Εισαγωγή
Για αιώνες, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να κατανοήσουν και να μοντελοποιήσουν την κίνηση των ρευστών. Οι εξισώσεις που περιγράφουν πώς οι κυματισμοί τσακίζουν την επιφάνεια μιας λίμνης έχουν επίσης βοηθήσει τους ερευνητές να προβλέψουν τον καιρό, να σχεδιάσουν καλύτερα αεροπλάνα και να χαρακτηρίσουν πώς ρέει το αίμα μέσω του κυκλοφορικού συστήματος. Αυτές οι εξισώσεις είναι απατηλά απλές όταν γράφονται στη σωστή μαθηματική γλώσσα. Ωστόσο, οι λύσεις τους είναι τόσο περίπλοκες που μπορεί να είναι απαγορευτικά δύσκολη η κατανόηση ακόμη και βασικών ερωτήσεων σχετικά με αυτές.
Ίσως η παλαιότερη και πιο σημαντική από αυτές τις εξισώσεις, που διατυπώθηκε από τον Leonhard Euler πριν από περισσότερα από 250 χρόνια, περιγράφουν τη ροή ενός ιδανικού, ασυμπίεστου ρευστού: ενός ρευστού χωρίς ιξώδες ή εσωτερική τριβή, που δεν μπορεί να ωθηθεί σε μικρότερο όγκο. «Σχεδόν όλες οι μη γραμμικές εξισώσεις ρευστών προέρχονται από τις εξισώσεις Euler», είπε. Τάρεκ Ελγκίντι, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Duke. «Είναι οι πρώτοι, θα μπορούσες να πεις».
Ωστόσο, πολλά παραμένουν άγνωστα σχετικά με τις εξισώσεις Euler - συμπεριλαμβανομένου του εάν είναι πάντα ένα ακριβές μοντέλο ιδανικής ροής ρευστού. Ένα από τα κεντρικά προβλήματα στη δυναμική των ρευστών είναι να καταλάβουμε εάν οι εξισώσεις αποτυγχάνουν ποτέ, βγάζοντας παράλογες τιμές που τις καθιστούν ανίκανες να προβλέψουν τις μελλοντικές καταστάσεις ενός ρευστού.
Οι μαθηματικοί υποψιάζονταν εδώ και καιρό ότι υπάρχουν αρχικές συνθήκες που προκαλούν την κατάρρευση των εξισώσεων. Αλλά δεν κατάφεραν να το αποδείξουν.
In ένα προτύπωμα Αναρτήθηκε διαδικτυακά τον περασμένο μήνα, ένα ζευγάρι μαθηματικών έχει δείξει ότι μια συγκεκριμένη έκδοση των εξισώσεων Euler όντως μερικές φορές αποτυγχάνει. Η απόδειξη σηματοδοτεί μια σημαντική ανακάλυψη — και ενώ δεν λύνει πλήρως το πρόβλημα για τη γενικότερη έκδοση των εξισώσεων, προσφέρει ελπίδα ότι μια τέτοια λύση είναι τελικά εφικτή. «Είναι ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα», είπε Tristan Buckmaster, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Μέριλαντ που δεν συμμετείχε στην εργασία. «Δεν υπάρχουν αποτελέσματα αυτού του είδους στη βιβλιογραφία».
Υπάρχει μόνο ένα πιάσιμο.
Η απόδειξη των 177 σελίδων — το αποτέλεσμα ενός ερευνητικού προγράμματος δεκαετίας — κάνει σημαντική χρήση των υπολογιστών. Αυτό αναμφισβήτητα καθιστά δύσκολο για άλλους μαθηματικούς να το επαληθεύσουν. (Στην πραγματικότητα, βρίσκονται ακόμη στη διαδικασία να το κάνουν, αν και πολλοί ειδικοί πιστεύουν ότι η νέα εργασία θα αποδειχθεί σωστή.) Τους αναγκάζει επίσης να υπολογίσουν φιλοσοφικά ερωτήματα σχετικά με το τι είναι μια «απόδειξη» και τι θα κάνει Σημαίνει εάν ο μόνος βιώσιμος τρόπος για να λυθούν τέτοιες σημαντικές ερωτήσεις στο μέλλον είναι με τη βοήθεια των υπολογιστών.
Βλέποντας το Τέρας
Κατ 'αρχήν, εάν γνωρίζετε τη θέση και την ταχύτητα κάθε σωματιδίου σε ένα ρευστό, οι εξισώσεις Euler θα πρέπει να μπορούν να προβλέψουν πώς θα εξελίσσεται το ρευστό για πάντα. Αλλά οι μαθηματικοί θέλουν να μάθουν αν αυτό συμβαίνει στην πραγματικότητα. Ίσως σε ορισμένες περιπτώσεις, οι εξισώσεις να προχωρήσουν όπως αναμενόταν, παράγοντας ακριβείς τιμές για την κατάσταση του ρευστού σε κάθε δεδομένη στιγμή, μόνο για μια από αυτές τις τιμές να εκτοξευθεί ξαφνικά στο άπειρο. Σε εκείνο το σημείο, οι εξισώσεις Euler λέγεται ότι προκαλούν μια «ιδιαιτερότητα» - ή, πιο δραματικά, «ανατινάζουν».
Μόλις φτάσουν σε αυτή τη μοναδικότητα, οι εξισώσεις δεν θα μπορούν πλέον να υπολογίσουν τη ροή του ρευστού. Αλλά "από πριν από μερικά χρόνια, αυτό που οι άνθρωποι ήταν σε θέση να κάνουν δεν ήταν πολύ, πολύ μακριά από [αποδείξεις έκρηξης]", είπε Τσάρλι Φέφερμαν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον.
Γίνεται ακόμη πιο περίπλοκο αν προσπαθείτε να διαμορφώσετε ένα ρευστό που έχει ιξώδες (όπως κάνουν σχεδόν όλα τα ρευστά του πραγματικού κόσμου). Ένα Βραβείο Χιλιετίας εκατομμυρίων δολαρίων από το Clay Mathematics Institute περιμένει όποιον μπορεί να αποδείξει εάν συμβαίνουν παρόμοιες αστοχίες στις εξισώσεις Navier-Stokes, μια γενίκευση των εξισώσεων Euler που αντιπροσωπεύουν το ιξώδες.
Σε 2013, Τόμας Χου, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια και Guo Luo, τώρα στο Πανεπιστήμιο Hang Seng του Χονγκ Κονγκ, πρότεινε ένα σενάριο στο οποίο οι εξισώσεις Euler θα οδηγούσαν σε μια μοναδικότητα. Ανέπτυξαν μια προσομοίωση σε υπολογιστή ενός ρευστού σε έναν κύλινδρο του οποίου το πάνω μισό στροβιλιζόταν δεξιόστροφα ενώ το κάτω μισό του στροβιλιζόταν αριστερόστροφα. Καθώς έτρεχαν την προσομοίωση, πιο περίπλοκα ρεύματα άρχισαν να κινούνται πάνω-κάτω. Αυτό, με τη σειρά του, οδήγησε σε περίεργη συμπεριφορά κατά μήκος του ορίου του κυλίνδρου όπου συναντώνται αντίθετες ροές. Η δίνη του ρευστού - ένα μέτρο περιστροφής - αυξήθηκε τόσο γρήγορα που φαινόταν έτοιμο να εκραγεί.
Το έργο του Hou και του Luo ήταν υποβλητικό, αλλά όχι αληθινή απόδειξη. Αυτό συμβαίνει γιατί είναι αδύνατο για έναν υπολογιστή να υπολογίσει άπειρες τιμές. Μπορεί να φτάσει πολύ κοντά στο να δει μια ιδιομορφία, αλλά στην πραγματικότητα δεν μπορεί να την φτάσει — που σημαίνει ότι η λύση μπορεί να είναι πολύ ακριβής, αλλά εξακολουθεί να είναι μια προσέγγιση. Χωρίς την υποστήριξη μιας μαθηματικής απόδειξης, η τιμή της δίνης μπορεί να φαίνεται να αυξάνεται μόνο στο άπειρο λόγω κάποιου τεχνουργήματος της προσομοίωσης. Αντίθετα, οι λύσεις ενδέχεται να αυξηθούν σε τεράστιους αριθμούς πριν υποχωρήσουν ξανά.
Τέτοιες ανατροπές είχαν συμβεί στο παρελθόν: Μια προσομοίωση θα έδειχνε ότι μια τιμή στις εξισώσεις ανατινάχτηκε, μόνο για πιο εξελιγμένες υπολογιστικές μεθόδους να δείχνουν το αντίθετο. «Αυτά τα προβλήματα είναι τόσο ευαίσθητα που ο δρόμος είναι γεμάτος με τα συντρίμμια προηγούμενων προσομοιώσεων», είπε ο Fefferman. Στην πραγματικότητα, έτσι ξεκίνησε ο Hou σε αυτόν τον τομέα: αρκετά από τα προηγούμενα αποτελέσματά του διέψευσαν τον σχηματισμό υποθετικών ιδιομορφιών.
Ωστόσο, όταν αυτός και ο Luo δημοσίευσαν τη λύση τους, οι περισσότεροι μαθηματικοί θεώρησαν ότι ήταν πολύ πιθανό να ήταν μια αληθινή μοναδικότητα. «Ήταν πολύ σχολαστικό, πολύ ακριβές», είπε Βλαντιμίρ Σβέρακ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Μινεσότα. «Πραγματικά έκαναν πολλά για να αποδείξουν ότι αυτό είναι ένα πραγματικό σενάριο». Μεταγενέστερο έργο των Elgindi, Sverak και άλλων μόνο ενίσχυσε αυτή την πεποίθηση.
Αλλά μια απόδειξη ήταν άπιαστη. «Είδατε το θηρίο», είπε ο Φέφερμαν. «Τότε προσπαθείς να το συλλάβεις». Αυτό σήμαινε να δείξουμε ότι η κατά προσέγγιση λύση που προσομοίωσαν τόσο προσεκτικά οι Hou και Luo είναι, με μια συγκεκριμένη μαθηματική έννοια, πολύ, πολύ κοντά σε μια ακριβή λύση των εξισώσεων.
Τώρα, εννέα χρόνια μετά από εκείνη την πρώτη θέαση, ο Χου και ο πρώην μεταπτυχιακός φοιτητής του Jiajie Chen κατάφεραν τελικά να αποδείξουν την ύπαρξη αυτής της κοντινής μοναδικότητας.
Η Μετακίνηση σε Αυτο-όμοια Γη
Ο Χου, που αργότερα προσχώρησε ο Τσεν, εκμεταλλεύτηκε το γεγονός ότι, μετά από πιο προσεκτική ανάλυση, η κατά προσέγγιση λύση από το 2013 φαινόταν να έχει μια ειδική δομή. Καθώς οι εξισώσεις εξελίχθηκαν με την πάροδο του χρόνου, η λύση εμφάνισε αυτό που ονομάζεται αυτο-όμοιο μοτίβο: Το σχήμα του αργότερα έμοιαζε πολύ με το προηγούμενο σχήμα του, αλλά κλιμακώθηκε εκ νέου με συγκεκριμένο τρόπο.
Ως αποτέλεσμα, οι μαθηματικοί δεν χρειάστηκε να προσπαθήσουν να δουν την ίδια τη μοναδικότητα. Αντίθετα, θα μπορούσαν να το μελετήσουν έμμεσα εστιάζοντας σε ένα παλαιότερο χρονικό σημείο. Μεγέθυνση σε αυτό το τμήμα της λύσης με τον σωστό ρυθμό - που καθορίζεται με βάση την ίδια δομή της λύσης - θα μπορούσαν να μοντελοποιήσουν τι θα συνέβαινε αργότερα, συμπεριλαμβανομένης της ίδιας της μοναδικότητας.
Χρειάστηκαν μερικά χρόνια για να βρουν ένα ίδιο ανάλογο με το σενάριο της ανατίναξης του 2013. (Νωρίτερα φέτος, μια άλλη ομάδα μαθηματικών, η οποία περιελάμβανε τον Buckmaster, χρησιμοποίησε διαφορετικές μεθόδους βρείτε μια παρόμοια κατά προσέγγιση λύση. Επί του παρόντος χρησιμοποιούν αυτή τη λύση για να αναπτύξουν μια ανεξάρτητη απόδειξη σχηματισμού ιδιομορφίας.)
Με μια κατά προσέγγιση αυτο-όμοια λύση στο χέρι, ο Χου και ο Τσεν έπρεπε να δείξουν ότι μια ακριβής λύση υπάρχει κοντά. Μαθηματικά, αυτό ισοδυναμεί με την απόδειξη ότι η κατά προσέγγιση αυτο-όμοια λύση τους είναι σταθερή — ότι ακόμα κι αν το διαταράξεις ελαφρώς και στη συνέχεια εξελίξεις τις εξισώσεις ξεκινώντας από αυτές τις διαταραγμένες τιμές, δεν θα υπήρχε τρόπος να ξεφύγεις από μια μικρή γειτονιά γύρω από το κατά προσέγγιση λύση. «Είναι σαν μια μαύρη τρύπα», είπε ο Χου. "Αν ξεκινήσετε με ένα προφίλ κοντά, θα σας ρουφήξει."
Αλλά η ύπαρξη μιας γενικής στρατηγικής ήταν μόνο ένα βήμα προς τη λύση. «Οι ιδιότροπες λεπτομέρειες έχουν σημασία», είπε ο Φέφερμαν. Καθώς ο Χου και ο Τσεν πέρασαν τα επόμενα αρκετά χρόνια επεξεργαζόμενοι αυτές τις λεπτομέρειες, ανακάλυψαν ότι έπρεπε να βασιστούν ξανά στους υπολογιστές — αλλά αυτή τη φορά με έναν εντελώς νέο τρόπο.
Μια Υβριδική Προσέγγιση
Μεταξύ των πρώτων προκλήσεων τους ήταν να καταλάβουν την ακριβή δήλωση που έπρεπε να αποδείξουν. Ήθελαν να δείξουν ότι αν έπαιρναν οποιοδήποτε σύνολο τιμών κοντά στην κατά προσέγγιση λύση τους και το έβαζαν στις εξισώσεις, η έξοδος δεν θα μπορούσε να απομακρυνθεί πολύ. Τι σημαίνει όμως για μια είσοδο να είναι «κοντά» στην κατά προσέγγιση λύση; Έπρεπε να το προσδιορίσουν αυτό σε μια μαθηματική δήλωση — αλλά υπάρχουν πολλοί τρόποι για να οριστεί η έννοια της απόστασης σε αυτό το πλαίσιο. Για να λειτουργήσει η απόδειξή τους, έπρεπε να επιλέξουν το σωστό.
«Πρέπει να μετρήσει διαφορετικές φυσικές επιδράσεις», είπε Ραφαέλ ντε λα Λάβε, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Τζόρτζια. «Έτσι, πρέπει να επιλεγεί χρησιμοποιώντας μια βαθιά κατανόηση του προβλήματος».
Μόλις είχαν τον σωστό τρόπο να περιγράψουν την «εγγύτητα», ο Χου και ο Τσεν έπρεπε να αποδείξουν τη δήλωση, η οποία συνοψίστηκε σε μια περίπλοκη ανισότητα που περιλάμβανε όρους τόσο από τις αναβαθμισμένες εξισώσεις όσο και από την κατά προσέγγιση λύση. Οι μαθηματικοί έπρεπε να βεβαιωθούν ότι οι τιμές όλων αυτών των όρων εξισορροπούνται σε κάτι πολύ μικρό: Εάν μια τιμή κατέληγε να είναι μεγάλη, άλλες τιμές έπρεπε να είναι αρνητικές ή να διατηρούνται υπό έλεγχο.
«Αν κάνετε κάτι λίγο πολύ μεγάλο ή λίγο πολύ μικρό, το όλο θέμα καταρρέει», είπε Javier Gómez-Serrano, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Μπράουν. "Λοιπόν, είναι πολύ, πολύ προσεκτική, λεπτή δουλειά."
«Είναι ένας πραγματικά άγριος αγώνας», πρόσθεσε ο Elgindi.
Για να αποκτήσουν τα στενά όρια που χρειάζονταν με όλους αυτούς τους διαφορετικούς όρους, ο Χου και ο Τσεν έσπασαν την ανισότητα σε δύο βασικά μέρη. Μπορούσαν να φροντίσουν το πρώτο μέρος με το χέρι, με τεχνικές συμπεριλαμβανομένης μιας που χρονολογείται από τον 18ο αιώνα, όταν ο Γάλλος μαθηματικός Gaspard Monge αναζήτησε τον βέλτιστο τρόπο μεταφοράς εδάφους για να χτίσει οχυρώσεις για τον στρατό του Ναπολέοντα. «Τέτοια πράγματα έχουν γίνει στο παρελθόν, αλλά μου φάνηκε εντυπωσιακό το γεγονός ότι [Hou και Chen] το χρησιμοποίησαν για αυτό», είπε ο Fefferman.
Αυτό άφησε το δεύτερο μέρος της ανισότητας. Η αντιμετώπισή του θα απαιτούσε βοήθεια υπολογιστή. Για αρχή, υπήρχαν τόσοι πολλοί υπολογισμοί που έπρεπε να γίνουν και τόση πολλή ακρίβεια απαιτούνταν, που «ο όγκος της δουλειάς που θα έπρεπε να κάνετε με μολύβι και χαρτί θα ήταν συγκλονιστικός», είπε ο de la Llave. Για να εξισορροπήσουν διάφορους όρους, οι μαθηματικοί έπρεπε να εκτελέσουν μια σειρά προβλημάτων βελτιστοποίησης που είναι σχετικά εύκολα για τους υπολογιστές αλλά εξαιρετικά χρονοβόρα για τους ανθρώπους. Ορισμένες από τις τιμές εξαρτήθηκαν επίσης από ποσότητες από την κατά προσέγγιση λύση. Δεδομένου ότι αυτό υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή, ήταν πιο απλό να χρησιμοποιήσετε επίσης έναν υπολογιστή για να εκτελέσετε αυτούς τους πρόσθετους υπολογισμούς.
«Αν προσπαθήσετε να κάνετε με το χέρι κάποιες από αυτές τις εκτιμήσεις, πιθανότατα θα υπερεκτιμήσετε κάποια στιγμή και μετά θα χάσετε», είπε ο Gómez-Serrano. «Οι αριθμοί είναι τόσο μικροσκοπικοί και στενοί… και το περιθώριο είναι απίστευτα λεπτό».
Αλλά επειδή οι υπολογιστές δεν μπορούν να χειριστούν άπειρο αριθμό ψηφίων, αναπόφευκτα συμβαίνουν μικροσκοπικά σφάλματα. Ο Χου και ο Τσεν έπρεπε να παρακολουθήσουν προσεκτικά αυτά τα λάθη, για να βεβαιωθούν ότι δεν παρεμβαίνουν στην υπόλοιπη πράξη εξισορρόπησης.
Τελικά, μπόρεσαν να βρουν όρια για όλους τους όρους, ολοκληρώνοντας την απόδειξη: Οι εξισώσεις είχαν πράγματι δημιουργήσει μια ιδιομορφία.
Απόδειξη από υπολογιστή
Παραμένει ανοιχτό εάν οι πιο περίπλοκες εξισώσεις - οι εξισώσεις Euler χωρίς την παρουσία κυλινδρικού ορίου και οι εξισώσεις Navier-Stokes - μπορούν να αναπτύξουν μια ιδιομορφία. «Αλλά [αυτό το έργο] τουλάχιστον μου δίνει ελπίδα», είπε ο Χου. «Βλέπω ένα μονοπάτι προς τα εμπρός, έναν τρόπο για να επιλυθεί ίσως τελικά το πλήρες πρόβλημα της Χιλιετίας».
Εν τω μεταξύ, ο Buckmaster και ο Gómez-Serrano εργάζονται πάνω σε μια δική τους απόδειξη με τη βοήθεια υπολογιστή - μια απόδειξη που ελπίζουν ότι θα είναι πιο γενική και επομένως ικανή να αντιμετωπίσει όχι μόνο το πρόβλημα που έλυσαν ο Hou και ο Chen, αλλά και πολλά άλλα.
Αυτές οι προσπάθειες σηματοδοτούν μια αυξανόμενη τάση στον τομέα της δυναμικής των ρευστών: τη χρήση υπολογιστών για την επίλυση σημαντικών προβλημάτων.
«Σε πολλούς διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών, συμβαίνει όλο και πιο συχνά», είπε Σούζαν Φρίντλεντερ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Καλιφόρνια.
Αλλά στη μηχανική ρευστών, οι δοκιμές με τη βοήθεια υπολογιστή εξακολουθούν να είναι μια σχετικά νέα τεχνική. Στην πραγματικότητα, όταν πρόκειται για δηλώσεις σχετικά με το σχηματισμό ιδιομορφίας, η απόδειξη των Hou and Chen είναι η πρώτη του είδους της: Οι προηγούμενες αποδείξεις με τη βοήθεια υπολογιστή μπορούσαν να αντιμετωπίσουν μόνο προβλήματα παιχνιδιών στην περιοχή.
Τέτοιες αποδείξεις δεν είναι τόσο αμφιλεγόμενες όσο "θέμα γούστου", είπε Πέτρος Κωνσταντίνος του Πανεπιστημίου Πρίνστον. Οι μαθηματικοί γενικά συμφωνούν ότι μια απόδειξη πρέπει να πείσει άλλους μαθηματικούς ότι κάποια συλλογιστική είναι σωστή. Αλλά, πολλοί υποστηρίζουν, θα πρέπει επίσης να βελτιώσει την κατανόησή τους για το γιατί μια συγκεκριμένη δήλωση είναι αληθινή, αντί να παρέχει απλώς επικύρωση ότι είναι σωστή. «Μαθαίνουμε κάτι θεμελιωδώς νέο ή ξέρουμε απλώς την απάντηση στην ερώτηση;» είπε ο Ελγκίντι. «Αν βλέπετε τα μαθηματικά ως τέχνη, τότε αυτό δεν είναι τόσο ευχάριστο αισθητικά».
«Ένας υπολογιστής μπορεί να βοηθήσει. Είναι υπέροχο. Μου δίνει διορατικότητα. Αλλά δεν μου δίνει πλήρη κατανόηση», πρόσθεσε ο Constantin. «Η κατανόηση προέρχεται από εμάς».
Από την πλευρά του, ο Elgindi εξακολουθεί να ελπίζει να βρει μια εναλλακτική απόδειξη της ανατίναξης εξ ολοκλήρου με το χέρι. «Είμαι γενικά χαρούμενος που υπάρχει αυτό», είπε για το έργο του Χου και του Τσεν. «Αλλά το θεωρώ περισσότερο ως κίνητρο να προσπαθήσω να το κάνω με έναν λιγότερο εξαρτημένο από τον υπολογιστή τρόπο».
Άλλοι μαθηματικοί βλέπουν τους υπολογιστές ως ένα ζωτικής σημασίας νέο εργαλείο που θα καταστήσει δυνατή την επίθεση σε προβλήματα που προηγουμένως ήταν δυσεπίλυτα. «Τώρα η δουλειά δεν είναι πλέον μόνο χαρτί και μολύβι», είπε ο Τσεν. "Έχετε την επιλογή να χρησιμοποιήσετε κάτι πιο ισχυρό."
Σύμφωνα με αυτόν και άλλους (συμπεριλαμβανομένου του Elgindi, παρά την προσωπική του προτίμηση να γράφει αποδείξεις με το χέρι), υπάρχει μια καλή πιθανότητα ότι ο μόνος τρόπος για να λυθούν μεγάλα προβλήματα στη ρευστοδυναμική —δηλαδή προβλήματα που περιλαμβάνουν όλο και πιο περίπλοκες εξισώσεις— να είναι να βασιστείς σε μεγάλο βαθμό σε βοήθεια υπολογιστή. «Μου φαίνεται σαν να προσπαθείς να το κάνεις αυτό χωρίς να χρησιμοποιήσεις βαριά αποδείξεις με τη βοήθεια υπολογιστή είναι σαν να δένεις ένα ή πιθανώς δύο χέρια πίσω από την πλάτη σου», είπε ο Φέφερμαν.
Εάν τελικά συμβαίνει αυτό και «δεν έχετε καμία επιλογή», είπε ο Elgindi, «τότε άνθρωποι … όπως εγώ, που θα έλεγαν ότι αυτό δεν είναι το βέλτιστο, θα πρέπει να είναι ήσυχοι». Αυτό θα σήμαινε επίσης ότι περισσότεροι μαθηματικοί θα πρέπει να αρχίσουν να μαθαίνουν τις δεξιότητες που απαιτούνται για τη σύνταξη αποδείξεων με τη βοήθεια υπολογιστή - κάτι που ελπίζουμε ότι θα εμπνεύσει η δουλειά του Hou και του Chen. «Νομίζω ότι υπήρχαν πολλοί άνθρωποι που απλώς περίμεναν κάποιον να λύσει ένα τέτοιο πρόβλημα προτού επενδύσουν τον δικό τους χρόνο σε αυτήν την προσέγγιση», είπε ο Buckmaster.
Τούτου λεχθέντος, όταν πρόκειται για συζητήσεις σχετικά με το βαθμό στον οποίο οι μαθηματικοί πρέπει να βασίζονται στους υπολογιστές, «δεν είναι ότι πρέπει να διαλέξετε μια πλευρά», είπε ο Gómez-Serrano. «Η απόδειξη [του Χου και του Τσεν] δεν θα λειτουργούσε χωρίς την ανάλυση και η απόδειξη δεν θα λειτουργούσε χωρίς τη βοήθεια υπολογιστή. … Νομίζω ότι η αξία είναι ότι οι άνθρωποι μπορούν να μιλούν τις δύο γλώσσες».
Με αυτό, είπε ο de la Llave, «υπάρχει ένα νέο παιχνίδι στην πόλη».
