1NTT Communication Science Laboratories, NTT Corporation, 3-1 Morinosato Wakamiya, Atsugi, Kanagawa 243-0198, Ιαπωνία
2Faculty of Informatics, Gunma University, 4-2 Aramakimachi, Maebashi, Gunma 371-8510, Japan
3Yukawa Institute for Theoretical Physics, Πανεπιστήμιο Kyoto, Kitashirakawa Oiwakecho, Sakyo-ku, Kyoto 606-8502, Ιαπωνία
4International Research Frontiers Initiative (IRFI), Ινστιτούτο Τεχνολογίας του Τόκιο, Ιαπωνία
Βρείτε αυτό το άρθρο ενδιαφέρουσα ή θέλετε να συζητήσετε; Scite ή αφήστε ένα σχόλιο για το SciRate.
Περίληψη
Αρκετοί θορυβώδεις κβαντικοί υπολογισμοί μέσης κλίμακας μπορούν να θεωρηθούν ως κβαντικά κυκλώματα λογαριθμικού βάθους σε ένα αραιό κβαντικό υπολογιστικό τσιπ, όπου οι πύλες δύο qubit μπορούν να εφαρμοστούν απευθείας μόνο σε ορισμένα ζεύγη qubits. Σε αυτό το άρθρο, προτείνουμε μια μέθοδο για την αποτελεσματική επαλήθευση τέτοιου θορυβώδους κβαντικού υπολογισμού μέσης κλίμακας. Για το σκοπό αυτό, αρχικά χαρακτηρίζουμε κβαντικές πράξεις μικρής κλίμακας σε σχέση με τον κανόνα του διαμαντιού. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτές τις χαρακτηρισμένες κβαντικές πράξεις, υπολογίζουμε την πιστότητα $langlepsi_t|hat{rho}_{rm out}|psi_trangle$ μεταξύ μιας πραγματικής κατάστασης εξόδου $n$-qubit $hat{rho}_{rm out}$ που λαμβάνεται από ο θορυβώδης κβαντικός υπολογισμός ενδιάμεσης κλίμακας και η ιδανική κατάσταση εξόδου (δηλ. η κατάσταση στόχος) $|psi_trangle$. Αν και η μέθοδος άμεσης εκτίμησης πιστότητας απαιτεί $O(2^n)$ αντίγραφα του $hat{rho}_{rm out}$ κατά μέσο όρο, η μέθοδός μας απαιτεί μόνο αντίγραφα $O(D^32^{12D})$ ακόμη και σε η χειρότερη περίπτωση, όπου $D$ είναι η πυκνότητα του $|psi_trangle$. Για κβαντικά κυκλώματα λογαριθμικού βάθους σε ένα αραιό τσιπ, το $D$ είναι το πολύ $O(log{n})$ και επομένως το $O(D^32^{12D})$ είναι ένα πολυώνυμο σε $n$. Χρησιμοποιώντας το τσιπ 5 qubit της IBM Manila, εκτελούμε επίσης ένα πείραμα απόδειξης αρχής για να παρατηρήσουμε την πρακτική απόδοση της μεθόδου μας.
► Δεδομένα BibTeX
► Αναφορές
[1] J. Preskill, Quantum Computing στην εποχή της NISQ και μετά, Quantum 2, 79 (2018).
https://doi.org/10.22331/q-2018-08-06-79
[2] Α. Peruzzo, J. McClean, Ρ. Shadbolt, Μ.-Η. Yung, X.-Q. Zhou, PJ Love, A. Aspuru-Guzik και JL O'Brien, A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor, Nat. Commun. 5, 4213 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1038 / ncomms5213
[3] E. Farhi, J. Goldstone και S. Gutmann, A Quantum Approximate Optimization Algorithm, arXiv:1411.4028.
https://doi.org/10.48550/arxiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028
[4] K. Mitarai, M. Negoro, M. Kitagawa, and K. Fujii, Quantum circuit learning, Phys. Αναθ. Α 98, 032309 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.032309
[5] A. Kandala, A. Mezzacapo, K. Temme, M. Takita, M. Brink, JM Chow και JM Gambetta, Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets, Nature (Λονδίνο) 549, 242 (2017) .
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature23879
[6] V. Havlíček, AD Córcoles, K. Temme, AW Harrow, A. Kandaka, JM Chow και JM Gambetta, Εποπτευόμενη μάθηση με κβαντικά ενισχυμένους χώρους χαρακτηριστικών, Nature (Λονδίνο) 567, 209 (2019).
https://doi.org/10.1038/s41586-019-0980-2
[7] Y. Li και SC Benjamin, Efficient Variational Quantum Simulator Incorporating Active Error Minimization, Phys. Απ. Χ 7, 021050 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.7.021050
[8] K. Temme, S. Bravyi, and JM Gambetta, Mitigation Error for Short-Depth Quantum Circuits, Phys. Rev. Lett. 119, 180509 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.119.180509
[9] S. Endo, SC Benjamin, και Y. Li, Πρακτικός μετριασμός σφαλμάτων κβαντικού για εφαρμογές στο εγγύς μέλλον, Phys. Αναθ. X 8, 031027 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.8.031027
[10] VN Premakumar και R. Joynt, Error Mitigation in Quantum Computers που υπόκεινται σε Spatially Correlated Noise, arXiv:1812.07076.
https://doi.org/10.48550/arxiv.1812.07076
arXiv: 1812.07076
[11] X. Bonet-Monroig, R. Sagastizabal, M. Singh, και TE O'Brien, μετριασμός σφαλμάτων χαμηλού κόστους με επαλήθευση συμμετρίας, Phys. Αναθ. Α 98, 062339 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.062339
[12] J. Sun, X. Yuan, T. Tsunoda, V. Vedral, SC Benjamin, and S. Endo, Mitigating Realistic Noise in Practical Noisy Intermediate-Scale Quantum Devices, Phys. Εφαρμογή αναθ. 15, 034026 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.15.034026
[13] X.-M. Zhang, W. Kong, MU Farooq, M.-H. Yung, G. Guo, and X. Wang, Γενικός μετριασμός σφαλμάτων με βάση την ανίχνευση με χρήση κβαντικών αυτοκωδικοποιητών, Phys. Rev. A 103, L040403 (2021).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevA.103.L040403
[14] A. Strikis, D. Qin, Y. Chen, SC Benjamin, and Y. Li, Learning-Based Quantum Error Mitigation, PRX Quantum 2, 040330 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040330
[15] P. Czarnik, A. Arrasmith, PJ Coles και L. Cincio, Error mitigation with Clifford quantum-circuit data, Quantum 5, 592 (2021).
https://doi.org/10.22331/q-2021-11-26-592
[16] A. Zlokapa και A. Gheorghiu, Ένα μοντέλο βαθιάς μάθησης για πρόβλεψη θορύβου σε βραχυπρόθεσμες κβαντικές συσκευές, arXiv:2005.10811.
https://doi.org/10.48550/arxiv.2005.10811
arXiv: 2005.10811
[17] K. Yeter-Aydeniz, RC Pooser και G. Siopsis, Πρακτικός κβαντικός υπολογισμός επιπέδων χημικής και πυρηνικής ενέργειας με χρήση κβαντικής φανταστικής χρονικής εξέλιξης και αλγόριθμων Lanczos, npj Quantum Information 6, 63 (2020).
https://doi.org/10.1038/s41534-020-00290-1
[18] B. Tan and J. Cong, Optimality Study of Existing Quantum Computing Layout Synthesis Tools, IEEE Transactions on Computers 70, 1363 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TC.2020.3009140
[19] MR Perelshtein, AI Pakhomchik, AA Melnikov, AA Novikov, A. Glatz, GS Paraoanu, VM Vinokur και GB Lesovik, Επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων μεγάλης κλίμακας με έναν κβαντικό υβριδικό αλγόριθμο, Ann. Phys. 2200082 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1002 / andp.202200082
[20] A. Kondratyev, Non-Differentiable Learning of Quantum Circuit Born Machine with Genetic Algorithm, Wilmott 2021, 50 (2021).
https://doi.org/10.1002/wilm.10943
[21] S. Dasgupta, KE Hamilton και A. Banerjee, Χαρακτηρίζοντας τη χωρητικότητα μνήμης των δεξαμενών qubit transmon, arXiv:2004.08240.
https://doi.org/10.48550/arxiv.2004.08240
arXiv: 2004.08240
[22] LM Sager, SE Smart, DA Mazziotti, Παρασκευή συμπυκνώματος εξιτονίων φωτονίων σε κβαντικό υπολογιστή 53 qubit, Φυσ. Rev. Research 2, 043205 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.2.043205
[23] JR Wootton, Μια κβαντική διαδικασία για τη δημιουργία χαρτών, στο Proc. του 2020 IEEE Conference on Games (IEEE, Osaka, 2020), σελ. 73.
https://doi.org/10.1109/CoG47356.2020.9231571
[24] W.-J. Huang, W.-C. Chien, C.-H. Cho, C.-C. Huang, T.-W. Huang και C.-R. Chang, Mermin's ανισότητες πολλαπλών qubits με ορθογώνιες μετρήσεις σε σύστημα 53-qubit IBM Q, Quantum Engineering 2, e45 (2020).
https://doi.org/10.1002/que2.45
[25] T. Morimae, Επαλήθευση για τυφλό κβαντικό υπολογισμό μόνο για μετρήσεις, Φυσ. Rev. A 89, 060302(R) (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.060302
[26] M. Hayashi and T. Morimae, Verifiable Measurement-Only Blind Quantum Computing with Stabilizer Testing, Phys. Αναθ. Lett. 115, 220502 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.115.220502
[27] T. Morimae, Measurement-only verfiable blind quantum computing with quantum input verification, Phys. Α' 94, 042301 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.94.042301
[28] D. Aharonov, M. Ben-Or, E. Eban, and U. Mahadev, Interactive Proofs for Quantum Computations, arXiv:1704.04487.
https://doi.org/10.48550/arxiv.1704.04487
arXiv: 1704.04487
[29] JF Fitzsimons and E. Kashefi, Unconditionally verfiable blind quantum computation, Phys. Α' 96, 012303 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.96.012303
[30] T. Morimae, Y. Takeuchi, and M. Hayashi, Verification of hypergraph states, Phys. Α' 96, 062321 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.96.062321
[31] JF Fitzsimons, M. Hajdušek, and T. Morimae, Post hoc Verification of Quantum Computation, Phys. Αναθ. Lett. 120, 040501 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.120.040501
[32] Y. Takeuchi and T. Morimae, Verification of Many-Qubit States, Phys. Απ. Χ 8, 021060 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.8.021060
[33] A. Broadbent, How to Verify a Quantum Computation, Theory of Computing 14, 11 (2018).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2018.v014a011
[34] U. Mahadev, Classical Verification of Quantum Computations, στο Proc. του 59ου Ετήσιου Συμποσίου για τα Θεμέλια της Επιστήμης των Υπολογιστών (IEEE, Παρίσι, 2018), σελ. 259.
https://doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/FOCS.2018.00033
[35] Y. Takeuchi, A. Mantri, T. Morimae, A. Mizutani και JF Fitzsimons, Επαλήθευση με αποδοτική χρήση πόρων του κβαντικού υπολογισμού με χρήση του δεσμού Serfling, npj Quantum Information 5, 27 (2019).
https://doi.org/10.1038/s41534-019-0142-2
[36] M. Hayashi and Y. Takeuchi, Verifying commuting quantum computations via fidelity estimation of weighted graph states, New J. Phys. 21, 093060 (2019).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/ab3d88
[37] A. Gheorghiu and T. Vidick, Computationally-Secure and Composable Remote State Preparation, στο Proc. του 60ου Ετήσιου Συμποσίου για τα Θεμέλια της Επιστήμης των Υπολογιστών (IEEE, Βαλτιμόρη, 2019), σελ. 1024.
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2019.00066
[38] G. Alagic, AM Childs, AB Grilo και S.-H. Hung, Non-interactive Classical Verification of Quantum Computation, στο Proc. Συνέδριο Theory of Cryptography (Springer, Virtual, 2020), σελ. 153.
https://doi.org/10.1007/978-3-030-64381-2_6
[39] H. Zhu and M. Hayashi, Efficient Verification of Hypergraph States, Phys. Εφαρμογή αναθ. 12, 054047 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.12.054047
[40] Ν.-Η. Chia, Κ.-Μ. Chung, και T. Yamakawa, Classical Verification of Quantum Computations with Efficient Verifier, στο Proc. Συνέδριο Theory of Cryptography (Springer, Virtual, 2020), σελ. 181.
https://doi.org/10.1007/978-3-030-64381-2_7
[41] D. Markham and A. Krause, A Simple Protocol for Certifying Graph States and Applications in Quantum Networks, Cryptography 4, 3 (2020).
https: / / doi.org/ 10.3390 / κρυπτογραφία4010003
[42] R. Raussendorf and HJ Briegel, A One-Way Quantum Computer, Phys. Rev. Lett. 86, 5188 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.86.5188
[43] O. Regev, On lattices, learning with errors, random linear codes, and cryptography, Journal of the ACM 56, 34 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 1568318.1568324
[44] Εάν επιτρέπονται κβαντικές πράξεις $n$-qubit, η αποτελεσματική επαλήθευση είναι ασήμαντα δυνατή. Έστω ο $U$ ένας ενιαίος τελεστής έτσι ώστε $|psi_trangle=U|0^nrangle$ για μια ιδανική κατάσταση εξόδου $|psi_trangle$. Εφαρμόζουμε το $U^†$ σε μια λαμβανόμενη κατάσταση $hat{rho}$ και μετράμε όλα τα qubits στην υπολογιστική βάση. Στη συνέχεια, υπολογίζοντας την πιθανότητα να παρατηρηθεί $0^n$, μπορούμε να εκτιμήσουμε την πιστότητα $langle 0^n|U^†hat{rho}U|0^nrangle$ μεταξύ $|psi_trangle$ και $hat{rho}$ .
[45] Για λόγους σαφήνειας, χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό $hat{a}$ όταν το πεζό γράμμα $a$ είναι κβαντική κατάσταση ή κβαντική πράξη. Από την άλλη πλευρά, για οποιοδήποτε κεφαλαίο γράμμα $A$, παραλείπουμε το $hat{color{white}{a}}$ ακόμα κι αν το $A$ είναι κβαντική κατάσταση ή κβαντική πράξη.
[46] DT Smithey, M. Beck, MG Raymer, and A. Faridani, Μέτρηση της κατανομής Wigner και η μήτρα πυκνότητας ενός τρόπου φωτός με χρήση οπτικής τομογραφίας ομοδύνης: Εφαρμογή σε συμπιεσμένες καταστάσεις και το κενό, Φυσ. Αναθ. Lett. 70, 1244 (1993).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.70.1244
[47] Z. Hradil, Εκτίμηση κβαντικής κατάστασης, Φυσ. Rev. Α 55, R1561(R) (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.55.R1561
[48] K. Banaszek, GM D'Ariano, MGA Paris, and MF Sacchi, Εκτίμηση μέγιστης πιθανότητας του πίνακα πυκνότητας, Phys. Rev. A 61, 010304(R) (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.61.010304
[49] ΣΤ Φλάμμια και Υ.-Κ. Liu, Εκτίμηση άμεσης πιστότητας από λίγες μετρήσεις Pauli, Phys. Αναθ. Lett. 106, 230501 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.106.230501
[50] S. Ferracin, T. Kapurniotis, and A. Datta, Accrediting outputs of noisy intermediate-scale quantum computing devices, New J. Phys. 21 113038 (2019).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/ab4fd6
[51] S. Ferracin, ST Merkel, D. McKay, and A. Datta, Experimental accreditation of outputs of noisy quantum computers, Phys. Αναθ. Α 104, 042603 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.042603
[52] D. Leichtle, L. Music, E. Kashefi και H. Ollivier, Verifying BQP Computations on Noisy Devices with Minimal Overhead, PRX Quantum 2, 040302 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040302
[53] Υ.-Γ. Liu, X.-D. Yu, J. Shang, Η. Zhu, and X. Zhang, Efficient Verification of Dicke States, Phys. Εφαρμογή αναθ. 12, 044020 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.12.044020
[54] S. Bravyi, G. Smith και JA Smolin, Trading Classical and Quantum Computational Resources, Phys. Απ. Χ 6, 021043 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.6.021043
[55] T. Peng, A. Harrow, M. Ozols και X. Wu, Simulating Large Quantum Circuits on a Small Quantum Computer, Phys. Αναθ. Lett. 125, 150504 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.125.150504
[56] D. Aharonov, A. Kitaev, and N. Nisan, Quantum Circuits with Mixed States, στο Proc. of the 30th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (ACM, Dallas, 1998), σελ. 20.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 276698.276708
[57] MA Nielsen και IL Chuang, Quantum Computation and Quantum Information 10th Anniversary Edition (Cambridge University Press, Cambridge, 2010).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511976667
[58] M. Fanciulli, επιμ., Electron Spin Resonance and Related Phenomena in Low-Dimensional Structures (Springer, Βερολίνο, 2009).
https://doi.org/10.1007/978-3-540-79365-6
[59] W. Hoeffding, Probability Inequalities for Sums of Bounded Random Variables, Journal of the American Statistical Association 58, 13 (1963).
https://www.tandfonline.com/doi/ref/10.1080/01621459.1963.10500830?scroll=top
[60] K. Li and G. Smith, Quantum de Finetti Theorem under Fully-One-Way Adaptive Measurements, Phys. Αναθ. Lett. 114, 160503 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.114.160503
[61] F. Arute, K. Arya, R. Babbush, D. Bacon, JC Bardin, R. Barends, R. Biswas, S. Boixo, FGSL Brandao, DA Buell, B. Burkett, Y. Chen, Z. Chen, B Chiaro, R. Collins, W. Courtney, A. Dunsworth, E. Farhi, B. Foxen, A. Fowler, C. Gidney, M. Giustina, R. Graff, K. Guerin, S. Habegger, MP Harrigan, MJ Hartmann, A. Ho, M. Hoffmann, T. Huang, TS Humble, SV Isakov, E. Jeffrey, Z. Jiang, D. Kafri, K. Kechedzhi, J. Kelly, PV Klimov, S. Knysh, A. Korotkov, F. Kostritsa, D. Landhuis, M. Lindmark, E. Lucero, D. Lyakh, S. Mandrà, JR McClean, M. McEwen, A. Megrant, X. Mi, K. Michielsen, M. Mohseni, J. Mutus, O. Naaman, M. Neeley, C. Neill, MY Niu, E. Ostby, A. Petukhov, JC Platt, C. Quintana, EG Rieffel, P. Roushan, NC Rubin, D. Sank, KJ Satzinger, V. Smelyanskiy, KJ Sung, MD Trevithick, A. Vainsencher, B. Villalonga, T. White, ZJ Yao, P. Yeh, A. Zalcman, H. Neven και JM Martinis, Quantum supremacy using a programmable superconducting processor, Nature (Λονδίνο) 574, 505 (2019).
https://doi.org/10.1038/s41586-019-1666-5
[62] RJ Lipton και RE Tarjan, A Separator Theorem for Planar Graphs, SIAM J. Appl. Μαθηματικά. 36, 177 (1979).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 0136016
[63] RJ Lipton και RE Tarjan, Applications of a Planar Separator Theorem, SIAM J. Comput. 9, 615 (1980).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 0209046
[64] K. Fujii, K. Mizuta, H. Ueda, K. Mitarai, W. Mizukami, YO Nakagawa, Deep Variational Quantum Eigensolver: A Divide-and-Conquer Method for Solving a Larger Problem with Smaller Size Quantum Computers, PRX Quantum3, 010346 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.3.010346
[65] W. Tang, T. Tomesh, M. Suchara, J. Larson, and M. Martonosi, CutQC: χρήση μικρών κβαντικών υπολογιστών για αξιολογήσεις μεγάλων κβαντικών κυκλωμάτων, στο Proc. του 26ου Διεθνούς Συνεδρίου ACM για την Αρχιτεκτονική Υποστήριξη για Γλώσσες Προγραμματισμού και Λειτουργικά Συστήματα (ACM, Virtual, 2021), σελ. 473.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3445814.3446758
[66] K. Mitarai και K. Fujii, Κατασκευάζοντας μια εικονική πύλη δύο qubit με δειγματοληψία λειτουργιών ενός qubit, New J. Phys. 23, 023021 (2021).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/abd7bc
[67] K. Mitarai και K. Fujii, Overhead για προσομοίωση ενός μη τοπικού καναλιού με τοπικά κανάλια με δειγματοληψία σχεδόν πιθανοτήτων, Quantum 5, 388 (2021).
https://doi.org/10.22331/q-2021-01-28-388
[68] MA Perlin, ZH Saleem, M. Suchara και JC Osborn, Κβαντική κοπή κυκλώματος με τομογραφία μέγιστης πιθανότητας, npj Quantum Information 7, 64 (2021).
https://doi.org/10.1038/s41534-021-00390-6
[69] T. Ayral, F.-M. L Régent, Z. Saleem, Y. Alexeev, and M. Suchara, Quantum Divide and Compute: Hardware Demonstrations and Noisy Simulations, στο Proc. του 2020 IEEE Computer Society Annual Symposium on VLSI (IEEE, Λεμεσός, 2020), σελ. 138.
https://doi.org/10.1109/ISVLSI49217.2020.00034
Αναφέρεται από
[1] Ruge Lin και Weiqiang Wen, «Πρωτόκολλο επαλήθευσης ικανότητας κβαντικού υπολογισμού για θορυβώδεις κβαντικές συσκευές μέσης κλίμακας με το πρόβλημα του διεδρικού συνόλου», Physical Review Α 106 1, 012430 (2022).
[2] Ruge Lin και Weiqiang Wen, «Πρωτόκολλο επαλήθευσης ικανότητας κβαντικού υπολογισμού για συσκευές NISQ με πρόβλημα διεδρικού συνόλου», arXiv: 2202.06984.
Οι παραπάνω αναφορές είναι από Η υπηρεσία παραπομπής του Crossref (τελευταία ενημέρωση επιτυχώς 2022-07-27 01:37:47) και SAO / NASA ADS (τελευταία ενημέρωση επιτυχώς 2022-07-27 01:37:48). Η λίστα μπορεί να είναι ελλιπής, καθώς δεν παρέχουν όλοι οι εκδότες τα κατάλληλα και πλήρη στοιχεία αναφοράς.
Αυτό το Βιβλίο δημοσιεύεται στο Quantum στο πλαίσιο του Creative Commons Attribution 4.0 Διεθνής (CC BY 4.0) άδεια. Τα πνευματικά δικαιώματα παραμένουν στους κατόχους των πρωτότυπων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας όπως οι δημιουργοί ή τα ιδρύματά τους
