1Department of Mathematics, Duke University, Durham, NC 27708, USA
2Department of Electrical and Computer Engineering, Department of Computer Science, Duke University, NC 27708, USA
Βρείτε αυτό το άρθρο ενδιαφέρουσα ή θέλετε να συζητήσετε; Scite ή αφήστε ένα σχόλιο για το SciRate.
Περίληψη
Η πρόκληση του κβαντικού υπολογισμού είναι να συνδυάσει την ανθεκτικότητα στα σφάλματα με τον καθολικό υπολογισμό. Οι διαγώνιες πύλες όπως η εγκάρσια πύλη $T$ παίζουν σημαντικό ρόλο στην υλοποίηση ενός καθολικού συνόλου κβαντικών πράξεων. Αυτό το άρθρο εισάγει ένα πλαίσιο που περιγράφει τη διαδικασία προετοιμασίας μιας κατάστασης κώδικα, την εφαρμογή μιας διαγώνιας φυσικής πύλης, τη μέτρηση ενός συνδρόμου κώδικα και την εφαρμογή μιας διόρθωσης Pauli που μπορεί να εξαρτάται από το μετρούμενο σύνδρομο (το μέσο λογικό κανάλι που προκαλείται από μια αυθαίρετη διαγώνια πύλη) . Επικεντρώνεται στους κώδικες CSS και περιγράφει την αλληλεπίδραση των καταστάσεων κώδικα και των φυσικών πυλών με όρους συντελεστών γεννήτριας που καθορίζονται από τον επαγόμενο λογικό τελεστή. Η αλληλεπίδραση των καταστάσεων κώδικα και των διαγώνιων πυλών εξαρτάται πολύ έντονα από τα σημάδια των σταθεροποιητών $Z$ στον κώδικα CSS και το προτεινόμενο πλαίσιο συντελεστών γεννήτριας περιλαμβάνει ρητά αυτόν τον βαθμό ελευθερίας. Το χαρτί εξάγει τις απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για μια αυθαίρετη διαγώνια πύλη για τη διατήρηση του χώρου κώδικα ενός κωδικού σταθεροποιητή και παρέχει μια ρητή έκφραση του επαγόμενου λογικού τελεστή. Όταν η διαγώνια πύλη είναι μια τετραγωνική διαγώνια πύλη (που εισήχθη από τους Rengaswamy et al.), οι συνθήκες μπορούν να εκφραστούν ως προς τη διαιρετότητα των βαρών στους δύο κλασικούς κώδικες που καθορίζουν τον κώδικα CSS. Αυτοί οι κωδικοί βρίσκουν εφαρμογή στην απόσταξη μαγικής κατάστασης και αλλού. Όταν όλα τα πρόσημα είναι θετικά, το χαρτί χαρακτηρίζει όλους τους πιθανούς κώδικες CSS, αμετάβλητους κάτω από την εγκάρσια περιστροφή $Z$ έως $pi/2^l$, οι οποίοι κατασκευάζονται από κλασικούς κώδικες Reed-Muller εξάγοντας τους απαραίτητους και επαρκείς περιορισμούς στο $ l$. Το πλαίσιο του συντελεστή γεννήτριας επεκτείνεται σε αυθαίρετους κωδικούς σταθεροποιητών, αλλά δεν μπορεί να κερδηθεί τίποτα λαμβάνοντας υπόψη τη γενικότερη κατηγορία των μη εκφυλισμένων κωδίκων σταθεροποιητών.
Δημοφιλή περίληψη
Εξάγαμε τις απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες ώστε μια διαγώνια πύλη να διατηρεί τον χώρο κώδικα ενός κώδικα CSS και έχουμε παράσχει μια ρητή έκφραση του επαγόμενου λογικού τελεστή της. Όταν η διαγώνια πύλη είναι μια εγκάρσια περιστροφή $Z$ μέσω μιας γωνίας $theta$, αντλήσαμε μια απλή καθολική συνθήκη που μπορεί να εκφραστεί ως διαιρετότητα των βαρών στους δύο κλασικούς κώδικες που καθορίζουν τον κώδικα CSS. Όταν όλα τα σημάδια στον κώδικα CSS είναι θετικά, έχουμε αποδείξει τις απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για τους κώδικες συστατικών στοιχείων Reed-Muller για την κατασκευή οικογενειών κωδίκων CSS αμετάβλητων κάτω από την εγκάρσια περιστροφή $Z$ μέσω $pi/2^l$ για κάποιο ακέραιο αριθμό $ l$.
Το πλαίσιο συντελεστών γεννήτριας παρέχει ένα εργαλείο για την ανάλυση της εξέλιξης κάτω από οποιαδήποτε δεδομένη διαγώνια πύλη κωδικών σταθεροποιητών με αυθαίρετα σημάδια και βοηθά στον χαρακτηρισμό περισσότερων πιθανών κωδικών CSS που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην απόσταξη μαγικής κατάστασης.
► Δεδομένα BibTeX
► Αναφορές
[1] Jonas T. Anderson και Tomas Jochym-O'Connor. Ταξινόμηση εγκάρσιων πυλών σε κωδικούς σταθεροποιητών qubit. Quantum Info. Comput., 16(9–10):771–802, Ιούλιος 2016. doi:10.26421/qic16.9-10-3.
https: / / doi.org/ 10.26421 / qic16.9-10-3
[2] Hussain Anwar, Earl T. Campbell και Dan E Browne. Απόσταξη μαγικής κατάστασης Qutrit. New J. Phys., 14(6):063006, 2012. doi:10.1088/1367-2630/14/6/063006.
https://doi.org/10.1088/1367-2630/14/6/063006
[3] Τζέιμς Αξ. Μηδενικά πολυωνύμων σε πεπερασμένα πεδία. Είμαι. J. Math., 86(2):255–261, 1964. doi:10.2307/2373163.
https: / / doi.org/ 10.2307 / 2373163
[4] Salman Beigi και Peter W Shor. $mathcal{C}_3$, ημι-Clifford και γενικευμένες πράξεις semi-Clifford. Quantum Inf. Comput., 10(1&2), 2010. doi:10.26421/QIC10.1-2-4.
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC10.1-2-4
[5] Ingemar Bengtsson, Kate Blanchfield, Earl T. Campbell και Mark Howard. Συμμετρία τάξης 3 στην ιεραρχία του Κλίφορντ. J. Phys. Ένα Μαθηματικό. Theor., 47(45):455302, 2014. doi:10.1088/1751-8113/47/45/455302.
https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/45/455302
[6] Γιούρι Λ. Μπορίσοφ. Στο αποτέλεσμα του Mceliece σχετικά με τη διαιρετότητα των βαρών στους δυαδικούς κώδικες Reed-Muller. Στο Seventh International Workshop, Optimal Codes and related topics, σελίδες 47–52, 2013. URL: http://www.moi.math.bas.bg/oc2013/a7.pdf.
http://www.moi.math.bas.bg/oc2013/a7.pdf
[7] P. Oscar Boykin, Tal Mor, Matthew Pulver, Vwani Roychowdhury και Farrokh Vatan. Σχετικά με τον καθολικό και ανεκτικό σε σφάλματα κβαντικό υπολογισμό: μια νέα βάση και μια νέα εποικοδομητική απόδειξη της καθολικότητας για τη βάση του shor. Στο 40ο Annu. Συμπτ. Βρέθηκαν. Υπολογιστής. Sci. (Αρ. Κατ. 99CB37039), σελίδες 486–494. IEEE, 1999. doi:10.1109/sffcs.1999.814621.
https://doi.org/ 10.1109/sffcs.1999.814621
[8] Sergey Bravyi, Matthias Englbrecht, Robert König και Nolan Peard. Διόρθωση συνεκτικών σφαλμάτων με κωδικούς επιφάνειας. Npj Quantum Inf., 4(1):1–6, 2018. doi:10.1038/s41534-018-0106-y.
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41534-018-0106-y
[9] Sergey Bravyi και Jeongwan Haah. Απόσταξη μαγικής κατάστασης με χαμηλό γενικό κόστος. Phys. Rev. A, 86(5):052329, 2012. doi:10.1103/physreva.86.052329.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.86.052329
[10] Sergey Bravyi και Alexei Kitaev. Καθολικός κβαντικός υπολογισμός με ιδανικές πύλες Clifford και θορυβώδεις αγκυλώσεις. Phys. Rev. A, 71(2):022316, 2005. doi:10.1103/physreva.71.022316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.71.022316
[11] Robert A. Calderbank, Eric M. Rains, Peter W. Shor και Neil JA Sloane. Κβαντική διόρθωση σφαλμάτων μέσω κωδικών άνω των ${GF}$(4). IEEE Trans. Inf. Theory, 44(4):1369–1387, 1998. doi:10.1109/isit.1997.613213.
https: / / doi.org/ 10.1109 / isit.1997.613213
[12] Robert A. Calderbank και Peter W. Shor. Υπάρχουν καλοί κβαντικοί κωδικοί διόρθωσης σφαλμάτων. Phys. Rev. A, 54:1098–1105, Aug 1996. doi:10.1103/physreva.54.1098.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.54.1098
[13] Earl T. Campbell, Hussain Anwar και Dan E Browne. Απόσταξη μαγικής κατάστασης σε όλες τις κύριες διαστάσεις χρησιμοποιώντας κβαντικούς κώδικες Reed-Muller. Phys. Rev. X, 2(4):041021, 2012. doi:10.1103/physrevx.2.041021.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevx.2.041021
[14] Earl T. Campbell και Mark Howard. Ενιαίο πλαίσιο για απόσταξη μαγικής κατάστασης και σύνθεση πύλης multiqubit με μειωμένο κόστος πόρων. Phys. Rev. A, 95(2):022316, 2017. doi:10.1103/physreva.95.022316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.95.022316
[15] Shawn X. Cui, Daniel Gottesman και Anirudh Krishna. Διαγώνιες πύλες στην ιεραρχία του Κλίφορντ. Phys. Rev. A, 95(1):012329, 2017. doi:10.1103/physreva.95.012329.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.95.012329
[16] Dripto M. Debroy, Laird Egan, Crystal Noel, Andrew Risinger, Daiwei Zhu, Debopriyo Biswas, Marko Cetina, Chris Monroe και Kenneth R. Brown. Βελτιστοποίηση ισοτιμιών σταθεροποιητή για βελτιωμένες λογικές μνήμες qubit. Phys. Rev. Lett., 127(24), Dec 2021. doi:10.1103/physrevlett.127.240501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.127.240501
[17] Bryan Eastin και Emanuel Knill. Περιορισμοί στα εγκάρσια κωδικοποιημένα σύνολα κβαντικών πυλών. Phys. Rev. Lett., 102(11):110502, 2009. doi:10.1103/physrevlett.102.110502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.102.110502
[18] Ντάνιελ Γκότεσμαν. Κωδικοί σταθεροποιητή και κβαντική διόρθωση σφαλμάτων. California Institute of Technology, 1997. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9705052.
https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9705052
arXiv: quant-ph / 9705052
[19] Ντάνιελ Γκότεσμαν. Η αναπαράσταση του Χάιζενμπεργκ των κβαντικών υπολογιστών. arXiv προεκτύπωση quant-ph/9807006, 1998. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9807006.
https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9807006
arXiv: quant-ph / 9807006
[20] Daniel Gottesman και Isaac L. Chuang. Επίδειξη της βιωσιμότητας του καθολικού κβαντικού υπολογισμού χρησιμοποιώντας τηλεμεταφορά και λειτουργίες ενός qubit. Nature, 402(6760):390–393, 1999. doi:10.1038/46503.
https: / / doi.org/ 10.1038 / 46503
[21] Jeongwan Haah. Πύργοι γενικευμένων διαιρετών κβαντικών κωδίκων. Phys. Rev. A, 97(4):042327, 2018. doi:10.1103/physreva.97.042327.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.97.042327
[22] Jeongwan Haah και Matthew B. Hastings. Κώδικες και πρωτόκολλα για την απόσταξη $ t $, ελεγχόμενα-$ s $ και πύλες toffoli. Quantum, 2:71, 2018. doi:10.22331/q-2018-06-07-71.
https://doi.org/10.22331/q-2018-06-07-71
[23] Οι Jingzhen Hu, Qingzhong Liang, Narayanan Rengaswamy και Robert Calderbank. Μετριασμός του συνεκτικού θορύβου με εξισορρόπηση βάρους-$2$$Z$-σταθεροποιητές. IEEE Trans. Inf. Theory, 68(3):1795–1808, 2022. doi:10.1109/tit.2021.3130155.
https: / / doi.org/ 10.1109 / tit.2021.3130155
[24] Emanuel Knill, Raymond Laflamme και Wojciech Zurek. Κατώφλι ακρίβειας για κβαντικούς υπολογισμούς. arXiv quant-ph/9610011, 1996. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9610011.
https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9610011
arXiv: quant-ph / 9610011
[25] Anirudh Krishna και Jean-Pierre Tillich. Προς απόσταξη χαμηλής μαγικής κατάστασης. Phys. Rev. Lett., 123(7):070507, 2019. doi:10.1103/physrevlett.123.070507.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.123.070507
[26] Andrew J. Landahl και Chris Cesare. Σύνθετη αρχιτεκτονική υπολογιστών σετ εντολών για την εκτέλεση ακριβών κβαντικών περιστροφών $ z $ με λιγότερη μαγεία. arXiv προεκτύπωση arXiv:1302.3240, 2013. doi:10.48550/arXiv.1302.3240.
https://doi.org/10.48550/arXiv.1302.3240
arXiv: 1302.3240
[27] Florence J. MacWilliams. Ένα θεώρημα για την κατανομή των βαρών σε έναν συστηματικό κώδικα. Bell Labs Tech. J., 42(1):79–94, Ιανουάριος 1963. doi:10.1002/j.1538-7305.1963.tb04003.x.
https: / / doi.org/ 10.1002 / j.1538-7305.1963.tb04003.x
[28] Florence J. MacWilliams και Neil JA Sloane. The theory of error correcting codes, τόμος 16. Elsevier, 1977.
[29] Robert J. McEliece. Σε περιοδικές ακολουθίες από GF($q$). J. Comb. Θεωρία Σερ. A., 10(1):80–91, 1971. doi:10.1016/0097-3165(71)90066-5.
https://doi.org/10.1016/0097-3165(71)90066-5
[30] Robert J. McEliece. Συγκλίσεις βάρους για p-ary κυκλικούς κώδικες. Discrete Math, 3(1):177–192, 1972. doi:10.1016/0012-365X(72)90032-5.
https://doi.org/10.1016/0012-365X(72)90032-5
[31] Sepehr Nezami και Jeongwan Haah. Ταξινόμηση μικρών τριορθογώνιων κωδίκων. Phys. Αναθ. A, 106:012437, Ιούλιος 2022. doi:10.1103/PhysRevA.106.012437.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.106.012437
[32] Michael A. Nielsen και Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2011.
[33] Tefjol Pllaha, Narayanan Rengaswamy, Olav Tirkkonen και Robert A. Calderbank. Ξεπέρασε την ιεραρχία του Κλίφορντ. Quantum, 4:370, 2020. doi:10.22331/q-2020-12-11-370.
https://doi.org/10.22331/q-2020-12-11-370
[34] Ben W. Reichardt. Κβαντική καθολικότητα από την απόσταξη μαγικών καταστάσεων που εφαρμόζεται σε κώδικες css. Quantum Inf. Process., 4(3):251–264, 2005. doi:10.1007/s11128-005-7654-8.
https://doi.org/10.1007/s11128-005-7654-8
[35] Narayanan Rengaswamy, Robert A. Calderbank, Michael Newman και Henry D. Pfister. Σχετικά με τη βελτιστοποίηση των κωδικών CSS για το εγκάρσιο $T$. IEEE J. Sel. Περιοχές σε Inf. Theory, 1(2):499–514, 2020. doi:10.1109/jsait.2020.3012914.
https://doi.org/ 10.1109/jsait.2020.3012914
[36] Narayanan Rengaswamy, Robert A. Calderbank και Henry D. Pfister. Ενοποίηση της ιεραρχίας του Clifford μέσω συμμετρικών πινάκων πάνω από δακτυλίους. Phys. Rev. A, 100(2):022304, 2019. doi:10.1103/physreva.100.022304.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.100.022304
[37] AM Steane. Απλοί κβαντικοί κωδικοί διόρθωσης σφαλμάτων. Phys. Rev. A, 54(6):4741–4751, 1996. doi:10.1103/PhysRevA.54.4741.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.54.4741
[38] Michael Vasmer και Aleksander Kubica. Μορφοποίηση κβαντικών κωδίκων. PRX Quantum, 3(3), Αύγουστος 2022. doi:10.1103/prxquantum.3.030319.
https: / / doi.org/ 10.1103 / prxquantum.3.030319
[39] Christophe Vuillot και Nikolas P. Breuckmann. Κβαντικοί κωδικοί pin. IEEE Trans. Inf. Theory, 68(9):5955–5974, Σεπ 2022. doi:10.1109/tit.2022.3170846.
https: / / doi.org/ 10.1109 / tit.2022.3170846
[40] Mark M Wilde. Κβαντική θεωρία πληροφοριών. Cambridge University Press, 2013.
[41] Πάολο Ζανάρντι και Μάριο Ρασέτι. Αθόρυβοι κβαντικοί κώδικες. Phys. Rev. Lett., 79(17):3306, 1997. doi:10.1103/PhysRevLett.79.3306.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.79.3306
[42] Bei Zeng, Xie Chen και Isaac L. Chuang. Λειτουργίες Semi-Clifford, δομή της ιεραρχίας $mathcal{C}_k$ και πολυπλοκότητα πύλης για κβαντικούς υπολογισμούς με ανοχή σε σφάλματα. Phys. Rev. A, 77(4):042313, 2008. doi:10.1103/physreva.77.042313.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.77.042313
[43] Bei Zeng, Andrew Cross και Isaac L. Chuang. Εγκάρσια έναντι καθολικότητας για πρόσθετους κβαντικούς κώδικες. IEEE Trans. Inf. Theory, 57(9):6272–6284, 2011. doi:10.1109/tit.2011.2161917.
https: / / doi.org/ 10.1109 / tit.2011.2161917
Αναφέρεται από
[1] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang, Narayanan Rengaswamy και Robert Calderbank, «Μετριασμός συνεκτικού θορύβου με εξισορρόπηση βάρους-2 $Z$-Stabilizers», arXiv: 2011.00197.
[2] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang και Robert Calderbank, «Αναρρίχηση στη διαγώνια ιεραρχία του Κλίφορντ», arXiv: 2110.11923.
[3] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang και Robert Calderbank, «Διαιρούμενοι Κώδικες για Κβαντικό Υπολογισμό», arXiv: 2204.13176.
Οι παραπάνω αναφορές είναι από SAO / NASA ADS (τελευταία ενημέρωση επιτυχώς 2022-09-08 15:11:47). Η λίστα μπορεί να είναι ελλιπής, καθώς δεν παρέχουν όλοι οι εκδότες τα κατάλληλα και πλήρη στοιχεία αναφοράς.
Δεν ήταν δυνατή η λήψη Crossref αναφερόμενα δεδομένα κατά την τελευταία προσπάθεια 2022-09-08 15:11:45: Δεν ήταν δυνατή η λήψη των αναφερόμενων δεδομένων για το 10.22331 / q-2022-09-08-802 από την Crossref. Αυτό είναι φυσιολογικό αν το DOI καταχωρήθηκε πρόσφατα.
Αυτό το Βιβλίο δημοσιεύεται στο Quantum στο πλαίσιο του Creative Commons Attribution 4.0 Διεθνής (CC BY 4.0) άδεια. Τα πνευματικά δικαιώματα παραμένουν στους κατόχους των πρωτότυπων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας όπως οι δημιουργοί ή τα ιδρύματά τους
