Μια παλιά εικασία πέφτει, κάνοντας τις σφαίρες πολύ πιο περίπλοκες | Περιοδικό Quanta

Στις αρχές Ιουνίου, το buzz δημιουργήθηκε καθώς οι μαθηματικοί προσγειώθηκαν στο αεροδρόμιο Heathrow του Λονδίνου. Προορισμός τους ήταν το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης και α διάσκεψη προς τιμήν των 65ων γενεθλίων του Μάικλ Χόπκινς, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ που είχε υπηρετήσει ως μέντορας σε πολλούς από τους συμμετέχοντες.

Ο Χόπκινς έκανε ένα όνομα για τον εαυτό του στα τέλη της δεκαετίας του 1980 για την εργασία πάνω σε επτά εικασίες ότι Νταγκ Ράβενελ του Πανεπιστημίου του Ρότσεστερ είχε διατυπώσει μια δεκαετία νωρίτερα. Είχαν να κάνουν με τεχνικές για τον προσδιορισμό του πότε δύο σχήματα ή χώροι, που μπορεί να φαίνονται διαφορετικά, είναι πραγματικά τα ίδια. Ο Χόπκινς και οι συνεργάτες του απέδειξαν όλες τις εικασίες του Ράβενελ εκτός από μία, ένα πρόβλημα με ένα υποβλητικό αλλά μυστηριώδες όνομα που ονομάζεται εικασία τηλεσκοπίου.

Εκείνη την εποχή, ο Χόπκινς έθεσε το έργο του στις εικασίες του Ράβενελ. Για δεκαετίες μετά, η εικασία του τηλεσκοπίου φαινόταν σχεδόν αδύνατο να λυθεί.

«Δεν μπορούσες να αγγίξεις ένα τέτοιο θεώρημα», είπε ο Χόπκινς.

Αλλά καθώς οι μαθηματικοί προσγειώθηκαν στο Λονδίνο, υπήρχαν φήμες ότι είχε γίνει - από μια ομάδα τεσσάρων μαθηματικών με δεσμούς με το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης, τρεις από τους οποίους είχαν λάβει συμβουλές από τον Χόπκινς στο μεταπτυχιακό σχολείο. Ο μικρότερος από τους τέσσερις, ένας μεταπτυχιακός φοιτητής ονόματι Ishan Levy, είχε προγραμματιστεί να δώσει μια ομιλία την Τρίτη, τη δεύτερη ημέρα του συνεδρίου, η οποία φαινόταν ότι θα ήταν όταν θα μπορούσε να ανακοινωθεί μια απόδειξη.

«Είχα ακούσει φήμες ότι αυτό ερχόταν και δεν ήξερα ακριβώς τι να περιμένω», είπε Βέσνα Στογιανόσκα, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Illinois, Urbana-Champaign που παρακολούθησε το συνέδριο.

Σύντομα έγινε σαφές ότι οι φήμες ήταν αληθινές. Ξεκινώντας την Τρίτη και τις επόμενες τρεις ημέρες, ο Levy και οι συν-συγγραφείς του — Robert Burklund, Τζέρεμι Χαν και Tomer Schlank — εξήγησε στο πλήθος των 200 περίπου μαθηματικών πώς είχαν αποδείξει ότι η εικασία του τηλεσκοπίου ήταν ψευδής, καθιστώντας την τη μόνη από τις αρχικές εικασίες του Ravenel που δεν ήταν αληθινή.

Η απόρριψη της εικασίας του τηλεσκοπίου έχει ευρείες επιπτώσεις, αλλά μια από τις πιο απλές και βαθιές είναι η εξής: Σημαίνει ότι σε πολύ υψηλές διαστάσεις (σκεφτείτε μια σφαίρα 100 διαστάσεων), το σύμπαν διαφορετικών σχημάτων είναι πολύ πιο περίπλοκο από οι μαθηματικοί περίμεναν.

Χαρτογράφηση των Χαρτών

Για να ταξινομήσουν σχήματα ή τοπολογικούς χώρους, οι μαθηματικοί διακρίνουν μεταξύ των διαφορών που έχουν σημασία και εκείνων που δεν έχουν σημασία. Η θεωρία της ομοτοπίας είναι μια προοπτική από την οποία γίνονται αυτές οι διακρίσεις. Θεωρεί ότι μια μπάλα και ένα αυγό είναι ουσιαστικά ο ίδιος τοπολογικός χώρος, επειδή μπορείτε να λυγίσετε και να τεντώσετε το ένα στο άλλο χωρίς να σκίσετε κανένα από τα δύο. Με τον ίδιο τρόπο, η θεωρία της ομοτοπίας θεωρεί ότι μια μπάλα και ένας εσωτερικός σωλήνας διαφέρουν θεμελιωδώς επειδή πρέπει να σκίσετε μια τρύπα στην μπάλα για να την παραμορφώσετε στον εσωτερικό σωλήνα.

Η ομοτοπία είναι χρήσιμη για την ταξινόμηση τοπολογικών χώρων — δημιουργώντας ένα γράφημα με όλα τα είδη σχημάτων που είναι δυνατά. Είναι επίσης σημαντικό για να κατανοήσουμε κάτι άλλο για το οποίο ενδιαφέρονται οι μαθηματικοί: οι χάρτες μεταξύ των χώρων. Εάν έχετε δύο τοπολογικούς χώρους, ένας τρόπος για να διερευνήσετε τις ιδιότητές τους είναι να αναζητήσετε συναρτήσεις που μετατρέπουν ή χαρτογραφούν σημεία στο ένα σε σημεία στο άλλο — εισάγετε ένα σημείο στο χώρο Α, λάβετε ένα σημείο στο χώρο Β ως έξοδο, και κάντε το για όλα τα σημεία στο Α.

Για να δείτε πώς λειτουργούν αυτοί οι χάρτες και γιατί φωτίζουν τις ιδιότητες των χώρων που εμπλέκονται, ξεκινήστε με έναν κύκλο. Τώρα χαρτογραφήστε το στη δισδιάστατη σφαίρα, που είναι η επιφάνεια μιας μπάλας. Υπάρχουν άπειροι τρόποι για να γίνει αυτό. Εάν φανταστείτε τη σφαίρα ως την επιφάνεια της Γης, θα μπορούσατε να βάλετε τον κύκλο σας σε οποιαδήποτε γραμμή γεωγραφικού πλάτους, για παράδειγμα. Από την άποψη της θεωρίας της ομοτοπίας, είναι όλα ισοδύναμα, ή ομοτοπικά, επειδή μπορούν όλα να συρρικνωθούν σε ένα σημείο στο βόρειο ή στο νότιο πόλο.

Στη συνέχεια, χαρτογραφήστε τον κύκλο στη δισδιάστατη επιφάνεια ενός εσωτερικού σωλήνα (ένας δακτύλιος με μία οπή). Και πάλι, υπάρχουν άπειροι τρόποι για να γίνει αυτό, και οι περισσότεροι είναι ομοτοπικοί. Όχι όμως όλοι. Θα μπορούσατε να τοποθετήσετε έναν κύκλο οριζόντια ή κάθετα γύρω από τον δακτύλιο, και κανένας δεν μπορεί να παραμορφωθεί ομαλά στο άλλο. Αυτοί είναι δύο (από τους πολλούς) τρόπους χαρτογράφησης ενός κύκλου στον τόρο, ενώ υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να τον χαρτογραφήσετε σε μια σφαίρα, αντικατοπτρίζοντας μια θεμελιώδη διαφορά μεταξύ των δύο χώρων: Ο δακτύλιος έχει μια τρύπα ενώ η σφαίρα δεν έχει καμία.

Είναι εύκολο να μετρήσουμε τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να χαρτογραφήσουμε από τον κύκλο στη δισδιάστατη σφαίρα ή τον τόρο. Είναι οικείοι χώροι που είναι εύκολο να απεικονιστούν. Αλλά η καταμέτρηση χαρτών είναι πολύ πιο δύσκολη όταν εμπλέκονται χώροι υψηλότερων διαστάσεων.

Διαστάσεις

Αν δύο σφαίρες έχουν την ίδια διάσταση, υπάρχουν πάντα άπειροι χάρτες μεταξύ τους. Και αν ο χώρος από τον οποίο χαρτογραφείτε είναι χαμηλότερης διάστασης από τον χώρο στον οποίο χαρτογραφείτε (όπως στο παράδειγμά μας του μονοδιάστατου κύκλου που απεικονίζεται σε μια δισδιάστατη σφαίρα), υπάρχει πάντα μόνο ένας χάρτης.

Εν μέρει για αυτόν τον λόγο, η καταμέτρηση χαρτών είναι πιο ενδιαφέρουσα όταν ο χώρος από τον οποίο χαρτογραφείτε έχει μεγαλύτερη διάσταση από τον χώρο στον οποίο χαρτογραφείτε, όπως όταν αντιστοιχίζετε μια επταδιάστατη σφαίρα σε μια τρισδιάστατη σφαίρα. Σε περιπτώσεις όπως αυτές, ο αριθμός των χαρτών είναι πάντα πεπερασμένος.

«Οι χάρτες μεταξύ των σφαιρών γενικά τείνουν να είναι πιο ενδιαφέροντες όταν η πηγή έχει μεγαλύτερη διάσταση», είπε ο Χαν.

Επιπλέον, ο αριθμός των χαρτών εξαρτάται μόνο από τη διαφορά στον αριθμό των διαστάσεων (όταν οι διαστάσεις γίνουν αρκετά μεγάλες σε σύγκριση με τη διαφορά). Δηλαδή, ο αριθμός των χαρτών από μια σφαίρα 73 διαστάσεων σε μια σφαίρα 53 διαστάσεων είναι ίδιος με τον αριθμό των χαρτών από μια σφαίρα 225 διαστάσεων σε μια σφαίρα 205 διαστάσεων, επειδή και στις δύο περιπτώσεις, η διαφορά στη διάσταση είναι 20.

Οι μαθηματικοί θα ήθελαν να γνωρίζουν τον αριθμό των χαρτών μεταξύ των χώρων οποιασδήποτε διαφοράς σε διάσταση. Κατάφεραν να υπολογίσουν τον αριθμό των χαρτών για σχεδόν όλες τις διαφορές στη διάσταση μέχρι το 100: Υπάρχουν 24 χάρτες μεταξύ σφαιρών όταν η διαφορά είναι 20 και 3,144,960 όταν είναι 23.

Αλλά ο υπολογισμός του αριθμού των χαρτών για οποιαδήποτε διαφορά μεγαλύτερη από 100 εξαντλεί τη σύγχρονη υπολογιστική ισχύ. Και την ίδια στιγμή, οι μαθηματικοί δεν έχουν εντοπίσει αρκετά μοτίβα στον αριθμό των χαρτών για περαιτέρω παρέκταση. Ο στόχος τους είναι να συμπληρώσουν έναν πίνακα που καθορίζει τον αριθμό των χαρτών για οποιαδήποτε διαφορά στη διάσταση, αλλά αυτός ο στόχος φαίνεται πολύ μακριά.

«Αυτή δεν είναι μια ερώτηση για την οποία περιμένω μια πλήρη λύση στη ζωή των εγγονιών μου», είπε η Ραβενέλ, η οποία είναι 76 ετών.

Η εικασία του τηλεσκοπίου κάνει μια πρόβλεψη σχετικά με το πώς αυξάνεται ο αριθμός των χαρτών καθώς αυξάνεται η διαφορά στη διάσταση. Στην πραγματικότητα, προβλέπει ότι ο αριθμός αυξάνεται αργά. Αν ήταν αλήθεια, θα διευκόλυνε λίγο το πρόβλημα της συμπλήρωσης αυτού του πίνακα.

Αμφιβολία σε δυσπιστία

Η εικασία του τηλεσκοπίου πήρε το όνομά της με απίθανο τρόπο.

Ξεκίνησε από το γεγονός ότι σε πολύ υψηλές διαστάσεις, η γεωμετρική διαίσθηση που σχηματίζεται σε χαμηλότερες διαστάσεις συχνά καταρρέει και είναι δύσκολο να μετρηθούν χάρτες μεταξύ των σφαιρών. Αλλά διατυπώνοντας την εικασία του, ο Ravenel κατάλαβε ότι δεν χρειάζεται. Αντί να μετράτε χάρτες μεταξύ σφαιρών, μπορείτε να κάνετε μια ευκολότερη καταμέτρηση χαρτών μεταξύ σφαιρών και αντικειμένων που ονομάζονται τηλεσκόπια.

Τα τηλεσκόπια περιλαμβάνουν μια σειρά από αντίγραφα μιας κλειστής καμπύλης υψηλότερων διαστάσεων, το καθένα μια μειωμένη έκδοση αυτής που προηγήθηκε. Η σειρά των καμπυλών μοιάζει με τους συμπλεκόμενους σωλήνες ενός πραγματικού πτυσσόμενου τηλεσκοπίου. «Όσο παράξενο κι αν ακούγεται αυτό το τηλεσκόπιο όταν το περιγράφεις, είναι στην πραγματικότητα ένα πιο εύκολο αντικείμενο να αντιμετωπιστεί από την ίδια τη σφαίρα», είπε ο Ravenel.

Ωστόσο, οι σφαίρες μπορούν να χαρτογραφηθούν στα τηλεσκόπια με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, και η πρόκληση είναι να γνωρίζουμε πότε αυτοί οι χάρτες είναι πραγματικά διακριτοί.

Για να προσδιοριστεί εάν δύο κενά είναι ομοτοπικά απαιτείται ένα μαθηματικό τεστ γνωστό ως αμετάβλητο, το οποίο είναι ένας υπολογισμός που βασίζεται στις ιδιότητες των χώρων. Εάν ο υπολογισμός αποφέρει διαφορετική τιμή για κάθε χώρο, ξέρετε ότι είναι μοναδικοί από την άποψη της ομοτοπίας.

Υπάρχουν πολλά είδη αναλλοίωτων και μερικοί μπορούν να αντιληφθούν διαφορές στις οποίες άλλα αμετάβλητα είναι τυφλοί. Η εικασία του τηλεσκοπίου προβλέπει ότι ένα αμετάβλητο που ονομάζεται Morava E-η θεωρία (και οι συμμετρίες της) μπορεί να διακρίνει τέλεια όλους τους χάρτες μεταξύ σφαιρών και τηλεσκοπίων μέχρι την ομοτοπία — δηλαδή αν ο Morava E-Η θεωρία λέει ότι οι χάρτες είναι διακριτοί, είναι διακριτοί, και αν λέει ότι είναι ίδιοι, είναι ίδιοι.

Αλλά μέχρι το 1989 ο Ράβενελ είχε αρχίσει να αμφιβάλλει ότι ήταν αλήθεια. Ο σκεπτικισμός του προέκυψε από υπολογισμούς που έκανε και που δεν φαινόταν να συνάδουν με την εικασία. Αλλά μόνο τον Οκτώβριο εκείνου του έτους, όταν ένας τεράστιος σεισμός έπληξε την περιοχή του κόλπου ενώ βρισκόταν στο Μπέρκλεϋ, αυτές οι αμφιβολίες κωδικοποιήθηκαν σε πλήρη δυσπιστία.

«Κατέληξα σε αυτό το συμπέρασμα μέσα σε μία ή δύο μέρες μετά τον σεισμό, οπότε μου αρέσει να πιστεύω ότι συνέβη κάτι που με έκανε να σκεφτώ ότι δεν ήταν αλήθεια», είπε ο Ράβενελ.

Η απόρριψη της εικασίας του τηλεσκοπίου θα απαιτούσε την εύρεση ενός πιο ισχυρού αναλλοίωτου που θα μπορούσε να δει τα πράγματα Morava E-Η θεωρία δεν μπορεί. Για δεκαετίες κανένα τέτοιο αμετάβλητο δεν φαινόταν να είναι διαθέσιμο, θέτοντας την εικασία εντελώς απρόσιτη. Αλλά η πρόοδος τα τελευταία χρόνια το άλλαξε - και οι Burklund, Hahn, Levy και Schlank το κεφαλαιοποίησαν.

The Exploding Exotic

Η απόδειξή τους βασίζεται σε ένα σύνολο εργαλείων που ονομάζονται αλγεβρικά K-θεωρία, η οποία καθιερώθηκε τη δεκαετία του 1950 από τον Alexander Grothendieck και αναπτύχθηκε ραγδαία την τελευταία δεκαετία. Έχει εφαρμογές σε όλα τα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένης της γεωμετρίας, όπου έχει τη δυνατότητα να υπερφορτίζει ένα αμετάβλητο.

Οι τέσσερις συγγραφείς χρησιμοποιούν αλγεβρική K-η θεωρία ως gadget: Εισάγουν τον Morava E-θεωρία, και η έξοδος τους είναι μια νέα αναλλοίωτη που αναφέρονται ως αλγεβρική K-θεωρία των σταθερών σημείων του Μοράβα E-θεωρία. Στη συνέχεια εφαρμόζουν αυτή τη νέα μεταβλητή σε χάρτες από σφαίρες έως τηλεσκόπια και αποδεικνύουν ότι μπορεί να δει χάρτες που ο Morava E- η θεωρία δεν μπορεί.

Και δεν είναι μόνο ότι αυτό το νέο αμετάβλητο βλέπει μερικούς ακόμη χάρτες. Βλέπει πολλά άλλα, ακόμη και άπειρα περισσότερα. Τόσα άλλα που είναι δίκαιο να πούμε Morava E-η θεωρία μόλις και μετά βίας γρατζουνούσε την επιφάνεια όταν επρόκειτο να αναγνωρίσει χάρτες από σφαίρες έως τηλεσκόπια.

Άπειροι περισσότεροι χάρτες από σφαίρες σε τηλεσκόπια σημαίνει απείρως περισσότερους χάρτες μεταξύ των ίδιων των σφαιρών. Ο αριθμός τέτοιων χαρτών είναι πεπερασμένος για οποιαδήποτε διαφορά στη διάσταση, αλλά η νέα απόδειξη δείχνει ότι ο αριθμός αυξάνεται γρήγορα και αναπόφευκτα.

Το ότι υπάρχουν τόσοι πολλοί χάρτες δείχνει μια ανησυχητική γεωμετρική πραγματικότητα: Υπάρχουν τόσες πολλές σφαίρες.

Το 1956 ο John Milnor εντόπισε τα πρώτα παραδείγματα αυτών που ονομάζονται «εξωτικές» σφαίρες. Αυτοί είναι χώροι που μπορούν να παραμορφωθούν στην πραγματική σφαίρα από την προοπτική της ομοτοπίας, αλλά είναι διαφορετικοί από τη σφαίρα με μια ορισμένη ακριβή έννοια. Οι εξωτικές σφαίρες δεν υπάρχουν καθόλου στις διαστάσεις ένα, δύο ή τρεις, και κανείς δεν έχει ανακαλύψει παραδείγματα αυτών κάτω από τη διάσταση επτά - τη διάσταση όπου τις βρήκε για πρώτη φορά ο Milnor. Αλλά καθώς η διάσταση μεγαλώνει, ο αριθμός των εξωτικών σφαιρών εκρήγνυται. Υπάρχουν 16,256 στη διάσταση 15 και 523,264 στη διάσταση 19.

Και όμως, όσο τεράστιοι κι αν είναι αυτοί οι αριθμοί, η απόρριψη της εικασίας του τηλεσκοπίου σημαίνει ότι υπάρχουν πολλοί, πάρα πολλοί περισσότεροι. Η απόρριψη σημαίνει ότι υπάρχουν περισσότεροι χάρτες μεταξύ των σφαιρών από ό,τι αναμενόταν όταν ο Ravenel δήλωσε την εικασία, και ο μόνος τρόπος για να λάβετε περισσότερους χάρτες είναι να έχετε μεγαλύτερη ποικιλία σφαιρών για χαρτογράφηση μεταξύ τους.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι προόδου στα μαθηματικά και τις επιστήμες. Ένα είδος φέρνει τάξη στο χάος. Αλλά ένα άλλο εντείνει το χάος καταρρίπτοντας ελπιδοφόρες υποθέσεις που δεν ήταν αληθινές. Η απόρριψη της εικασίας του τηλεσκοπίου είναι τέτοια. Βαθαίνει την πολυπλοκότητα της γεωμετρίας και αυξάνει τις πιθανότητες πολλές γενιές εγγονιών να έρχονται και να φεύγουν πριν κάποιος κατανοήσει πλήρως τους χάρτες μεταξύ των σφαιρών.

«Κάθε σημαντική πρόοδος στο θέμα φαίνεται να μας λέει ότι η απάντηση είναι πολύ πιο περίπλοκη από ό,τι νομίζαμε πριν», είπε ο Ravenel.