Ο Ισαάκ Νεύτων δεν ήταν γνωστός για τη γενναιοδωρία του πνεύματός του και η περιφρόνησή του για τους αντιπάλους του ήταν θρυλική. Αλλά σε ένα γράμμα προς τον ανταγωνιστή του Γκότφριντ Λάιμπνιτς, γνωστό πλέον ως ο Epistola Posterior, ο Newton εμφανίζεται ως νοσταλγός και σχεδόν φιλικός. Σε αυτό, αφηγείται μια ιστορία από τα φοιτητικά του χρόνια, όταν μόλις άρχιζε να μαθαίνει μαθηματικά. Αφηγείται πώς έκανε μια σημαντική ανακάλυψη εξισώνοντας τις περιοχές κάτω από τις καμπύλες με άπειρα ποσά μέσω μιας διαδικασίας εικασίας και ελέγχου. Ο συλλογισμός του στην επιστολή είναι τόσο γοητευτικός και προσιτός, που μου θυμίζει τα παιχνίδια μαντείας μοτίβων που αγαπούν να παίζουν τα μικρά παιδιά.
Όλα ξεκίνησαν όταν ο νεαρός Νεύτων διάβασε τον Τζον Γουόλις Arithmetica Infinitorum, ένα θεμελιώδες έργο των μαθηματικών του 17ου αιώνα. Ο Wallis περιέλαβε μια νέα και επαγωγική μέθοδο για τον προσδιορισμό της τιμής του pi, και ο Newton ήθελε να επινοήσει κάτι παρόμοιο. Ξεκίνησε με το πρόβλημα της εύρεσης της περιοχής ενός «κυκλικού τμήματος» ρυθμιζόμενου πλάτους $λάτεξ x$. Αυτή είναι η περιοχή κάτω από τον κύκλο μονάδας, που ορίζεται από $latex y=sqrt{1-x^2}$, που βρίσκεται πάνω από το τμήμα του οριζόντιου άξονα από το 0 έως το $λάτεξ x$. Εδώ $λάτεξ x$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το 0 έως το 1 και το 1 είναι η ακτίνα του κύκλου. Το εμβαδόν ενός μοναδιαίου κύκλου είναι το pi, όπως πολύ καλά ήξερε ο Newton, οπότε πότε $λάτεξ x=1$, η περιοχή κάτω από την καμπύλη είναι το ένα τέταρτο του μοναδιαίου κύκλου, $latexfrac{π}{4}$. Αλλά για άλλες αξίες του $λάτεξ x$, τίποτα δεν ήταν γνωστό.
Αν ο Νεύτωνας μπορούσε να βρει έναν τρόπο να προσδιορίσει την περιοχή κάτω από την καμπύλη για κάθε πιθανή τιμή του $λάτεξ x$, θα μπορούσε να του δώσει ένα άνευ προηγουμένου μέσο προσέγγισης του pi. Αυτό ήταν αρχικά το μεγάλο του σχέδιο. Αλλά στην πορεία βρήκε κάτι ακόμα καλύτερο: μια μέθοδο για την αντικατάσταση περίπλοκων καμπυλών με άπειρα αθροίσματα απλούστερων δομικών στοιχείων από δυνάμεις $λάτεξ x$.
Το πρώτο βήμα του Νεύτωνα ήταν να συλλογιστεί κατ' αναλογία. Αντί να στοχεύει απευθείας στο εμβαδόν του κυκλικού τμήματος, ερεύνησε τις περιοχές ανάλογων τμημάτων που οριοθετούνται από τις ακόλουθες καμπύλες:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Ο Newton γνώριζε ότι οι περιοχές κάτω από τις καμπύλες στη λίστα με ακέραιες δυνάμεις (όπως $latex frac{0}{2}=0$ και $latex frac{2}{2} = 1$) θα ήταν εύκολο να υπολογιστούν, γιατί απλοποιούν αλγεβρικά. Για παράδειγμα,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Ομοίως,
Αλλά δεν υπάρχει τέτοια απλοποίηση για την εξίσωση του κύκλου — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— ή τις άλλες καμπύλες με τις μισές δυνάμεις. Τότε, κανείς δεν ήξερε πώς να βρει την περιοχή κάτω από κανένα από αυτά.
Ευτυχώς, οι περιοχές κάτω από τις καμπύλες με ακέραιες δυνάμεις ήταν απλές. Πάρτε την καμπύλη $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Ένας πολύ γνωστός κανόνας για τέτοιες συναρτήσεις επέτρεπε στον Νεύτωνα (και σε οποιονδήποτε άλλον) να βρει γρήγορα την περιοχή: Για οποιαδήποτε ισχύ ακέραιου αριθμού $latex nge 0$, η περιοχή κάτω από την καμπύλη $latex y=x^n$ πάνω από το διάστημα από $λάτεξ 0$ προς την $λάτεξ x$ δίνεται από $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Ο Wallis είχε μαντέψει αυτόν τον κανόνα με την επαγωγική του μέθοδο και ο Pierre de Fermat το απέδειξε οριστικά.) Οπλισμένος με αυτόν τον κανόνα, ο Newton γνώριζε ότι η περιοχή κάτω από την καμπύλη $latex y_4$ ήταν $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Ο ίδιος κανόνας του επέτρεψε να βρει την περιοχή κάτω από τις άλλες καμπύλες με δυνάμεις ακέραιου αριθμού στην παραπάνω λίστα. Ας γράψουμε $latex A_n$ για την περιοχή κάτω από την καμπύλη $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, όπου $latex n= 0, 1, 2, …$ . Η εφαρμογή του κανόνα αποφέρει
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em};$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em};$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}; $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
και ούτω καθεξής. Η πονηρή ιδέα του Νεύτωνα ήταν να καλύψει τα κενά, ελπίζοντας να μαντέψει $latexA_1$ (τη σειρά για την άγνωστη περιοχή του κυκλικού τμήματος) με βάση αυτό που μπορούσε να δει στην άλλη σειρά. Ένα πράγμα ήταν αμέσως ξεκάθαρο: Κάθε $latexA_n$ ξεκινούσε απλά με $latex x$ . Αυτό πρότεινε την τροποποίηση των τύπων ως εξής:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em};$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em};$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Στη συνέχεια, για να αντικαταστήσει την επόμενη παρτίδα ερωτηματικών, ο Newton εξέτασε τους όρους $latex x^3$. Με λίγη άδεια, μπορούμε να δούμε ότι ακόμη και το $latexA_0$ είχε έναν από αυτούς τους κυβικούς όρους, αφού μπορούμε να τον ξαναγράψουμε ως $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Όπως εξήγησε ο Newton στον Leibniz, παρατήρησε «ότι οι δεύτεροι όροι $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ κ.λπ., ήταν σε αριθμητική πρόοδο» (αναφερόταν στα 0, 1, 2, 3 στους αριθμητές). Υποψιαζόμενος ότι αυτή η αριθμητική πρόοδος μπορεί να επεκταθεί και στα κενά, ο Newton υπέθεσε ότι ολόκληρη η ακολουθία αριθμητών, γνωστών και άγνωστων, θα έπρεπε να είναι αριθμοί διαχωρισμένοι με $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3…)$ "και ως εκ τούτου ότι οι δύο πρώτοι όροι της σειράς" τον ενδιέφεραν — το ακόμα άγνωστο $latex A_1$ , $latex A_3$ και $latex A_5$ — «θα πρέπει να είναι $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, κ.λπ.."
Έτσι, σε αυτό το στάδιο τα μοτίβα πρότειναν στον Newton ότι το $latex A_1$ έπρεπε να ξεκινήσει ως
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Αυτό ήταν μια καλή αρχή, αλλά χρειαζόταν περισσότερα. Καθώς κυνηγούσε άλλα μοτίβα, ο Νεύτων παρατήρησε ότι οι παρονομαστές στις εξισώσεις περιείχαν πάντα περιττούς αριθμούς με αύξουσα σειρά. Για παράδειγμα, δείτε το $latex A_6$, το οποίο έχει 1, 3, 5 και 7 στους παρονομαστές του. Το ίδιο μοτίβο λειτούργησε για $latex A_4$ και $latex A_2$. Αρκετά απλό. Αυτό το μοτίβο προφανώς παρέμεινε σε όλους τους παρονομαστές όλων των εξισώσεων.
Αυτό που έμενε ήταν να βρεθεί ένα μοτίβο στους αριθμητές. Ο Newton εξέτασε ξανά το $latex A_2$, το $latex A_4$ και το $latex A_6$ και εντόπισε κάτι. Στο $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ είδε ένα 1 να πολλαπλασιάζει το $latex x$ και ένα άλλο 1 στον όρο $latexfrac {1}{3}x^3$ (αγνόησε το αρνητικό πρόσημο για την ώρα). Σε $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, είδε αριθμητές των 1, 2, 1. Και σε $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , είδε τους αριθμητές 1, 3, 3, 1. Αυτοί οι αριθμοί θα πρέπει να είναι γνωστοί σε όλους ποιος έχει μελετήσει ποτέ το τρίγωνο του Πασκάλ, μια τριγωνική διάταξη αριθμών που, στην απλούστερή της, δημιουργείται προσθέτοντας τους αριθμούς από πάνω του, ξεκινώντας από το 1 στην κορυφή.
Αντί να επικαλεστεί τον Πασκάλ, ο Νεύτων αναφέρθηκε σε αυτούς τους αριθμητές ως «δυνάμεις του αριθμού 11». Για παράδειγμα, 112 = 121, που είναι η δεύτερη σειρά στο τρίγωνο, και 113 = 1331, που είναι το τρίτο. Σήμερα αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται και διωνυμικοί συντελεστές. Προκύπτουν όταν επεκτείνετε τις δυνάμεις ενός διωνύμου όπως ($latex a +b$), όπως στο $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Με αυτό το μοτίβο στο χέρι, ο Newton είχε τώρα έναν εύκολο τρόπο να γράψει $latex A_2, A_4, A_6$ και όλα τα άλλα ζυγά A's.
Στη συνέχεια, για να επεκτείνει τα αποτελέσματά του σε μισές δυνάμεις και περιττούς αριθμούς (και τελικά να φτάσει στη σειρά που ήθελε, $latex A_1$), ο Newton χρειάστηκε να επεκτείνει το τρίγωνο του Pascal σε ένα φανταστικό νέο καθεστώς: στα μισά του δρόμου μεταξύ των σειρών. Για να εκτελέσει την παρέκταση, εξήγαγε έναν γενικό τύπο για τους διωνυμικούς συντελεστές σε οποιαδήποτε δεδομένη γραμμή του τριγώνου του Pascal — σειρά $latex m$ — και στη συνέχεια συνδέθηκε με θάρρος $latex m= frac{1}{2}$. Και εκπληκτικά, λειτούργησε. Αυτό του έδωσε τους αριθμητές στη σειρά που αναζητούσε για έναν κύκλο μονάδας, $latexA_1$.
Εδώ, με τα λόγια του ίδιου του Νεύτωνα, είναι η περίληψή του προς τον Λάιμπνιτς των προτύπων που παρατήρησε επαγωγικά μέχρι αυτό το στάδιο του επιχειρήματος:
Άρχισα να σκέφτομαι ότι οι παρονομαστές 1, 3, 5, 7, κ.λπ. ήταν σε αριθμητική πρόοδο, έτσι ώστε οι αριθμητικοί συντελεστές μόνο των αριθμητών εξακολουθούσαν να χρειάζονται έρευνα. Αλλά στις εναλλάξ δεδομένες περιοχές, αυτοί ήταν οι αριθμοί των δυνάμεων του αριθμού 11… δηλαδή το πρώτο «1». μετά '1, 1'; τρίτον, '1, 2, 1'; τέταρτο '1, 3, 3, 1'; πέμπτον '1, 4, 6, 4, 1' κ.λπ. και έτσι άρχισα να ρωτάω πώς θα μπορούσαν να προκύψουν τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς από τα δύο πρώτα δεδομένα, και διαπίστωσα ότι βάζοντας $latex m$ για το δεύτερο σχήμα, τα υπόλοιπα θα παράγονται με συνεχή πολλαπλασιασμό των όρων αυτής της σειράς,
$latex frac{m-0}{1} φορές frac{m-1}{2} φορές frac {m-2}{3} φορές frac{m-3}{4} φορές frac {m-4}{5 }$, κ.λπ.
… Κατά συνέπεια, εφάρμοσα αυτόν τον κανόνα για την παρεμβολή σειρών μεταξύ σειρών, και επειδή, για τον κύκλο, ο δεύτερος όρος ήταν $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, έβαλα $latex m=frac{1}{2}$, και οι όροι που προέκυψαν ήταν
$latex frac {1}{2} φορές frac{frac{1}{2}-1}{2}$ ή $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} φορές frac{frac{1}{2}-2}{3}$ ή $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} φορές frac{frac{1}{2}-3}{4}$ ή $latex – frac {5}{128}$,έτσι στο άπειρο. Από όπου κατάλαβα ότι η περιοχή του κυκλικού τμήματος που ήθελα ήταν
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Τέλος, συνδέοντας το $latex x=1$, ο Newton θα μπορούσε να λάβει ένα άπειρο άθροισμα για $latexfrac{π}{4}$. Ήταν ένα σημαντικό εύρημα, αλλά αποδεικνύεται ότι υπάρχουν καλύτεροι τρόποι για να προσεγγίσουμε το pi μέσω ενός άπειρου αθροίσματος, όπως ο ίδιος ο Νεύτωνας ανακάλυψε σύντομα μετά από αυτή την αρχική εισβολή σε αυτά τα είδη άπειρων αθροισμάτων, που τώρα ονομάζονται σειρές ισχύος. Τελικά υπολόγισε τα πρώτα 15 ψηφία του pi.
Επιστρέφοντας στο πρόβλημα του κυκλικού τμήματος, ο Νεύτων συνειδητοποίησε ότι η εξίσωση για τον ίδιο τον κύκλο (όχι απλώς το εμβαδόν κάτω από αυτόν) θα μπορούσε επίσης να αναπαρασταθεί από μια σειρά ισχύος. Το μόνο που έπρεπε να κάνει ήταν να παραλείψει τους παρονομαστές και να μειώσει τις δυνάμεις του $latex x$ κατά 1 στη σειρά ισχύος που εμφανίζεται παραπάνω. Έτσι οδηγήθηκε στο να μαντέψει αυτό
Για να ελέγξει αν αυτό το αποτέλεσμα είχε νόημα, ο Newton το πολλαπλασίασε από μόνο του: «Έγινε $latex 1-x^2$, οι υπόλοιποι όροι εξαφανίστηκαν με τη συνέχιση της σειράς στο άπειρο».
Κάνοντας ένα βήμα πίσω από τις λεπτομέρειες, βλέπουμε εδώ πολλά μαθήματα σχετικά με την επίλυση προβλημάτων. Εάν ένα πρόβλημα είναι πολύ δύσκολο, αλλάξτε το. Αν σας φαίνεται πολύ συγκεκριμένο, γενικεύστε το. Ο Νεύτων έκανε και τα δύο και πήρε αποτελέσματα πιο σημαντικά και πιο ισχυρά από αυτό που αρχικά επιζητούσε.
Ο Νεύτωνας δεν προσηλώθηκε πεισματικά στο ένα τέταρτο του κύκλου. Κοίταξε ένα πολύ πιο γενικό σχήμα, οποιοδήποτε κυκλικό τμήμα πλάτους $latex x$. Αντί να παραμείνει στο $latex x=1$, επέτρεψε στο $latex x$ να τρέχει ελεύθερα από το 0 στο 1. Αυτό αποκάλυψε τον διωνυμικό χαρακτήρα των συντελεστών στη σειρά του — την απροσδόκητη εμφάνιση αριθμών στο τρίγωνο του Pascal και τις γενικεύσεις τους — που άφησε τον Νεύτωνα να δει μοτίβα που είχαν χάσει ο Γουόλις και άλλοι. Βλέποντας αυτά τα μοτίβα έδωσε τότε στον Νεύτωνα τις γνώσεις που χρειαζόταν για να αναπτύξει τη θεωρία των σειρών ισχύος πολύ ευρύτερα και γενικότερα.
Στο μεταγενέστερο έργο του, η σειρά ισχύος του Νεύτωνα του έδωσε ένα ελβετικό μαχαίρι για λογισμό. Με αυτά, μπορούσε να κάνει ολοκληρώματα, να βρει ρίζες αλγεβρικών εξισώσεων και να υπολογίσει τις τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων και των λογαρίθμων. Όπως το έθεσε, «Με τη βοήθειά τους, η ανάλυση φτάνει, θα μπορούσα να πω σχεδόν, σε όλα τα προβλήματα».
Το ηθικό δίδαγμα: Η αλλαγή ενός προβλήματος δεν είναι εξαπάτηση. Είναι δημιουργικό. Και μπορεί να είναι το κλειδί για κάτι μεγαλύτερο.
