Στην «Άγρια Δύση» της Γεωμετρίας, οι μαθηματικοί επαναπροσδιορίζουν τη σφαίρα | Περιοδικό Quanta

Αν έχετε κολλήσει ποτέ στην κίνηση ένα βροχερό απόγευμα, πιθανότατα έχετε παρακολουθήσει σταγόνες βροχής να τρέχουν η μία την άλλη κάτω από το παράθυρο του αυτοκινήτου. Όταν ζεύγη σταγονιδίων συγκρούονται, συγχωνεύονται σε ένα νέο σταγονίδιο, χάνοντας τις ξεχωριστές ταυτότητές τους.

Αυτή η συγχώνευση είναι δυνατή επειδή τα σταγονίδια του νερού είναι σχεδόν σφαιρικά. Όταν τα σχήματα είναι εύκαμπτα - όπως είναι οι σταγόνες της βροχής - η σύνδεση μιας σφαίρας δεν αλλάζει τίποτα. Σε ορισμένους τομείς των μαθηματικών, μια σφαίρα συνδεδεμένη με μια σφαίρα εξακολουθεί να είναι μια σφαίρα, αν και ίσως μεγαλύτερη ή πιο χοντροκομμένη. Και αν μια σφαίρα κολληθεί σε ένα ντόνατ, έχετε ακόμα ένα ντόνατ — με μια φούσκα. Αλλά αν δύο ντόνατς ενωθούν, σχηματίζουν ένα σχήμα με δύο τρύπες. Για τους μαθηματικούς, αυτό είναι κάτι εντελώς άλλο.

Αυτή η ποιότητα κάνει τις σφαίρες μια κρίσιμη περίπτωση δοκιμής για τους γεωμέτρους. Οι μαθηματικοί μπορούν συχνά να μεταφέρουν τα διδάγματα από τις σφαίρες σε πιο σύνθετα σχήματα βλέποντας τι συμβαίνει όταν τα ράβετε μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, μπορούν να εφαρμόσουν αυτή την τεχνική σε οποιαδήποτε πολλαπλότητα - μια κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων που περιλαμβάνει απλά σχήματα όπως σφαίρες και ντόνατς, καθώς και άπειρες δομές όπως ένα δισδιάστατο επίπεδο ή τρισδιάστατο χώρο.

Οι σφαίρες είναι ιδιαίτερα σημαντικές σε έναν υποεπιστημονικό κλάδο της γεωμετρίας που είναι γνωστός ως γεωμετρία επαφής. Στη γεωμετρία επαφής, κάθε σημείο σε μια τρισδιάστατη πολλαπλότητα - όπως ο τρισδιάστατος χώρος στον οποίο ζούμε - αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο. Τα αεροπλάνα μπορούν να γέρνουν και να στρίβουν από σημείο σε σημείο. Εάν το κάνουν με τρόπο που ικανοποιεί ορισμένα μαθηματικά κριτήρια, ολόκληρο το σύνολο των επιπέδων ονομάζεται δομή επαφής. Μια πολλαπλή (όπως ο τρισδιάστατος χώρος) μαζί με μια δομή επαφής (όλα τα επίπεδα) ονομάζεται πολλαπλή επαφής.

Αν και οι δομές επαφής μπορεί να φαίνονται να είναι κάτι περισσότερο από διακόσμηση, φέρνουν θεμελιώδεις γνώσεις για τις πολλαπλότητες στις οποίες ζουν, καθώς και συνδέσμους με τη φυσική. Οι σύγχρονοι μαθηματικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν πολλαπλούς επαφής για να επαναδιατυπώσουν θεωρίες σχετικά με το πώς συμπεριφέρεται το φως και τον τρόπο το νερό ρέει μέσα από το διάστημα.

Τα αποτελέσματα σχετικά με τις τρισδιάστατες πολλαπλές επαφής επανέρχονται συχνά σε σφαίρες. Εάν κολλήσετε μια σφαίρα επαφής σε μια άλλη πολλαπλή επαφής, όπως ένα ντόνατ 3D, η τρισδιάστατη έκδοση της σφαίρας μπορεί να δωρίσει μέρη της δομής επαφής της στην ένωση. Αν θέλετε να αποδείξετε ότι ένα ντόνατ μπορεί να έχει μια δομή επαφής της οποίας τα αεροπλάνα στρίβουν χίλιες φορές καθώς κυκλώνουν την τρύπα του ντόνατ, μπορείτε πρώτα να χτίσετε αυτή τη δομή στη σφαίρα και μετά να την προσθέσετε στο ντόνατ κόβοντας μια μικρή τρύπα και στα δύο σχήματα και κολλώντας τα μαζί κατά μήκος των άκρων. Οι μαθηματικοί που εξερευνούν ποιες δομές επαφής μπορούν να υπάρχουν σε μια δεδομένη πολλαπλότητα βασίζονται συχνά σε αυτό το πλαίσιο, είπε John Etnyre, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Τζόρτζια. «Κάνουν πολλή δουλειά για να περιορίσουν το πρόβλημα στην κατανόηση του τι συμβαίνει στη σφαίρα», είπε.

As Τζόναθαν Μπόουντεν, ένας μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Ρέγκενσμπουργκ, το λέει: «Αν δεν μπορείς να καταλάβεις μια σφαίρα, πώς μπορώ να καταλάβω κάτι άλλο;»

Τείνουμε να θεωρούμε τις σφαίρες ως απλά σχήματα: Είναι απλώς όλα τα σημεία που βρίσκονται σε σταθερή απόσταση από ένα κεντρικό σημείο. Παραδείγματα περιλαμβάνουν έναν κύκλο, ο οποίος είναι μονοδιάστατος, καθώς και τη δισδιάστατη επιφάνεια μιας συνηθισμένης μπάλας όπως μια μπάλα του μπάσκετ. Αλλά όταν προσθέτετε δομές επαφών, οι σφαίρες μπορεί να γίνουν πιο περίπλοκες από ό,τι θα περίμενε κανείς. Και καθώς οι μαθηματικοί προσπαθούν να ταξινομήσουν έναν αποδιοργανωμένο ωκεανό πολλαπλών επαφής, νέοι τύποι σφαιρών μπορούν να τους δώσουν ενδείξεις για το τι θα μπορούσαν να ψαρέψουν από τα βάθη.

Σε πρόσφατο έγγραφο που ενημερώθηκε ουσιαστικά την περασμένη εβδομάδα, τέσσερις μαθηματικοί — Bowden, Fabio Gironella, Αγκουστίν Μορένο και Zhengyi Zhou — έχουν αποκαλύψει έναν νέο τύπο σφαίρας επαφής και, μαζί του, έναν άπειρο αριθμό νέων πολλαπλών επαφής.

Full Contact Sport

Ως πεδίο, η γεωμετρία επαφής εμφανίστηκε σταδιακά κατά τη διάρκεια των αιώνων. Αν και οι σύγχρονοι μαθηματικοί κοιτάζοντας πίσω βλέπουν υποδείξεις γεωμετρίας επαφής στη μελέτη της οπτικής τον 17ο αιώνα και της θερμοδυναμικής τον 19ο, μόνο στη δεκαετία του 1950 ήταν η φράση Η «πολλαπλή επαφής» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά σε ένα χαρτί, σύμφωνα με τον μαθηματικό Hansjörg Geiges» ιστορία του θέματος.

Μέχρι εκείνη την εποχή, οι μαθηματικοί γνώριζαν ήδη ορισμένα παραδείγματα πολλαπλών επαφής. Για τεχνικούς λόγους, οι πολλαπλές επαφής έχουν μόνο περιττές διαστάσεις. Ο τυπικός τρισδιάστατος χώρος έχει μια δομή επαφής που αποτελείται από σειρές επιπέδων που κλίνουν σταδιακά προς τα εμπρός. Αυτή η δομή επεκτείνεται φυσικά σε αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν τρισδιάστατη σφαίρα. (Αυτή είναι η επιφάνεια μιας τετραδιάστατης μπάλας, όπως η δισδιάστατη μαθηματική σφαίρα είναι η επιφάνεια μιας συνηθισμένης τρισδιάστατης μπάλας.)

Ξεκινώντας από τα τέλη της δεκαετίας του 1960, οι μαθηματικοί άρχισαν να παρουσιάζουν νέα παραδείγματα πολλαπλών επαφής. Το 1968 ο Mikhael Gromov σημείωσε πρόοδο στην εύρεση νέων δομών επαφής σε ορισμένες πολλαπλές, όπως ο τρισδιάστατος χώρος και Ακολούθησε ο Ζαν Μαρτινέ το 1971 με παραδείγματα για τα λεγόμενα συμπαγή σχήματα (τα οποία είναι πεπερασμένα με σαφές όριο) όπως η τρισδιάστατη σφαίρα. Το 3, ο Robert Lutz ανακάλυψε πώς να δημιουργήσει μια νέα δομή επαφής σε οποιαδήποτε τρισδιάστατη πολλαπλή. Η κατασκευή του Lutz περιλάμβανε το άνοιγμα της πολλαπλής επαφής σε φέτες, το στρίψιμο της και το ράψιμό της ξανά μαζί με τρόπο που διατηρούσε το υποκείμενο σχήμα το ίδιο, αλλά ανάγκασε τη δομή επαφής σε μια νέα διαμόρφωση. Είχε ως αποτέλεσμα μια νέα δομή επαφής για άπειρο τρισδιάστατο χώρο, την τρισδιάστατη σφαίρα και οποιονδήποτε αριθμό ακόμη πιο περίεργων αντικειμένων, όπως ένας κύβος όπου, αν περάσετε το χέρι σας από το κάτω μέρος, θα τον δείτε να κρέμεται από την κορυφή.

Ωστόσο, αυτά τα αποτελέσματα άφησαν τους μαθηματικούς του τέλους του 20ού αιώνα με πολλά αναπάντητα ερωτήματα σχετικά με τις πολλαπλές επαφής. Τι είδους δομές επαφής υπήρχαν εκεί έξω; Πώς πρέπει να κατηγοριοποιηθούν; «Όταν οι μαθηματικοί έρχονται σε κάποιο θέμα, θέλουν πάντα να ταξινομούν ή να κατανοούν αντικείμενα», είπε Γιάκοφ Ελιάσμπεργκ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ που έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην πρώιμη ανάπτυξη της γεωμετρίας επαφής.

Σε διαστάσεις πέντε και άνω — θυμηθείτε, οι πολλαπλές επαφής μπορούν να έχουν μόνο περιττό αριθμό διαστάσεων — αυτές οι ερωτήσεις εξακολουθούν να μην έχουν απαντηθεί. Στην τρισδιάστατη περίπτωση, μεγάλο μέρος της προόδου έγινε σχεδόν μόνος του από τον Eliashberg, ο οποίος έφτασε στο Μπέρκλεϊ της Καλιφόρνια τη δεκαετία του 1980 ως μετανάστης από τη Σοβιετική Ένωση.

Συστροφή και κραυγή

Υποκινούμενος από μια ερώτηση από έναν νέο γνωστό στο Μπέρκλεϊ, τον Jesús Gonzalo Pérez, ο οποίος μελετούσε την τεχνική του Lutz για τη δημιουργία νέων πολλαπλών επαφής, ο Eliashberg παρατήρησε ότι όλες οι τρισδιάστατες πολλαπλές επαφής που θα μπορούσατε να πάρετε χρησιμοποιώντας τη στρατηγική του Lutz είχαν ορισμένα κοινά. Το 1989 δημοσίευσε α σπερματικό χαρτί περιγράφοντας λεπτομερώς αυτές τις πολλαπλότητες. Ονόμασε τη νέα κατηγορία πολλαπλών επαφής «ανάστροφα» λόγω του τρόπου με τον οποίο τα επίπεδα της δομής επαφής περιστρέφονταν πολλές φορές, πέρα ​​από τη συστροφή που απαιτείται για να χαρακτηριστεί ως δομή επαφής. Η εργασία του Eliashberg του 1989 απάντησε σχεδόν σε οποιεσδήποτε ερωτήσεις μπορεί να έχουν οι μαθηματικοί σχετικά με τις υπερστριμμένες πολλαπλές σε τρεις διαστάσεις, αλλά οποιαδήποτε άλλη πολλαπλή επαφής - την οποία ο Eliashberg ονόμασε «σφιχτή» λόγω του πόσο λίγο έστριβε η δομή επαφής της - ήταν πολύ πιο δύσκολο να επιτευχθεί.

«Ενώ οι στριμμένες δομές υπάρχουν σε αφθονία, οι σφιχτές δομές επαφής είναι πιο σπάνιες ή, τουλάχιστον, πολύ πιο ελάχιστα κατανοητές», δήλωσε ο Moreno, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης.

Μια διάκριση μεταξύ στριμμένης και σφιχτής πολλαπλής επαφής γίνεται σαφής εάν δούμε μια πολλαπλή ως το όριο ενός μεγαλύτερου χώρου. Δεδομένου ότι οι πολλαπλές επαφής έχουν περιττές διαστάσεις, σχηματίζουν πάντα την άκρη μιας πολλαπλής άρτιων διαστάσεων. (Σκεφτείτε πώς η μονοδιάστατη καμπύλη ενός κύκλου περιβάλλει έναν δισδιάστατο δίσκο ή πώς μια άπειρη γραμμή κόβει το δισδιάστατο επίπεδο σε δύο ξεχωριστά μισά.) Η γεωμετρία επαφής έχει ένα ισοδιάστατο αντίστοιχο που ονομάζεται συμπλεκτική γεωμετρία. Οι μαθηματικοί ήθελαν να μάθουν εάν το εσωτερικό μιας πολλαπλής επαφής - η οποία είναι πάντα ομοιόμορφη - σχηματίζει μια συμπλεκτική πολλαπλότητα ή όχι.

Εάν συμβαίνει, η αρχική πολλαπλή επαφής ονομάζεται "γεμιζόμενη". Η πληρότητα είναι μια ιδιαίτερη ιδιότητα. Τα αποτελέσματα των Eliashberg και Gromov από τη δεκαετία του 1980 και τις αρχές της δεκαετίας του 1990 υποδήλωναν ότι οι γεμιστικές πολλαπλές επαφής δεν μπορούν να στρίψουν πάνω - πρέπει να είναι σφιχτές. Αλλά το αντίστροφο σενάριο ήταν πιο σκοτεινό - θα μπορούσε μια πολλαπλή να είναι σφιχτή αλλά όχι γεμάτη;

«Για πολύ καιρό, ήταν πιθανό ότι το να είσαι σφιχτός ήταν στην πραγματικότητα απλώς μια αντανάκλαση του να γεμίζεις», είπε η Etnyre. Ο Eliashberg είχε αποδείξει ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα έχει μόνο μια σφιχτή δομή επαφής, η οποία είναι επίσης γεμάτη. Αλλά το 2002, μαζί με Κο Χόντα του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια, Λος Άντζελες, Etnyre βρήκε ένα παράδειγμα μιας τρισδιάστατης πολλαπλής επαφής που ήταν σφιχτή αλλά μη γεμάτη.

Σε περιπτώσεις υψηλότερων διαστάσεων, τα πράγματα ήταν αβέβαια. «Έχουμε πολλά εργαλεία για να μελετήσουμε τις δομές επαφής στη διάσταση τρία και ουσιαστικά δεν έχουμε κανένα σε υψηλές διαστάσεις. Και αυτό είναι ένα πραγματικό πρόβλημα», είπε η Etnyre.

«Στην τοπολογία επαφής, υψηλότερες διαστάσεις είναι πραγματικά η άγρια ​​δύση. Οι άνθρωποι πραγματικά δεν ξέρουν σχεδόν τίποτα για το τι συμβαίνει», είπε η Honda. Το ερώτημα έγινε: Υπάρχουν σφιχτές αλλά μη γεμάτες πολλαπλές επαφής σε υψηλές διαστάσεις; Και αν ναι, πώς μοιάζουν;

Κρατώντας το σφιχτό

Το 2013 τρεις μαθηματικοί βρήκε τρόπο για τη δημιουργία τέτοιων πολλαπλών, αλλά «οι πολλαπλοί που κατασκεύασαν ήταν στην πραγματικότητα πολύ, πολύ περίπλοκοι», είπε ο Etnyre. Ήταν άγνωστο, πρόσθεσε, εάν αυτό το επίπεδο πολυπλοκότητας ήταν απαραίτητο. Εάν ναι, μπορεί να εξακολουθεί να υπάρχει στενή σχέση μεταξύ της στεγανότητας και της δυνατότητας πλήρωσης για απλές πολλαπλές όπως σφαίρες.

Το 2015, ο Bowden, τότε στο Πανεπιστήμιο Ludwig Maximilian του Μονάχου, και δύο συνεργάτες έδειξαν ότι ορισμένες πολλαπλές επαφής μπορούσαν να χαραχτούν προσεκτικά και να μπαλωθούν μεταξύ τους για να σχηματίσουν μια σφαίρα χωρίς να θυσιαστούν οι δομές επαφής τους. Η δουλειά τους πρότεινε ότι οι μαθηματικοί όχι μόνο μπορούσαν να μεταφέρουν μια δομή επαφής από μια σφαίρα σε μια πιο περίπλοκη πολλαπλή επαφής - τη συνήθη κατεύθυνση των πραγμάτων - αλλά επίσης να δημιουργήσουν μια ολοκαίνουργια δομή επαφής σε μια σφαίρα ξεκινώντας με ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα.

Μέχρι το 2019 είχε αρχίσει να συνεργάζεται με τους Gironella και Moreno. Εκείνη τη χρονιά, αυτοί δημοσίευσε ένα έγγραφο βασισμένο σε τεχνικές πολλών προηγούμενων μαθηματικών. Τα τρία που βρέθηκαν παραδείγματα πολλαπλών επαφής που είχαν απλές γεμίσεις, αλλά ευμετάβλητες: Τα γεμίσματα, που ονομάζονταν «αδύναμα γεμίσματα», εξαφανίστηκαν εάν η πολλαπλή επαφής βελτιωνόταν με τον σωστό τρόπο.

Μετά την έναρξη της πανδημίας, άρχισαν να υποψιάζονται ότι θα μπορούσαν να κατασκευάσουν σφαίρες με τις επιθυμητές ιδιότητες. Πήραν μερικές από τις πολλαπλές επαφής και τις ξαναδούλεψαν προσεκτικά σε σφαίρες: έκοψαν μια τρύπα εδώ, μπάλωσαν την εκεί πάνω. Όταν τελείωσαν, είχαν μια άπειρη συλλογή από σφιχτές αλλά μη γεμάτες σφαίρες. Και επειδή οι σφαίρες μπορούν να μεταφέρουν μέρη των δομών επαφής τους σε άλλες πολλαπλές, αυτό δημιούργησε σφιχτές αλλά μη γεμάτες πολλαπλές επαφής όλων των σχημάτων και ποικιλιών.

Οι τρεις τους έδειξαν στον Zhou ένα πρώιμο προσχέδιο της εργασίας τους στα μέσα του 2022, ελπίζοντας ότι θα διόρθωνε κάποιους από τους υπολογισμούς τους. Ο Zhou είχε συνεργαστεί στο παρελθόν τόσο με τον Moreno όσο και με τη Gironella και ήταν εξοικειωμένος με μερικές από τις τεχνικές που χρησιμοποιούσαν το σχέδιο τους. «Διάβασα το χαρτί και συνειδητοποίησα ότι αυτό είχε τεράστιες δυνατότητες για να έχω ακόμα πιο δυνατά αποτελέσματα», είπε ο Zhou, μαθηματικός στην Κινεζική Ακαδημία Επιστημών. Επέστρεψε κοντά τους γεμάτος νέες ιδέες.

Η ομάδα ενσωμάτωσε τις ιδέες του Zhou στο έγγραφό της και οι τέσσερις από αυτούς το δημοσίευσαν στο διαδίκτυο τον Νοέμβριο του 2022. Η δουλειά τους δείχνει ότι είναι δυνατές σφιχτές αλλά μη γεμάτες σφαίρες σε διαστάσεις πέντε και άνω και χρησιμοποιεί αυτό το αποτέλεσμα για να δημιουργήσει πολλά νέα παραδείγματα σφιχτών πολλαπλών επαφής που είναι ασθενώς γεμίσιμα, παραδεχόμενοι τα ευμετάβλητα «αδύναμα γεμίσματα» της εφημερίδας του 2019. Στη συνέχεια, την περασμένη εβδομάδα ενημέρωσαν την εφημερίδα με μια σημαντική γενίκευση. Τώρα μπορούν να βρουν σφιχτές και ασθενώς γεμιζόμενες δομές επαφής για οποιαδήποτε πολλαπλή με διάσταση επτά ή μεγαλύτερη.

Παρόλο που η απόδειξή τους αποκαλύπτει έναν άπειρο αριθμό νέων παραδειγμάτων, η μελέτη των πολλαπλών επαφής υψηλότερων διαστάσεων - ακόμα και των σφαιρών υψηλότερων διαστάσεων - μόλις ξεκινά.

«Αυτό μας δίνει μια ματιά σε αυτό που φαίνεται να είναι ένας πολύ άγριος και κάπως περίπλοκος κόσμος», είπε ο Moreno, προσθέτοντας αργότερα: «Οι υψηλότερες διαστάσεις θα τραβήξουν την προσοχή πολλών επόμενων γενεών, θα έλεγα».

«Αυτή τη στιγμή, απλώς προσπαθείτε να βρείτε παραδείγματα. προσπαθείς να ξεχωρίσεις πράγματα. απλά προσπαθείς να καταλάβεις τι υπάρχει εκεί. Και η κατανόηση των πραγμάτων στη σφαίρα είναι ένα είδος μικροβίου, ή ο σπόρος που μπορεί να σας βοηθήσει να κατανοήσετε άλλες καταστάσεις», είπε η Etnyre. «Δεν έχουμε ακόμη τα εργαλεία για να κάνουμε αυτό το επόμενο βήμα».

Quanta διεξάγει μια σειρά από έρευνες για την καλύτερη εξυπηρέτηση του κοινού μας. Πάρτε το δικό μας έρευνα αναγνωστών μαθηματικών και θα μπείτε για να κερδίσετε δωρεάν Quanta εμπόριο.