάθησης έχουν επίσης τυφλά σημεία. μαθαίνουν μόνο αυτό που τους ταΐζεις, είπε ο Ασχάουερ. Και είναι αδύνατο να ελέγξετε κάθε πιθανό μοτίβο, επομένως οι επιστήμονες πρέπει συχνά να μαντέψουν ποια αξίζει να εξεταστούν αρχικά.

«Η αρχική μας εικασία καθορίζει το τελικό πράγμα που θα βρούμε», εξήγησε ο Aschauer. «Και είναι τεράστιο πρόβλημα γιατί αν δεν έχω τη σωστή διαίσθηση για να ξεκινήσω, καταλήγω σε λάθος».

Αλλά η γεωμετρία του Regős και του Domokos ήταν αγνωστικιστική. Απλώς αντιμετώπιζε τα μόρια ως σημεία και τους δεσμούς ως γραμμές. Δεν χρειαζόταν μια αρχική εικασία.

Αφού συνάντησαν προσωπικά τον Aschauer και τον Decurtins στην Ελβετία, οι μαθηματικοί τελικά στράφηκαν στην ακατάστατη δουλειά να προσπαθούν να προβλέψουν μοτίβα αντί να τα περιγράψουν απλώς.

Gömböcs και Bridges

Όπως ήταν, το σύστημα του Regős θα μπορούσε να περιορίσει το μεσαίο επίπεδο οργάνωσης ενός προτύπου, στο οποίο τα μόρια είναι πολύγωνα και οι δεσμοί υδρογόνου είναι γραμμές. Αλλά δεν μπορούσε να εργαστεί προς τα πάνω από το μοριακό πλακίδιο για να προβλέψει το μωσαϊκό μεγάλης κλίμακας. Χωρίς κάτι που να συνδέει μαθηματικά και τα τρία επίπεδα, το μοντέλο της ήταν σαν μια σκάλα που έλειπε ένα σκαλί.

Ο Δομοκός αποφάσισε ότι άξιζε να κάνει check in Kostya Novoselov — ένας φυσικός στο Εθνικό Πανεπιστήμιο της Σιγκαπούρης που μοιράστηκε το βραβείο Νόμπελ για τη σύνθεση γραφενίου, ίσως του πιο διάσημου υλικού 2D από όλα. Οι δυο τους είχαν συναντηθεί κατά λάθος νωρίτερα εκείνο το έτος, αφού ο Novoselov διέταξε έναν εμφανή αριθμό Γκέμποτς, νέες γεωμετρικές φόρμες που είχε ανακαλύψει ο Δομοκός, από κατάστημα στη Βουδαπέστη.

Με τη συμβολή του Novoselov, ο Domokos και ο Regős βελτίωσαν το γεωμετρικό τους μοντέλο. Μέχρι τότε, χρησιμοποιούσαν μόνο τρία επίπεδα οργάνωσης: το μόριο, το πρότυπο μεσαίας κλίμακας και το μοτίβο μεγάλης κλίμακας. Ο Novoselov πρότεινε την προσθήκη ενός τέταρτου επιπέδου - μια γέφυρα μεταξύ του μεσαίου και του μεγάλου επιπέδου. Η εξίσωση που περιγράφει αυτή τη γέφυρα συνέδεσε τη γεωμετρία του μικρότερου και του μεσαίου επιπέδου με το μεγαλύτερο επίπεδο, το μοριακό μωσαϊκό.

Με τη γέφυρα στη θέση του, η ομάδα θα μπορούσε τώρα να πάρει το μοριακό πλακίδιο και να εργαστεί προς τα πάνω για να περιορίσει τα πιθανά μοτίβα μεγάλης κλίμακας χρησιμοποιώντας ένα απλό σύστημα πέντε αλγεβρικών εξισώσεων και ανισώσεων που θα μπορούσαν να χωρέσουν στο πίσω μέρος ενός φακέλου. Σε αυτές τις μαθηματικές δηλώσεις, οι μεταβλητές είναι οι συντεταγμένες ενός σχεδίου στο συμβολικό επίπεδο, καθώς και ορισμένοι όροι που περιγράφουν τη δομή ενός μορίου. Στο σύνολό του, το σύστημα συσχετίζει κάθε επίπεδο οργάνωσης με τα άλλα και με τις συντεταγμένες ενός προτύπου στο συμβολικό επίπεδο.

Σχεδιασμένες στο συμβολικό επίπεδο, οι πιθανές διευθετήσεις μεγάλης κλίμακας ενός μορίου πέφτουν σε ένα μικρό κομμάτι της καμπύλης που ορίζει όλα τα πιθανά 2D μοριακά μοτίβα που γεμίζουν χώρο. Οι ερευνητές θα μπορούσαν τώρα να χρησιμοποιήσουν το αρχικό μόριο για να περιορίσουν αυτό το κομμάτι.

Αλλά δεν ήταν ακόμη πεπεισμένοι ότι η «φέτα» των πιθανών μοτίβων τους ήταν αρκετά μικρή. Αν ήταν πολύ φαρδύ, δεν θα ήταν πολύ χρήσιμος περιορισμός. Όταν η Liu σχεδίασε τις δομές του δισδιάστατου πάγου νερού στο συμβολικό επίπεδο, διαπίστωσε ότι έπεσαν τέλεια στα ακραία άκρα του προβλεπόμενου εύρους της μεθόδου. Τα όρια δεν μπορούσαν να βελτιωθούν.

«Αυτή είναι η γλώσσα της φύσης εδώ», είπε ο Δομοκός. «Ήταν μεγάλη έκπληξη για μένα».

Ανάπτυξη και Μορφή

Κοντά στο τέλος του έργου, τον Μάιο του 2022, οι Ούγγροι ταξίδεψαν ξανά στην Ελβετία. Αυτή τη φορά, οι συνάδελφοί τους τους εξέπληξαν με μια επίσκεψη στο μικροσκόπιο που είχε δημιουργήσει τις εικόνες με τις οποίες δούλευαν — και τότε ήταν που ο Regős και ο Domokos συνειδητοποίησαν τελικά τι είχαν κάνει: Συνδέοντας μαθηματικά ψηφιδωτά μεγάλης κλίμακας με μοριακούς δεσμούς σε πολύ μικρότερη κλίμακα, είχαν συλλάβει κάτι από το αόρατο κουβάρι των αλληλεπιδράσεων που τελικά υπαγορεύουν πώς σχηματίζονται τα μοριακά μοτίβα. Η γεωμετρία τους μπορούσε να «δει» πράγματα που το μηχάνημα δεν μπορούσε.

«Ήταν απίστευτο», είπε ο Regős. «Κατεβήκαμε στο υπόγειο και είδαμε ότι βρίσκονται στο όριο της επιστήμης μας».

Η χρήση μικροσκοπίου για την κατανόηση αυτοσυναρμολογούμενων μοτίβων, είπε ο Novoselov, είναι σαν να προσπαθείς να καταλάβεις το γρασίδι τραβώντας το φωτογραφίες από ψηλά. Αυτές οι φωτογραφίες σας λένε πολλά για το γρασίδι, «αλλά σίγουρα όχι τα πάντα», είπε. Αποκαλύπτουν ελάχιστα για τις ρίζες του χόρτου ή για το πώς μεγαλώνει. Το πλαίσιο των Domokos και Regős δεν μπορεί να δει τέλεια τις ρίζες, αλλά προσφέρει έναν εντελώς νέο τρόπο να τις σκιαγραφήσετε, συνδέοντας τα μοριακά δομικά στοιχεία ενός μοτίβου με το τελικό μωσαϊκό.

«Συνεχίζουν μια υπέροχη παλιά παράδοση μελέτης της σχέσης μεταξύ ανάπτυξης και φόρμας», είπε ο Σενεχάλ, «η οποία είναι πραγματικά κεντρική για να κατανοήσουμε οτιδήποτε στον κόσμο γύρω μας».

Η μοριακή αυτοσυναρμολόγηση ξεκινά συχνά με ένα μικρό κομμάτι υλικού που μεγαλώνει σε μεγαλύτερο μοτίβο. Ωστόσο, το νέο μαθηματικό πλαίσιο προϋποθέτει ένα άπειρο μοτίβο, όχι ένα πεπερασμένο έμπλαστρο. Η προσαρμογή της εργασίας για να περιγράψει πώς τα πεπερασμένα μπαλώματα μεγαλώνουν σε μεγαλύτερα μοτίβα θα μπορούσε να είναι ένα βήμα προς την πραγματική πρόβλεψη, είπε η Palma. Ο Aschauer είπε ότι σχεδιάζει να χρησιμοποιήσει τη γεωμετρία ως οδηγό για αδιέξοδα και πολλά υποσχόμενες αλλά ανεξερεύνητες γωνίες στο τοπίο των πιθανών μοτίβων. Και η χρήση της μαθηματικής γλώσσας του συμβολικού επιπέδου για την εκπαίδευση μοντέλων μηχανικής μάθησης θα μπορούσε να είναι συναρπαστική, πρόσθεσε.

«Με ιντριγκάρει πραγματικά η ομορφιά του», είπε ο Novoselov. «Με πολύ λίγα — απλώς μια θεμελιώδη μαθηματική προσέγγιση, η οποία είναι πραγματικά καθαρή γεωμετρία, απλά γραφήματα σε 2D — μπορείτε να προβλέψετε τόσα πολλά πράγματα».

Τα μαθηματικά είναι απλά, είπε ο Σενεχάλ. Αλλά «για να δεις την απλότητα», πρόσθεσε, «χρειάζεται πολλή πολυπλοκότητα».