Τον τρίτο αιώνα π.Χ., ο Αρχιμήδης θέτει ένας γρίφος για την βοσκή βοοειδών που, όπως ισχυρίστηκε, μόνο ένας πραγματικά σοφός άνθρωπος θα μπορούσε να λύσει. Το πρόβλημά του τελικά κατέληξε σε μια εξίσωση που περιλαμβάνει τη διαφορά μεταξύ δύο τετραγωνικών όρων, η οποία μπορεί να γραφτεί ως x2 - dy2 = 1. Εδώ, d είναι ακέραιος — θετικός ή αρνητικός αριθμός μέτρησης — και ο Αρχιμήδης αναζητούσε λύσεις όπου και τα δύο x και y είναι και ακέραιοι.
Αυτή η κατηγορία εξισώσεων, που ονομάζονται εξισώσεις Pell, έχει γοητεύσει τους μαθηματικούς εδώ και χιλιετίες από τότε.
Μερικούς αιώνες μετά τον Αρχιμήδη, ο Ινδός μαθηματικός Brahmagupta, και αργότερα ο μαθηματικός Bhāskara II, παρείχαν αλγόριθμους για την εύρεση ακέραιων λύσεων σε αυτές τις εξισώσεις. Στα μέσα του 1600, ο Γάλλος μαθηματικός Pierre de Fermat (ο οποίος δεν γνώριζε αυτό το έργο) ανακάλυψε ξανά ότι σε ορισμένες περιπτώσεις, ακόμη και όταν d του αποδόθηκε μια σχετικά μικρή τιμή, οι μικρότερες δυνατές ακέραιες λύσεις για x και y θα μπορούσε να είναι μαζική. Όταν έστειλε μια σειρά από προβλήματα πρόκλησης σε ανταγωνιστές μαθηματικούς, συμπεριέλαβαν την εξίσωση x2 - 61y2 = 1, του οποίου οι μικρότερες λύσεις έχουν εννέα ή 10 ψηφία. (Όσο για τον Αρχιμήδη, το αίνιγμα του ουσιαστικά ζητούσε ακέραιες λύσεις στην εξίσωση x2 - 4,729,494y2 = 1. "Για να εκτυπώσετε τη μικρότερη λύση, χρειάζονται 50 σελίδες", είπε Peter Koymans, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν. «Κατά κάποιο τρόπο, είναι ένα γιγάντιο τρολ του Αρχιμήδη.»)
Αλλά οι λύσεις στις εξισώσεις Pell μπορούν να κάνουν πολύ περισσότερα. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι θέλετε να προσεγγίσετε το $latex sqrt{2}$, έναν παράλογο αριθμό, ως αναλογία ακεραίων. Αποδεικνύεται ότι η επίλυση της εξίσωσης Pell x2 - 2y2 = 1 μπορεί να σας βοηθήσει να το κάνετε αυτό: $latex sqrt{2}$ (ή, γενικότερα, $latex sqrt{d}$) μπορεί να προσεγγιστεί καλά γράφοντας ξανά τη λύση ως κλάσμα της φόρμας x/y.
Ίσως ακόμη πιο ενδιαφέρουσα, αυτές οι λύσεις σας λένε επίσης κάτι για συγκεκριμένα συστήματα αριθμών, τα οποία οι μαθηματικοί αποκαλούν δαχτυλίδια. Σε ένα τέτοιο σύστημα αριθμών, οι μαθηματικοί μπορεί να προσαρτούν το $latex sqrt{2}$ στους ακέραιους αριθμούς. Οι δακτύλιοι έχουν ορισμένες ιδιότητες και οι μαθηματικοί θέλουν να κατανοήσουν αυτές τις ιδιότητες. Η εξίσωση Pell, αποδεικνύεται, μπορεί να τους βοηθήσει να το κάνουν.
Και έτσι "πολλοί πολύ διάσημοι μαθηματικοί - σχεδόν κάθε μαθηματικός σε κάποια χρονική περίοδο - μελέτησαν πραγματικά αυτήν την εξίσωση λόγω του πόσο απλή είναι", είπε Μαρκ Σούστερμαν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ. Αυτοί οι μαθηματικοί ήταν οι Fermat, Euler, Lagrange και Dirichlet. (Τζον Πελ, όχι και τόσο· η εξίσωση ονομάστηκε κατά λάθος από αυτόν.)
Τώρα ο Koymans και Κάρλο Παγκάνο, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Concordia στο Μόντρεαλ, έχουν αποδείχθηκε μια εικασία δεκαετιών σχετίζεται με την εξίσωση Pell, μια εξίσωση που ποσοτικοποιεί πόσο συχνά μια συγκεκριμένη μορφή της εξίσωσης έχει ακέραιες λύσεις. Για να το κάνουν αυτό, εισήγαγαν ιδέες από ένα άλλο πεδίο - τη θεωρία ομάδων - ενώ ταυτόχρονα απέκτησαν καλύτερη κατανόηση ενός βασικού αλλά μυστηριώδους αντικειμένου μελέτης σε αυτόν τον τομέα. «Χρησιμοποιούσαν πραγματικά βαθιές και όμορφες ιδέες», είπε Andrew Granville, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ. «Πραγματικά το κάρφωσαν».
Σπασμένη Αριθμητική
Στις αρχές της δεκαετίας του 1990, Peter Stevenhagen, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Λέιντεν στην Ολλανδία, εμπνεύστηκε μερικές από τις συνδέσεις που είδε μεταξύ των εξισώσεων Pell και της θεωρίας των ομάδων για να κάνει μια εικασία σχετικά με το πόσο συχνά αυτές οι εξισώσεις έχουν ακέραιες λύσεις. Αλλά «δεν περίμενα ότι θα αποδειχτεί σύντομα», είπε — ή ακόμα και στη διάρκεια της ζωής του. Οι διαθέσιμες τεχνικές δεν φάνηκαν αρκετά ισχυρές για να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα.
Η εικασία του εξαρτάται από ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των δαχτυλιδιών. Στο δαχτυλίδι των αριθμών όπου, για παράδειγμα, έχει προστεθεί $latex sqrt{-5}$ στους ακέραιους αριθμούς (οι μαθηματικοί συχνά εργάζονται με "φανταστικούς" αριθμούς όπως $latex sqrt{-5}$), υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι χωρίσει έναν αριθμό στους πρώτους παράγοντες του. Ο αριθμός 6, για παράδειγμα, μπορεί να γραφτεί όχι μόνο ως 2 × 3, αλλά και ως (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Ως αποτέλεσμα, σε αυτόν τον δακτύλιο, η μοναδική παραγοντοποίηση πρώτων - ένα κεντρικό δόγμα της αριθμητικής, που πρακτικά θεωρείται δεδομένο στους κανονικούς ακέραιους αριθμούς - καταρρέει. Ο βαθμός στον οποίο συμβαίνει αυτό κωδικοποιείται σε ένα αντικείμενο που σχετίζεται με αυτόν τον δακτύλιο, που ονομάζεται ομάδα κλάσης.
Ένας τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικοί προσπαθούν να αποκτήσουν βαθύτερες γνώσεις για ένα σύστημα αριθμών που τους ενδιαφέρει — για παράδειγμα, $latex sqrt{2}$ που συνδέεται με τους ακέραιους αριθμούς — είναι να υπολογίσουν και να μελετήσουν την ομάδα τάξης του. Ωστόσο, είναι σχεδόν απαγορευτικά δύσκολο να προσδιοριστούν γενικοί κανόνες για το πώς συμπεριφέρονται οι ομάδες τάξης σε όλα αυτά τα διαφορετικά συστήματα αριθμών.
Στη δεκαετία του 1980 οι μαθηματικοί Ανρί Κοέν και Χέντρικ Λένστρα διατυπώσει ένα ευρύ σύνολο εικασιών σχετικά με το πώς πρέπει να μοιάζουν αυτοί οι κανόνες. Αυτά τα «ευρετικά Cohen-Lenstra» θα μπορούσαν να σας πουν πολλά για τις ομάδες κλάσεων, οι οποίες με τη σειρά τους θα αποκαλύψουν ιδιότητες των υποκείμενων συστημάτων αριθμών τους.
Υπήρχε μόνο ένα πρόβλημα. Ενώ πολλοί υπολογισμοί φαίνεται να υποστηρίζουν την ευρετική Cohen-Lenstra, εξακολουθούν να είναι εικασίες, όχι αποδείξεις. «Όσον αφορά τα θεωρήματα, μέχρι πολύ πρόσφατα δεν γνωρίζαμε σχεδόν τίποτα», είπε Άλεξ Μπάρτελ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Γλασκώβης.
Περιέργως, η τυπική συμπεριφορά μιας ομάδας τάξης είναι άρρηκτα συνυφασμένη με τη συμπεριφορά των εξισώσεων Pell. Η κατανόηση του ενός προβλήματος βοηθά στην κατανόηση του άλλου - τόσο πολύ που η εικασία του Stevenhagen «είναι επίσης ένα δοκιμαστικό πρόβλημα για οποιαδήποτε πρόοδο έχει σημειωθεί στα ευρετικά Cohen-Lenstra», είπε ο Pagano.
Η νέα εργασία περιλαμβάνει την αρνητική εξίσωση Pell, όπου x2 - dy2 ορίζεται σε ίσο με −1 αντί για 1. Σε αντίθεση με την αρχική εξίσωση Pell, η οποία έχει πάντα έναν άπειρο αριθμό ακεραίων λύσεων για οποιαδήποτε d, όχι όλες οι τιμές του d στην αρνητική εξίσωση Pell δίνεται μια εξίσωση που μπορεί να λυθεί. Παίρνω x2 - 3y2 = −1: Όσο μακριά κι αν κοιτάξετε κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής, δεν θα βρείτε ποτέ λύση, παρόλο που x2 - 3y2 = 1 έχει άπειρες λύσεις.
Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλές αξίες του d για τις οποίες δεν μπορεί να λυθεί η αρνητική εξίσωση Pell: Με βάση γνωστούς κανόνες σχετικά με το πώς ορισμένοι αριθμοί σχετίζονται μεταξύ τους, d δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο των 3, 7, 11, 15 και ούτω καθεξής.
Αλλά ακόμα κι όταν αποφεύγεις αυτές τις αξίες του d και λάβετε υπόψη μόνο τις υπόλοιπες αρνητικές εξισώσεις Pell, δεν είναι πάντα δυνατό να βρείτε λύσεις. Σε αυτό το μικρότερο σύνολο πιθανών τιμών του d, ποια αναλογία λειτουργεί πραγματικά;
Το 1993, ο Stevenhagen πρότεινε μια φόρμουλα που έδωσε μια ακριβή απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Από τις αξίες για d που θα μπορούσε να λειτουργήσει (δηλαδή, τιμές που δεν είναι πολλαπλάσια του 3, του 7, κ.λπ.), προέβλεψε ότι περίπου το 58% θα οδηγούσε σε αρνητικές εξισώσεις Pell με ακέραιες λύσεις.
Η εικασία του Stevenhagen υποκινήθηκε ιδιαίτερα από τη σύνδεση μεταξύ της αρνητικής εξίσωσης Pell και των ευρετικών Cohen-Lenstra στις ομάδες τάξης - έναν σύνδεσμο που ο Koymans και ο Pagano εκμεταλλεύτηκαν όταν, 30 χρόνια αργότερα, απέδειξαν τελικά ότι είχε δίκιο.
Ένα καλύτερο κανόνι
Το 2010, ο Koymans και ο Pagano ήταν ακόμη προπτυχιακοί φοιτητές - που δεν ήταν ακόμη εξοικειωμένοι με την εικασία του Stevenhagen - όταν κυκλοφόρησε μια εργασία που έκανε την πρώτη πρόοδο στο πρόβλημα εδώ και χρόνια.
Σε εκείνο το έργο, που ήταν δημοσιευμένο στο Χρονικά των Μαθηματικών, οι μαθηματικοί Étienne Fouvry και Γιούργκεν Κλίνερς έδειξε ότι η αναλογία των τιμών των d που θα λειτουργούσε για την αρνητική εξίσωση Pell έπεσε σε ένα συγκεκριμένο εύρος. Για να το κάνουν αυτό, έμαθαν τη συμπεριφορά ορισμένων στοιχείων των σχετικών ομάδων τάξης. Αλλά θα χρειάζονταν κατανόηση πολλών περισσότερων στοιχείων για να ενσωματώσουν την πολύ πιο ακριβή εκτίμηση του Stevenhagen του 58%. Δυστυχώς, αυτά τα στοιχεία παρέμειναν ανεξιχνίαστα: Χρειάζονταν ακόμα νέες μέθοδοι για να κατανοήσουν τη δομή τους. Η περαιτέρω πρόοδος φαινόταν αδύνατη.
Στη συνέχεια, το 2017, όταν ο Koymans και ο Pagano ήταν και οι δύο στο μεταπτυχιακό στο Πανεπιστήμιο του Leiden, εμφανίστηκε ένα χαρτί που άλλαξε τα πάντα. «Όταν το είδα αυτό, κατάλαβα αμέσως ότι ήταν ένα πολύ, πολύ εντυπωσιακό αποτέλεσμα», είπε ο Koymans. «Ήταν σαν, εντάξει, τώρα έχω ένα κανόνι που μπορώ να πυροβολήσω σε αυτό το πρόβλημα και ελπίζω ότι μπορώ να σημειώσω πρόοδο». (Εκείνη την εποχή, ο Stevenhagen και ο Lenstra ήταν επίσης καθηγητές στο Leiden, κάτι που βοήθησε να προκαλέσει το ενδιαφέρον του Koymans και του Pagano για το πρόβλημα.)
Η εργασία ήταν από έναν μεταπτυχιακό φοιτητή στο Χάρβαρντ, Αλεξάντερ Σμιθ (ο οποίος είναι τώρα μέλος του Clay στο Stanford). Ο Koymans και ο Pagano δεν ήταν μόνοι που χαιρέτησαν το έργο ως μια σημαντική ανακάλυψη. «Οι ιδέες ήταν καταπληκτικές», είπε ο Γκράνβιλ. "Επαναστατικός."
Ο Smith προσπαθούσε να κατανοήσει τις ιδιότητες των λύσεων σε εξισώσεις που ονομάζονται ελλειπτικές καμπύλες. Με αυτόν τον τρόπο, επεξεργάστηκε ένα συγκεκριμένο μέρος της ευρετικής Cohen-Lenstra. Όχι μόνο ήταν το πρώτο σημαντικό βήμα για την παγίωση αυτών των ευρύτερων εικασιών ως μαθηματικών γεγονότων, αλλά αφορούσε ακριβώς το κομμάτι της ομάδας τάξης που ο Koymans και ο Pagano έπρεπε να κατανοήσουν στην εργασία τους για την εικασία του Stevenhagen. (Αυτό το κομμάτι περιλάμβανε τα στοιχεία που είχαν μελετήσει οι Fouvry και Klüners στο μερικό τους αποτέλεσμα, αλλά τα ξεπέρασε επίσης πολύ.)
Ωστόσο, ο Koymans και ο Pagano δεν μπορούσαν απλώς να χρησιμοποιήσουν τις μεθόδους του Smith αμέσως. (Αν αυτό ήταν δυνατό, πιθανότατα θα το είχε κάνει ο ίδιος ο Smith.) Η απόδειξη του Smith αφορούσε τις ομάδες τάξεων που σχετίζονται με τους σωστούς αριθμούς (αυτούς στους οποίους το $latex sqrt{d}$ συνδέεται με τους ακέραιους αριθμούς) — αλλά έλαβε υπόψη του όλους ακέραιες τιμές του d. Ο Koymans και ο Pagano, από την άλλη πλευρά, σκέφτονταν μόνο ένα μικρό υποσύνολο αυτών των αξιών d. Ως αποτέλεσμα, χρειάστηκε να αξιολογήσουν τη μέση συμπεριφορά μεταξύ ενός πολύ μικρότερου κλάσματος των ομάδων της τάξης.
Αυτές οι ομάδες τάξης αποτελούσαν ουσιαστικά το 0% των ομάδων τάξης του Smith — που σημαίνει ότι ο Smith μπορούσε να τις πετάξει όταν έγραφε την απόδειξή του. Δεν συνέβαλαν καθόλου στη μέση συμπεριφορά που μελετούσε.
Και όταν ο Koymans και ο Pagano προσπάθησαν να εφαρμόσουν τις τεχνικές του μόνο στις ομάδες τάξης που τους ένοιαζαν, οι μέθοδοι χάλασαν αμέσως. Το ζευγάρι θα πρέπει να κάνει σημαντικές αλλαγές για να τους κάνει να δουλέψουν. Επιπλέον, δεν χαρακτήριζαν απλώς μια ομάδα τάξης, αλλά μάλλον την ασυμφωνία που θα μπορούσε να υπάρχει μεταξύ δύο διαφορετικών ομάδων τάξης (κάνοντας κάτι τέτοιο θα αποτελούσε σημαντικό μέρος της απόδειξης της εικασίας του Stevenhagen) — κάτι που θα απαιτούσε επίσης κάποια διαφορετικά εργαλεία.
Έτσι ο Koymans και ο Pagano άρχισαν να χτενίζουν πιο προσεκτικά το χαρτί του Smith με την ελπίδα να εντοπίσουν ακριβώς πού άρχισαν να ξεφεύγουν τα πράγματα. Ήταν δύσκολη, επίπονη δουλειά, όχι μόνο επειδή το υλικό ήταν τόσο περίπλοκο, αλλά επειδή ο Smith εξακολουθούσε να βελτιώνει την προεκτύπωσή του εκείνη την εποχή, κάνοντας τις απαραίτητες διορθώσεις και διευκρινίσεις. (Δημοσίευσε το νέα έκδοση της εργασίας του online τον περασμένο μήνα.)
Για έναν ολόκληρο χρόνο, ο Koymans και ο Pagano μάθαιναν μαζί την απόδειξη, γραμμή προς γραμμή. Συναντιόντουσαν κάθε μέρα, συζητώντας για μια συγκεκριμένη ενότητα κατά τη διάρκεια του μεσημεριανού γεύματος προτού περάσουν μερικές ώρες σε έναν πίνακα, βοηθώντας ο ένας τον άλλον να επεξεργαστεί τις σχετικές ιδέες. Αν κάποιος από αυτούς έκανε πρόοδο μόνος του, έστελνε μήνυμα στον άλλο για να τον ενημερώσει. Ο Σούστερμαν θυμάται ότι μερικές φορές τους έβλεπε να δουλεύουν πολύ μέχρι τη νύχτα. Παρά τις (ή ίσως λόγω) των προκλήσεων που συνεπαγόταν, «ήταν πολύ διασκεδαστικό να το κάνουμε μαζί», είπε ο Koymans.
Εντόπισαν τελικά πού θα έπρεπε να δοκιμάσουν μια νέα προσέγγιση. Στην αρχή, κατάφεραν να κάνουν μόνο μέτριες βελτιώσεις. Μαζί με τους μαθηματικούς Στέφανι Τσαν και Τζόρτζο Μίλοβιτς, κατάλαβαν πώς να χειριστούν ορισμένα πρόσθετα στοιχεία στην ομάδα της τάξης, κάτι που τους επέτρεψε να αποκτήσουν καλύτερα όρια από αυτά που είχαν οι Fouvry και Klüners. Αλλά σημαντικά κομμάτια της δομής της ομάδας τάξης εξακολουθούσαν να τους διέφευγαν.
Ένα σημαντικό πρόβλημα που έπρεπε να αντιμετωπίσουν - κάτι για το οποίο η μέθοδος του Smith δεν λειτουργούσε πλέον σε αυτό το νέο πλαίσιο - ήταν να διασφαλίσουν ότι ανέλυαν πραγματικά τη «μέση» συμπεριφορά για τις ομάδες τάξης ως τις αξίες του d γινόταν όλο και μεγαλύτερο. Για να καθορίσουν τον κατάλληλο βαθμό τυχαιότητας, οι Koymans και Pagano απέδειξαν ένα περίπλοκο σύνολο κανόνων, που ονομάζονται νόμοι αμοιβαιότητας. Στο τέλος, αυτό τους επέτρεψε να αποκτήσουν τον έλεγχο που χρειάζονταν στη διαφορά μεταξύ των δύο ομάδων τάξης.
Αυτή η πρόοδος, σε συνδυασμό με άλλες, τους επέτρεψε να ολοκληρώσουν τελικά την απόδειξη της εικασίας του Stevenhagen νωρίτερα φέτος. «Είναι εκπληκτικό που μπόρεσαν να το λύσουν πλήρως», είπε ο Τσαν. «Προηγουμένως, είχαμε όλα αυτά τα προβλήματα».
Αυτό που έκαναν «με εξέπληξε», είπε ο Smith. «Οι Koymans και Pagano έχουν κρατήσει κάπως την παλιά μου γλώσσα και απλώς τη χρησιμοποίησαν για να πιέσουν όλο και περισσότερο σε μια κατεύθυνση που μετά βίας καταλαβαίνω πια».
Το πιο αιχμηρό εργαλείο
Από τη στιγμή που το εισήγαγε πριν από πέντε χρόνια, η απόδειξη του Smith για ένα μέρος της ευρετικής Cohen-Lenstra θεωρήθηκε ως ένας τρόπος να ανοίξουν οι πόρτες σε μια σειρά από άλλα προβλήματα, συμπεριλαμβανομένων ερωτήσεων σχετικά με τις ελλειπτικές καμπύλες και άλλες δομές ενδιαφέροντος. (Στην εργασία τους, οι Koymans και Pagano απαριθμούν περίπου δώδεκα εικασίες στις οποίες ελπίζουν να χρησιμοποιήσουν τις μεθόδους τους. Πολλές δεν έχουν καμία σχέση με την αρνητική εξίσωση Pell ή ακόμη και με τις ομάδες τάξης.)
«Πολλά αντικείμενα έχουν δομές που δεν είναι ανόμοιες με αυτού του είδους τις αλγεβρικές ομάδες», είπε ο Granville. Αλλά πολλά από τα ίδια οδοφράγματα που έπρεπε να αντιμετωπίσουν ο Koymans και ο Pagano είναι επίσης παρόντα σε αυτά τα άλλα πλαίσια. Η νέα εργασία για την αρνητική εξίσωση Pell βοήθησε στην εξάλειψη αυτών των οδοφραγμάτων. «Ο Αλέξανδρος Σμιθ μας είπε πώς να κατασκευάσουμε αυτά τα πριόνια και τα σφυριά, αλλά τώρα πρέπει να τα κάνουμε όσο το δυνατόν πιο αιχμηρά και όσο το δυνατόν πιο δυνατά και όσο το δυνατόν πιο προσαρμόσιμα σε διαφορετικές καταστάσεις», είπε ο Μπάρτελ. «Ένα από τα πράγματα που κάνει αυτό το έγγραφο είναι να πάει πολύ προς αυτή την κατεύθυνση».
Όλη αυτή η εργασία, εν τω μεταξύ, έχει βελτιώσει την κατανόηση των μαθηματικών για μία μόνο πτυχή των ομάδων τάξης. Οι υπόλοιπες εικασίες Cohen-Lenstra παραμένουν απρόσιτες, τουλάχιστον προς το παρόν. Αλλά η εργασία των Koymans και Pagano «είναι μια ένδειξη ότι οι τεχνικές που έχουμε για να επιτεθούμε στα προβλήματα στο Cohen-Lenstra είναι κατά κάποιο τρόπο μεγαλώνοντας», είπε ο Smith.
Ο ίδιος ο Λένστρα ήταν παρόμοια αισιόδοξος. Είναι «απολύτως θεαματικό», έγραψε σε ένα email. «Ανοίγει πραγματικά ένα νέο κεφάλαιο σε έναν κλάδο της θεωρίας αριθμών που είναι εξίσου παλιός με την ίδια τη θεωρία αριθμών».
