Συγχώνευση πεδίων, οι μαθηματικοί πάνε την απόσταση στο παλιό πρόβλημα | Περιοδικό Quanta

Η αλλαγή σχεδίων ήρθε σε ένα road trip. Μια όμορφη μέρα τον περασμένο Απρίλιο, οι μαθηματικοί Ρέιτσελ Γκρίνφελντ και Σάρα Πελούζ ξεκίνησαν από το ίδρυμα της πατρίδας τους, το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στο Πρίνστον του Νιου Τζέρσεϊ, με κατεύθυνση προς το Ρότσεστερ της Νέας Υόρκης, όπου και οι δύο ήταν προγραμματισμένο να δώσουν ομιλίες την επόμενη μέρα.

Αγωνίζονταν για σχεδόν δύο χρόνια με μια σημαντική εικασία στην αρμονική ανάλυση, το πεδίο που μελετά τον τρόπο διάσπασης σύνθετων σημάτων στις συχνότητες των συστατικών τους. Μαζί με έναν τρίτο συνεργάτη, Μαρίνα Ηλιοπούλου, μελετούσαν μια εκδοχή του προβλήματος στην οποία οι συστατικές συχνότητες αναπαρίστανται ως σημεία σε ένα επίπεδο του οποίου οι αποστάσεις μεταξύ τους σχετίζονται με ακέραιους αριθμούς. Οι τρεις ερευνητές προσπαθούσαν να δείξουν ότι δεν θα μπορούσαν να υπάρχουν πάρα πολλά από αυτά τα σημεία, αλλά μέχρι στιγμής, όλες οι τεχνικές τους είχαν αποτύχει.

Έμοιαζαν να γυρίζουν τους τροχούς τους. Τότε ο Πελούζ σκέφτηκε: Τι θα γινόταν αν παραιτούσαν το πρόβλημα της αρμονικής ανάλυσης —προσωρινά, φυσικά— και έστρεφαν την προσοχή τους σε σύνολα σημείων στα οποία η απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων είναι ακριβώς ένας ακέραιος; Τι πιθανές δομές μπορεί να έχουν τέτοια σύνολα; Οι μαθηματικοί προσπαθούσαν να κατανοήσουν σύνολα ακέραιων αποστάσεων από την αρχαιότητα. Για παράδειγμα, οι πυθαγόρειες τριάδες (όπως 3, 4 και 5), αντιπροσωπεύουν ορθογώνια τρίγωνα των οποίων οι τρεις κορυφές απέχουν όλες ακέραιες αποστάσεις μεταξύ τους.

«Στο αυτοκίνητο, υποθέτω ότι επειδή η Ρέιτσελ ήταν παγιδευμένη μαζί μου, το ανέφερα», είπε η Πελούζ, η οποία είναι τώρα καθηγήτρια στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν. Η ιδέα της αντιμετώπισης συνόλων ακέραιων αποστάσεων ηλεκτρίζει τον Γκρίνφελντ.

Πριν το καταλάβουν, είχαν ξεκινήσει όχι μια αλλαγή κατεύθυνσης αλλά δύο.

«Στην πραγματικότητα σταματήσαμε να δίνουμε προσοχή στο πού πηγαίναμε και δεν κατεβήκαμε από τον αυτοκινητόδρομο ταχείας κυκλοφορίας», είπε ο Peluse. «Πηγαίναμε προς την αντίθετη κατεύθυνση από το Ρότσεστερ για μια ώρα πριν το προσέξουμε, γιατί ήμασταν τόσο ενθουσιασμένοι με τα μαθηματικά».

Το 1945, ο Norman Anning και ο Paul Erdős αποδείχθηκε ότι ένα άπειρο σύνολο σημείων στο επίπεδο που απέχουν όλες ακέραιες αποστάσεις μεταξύ τους πρέπει να βρίσκεται σε μια ευθεία. Για ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων, οι δυνατότητες είναι λίγο πιο ποικίλες. Οι μαθηματικοί έχουν κατασκευάσει μεγάλα σύνολα που βρίσκονται είτε σε μια γραμμή είτε σε έναν κύκλο, μερικές φορές με τρία ή τέσσερα επιπλέον σημεία που είναι εκτός της κύριας έλξης. (Τα σημεία δεν χρειάζεται να έχουν ακέραιες συντεταγμένες — το ερώτημα αφορά τις αποστάσεις μεταξύ τους.)

Κανείς δεν έχει βρει ένα μεγάλο σύνολο σημείων με οποιαδήποτε άλλη διαμόρφωση, αλλά κανείς δεν έχει αποδείξει ότι άλλες διαμορφώσεις είναι αδύνατες. Στα σχεδόν 80 χρόνια από το αποτέλεσμα των Anning και Erdős, το θέμα δεν έχει δει ουσιαστικά καμία πρόοδο — μέχρι τώρα.

Γκρίνφελντ, Ηλιοπούλου και Πελούζ έχουν αποδείχθηκε ότι όλα τα σημεία σε ένα σύνολο μεγάλων ακέραιων αποστάσεων - εκτός ίσως από μια αραιή χούφτα ακραίων σημείων - πρέπει να βρίσκονται σε μια μόνο γραμμή ή κύκλο. "Αν θέλετε να έχετε ένα μεγάλο σύνολο όπου όλες οι αποστάσεις κατά ζεύγη είναι ακέραιοι, τότε οι κύκλοι και οι γραμμές είναι οι μόνοι παίκτες", είπε József Solymosi του Πανεπιστημίου της Βρετανικής Κολομβίας. Ονόμασε το αποτέλεσμά τους «φανταστική λύση».

Η νέα προσέγγιση χρησιμοποιεί ιδέες και τεχνικές από τρεις διακριτούς τομείς των μαθηματικών: συνδυαστική, θεωρία αριθμών και αλγεβρική γεωμετρία. Αυτή η ένωση διαφορετικών πεδίων «θα μπορούσε να είναι μια πραγματική ψυχολογική ανακάλυψη», είπε Τερένς Τάο, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες.

Άλεξ Ιόσεβιτς, του Πανεπιστημίου του Ρότσεστερ, συμφωνεί. «Έθεσαν μια πολύ γερή βάση για ένα πολύ ευρύ σύνολο προβλημάτων», είπε. «Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία στο μυαλό μου ότι αυτό θα βρει ακόμα πιο βαθιές εφαρμογές».

Τα όρια της απλότητας

Μέσα σε ένα επίπεδο, είναι εύκολο να επιλέξετε ένα άπειρο σύνολο σημείων που απέχουν όλα ακέραιες αποστάσεις μεταξύ τους — απλώς πάρτε την αγαπημένη σας γραμμή, φανταστείτε μια αριθμητική γραμμή πάνω της και χρησιμοποιήστε μερικά ή όλα τα σημεία που αντιστοιχούν σε ακέραιους αριθμούς. Αλλά αυτός είναι ο μόνος τρόπος για να κατασκευάσετε μια άπειρη ακέραια απόσταση στο επίπεδο, όπως συνειδητοποίησαν οι Anning και Erdős το 1945. Μόλις έχετε μόνο τρία σημεία που δεν βρίσκονται όλα στην ίδια γραμμή, η διαμόρφωσή σας γίνεται τόσο περιορισμένη που είναι αδύνατο για να προσθέσω άπειρους ακόμα πόντους.

Ο λόγος συνοψίζεται στην απλή γεωμετρία. Φανταστείτε να ξεκινάτε με δύο σημεία, το Α και το Β, που απέχουν μια ακέραια απόσταση μεταξύ τους. Εάν θέλετε να προσθέσετε ένα τρίτο σημείο, το C, που είναι μια ακέραια απόσταση τόσο από το Α όσο και από το Β, αλλά δεν βρίσκεται στη γραμμή που διέρχεται από αυτά, τα περισσότερα σημεία στο επίπεδο δεν θα λειτουργήσουν. Τα μόνα βιώσιμα σημεία ζουν σε ειδικές καμπύλες που ονομάζονται υπερβολές που κόβουν μεταξύ του Α και του Β. Εάν το Α και το Β απέχουν, ας πούμε, 4 μονάδες μεταξύ τους, τότε υπάρχουν ακριβώς τέσσερις από αυτές τις υπερβολές. (Μια υπερβολή έχει συνήθως δύο διακριτά μέρη, έτσι για παράδειγμα οι δύο κόκκινες καμπύλες στο παρακάτω σχήμα σχηματίζουν μια ενιαία υπερβολή.)

Αφού επιλέξετε το C (το οποίο σε αυτό το παράδειγμα είναι 3 μονάδες από το Α και 5 μονάδες από το Β), δεν έχετε σχεδόν καμία επιλογή για να προσθέσετε περισσότερους πόντους. Οποιοδήποτε σημείο μπορείτε να προσθέσετε πρέπει να βρίσκεται σε μία από τις υπερβολές μεταξύ Α και Β ή στη γραμμή που τις διασχίζει. Αλλά πρέπει επίσης να βρίσκεται σε μία από τις υπερβολές μεταξύ Α και Γ και σε μία από τις υπερβολές μεταξύ Β και Γ (ή τις αντίστοιχες ευθείες) — με άλλα λόγια, ένα νέο σημείο μπορεί να τοποθετηθεί μόνο εκεί όπου τέμνονται τρεις υπερβολές ή ευθείες (αν και δεν θα λειτουργήσει κάθε σημείο τομής). Υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλές από αυτές τις υπερβολές και γραμμές για αρχή, και δύο υπερβολές (ή γραμμές) μπορούν να τέμνονται το πολύ σε τέσσερα σημεία. Έτσι καταλήγετε να έχετε μόνο πεπερασμένα πολλά σημεία τομής για να διαλέξετε — δεν μπορείτε να δημιουργήσετε ένα άπειρο σύνολο.

Όταν πρόκειται να κατανοήσουμε πώς μοιάζει στην πραγματικότητα ένα πεπερασμένο σύνολο ακέραιων σημείων απόστασης, η προσέγγιση της υπερβολής γίνεται γρήγορα δυσκίνητη. Καθώς προσθέτετε πόντους, πρέπει να αντιμετωπίσετε αυξανόμενους αριθμούς υπερβολών. Για παράδειγμα, από τη στιγμή που το σετ σας έχει μόλις 10 πόντους, προσθέτοντας έναν 11ο θα δημιουργηθούν 10 νέες οικογένειες υπερβολών — όλες εκείνες μεταξύ του νέου σας σημείου και καθενός από τα σημεία που βρίσκονται ήδη στο σύνολο. «Δεν μπορείτε να προσθέσετε πολλά σημεία, γιατί θα χαθείτε σε όλες αυτές τις υπερβολές και τις διασταυρώσεις», είπε ο Γκρίνφελντ.

Έτσι, οι μαθηματικοί έχουν αναζητήσει πιο διαχειρίσιμες αρχές για την κατασκευή μεγάλων συνόλων ακέραιων σημείων απόστασης που δεν βρίσκονται σε μια γραμμή. Αλλά κατάφεραν να καταλήξουν σε μία μόνο προσέγγιση: Βάλτε τα σημεία σας σε έναν κύκλο. Εάν θέλετε μια ακέραια απόσταση με, ας πούμε, ένα τρισεκατομμύριο σημεία, υπάρχουν τρόποι να βρείτε ένα τρισεκατομμύριο σημεία σε έναν κύκλο ακτίνας 1 του οποίου οι αποστάσεις μεταξύ τους είναι όλες κλάσματα. Στη συνέχεια, μπορείτε να διογκώσετε τον κύκλο έως ότου όλες οι κλασματικές αποστάσεις μετατραπούν σε ακέραιους αριθμούς. Όσο περισσότερους πόντους θέλετε στο σετ σας, τόσο περισσότερους θα χρειαστεί να διογκώσετε τον κύκλο.

Με τα χρόνια, οι μαθηματικοί έχουν καταλήξει σε ελαφρώς πιο εξωτικά παραδείγματα. Μπορούν να κατασκευάσουν μεγάλα σύνολα ακέραιων αποστάσεων στα οποία όλα εκτός από τέσσερα σημεία βρίσκονται σε μια γραμμή ή όλα εκτός από τρία βρίσκονται σε έναν κύκλο. Πολλοί μαθηματικοί υποπτεύονται ότι αυτά είναι τα μόνα σύνολα μεγάλων ακέραιων αποστάσεων στα οποία δεν βρίσκονται όλα τα σημεία σε μια ευθεία ή έναν κύκλο. Θα το ξέρουν σίγουρα αν μπορέσουν ποτέ να αποδείξουν κάτι που ονομάζεται εικασία Bombieri-Lang. Αλλά οι μαθηματικοί διχάζονται σχετικά με το αν αυτή η εικασία είναι πιθανό να είναι αληθινή.

Από την εργασία των Anning και Erdős το 1945, οι μαθηματικοί έχουν σημειώσει μικρή πρόοδο στην κατανόηση των συνόλων ακέραιων αποστάσεων. Με την πάροδο του χρόνου, το πρόβλημα της ακέραιας απόστασης φάνηκε να ενώνει μια σειρά άλλων προβλημάτων συνδυαστικής, θεωρίας αριθμών και γεωμετρίας που είναι απλά να δηλωθούν αλλά φαινομενικά αδύνατο να επιλυθούν. «Είναι ένα μέτρο του πόσο αξιολύπητα είναι τα μαθηματικά μας», είπε ο Tao.

Κατά κάποιο τρόπο, το πρόβλημα της ακέραιας απόστασης ήταν θύμα των πρώιμων επιτυχιών του. Η απόδειξη της υπερβολής, με την ευφυή απλότητά της, είναι εμβληματική της φιλοσοφίας που ασπάζεται ο Erdős, ένας μαθηματικός με μεγάλη επιρροή που συχνά μιλούσε για το "The Book" - έναν φανταστικό τόμο από τις πιο κομψές αποδείξεις στα μαθηματικά. Η κουλτούρα της απλότητας που προωθείται από τον Erdős οδήγησε σε «τεράστια αποτελέσματα» στη συνδυαστική γεωμετρία, είπε ο Iosevich. Αλλά μπορεί επίσης να οδηγήσει σε τυφλά σημεία - σε αυτή την περίπτωση, σχετικά με την αξία της εισαγωγής προσεγγίσεων από την αλγεβρική γεωμετρία.

«Δεν νομίζω ότι θα βρείτε ένα αποτέλεσμα [στην αλγεβρική γεωμετρία] αποδεδειγμένο τα τελευταία 50 χρόνια που να μην είναι πολύ τεχνικά εμπλεκόμενο και ακατάστατο», είπε ο Iosevich. «Ωστόσο, μερικές φορές τα πράγματα πρέπει να είναι έτσι».

Εκ των υστέρων, το πρόβλημα της ακέραιης απόστασης περίμενε τους μαθηματικούς που ήταν πρόθυμοι να εξετάσουν περισσότερες απείθαρχες καμπύλες από τις υπερβολές και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουν εργαλεία από την αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών για να τις δαμάσουν. «Απαιτούσε ανθρώπους με επαρκές εύρος γνώσεων και ενδιαφέροντος», είπε ο Ιόσεβιτς.

Οι περισσότεροι μαθηματικοί, είπε, αρκούνται στο να χρησιμοποιούν μερικά εργαλεία σε μια γωνιά των μαθηματικών για ολόκληρη την καριέρα τους. Αλλά ο Γκρίνφελντ, η Ηλιοπούλου και ο Πελούζ είναι ατρόμητοι εξερευνητές, είπε ο Ιόσεβιτς. «Βλέπουν τα μαθηματικά ως ένα συνεκτικό σύνολο».

Περιπλοκοποίηση του Προβλήματος

Το καλοκαίρι του 2021, ο Γκρίνφελντ αποφάσισε ότι ήταν καιρός να ρίξει μια μαχαιριά σε ένα πρόβλημα από την αρμονική ανάλυση που σκεφτόταν από το μεταπτυχιακό. Η κλασική αρμονική ανάλυση, η οποία αποτελεί τη βάση για την επεξεργασία του σήματος στον πραγματικό κόσμο, έχει να κάνει με την αποσύνθεση των σημάτων σε ημιτονοειδές κύματα διαφορετικών συχνοτήτων και φάσεων. Αυτή η διαδικασία λειτουργεί επειδή είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια άπειρη λίστα ημιτονοειδών κυμάτων που, όταν συνδυάζονται, καταγράφουν όλα τα χαρακτηριστικά οποιουδήποτε σήματος, χωρίς κανένα πλεονασμό.

Συχνά, όμως, οι ερευνητές θέλουν να μελετήσουν κάτι πιο περίπλοκο από ένα μονοδιάστατο σήμα. Για παράδειγμα, μπορεί να θέλουν να αποσυνθέσουν ένα σήμα σε έναν δίσκο στο επίπεδο. Αλλά ο δίσκος μπορεί να φιλοξενήσει μόνο μια πεπερασμένη συλλογή συμβατών ημιτονοειδών κυμάτων — πολύ λίγα για να καταγράψει τη συμπεριφορά όλων των πιθανών σημάτων στο δίσκο. Το ερώτημα τότε γίνεται: Πόσο μεγάλη μπορεί να είναι αυτή η πεπερασμένη συλλογή;

Σε μια τέτοια συλλογή, οι συχνότητες των ημιτόνων μπορούν να αναπαρασταθούν ως σημεία στο επίπεδο που φαίνονται αντίθετα με τη ομαδοποίηση σε ευθείες και κύκλους: Δεν θα βρείτε ποτέ τρία σημεία που είναι όλα κοντά στην ίδια ευθεία ή τέσσερα που είναι όλα κοντά στον ίδιο κύκλο. Ο Greenfeld ήλπιζε να χρησιμοποιήσει αυτή την αποστροφή για να αποδείξει ότι αυτά τα σύνολα συχνοτήτων μπορούν να περιέχουν μόνο μερικά σημεία.

Σε μια συνάντηση του 2021 στο Πανεπιστήμιο της Βόννης, ο Γκρίνφελντ παρακολούθησε μια ομιλία για την «μέθοδο του προσδιορισμού», μια τεχνική από τη θεωρία αριθμών που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκτιμηθεί πόσα ακέραια σημεία ορισμένων τύπων μπορούν να βρίσκονται σε καμπύλες. Αυτό το εργαλείο, συνειδητοποίησε, μπορεί να είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόταν. Ο Γκρίνφελντ επιστράτευσε την Ηλιοπούλου και τον Πελούζε, που ήταν επίσης στη συνάντηση. «Αρχίσαμε να μαθαίνουμε αυτή τη μέθοδο μαζί», είπε ο Greenfeld.

Όμως, παρά τις πολλές προσπάθειες, δεν μπορούσαν να λύσουν την καθοριστική μέθοδο για τον σκοπό τους και μέχρι την άνοιξη του 2023, ένιωθαν αποθαρρυμένοι. Ο Ιόσεβιτς είχε προσκαλέσει τον Γκρίνφελντ και τον Πελούζ να οδηγήσουν στο Ρότσεστερ για μια επίσκεψη. «Λοιπόν σκεφτόμασταν, «Εντάξει, θα πάμε στο Ρότσεστερ και η συζήτηση με τον Άλεξ θα μας αναζωογονήσει», είπε ο Πελούζ. Όμως, όπως αποδείχτηκε, προσγειώθηκαν στο Ρότσεστερ ήδη αναζωογονημένοι, χάρη σε μια συναρπαστική συζήτηση για σετ ακεραίων αποστάσεων στην απρογραμμάτιστη παράκαμψή τους κατά μήκος του ποταμού Susquehanna στην Πενσυλβάνια.

Έφτασαν πολύ αργά για ένα προγραμματισμένο δείπνο με τον Ιόσεβιτς, αλλά τον βρήκαν να περιμένει στο λόμπι του ξενοδοχείου με σακούλες με φαγητά σε πακέτο. Τους συγχώρεσε την καθυστέρηση — και ήταν κάτι παραπάνω από συγχωρετικό το επόμενο πρωί, όταν του είπαν για το σχέδιό τους να αντιμετωπίσουν σετ ακεραίων αποστάσεων. «Ήταν τόσο ενθουσιασμένος», θυμάται ο Πελούζ. «Συναισθηματικά, αυτό ήταν μια τεράστια ώθηση».

Όπως και με την προσέγγιση της υπερβολής, οι Greenfeld, Iliopoulou και Peluse προσπάθησαν να ελέγξουν τη δομή των συνόλων ακέραιων αποστάσεων προσδιορίζοντας οικογένειες καμπυλών στις οποίες πρέπει να βρίσκονται τα σημεία. Η μέθοδος της υπερβολής αρχίζει να γίνεται πολύ περίπλοκη μόλις έχετε περισσότερα από λίγα σημεία, αλλά ο Greenfeld, η Ηλιοπούλου και ο Peluse κατάλαβαν πώς να λάβουν υπόψη πολλά σημεία ταυτόχρονα μετακινώντας ολόκληρη τη διαμόρφωση σε έναν χώρο υψηλότερης διάστασης.

Για να δείτε πώς λειτουργεί αυτό, ας υποθέσουμε ότι ξεκινάτε με ένα σημείο «αναφοράς» Α στο σύνολο ακέραιων αποστάσεων. Κάθε άλλο σημείο στο σύνολο είναι μια ακέραια απόσταση από το Α. Τα σημεία βρίσκονται σε ένα επίπεδο, αλλά μπορείτε να προσκρούσετε το επίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο επιλέγοντας μια τρίτη συντεταγμένη σε κάθε σημείο, η τιμή της οποίας είναι η απόσταση από το Α. Για παράδειγμα , ας υποθέσουμε ότι το Α είναι το σημείο (1, 3). Τότε το σημείο (4, 7), που απέχει 5 μονάδες από το Α, μετατρέπεται στο σημείο (4, 7, 5) σε τρισδιάστατο χώρο. Αυτή η διαδικασία μετατρέπει το επίπεδο σε έναν κώνο σε τρισδιάστατο χώρο του οποίου η άκρη βρίσκεται στο Α, τώρα με την ένδειξη (1, 3, 0). Τα ακέραια σημεία απόστασης γίνονται σημεία στον τρισδιάστατο χώρο που βρίσκονται στον κώνο και επίσης σε ένα συγκεκριμένο πλέγμα.

Ομοίως, εάν επιλέξετε δύο σημεία αναφοράς, το Α και το Β, μπορείτε να μετατρέψετε σημεία στο επίπεδο σε σημεία τετραδιάστατου χώρου — απλώς δώστε σε κάθε σημείο δύο νέες συντεταγμένες των οποίων οι τιμές είναι οι αποστάσεις του από το Α και το Β. Αυτή η διαδικασία μετατρέπει το επίπεδο σε μια καμπυλωτή επιφάνεια σε τετραδιάστατο χώρο. Μπορείτε να συνεχίσετε να προσθέτετε περισσότερα σημεία αναφοράς με αυτόν τον τρόπο. Με κάθε νέο σημείο αναφοράς, η διάσταση αυξάνεται κατά ένα και το επίπεδο χαρτογραφείται σε μια ακόμη πιο τρελή επιφάνεια (ή, όπως λένε οι μαθηματικοί, σε μια επιφάνεια υψηλότερου βαθμού).

Με αυτό το πλαίσιο σε ισχύ, οι ερευνητές χρησιμοποίησαν τη μέθοδο προσδιορισμού από τη θεωρία αριθμών. Οι ορίζουσες είναι αριθμοί, που συνήθως συνδέονται με πίνακες, που καταγράφουν μια σειρά από γεωμετρικές ιδιότητες μιας συλλογής σημείων — για παράδειγμα, μια συγκεκριμένη ορίζουσα μπορεί να μετρήσει την περιοχή του τριγώνου που σχηματίζεται από τρία από τα σημεία. Η μέθοδος προσδιορισμού προσφέρει έναν τρόπο χρήσης τέτοιων καθοριστικών παραγόντων για την εκτίμηση του αριθμού των σημείων που βρίσκονται ταυτόχρονα σε μια τρελή επιφάνεια και σε ένα πλέγμα - ακριβώς με την κατάσταση που αντιμετώπιζαν οι Greenfeld, Ηλιοπούλου και Peluse.

Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν μια γραμμή εργασίας βασισμένη στη μέθοδο προσδιορισμού για να δείξουν ότι όταν προσκρούουν στην ακέραια απόσταση που έχει ρυθμιστεί σε μια κατάλληλα υψηλή διάσταση, τα σημεία πρέπει όλα να βρίσκονται σε έναν μικρό αριθμό ειδικών καμπυλών. Αυτές οι καμπύλες, όταν οι σκιές τους στο επίπεδο δεν είναι μια γραμμή ή ένας κύκλος, δεν μπορούν να περιέχουν πολλά σημεία πλέγματος, τα οποία είναι τα μόνα υποψήφια σημεία στο σύνολο ακέραιων αποστάσεων. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των σημείων στο σύνολο που μπορούν να βρίσκονται εκτός της κύριας γραμμής ή του κύκλου είναι περιορισμένος - οι ερευνητές έδειξαν ότι πρέπει να είναι μικρότερος από μια πολύ αργά αναπτυσσόμενη συνάρτηση της διαμέτρου του σετ.

Το όριο τους δεν φτάνει το πρότυπο της εικασίας «τέσσερα σημεία εκτός γραμμής ή τρία σημεία έξω από τον κύκλο» που πολλοί μαθηματικοί πιστεύουν ότι ισχύει για μεγάλα σύνολα ακέραιων αποστάσεων. Ακόμα κι έτσι, το αποτέλεσμα δείχνει ότι «η ουσία της εικασίας είναι αληθινή», δήλωσε ο Jacob Fox του Πανεπιστημίου Στάνφορντ. Μια πλήρης απόδειξη της εικασίας θα απαιτήσει πιθανότατα μια άλλη έγχυση νέων ιδεών, είπαν οι μαθηματικοί.

Το σχήμα κωδικοποίησης υψηλών διαστάσεων της ομάδας είναι «εξαιρετικά ισχυρό», είπε ο Iosevich. "Δεν υπάρχουν μόνο εφαρμογές κατ' αρχήν - υπάρχουν εφαρμογές που ήδη σκέφτομαι."

Μία εφαρμογή, ο Greenfeld, η Ηλιοπούλου και ο Peluse ελπίζουν, θα είναι στο αρχικό τους πρόβλημα αρμονικής ανάλυσης, στο οποίο επιστρέφουν τώρα οι τρεις. Το αποτέλεσμά τους σε σύνολα ακέραιων αποστάσεων «θα μπορούσε να είναι ένα σκαλοπάτι προς αυτό», είπε ο Greenfeld.

Η σύνθεση της συνδυαστικής με την αλγεβρική γεωμετρία που ξεκίνησαν οι ερευνητές δεν θα σταματήσει με σύνολα ακέραιων αποστάσεων ή συναφή προβλήματα στην αρμονική ανάλυση, προέβλεψε ο Iosevich. «Πιστεύω ότι αυτό που βλέπουμε είναι μια εννοιολογική ανακάλυψη», είπε. «Αυτό στέλνει ένα μήνυμα στους ανθρώπους και στους δύο τομείς ότι αυτή είναι μια πολύ παραγωγική αλληλεπίδραση».

Στέλνει επίσης ένα μήνυμα σχετικά με την αξία του να κάνεις μερικές φορές ένα πρόβλημα πιο περίπλοκο, είπε ο Tao. Οι μαθηματικοί συνήθως προσπαθούν για το αντίστροφο, σημείωσε. «Αλλά αυτό είναι ένα παράδειγμα όπου η περιπλοκοποίηση του προβλήματος είναι στην πραγματικότητα η σωστή κίνηση».

Η πρόοδος έχει αλλάξει τον τρόπο που σκέφτεται για τις καμπύλες υψηλού βαθμού, είπε. «Μερικές φορές μπορεί να είναι φίλοι σου και όχι εχθροί σου».