Εισαγωγή
Φανταστείτε ότι ένα πλέγμα από εξάγωνα, σαν κηρήθρα, απλώνεται μπροστά σας. Μερικά εξάγωνα είναι άδεια. άλλα γεμίζονται από μια στήλη από συμπαγές σκυρόδεμα ύψους 6 ποδιών. Το αποτέλεσμα είναι ένας λαβύρινθος. Για περισσότερο από μισό αιώνα, οι μαθηματικοί έχουν θέσει ερωτήσεις σχετικά με τέτοιους λαβύρινθους που δημιουργούνται τυχαία. Πόσο μεγάλος είναι ο μεγαλύτερος ιστός καθαρισμένων μονοπατιών; Ποιες είναι οι πιθανότητες να υπάρχει μονοπάτι από τη μία άκρη προς το κέντρο του πλέγματος και πάλι πίσω; Πώς αλλάζουν αυτές οι πιθανότητες καθώς το πλέγμα διογκώνεται σε μέγεθος, προσθέτοντας όλο και περισσότερα εξάγωνα στις άκρες του;
Αυτές οι ερωτήσεις είναι εύκολο να απαντηθούν εάν υπάρχει είτε πολύς κενός χώρος είτε πολύ σκυρόδεμα. Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε εξάγωνο εκχωρείται η κατάστασή του τυχαία, ανεξάρτητα από όλα τα άλλα εξάγωνα, με μια πιθανότητα που είναι σταθερή σε ολόκληρο το πλέγμα. Θα μπορούσε, ας πούμε, να υπάρχει πιθανότητα 1% κάθε εξάγωνο να είναι κενό. Το σκυρόδεμα συνωστίζει το πλέγμα, αφήνοντας μόνο μικρούς θύλακες αέρα ενδιάμεσα, με αποτέλεσμα να μηδενίζεται ουσιαστικά η πιθανότητα εύρεσης διαδρομής προς την άκρη. Από την άλλη πλευρά, εάν υπάρχει 99% πιθανότητα κάθε εξάγωνο να είναι άδειο, υπάρχει μόνο ένα λεπτό ράντισμα τσιμεντένιων τοίχων, με σημεία ανοιχτού χώρου - όχι πολύ λαβύρινθο. Η εύρεση μιας διαδρομής από το κέντρο προς την άκρη σε αυτή την περίπτωση είναι σχεδόν βέβαιο.
Για μεγάλα πλέγματα, υπάρχει μια αξιοσημείωτα ξαφνική αλλαγή όταν η πιθανότητα φτάσει στο 1/2. Ακριβώς όπως ο πάγος λιώνει σε υγρό νερό σε ακριβώς μηδέν βαθμούς Κελσίου, ο χαρακτήρας του λαβύρινθου αλλάζει δραστικά σε αυτό το σημείο μετάβασης, που ονομάζεται κρίσιμη πιθανότητα. Κάτω από την κρίσιμη πιθανότητα, το μεγαλύτερο μέρος του πλέγματος θα βρίσκεται κάτω από το σκυρόδεμα, ενώ τα άδεια μονοπάτια έρχονται πάντα σε αδιέξοδα. Πάνω από την κρίσιμη πιθανότητα, τεράστιες εκτάσεις έχουν μείνει άδειες και είναι οι τσιμεντένιοι τοίχοι που είναι βέβαιο ότι θα εξαφανιστούν. Εάν σταματήσετε ακριβώς στην κρίσιμη πιθανότητα, το σκυρόδεμα και το κενό θα ισορροπήσουν το ένα το άλλο, χωρίς κανένα από τα δύο να κυριαρχήσει στον λαβύρινθο.
«Στο κρίσιμο σημείο, αυτό που προκύπτει είναι ένας υψηλότερος βαθμός συμμετρίας», είπε Michael Aizenman, μαθηματικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον. «Αυτό ανοίγει την πόρτα σε ένα τεράστιο σώμα μαθηματικών». Έχει επίσης πρακτικές εφαρμογές σε οτιδήποτε, από το σχεδιασμό μασκών αερίου μέχρι αναλύσεις για το πώς εξαπλώνονται μολυσματικές ασθένειες ή πώς το πετρέλαιο διαρρέει τους βράχους.
Σε χαρτί που δημοσιεύτηκε το περασμένο φθινόπωρο, τέσσερις ερευνητές υπολόγισαν τελικά την πιθανότητα εύρεσης μονοπατιού για λαβύρινθους με την κρίσιμη πιθανότητα 1/2.
Ένας αγώνας όπλων
Ως διδακτορικός φοιτητής στη Γαλλία στα μέσα της δεκαετίας του 2000, Πιερ Νολέν μελέτησε το σενάριο της κρίσιμης πιθανότητας με μεγάλη λεπτομέρεια. Ο τυχαίος λαβύρινθος, πιστεύει, είναι «ένα πραγματικά όμορφο μοντέλο, ίσως ένα από τα πιο απλά μοντέλα που μπορείς να επινοήσεις». Κοντά στο τέλος των διδακτορικών του σπουδών, τις οποίες ολοκλήρωσε το 2008, ο Nolin γοητεύτηκε από μια ιδιαίτερα προκλητική ερώτηση σχετικά με το πώς συμπεριφέρεται ένα εξαγωνικό πλέγμα στην κρίσιμη πιθανότητα. Ας πούμε ότι χτίζετε ένα πλέγμα γύρω από ένα κεντρικό σημείο, έτσι ώστε να προσεγγίζει έναν κύκλο, και τυχαία χτίζετε τον λαβύρινθο σας από εκεί. Ο Nolin ήθελε να εξερευνήσει την πιθανότητα να μπορέσετε να βρείτε ένα ανοιχτό μονοπάτι που φτάνει από την άκρη στο κέντρο και πίσω έξω, χωρίς να επανατοποθετηθεί. Οι μαθηματικοί το αποκαλούν μονοχρωματικό μονοπάτι με δύο όπλα, επειδή τόσο το εσωτερικό όσο και το εξωτερικό «βραχίονα» βρίσκονται σε ανοιχτά μονοπάτια. (Μερικές φορές αυτά τα πλέγματα θεωρούνται ισοδύναμα ως κατασκευασμένα από δύο διαφορετικά χρώματα, ας πούμε ανοιχτό μπλε και σκούρο μπλε, αντί από ανοιχτά και κλειστά κελιά.) Εάν αυξήσετε το μέγεθος του λαβύρινθου, το μήκος της απαιτούμενης διαδρομής θα αυξηθεί επίσης , και η πιθανότητα εύρεσης ενός τέτοιου μονοπατιού θα γίνεται όλο και μικρότερη. Πόσο γρήγορα όμως μειώνονται οι πιθανότητες, καθώς ο λαβύρινθος μεγαλώνει αυθαίρετα;
Πιο απλές σχετικές ερωτήσεις απαντήθηκαν πριν από δεκαετίες. Υπολογισμοί από το 1979 από Marcel den Nijs υπολόγισε την πιθανότητα να βρείτε ένα μονοπάτι, ή βραχίονα, από την άκρη προς το κέντρο. (Σε αντίθεση με την απαίτηση του Nolin να υπάρχει ένας βραχίονας μέσα και ένας ξεχωριστός έξω.) Η εργασία του Den Nijs προέβλεψε ότι η πιθανότητα να βρεθεί ένας βραχίονας σε ένα εξαγωνικό πλέγμα είναι ανάλογη με το $latex 1/n^{5/48}$ , που n είναι ο αριθμός των πλακιδίων από το κέντρο προς την άκρη ή η ακτίνα του πλέγματος. το 2002, Gregory Lawler, Οντέντ Σραμ και Βέντελιν Βέρνερ τελικά αποδείχθηκε ότι η πρόβλεψη του ενός βραχίονα ήταν σωστή. Για να ποσοτικοποιήσουν συνοπτικά τη μείωση της πιθανότητας καθώς μεγαλώνει το μέγεθος του πλέγματος, οι ερευνητές χρησιμοποιούν τον εκθέτη από τον παρονομαστή, 5/48, ο οποίος είναι γνωστός ως εκθέτης ενός βραχίονα.
Ο Nolin ήθελε να υπολογίσει τον πιο άπιαστο μονοχρωματικό εκθέτη δύο βραχιόνων. Αριθμητικές προσομοιώσεις το 1999 έδειξε ότι ήταν πολύ κοντά στο 0.3568, αλλά οι μαθηματικοί δεν κατάφεραν να προσδιορίσουν την ακριβή τιμή του.
Ήταν πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί αυτό που είναι γνωστό ως ο πολυχρωματικός εκθέτης δύο βραχιόνων, ο οποίος χαρακτηρίζει την πιθανότητα ότι, ξεκινώντας από το κέντρο, μπορείτε να βρείτε όχι μόνο μια «ανοιχτή» διαδρομή προς την περίμετρο, αλλά και μια ξεχωριστή «κλειστή» διαδρομή. (Σκεφτείτε το κλειστό μονοπάτι σαν αυτό που διασχίζει τις κορυφές των τσιμεντένιων τοίχων του λαβύρινθου.) Το 2001, ο Stanislav Smirnov και ο Werner αποδείχθηκε ότι αυτός ο εκθέτης ήταν 1/4. (Επειδή το 1/4 είναι σημαντικά μεγαλύτερο από 5/48, το $latex 1/n^{1/4}$ συρρικνώνεται πιο γρήγορα από το $latex 1/n^{5/48}$ ως n μεγαλώνει. Η πιθανότητα, λοιπόν, μιας πολυχρωμικής δομής με δύο βραχίονες είναι πολύ μικρότερη από την πιθανότητα ενός βραχίονα, όπως θα περίμενε κανείς.)
Αυτός ο υπολογισμός βασίστηκε σε μεγάλο βαθμό στη γνώση σχετικά με το σχήμα των συστάδων στο γράφημα. Φανταστείτε ότι ένας λαβύρινθος στην κρίσιμη πιθανότητα είναι εξαιρετικά μεγάλος — που αποτελείται από εκατομμύρια και εκατομμύρια εξάγωνα. Τώρα βρείτε ένα σύμπλεγμα άδειων εξαγώνων και χαράξτε την άκρη του συμπλέγματος με ένα παχύ μαύρο Sharpie. Αυτό πιθανότατα δεν θα έχει ως αποτέλεσμα μια απλή, στρογγυλή σταγόνα. Από μίλια στον αέρα, θα έβλεπες μια καμπύλη που στριφογυρίζει συνεχώς, και συχνά φαίνεται σαν να είναι έτοιμος να διασταυρωθεί αλλά ποτέ δεν δεσμεύεται αρκετά.
Αυτός είναι ένας τύπος καμπύλης που ονομάζεται καμπύλη SLE, που εισήχθη από τον Schramm στο α χαρτί 2000 που επαναπροσδιόρισε το πεδίο. Ένας μαθηματικός που μελετά τις πιθανότητες εύρεσης ενός ανοιχτού μονοπατιού και ενός κλειστού μονοπατιού γνωρίζει ότι αυτά τα μονοπάτια πρέπει να βρίσκονται μέσα σε μεγαλύτερα συμπλέγματα ανοιχτών και κλειστών τοποθεσιών, τα οποία τελικά συναντώνται κατά μήκος μιας καμπύλης SLE. Οι μαθηματικές ιδιότητες των καμπυλών SLE μεταφράζονται στη συνέχεια σε ανεκτίμητες πληροφορίες για μονοπάτια μέσα στο λαβύρινθο. Αλλά αν οι μαθηματικοί αναζητούν πολλαπλά μονοπάτια του ίδιου τύπου, οι καμπύλες ΣΕΛ χάνουν μεγάλο μέρος της αποτελεσματικότητάς τους.
Μέχρι το 2007, ο Nolin και ο συνεργάτης του Vincent Beffara είχαν δημιουργήσει αριθμητικές προσομοιώσεις που έδειχναν ότι ο μονόχρωμος εκθέτης των δύο βραχιόνων ήταν περίπου 0.35. Αυτό ήταν ύποπτα κοντά στο 17/48 — το άθροισμα του εκθέτη ενός βραχίονα, 5/48, και του πολυχρωματικού εκθέτη δύο βραχιόνων, 1/4 (ή 12/48). «Το 17/48 είναι πραγματικά εντυπωσιακό», είπε ο Nolin. Άρχισε να υποπτεύεται ότι το 17/48 ήταν η αληθινή απάντηση — που σημαίνει ότι υπήρχε μια απλή σύνδεση μεταξύ των διαφορετικών ειδών εκθετών. Θα μπορούσατε απλώς να τα προσθέσετε μαζί. «Είπαμε, εντάξει, είναι πολύ καλό για να είναι ψεύτικο. πρέπει να είναι αλήθεια».
Εισαγωγή
Για λίγο, τίποτα από τις εικασίες του Nolin και του Beffara, αν και ο Nolin το δημοσίευσε στον ιστότοπό του για να δουλέψουν άλλοι. Μετακόμισε στο Χονγκ Κονγκ το 2017 για να αναλάβει μια θέση καθηγητή στο Πανεπιστήμιο Πόλης του Χονγκ Κονγκ και συνέχισε να εργάζεται για το πρόβλημα. Το 2018, ανέδειξε τον εκθέτη σε συνομιλία με Wei Qian, ο οποίος ήταν τότε μεταδιδάκτορας στο Πανεπιστήμιο του Cambridge στην Αγγλία. Ο Qian μελετούσε την τυχαία γεωμετρία στο συνεχές και όχι σε διακριτό πλαίσιο, με ιδιαίτερη έμφαση στις καμπύλες SLE. Ήταν στη μέση ενός έργου που χρησιμοποιούσε SLE για να υπολογίσει εκθέτες σε διαφορετικό τύπο τυχαίου μοντέλου, και η Nolin άρχισε να υποψιάζεται ότι η τεχνογνωσία της ήταν σχετική και με τον μονοχρωματικό εκθέτη των δύο βραχιόνων. Το ζεύγος σύντομα βρήκε μια απλή εξίσωση της οποίας η λύση θα έδινε τον εκθέτη, αλλά αυτή η εξίσωση βασιζόταν σε μια ενδιάμεση ποσότητα που είχε να κάνει με τον χώρο που περικλείεται από μια καμπύλη SLE στην άκρη του πλέγματος. Ο Nolin και ο Qian δεν μπορούσαν να προσδιορίσουν αυτόν τον αριθμό.
«Έκανα πολλούς υπολογισμούς, αλλά ακόμα δεν μπορούσα να υπολογίσω αυτήν την ιδιότητα», είπε ο Qian. «Δεν τα κατάφερα, οπότε απλά σταμάτησα για κάποιο διάστημα».
«Δεν το αναφέραμε ποτέ σε κανέναν γιατί δεν ήμασταν σίγουροι αν θα ήταν χρήσιμο ή όχι», πρόσθεσε ο Nolin.
Ο εκθέτης της ραχοκοκαλιάς
Ο μονόχρωμος εκθέτης δύο βραχιόνων είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον γιατί περιγράφει επίσης τη «ραχοκοκαλιά» ενός πλέγματος: τη συλλογή των εξαγώνων που συνδέονται με δύο διακριτούς βραχίονες που εκτείνονται σε δύο μη επικαλυπτόμενους βραχίονες: έναν στην άκρη του λαβύρινθου και έναν προς το κέντρο του. Όταν αυτές οι τοποθεσίες είναι χρωματισμένες, σχηματίζουν έναν ιστό που φτάνει σε ολόκληρο το πλέγμα και ονομάζεται ραχοκοκαλιά. Όταν οι ερευνητές μοντελοποιούν την εξάπλωση ασθενειών ή πορώδεις σχηματισμούς βράχων, η ραχοκοκαλιά είναι ένας αυτοκινητόδρομος κατά μήκος του οποίου μπορούν να ρέουν μικρόβια ή λάδι. Ο εκθέτης που αναζήτησαν οι Nolin και Qian αποκαλύπτει το μέγεθος της ραχοκοκαλιάς και αναφέρεται ως εκθέτης κορμού.
Ο Nolin και ο Qian δεν ήταν οι μόνοι μετά τη ραχοκοκαλιά. Ξιν Σαν, τότε στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια, προσπαθούσε επίσης να υπολογίσει τον βασικό εκθέτη. Τα προηγούμενα χρόνια, η Sun και οι συνεργάτες της, συμπεριλαμβανομένης της Nina Holden του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, είχαν βρει έναν τρόπο να μελετήσουν τις καμπύλες SLE χρησιμοποιώντας τυχαίες φράκταλ επιφάνειες. Αυτές οι εκτεταμένες, καμπύλες επιφάνειες έχουν χτενισμένες άκρες που εκτείνονται σε μακριές έλικες. Μερικά σημεία είναι ένα σύντομο άλμα από τους γείτονές τους, ενώ άλλα είναι ένα ταξίδι πολλών μηνών. Σε ορισμένα σημεία, αυτά τα εφέ είναι πολύ ακραία για να οπτικοποιηθούν. "Δεν είναι πραγματικά δυνατό να το σχεδιάσουμε" με απόλυτη ακρίβεια, είπε ο Holden. «Θα πρέπει να τεντώσετε πολύ την επιφάνεια».
Το καλοκαίρι του 2022, η Sun στρατολόγησε τη Zijie Zhuang, μια δευτεροετή μεταπτυχιακή φοιτήτρια, για να συμμετάσχει στη μελέτη του τυχαίου λαβύρινθου με κρίσιμη πιθανότητα. Εξέτασαν τυχαίους λαβύρινθους όπου τα εξάγωνα βρίσκονταν σε μια τυχαία φράκταλ επιφάνεια, αντί σε ένα επίπεδο επίπεδο. Επειδή η τύχη καθορίζει πού και κατά πόσο η επιφάνεια τεντώνεται και συμπιέζεται, η επιφάνεια έχει μοναδικές ιδιότητες. (Αυτές οι ιδιότητες καθιστούν επίσης τέτοιες επιφάνειες χρήσιμες σε φυσικούς που μελετούν μοντέλα κβαντικής βαρύτητας σε ένα δισδιάστατο σύμπαν, δίνοντάς τους το όνομά τους: επιφάνειες κβαντικής βαρύτητας Liouville.) Για παράδειγμα, αν πάρετε το ψαλίδι σε μια τέτοια επιφάνεια, τα σχήματα του δύο μισά δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο. «Αυτό το είδος ανεξαρτησίας απλοποιεί πραγματικά τα πράγματα πάρα πολύ», είπε Σκοτ Σέφιλντ του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης. Όταν τα πράγματα είναι τυχαία, ξέρετε λιγότερα γι' αυτά, αλλά αυτό μπορεί να σημαίνει λιγότερες πληροφορίες για να λάβετε κουραστικά υπόψη.
Ο Sun και ο Zhuang προσπάθησαν αρχικά να προσδιορίσουν την πιθανότητα ότι υπήρχε ένα ανοιχτό μονοπάτι που συνδέει έναν μικρό κύκλο γύρω από το κέντρο του πλέγματος με έναν μεγαλύτερο, περιβάλλοντα κύκλο. Αφού απάντησαν σε αυτή την ερώτηση, ο Sun πρότεινε ένα βήμα προς τα πάνω στη φιλοδοξία: υπολογίζοντας την πιθανότητα να υπάρχουν δύο μονοπάτια που συνδέουν τους ένθετους κύκλους, που θα τους έδιναν έναν τρόπο να υπολογίσουν τον εκθέτη κορμού. Σύντομα, όμως, αντιμετώπισαν δυσκολίες. «Δοκιμάσαμε αυτήν την προσέγγιση για αρκετούς μήνες, αλλά ο υπολογισμός δεν φαίνεται να είναι πολύ εύκολος», έγραψε ο Zhuang σε ένα email.
Εισαγωγή
Εν τω μεταξύ, αν και ο Nolin και ο Qian δεν είχαν καταφέρει να βρουν την αξία του εκθέτη, σημείωσαν πρόοδο με άλλους τρόπους. Η Qian πήρε άδεια από τη θέση της στο Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας της Γαλλίας και εντάχθηκε στον Nolin ως καθηγήτρια στο City University του Χονγκ Κονγκ. (Παντρεύτηκαν επίσης.) Το καλοκαίρι του 2021, ήρθε σε επαφή με μερικά έγγραφα του Sun και των συνεργατών του που την κέντρισαν το ενδιαφέρον, έτσι καθώς άρθηκαν οι ταξιδιωτικοί περιορισμοί της πανδημίας, σχεδίασε μια επίσκεψη τον Δεκέμβριο του 2022 στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών στο Πρίνστον , Νιου Τζέρσεϊ, όπου περνούσε τη χρονιά η Sun.
Αποδείχθηκε μια κερδοφόρα επίσκεψη. Καθώς η Qian περιέγραψε την εξίσωση που είχαν βρει εκείνη και ο Nolin, ο Sun άρχισε να σκέφτεται ότι θα μπορούσε να είναι σύμφωνη με την τεχνική του και του Zhuang να επικαλύπτουν τους λαβύρινθους στις επιφάνειες κβαντικής βαρύτητας Liouville. «Είναι κάπως σύμπτωση», είπε ο Sun. «Ένας τύπος έχει κλειδαριά, ένας έχει κλειδί».
Ο Zhuang ήταν λίγο δύσπιστος. «Δεν έχουμε προβλέψεις και δεν ξέρουμε καν αν η φόρμουλα θα έχει μια καλή λύση», είπε, περιγράφοντας την κατάσταση των πραγμάτων εκείνη την εποχή. Ο Sun και ο Zhuang πέρασαν τους επόμενους αρκετούς μήνες χρησιμοποιώντας τις τεχνικές τους κβαντικής βαρύτητας Liouville - το κλειδί - για να ξεκλειδώσουν την άπιαστη ποσότητα στην εξίσωση Nolin και Qian από χρόνια νωρίτερα - την κλειδαριά.
Μετά από τέσσερις μήνες δουλειάς, ο Sun και ο Zhuang είχαν ανοίξει τη μεταφορική κλειδαριά. Η Sun έστειλε ένα email στους Zhuang, Qian και Nolin, διακηρύσσοντας: «Υπέροχα νέα: Ακριβής φόρμουλα για τον εκθέτη κορμού». Η απάντηση, βρήκε, ήταν μια μέτρια περίπλοκη έκφραση των τετραγωνικών ριζών και της τριγωνομετρικής ημιτονοειδούς συνάρτησης. Ήταν σύμφωνα με τις προηγούμενες εκτιμήσεις, μια ατελείωτη ροή ψηφίων που ξεκινούσε με 0.3566668.
Οι τέσσερις μετέτρεψαν τη δουλειά τους σε γραπτή εργασία, τελειοποιώντας το επιχείρημα μέχρις ότου οι ιδέες των Nolin και Qian από τη μια πλευρά και Sun και Zhuang από την άλλη, συνδυάστηκαν για να δημιουργήσουν μια απόδειξη ότι ο Sheffield, ο οποίος ήταν διδακτορικός σύμβουλος της Sun, αποκάλεσε «μια όμορφη κόσμημα." "Η στρατηγική απόδειξης είναι σίγουρα εκπληκτική και πολύ πρωτότυπη, αλλά όταν τη βλέπεις, είναι επίσης κάτι που αισθάνεται κάπως φυσικό", είπε ο Holden.
Ο Nolin θρηνεί την υποψία του το 2011 ότι ο εκθέτης ήταν ακριβώς 17/48. «Παρατήσαμε το γήπεδο για αρκετό καιρό. Δεν είμαι πολύ περήφανος για αυτό.” Ο εκθέτης της ραχοκοκαλιάς είναι εντυπωσιακά διαφορετικός από τους πολυχρωματικούς ξαδέρφους του. Όχι μόνο είναι παράλογο, αλλά είναι και υπερβατικό, που σημαίνει ότι όπως το $latex pi$ και e, δεν μπορεί να γραφτεί ως η λύση μιας απλής πολυωνυμικής εξίσωσης.
«Η απόδειξη δεν εξηγεί πραγματικά από πού προέρχεται αυτή η φόρμουλα», είπε. «Το δείξαμε στους φυσικούς και ανυπομονούμε πραγματικά για τη διορατικότητά τους».
Η υπερβατική φύση του εκθέτη της ραχοκοκαλιάς τράβηξε την προσοχή άλλων στο πεδίο. Ο Gregory Huber του Chan Zuckerberg Biohub, ο οποίος συνέγραψε το α άρθρο συνέχειας σχετικά με τον βασικό εκθέτη, είπε ότι πιστεύει ότι το αποτέλεσμα είναι η «πρώτη ματιά μιας νέας ηπείρου» στη στατιστική μηχανική. Αν και ο συνδυασμός καμπυλών SLE και κβαντικής βαρύτητας Liouville είναι εξαιρετικά τεχνικός, η σαφής και απλή αριθμητική απάντηση που προέκυψε, έγραψε, είναι «εκπληκτικά απλή και κομψή».
- SEO Powered Content & PR Distribution. Ενισχύστε σήμερα.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Ενδυναμώστε τον εαυτό σας. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Ενισχύθηκε η γνώση. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoESG. Ανθρακας, Cleantech, Ενέργεια, Περιβάλλον, Ηλιακός, Διαχείριση των αποβλήτων. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoHealth. Ευφυΐα βιοτεχνολογίας και κλινικών δοκιμών. Πρόσβαση εδώ.
- πηγή: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :έχει
- :είναι
- :δεν
- :που
- ][Π
- $UP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- Ικανός
- Σχετικα
- πάνω από
- AC
- συμφωνία
- Λογαριασμός
- με ακρίβεια
- απέναντι
- πραγματικά
- προσθέτω
- προστιθέμενη
- προσθήκη
- προηγμένες
- Υποθέσεων
- Μετά το
- πάλι
- πριν
- ΑΕΡΑ
- Όλα
- κατά μήκος
- Επίσης
- φιλοδοξία
- υπαγόμενος
- an
- αναλύσεις
- και
- Άλλος
- απάντηση
- κάποιος
- εφαρμογές
- πλησιάζω
- προσεγγίζει
- ΕΙΝΑΙ
- επιχείρημα
- ARM
- όπλα
- γύρω
- AS
- ανατεθεί
- At
- προσοχή
- πίσω
- Σπονδυλική στήλη
- Υπόλοιπο
- BE
- όμορφη
- έγινε
- επειδή
- ήταν
- πριν
- ξεκίνησε
- Αρχή
- παρακάτω
- μεταξύ
- Μεγάλος
- Κομμάτι
- Μαύρη
- Μπλε
- σώμα
- και οι δύο
- Έφερε
- χτίζω
- αλλά
- by
- υπολογίσει
- υπολογίζεται
- υπολογισμό
- υπολογισμός
- υπολογισμοί
- που ονομάζεται
- κλήσεις
- cambridge
- ήρθε
- CAN
- δεν μπορώ
- περίπτωση
- αλιεύονται
- Κύτταρα
- Κελσίου
- Κέντρο
- κεντρικός
- Αιώνας
- ορισμένες
- πρόκληση
- chan
- ευκαιρία
- πιθανότητα
- αλλαγή
- Αλλαγές
- χαρακτήρας
- χαρακτηρίζει
- Κύκλος
- κύκλους
- Πόλη
- City University του Χονγκ Κονγκ
- καθαρός
- Κλεισιμο
- κλειστό
- συστάδα
- σύμπτωση
- συνεργάτες
- συλλογή
- Στήλη
- σε συνδυασμό
- συνδυάζοντας
- Ελάτε
- ερχομός
- δέσμευση
- εντελώς
- περίπλοκος
- υπολογισμός
- υπολογισμοί
- Υπολογίστε
- σκυρόδεμα
- εικασία
- συνδεδεμένος
- Συνδετικός
- θεωρούνται
- σταθερός
- συνεχώς
- συμφραζόμενα
- συνεχής
- αντίθεση
- Συνομιλία
- διορθώσει
- θα μπορούσε να
- δημιουργία
- δημιουργήθηκε
- κρίσιμης
- Σταυρός
- καμπύλη
- σκοτάδι
- νεκρός
- δεκαετίες
- Δεκέμβριος
- οπωσδηποτε
- Πτυχίο
- εξαρτηθεί
- περιγράφεται
- περιγράφει
- Περιγράφοντας
- Υπηρεσίες
- λεπτομέρεια
- Προσδιορίστε
- καθορίζει
- DID
- διαφορετικές
- δυσκολίες
- ψηφία
- μειώνοντας
- Νόσος
- ασθένειες
- διακριτή
- do
- Όχι
- Επικρατώ
- Μην
- Θύρα
- Doubles
- κάτω
- δραστικά
- σχεδιάζω
- κάθε
- Νωρίτερα
- ευκολότερη
- εύκολος
- άκρη
- αποτελεσματικά
- αποτελεσματικότητα
- αποτελέσματα
- είτε
- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ
- προέκυψαν
- αναδύεται
- τέλος
- Ατελείωτη
- τελειώνει
- Αγγλία
- Ολόκληρος
- καθιερώνει
- αναμενόμενη
- εκτιμήσεις
- Even
- τελικά
- Κάθε
- πάντα
- ακριβώς
- αναμένω
- εξειδίκευση
- Εξηγήστε
- διερευνήσει
- έκφραση
- επεκτείνουν
- επέκταση
- άκρο
- εξαιρετικά
- Απέτυχε
- ψευδής
- αισθάνεται
- λίγοι
- πεδίο
- σχηματικός
- γεμάτο
- Τελικά
- Εύρεση
- εύρεση
- Όνομα
- ίσια
- ροή
- Συγκέντρωση
- Για
- μορφή
- τύπος
- Προς τα εμπρός
- Βρέθηκαν
- τέσσερα
- Γαλλία
- Γαλλικά
- από
- πλήρη
- λειτουργία
- GAS
- Κόσμημα
- παράγεται
- παίρνω
- Δώστε
- δεδομένου
- Δίνοντας
- Ματιά
- καλός
- πήρε
- αποφοιτήσουν
- γραφική παράσταση
- βαρύτητα
- εξαιρετική
- Πλέγμα
- Grow
- μεγαλώνει
- Άνθρωπος
- είχε
- Ήμισυ
- χέρι
- Έχω
- που έχει
- he
- βαριά
- αυτήν
- υψηλότερο
- Αυτοκινητόδρομος
- του
- Επισκέψεις
- Χονγκ
- Hong Kong
- Πως
- Ωστόσο
- HTML
- http
- HTTPS
- τεράστιος
- i
- ICE
- ιδεών
- if
- φαντάζομαι
- in
- Σε άλλες
- Συμπεριλαμβανομένου
- Αυξάνουν
- ανεξαρτησία
- ανεξάρτητος
- λοιμώδη
- Λοιμώδη νοσήματα
- πληροφορίες
- μέσα
- διορατικότητα
- παράδειγμα
- αντί
- Ινστιτούτο
- ενδιαφέρον
- σε
- εισήγαγε
- ανεκτίμητος
- κατά κανόνα
- παράλογος
- IT
- ΤΟΥ
- εαυτό
- Φανέλα
- ενταχθούν
- εντάχθηκαν
- ταξίδι
- μόλις
- διατηρούνται
- Κλειδί
- Είδος
- είδη
- Ξέρω
- γνώση
- γνωστός
- ξέρει
- Κονγκ
- large
- μεγαλύτερος
- μεγαλύτερη
- Επίθετο
- λαϊκός
- Άδεια
- αφήνοντας
- αριστερά
- Μήκος
- μείον
- ψέμα
- αρθεί
- φως
- Μου αρέσει
- LINK
- Υγρό
- lock
- Μακριά
- κοιτάζοντας
- χάνουν
- Παρτίδα
- χαμηλότερα
- που
- περιοδικό
- κάνω
- Κατασκευή
- Masks
- Μασαχουσέτη
- Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης
- μαζική
- μαθηματικά
- μαθηματικός
- μαθηματικά
- μπορεί
- εννοώ
- νόημα
- μηχανική
- Γνωρίστε
- που αναφέρθηκαν
- ενδέχεται να
- εκατομμύρια
- MIT
- μοντέλο
- μοντέλα
- μέτρια
- μήνες
- περισσότερο
- πλέον
- μετακινηθεί
- πολύ
- πολλαπλούς
- πρέπει
- όνομα
- εθνικός
- Φυσικό
- Φύση
- Κοντά
- που απαιτούνται
- γείτονες
- κανενα απο τα δυο
- ποτέ
- Νέα
- New Jersey
- Νέα Υόρκη
- νέα
- επόμενη
- όμορφη
- Όχι.
- τίποτα
- τώρα
- αριθμός
- Πιθανότητα
- of
- συχνά
- Πετρέλαιο
- on
- ONE
- αυτά
- αποκλειστικά
- ανοίξτε
- άνοιξε
- ανοίγει
- or
- πρωτότυπο
- ΑΛΛΑ
- Άλλα
- έξω
- επί
- ζεύγος
- πανδημία
- Χαρτί
- χαρτιά
- ιδιαίτερα
- μονοπάτι
- μονοπάτια
- Πενσυλβάνια
- Πέτρος
- φυσικός
- Μέρη
- αεροπλάνο
- προγραμματίζονται
- Πλάτων
- Πληροφορία δεδομένων Plato
- Πλάτωνα δεδομένα
- τσέπες
- Σημείο
- σημεία
- θέτει
- θέση
- δυνατός
- δημοσιεύτηκε
- Πρακτικός
- προηγείται
- προβλεπόμενη
- πρόβλεψη
- Προβλέψεις
- Πρίνστον
- πιθανώς
- Πρόβλημα
- Δάσκαλος
- επικερδής
- Πρόοδος
- σχέδιο
- απόδειξη
- ιδιότητες
- περιουσία
- υπερήφανος
- αποδείχθηκε
- Quantamamagazine
- ποσότητα
- Quantum
- ερώτηση
- Ερωτήσεις
- γρήγορα
- αρκετά
- τυχαίος
- δημιουργήθηκε τυχαία
- μάλλον
- Φτάνει
- πραγματικά
- επαναπροσδιορίζεται
- αναφέρεται
- διύλιση
- σχετίζεται με
- απαίτηση
- έρευνα
- ερευνητές
- περιορισμούς
- αποτέλεσμα
- Αποκαλύπτει
- βράχος
- ρίζες
- γύρος
- Είπε
- ίδιο
- λένε
- σενάριο
- επιστημονικός
- αναζήτηση
- δείτε
- φαίνεται
- αποστέλλονται
- ξεχωριστό
- διάφοροι
- Shape
- σχήματα
- αυτή
- Κοντά
- έδειξε
- πλευρά
- Απλούς
- απλοποιεί
- προσομοιώσεις
- καθίσει
- Sites
- Μέγεθος
- δύσπιστος
- small
- μικρότερος
- So
- στέρεο
- λύση
- μερικοί
- κάτι
- μερικές φορές
- σύντομα
- επιδιώξει
- Χώρος
- ειδική
- Δαπάνες
- πέρασε
- εκτεταμένη
- διάδοση
- πλατεία
- Ξεκινήστε
- Κατάσταση
- στατιστικός
- Βήμα
- Ακόμη
- στάση
- σταμάτησε
- Στρατηγική
- μετάδοση
- δομή
- Φοιτητής
- μελετημένος
- μελέτες
- Μελέτη
- μελετώντας
- ουσιαστικά
- επιτύχει
- τέτοιος
- αιφνίδιος
- καλοκαίρι
- Κυρ.
- βέβαιος
- Επιφάνεια
- εκπληκτικός
- περιβάλλων
- ύποπτα
- Πάρτε
- Τεχνικός
- τεχνική
- τεχνικές
- Τεχνολογία
- από
- ότι
- Η
- Το γράφημα
- Το κράτος
- τους
- Τους
- τότε
- Εκεί.
- Αυτοί
- αυτοί
- λεπτός
- πράγματα
- νομίζω
- σκέφτεται
- αυτό
- εκείνοι
- αν και?
- σκέψη
- Μέσω
- ώρα
- προς την
- μαζι
- πολύ
- πήρε
- Tops
- Ιχνος
- μετάβαση
- μεταφράζω
- ταξίδι
- τρομερά
- Προσπάθησα
- αληθής
- προσπαθώντας
- Γύρισε
- δύο
- τύπος
- κάτω από
- μοναδικός
- Σύμπαν
- πανεπιστήμιο
- Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ
- ξεκλειδώσετε
- μέχρι
- χρήση
- μεταχειρισμένος
- χρήσιμος
- χρησιμοποιώντας
- αξία
- πολύ
- βικέντιος
- Επίσκεψη
- ήθελε
- ήταν
- Ουάσιγκτον
- Νερό
- Τρόπος..
- τρόπους
- we
- ιστός
- webp
- Ιστοσελίδα : www.example.gr
- ΛΟΙΠΌΝ
- ήταν
- Τι
- πότε
- αν
- Ποιό
- ενώ
- Ο ΟΠΟΊΟΣ
- του οποίου
- θα
- με
- εντός
- χωρίς
- Εργασία
- εργαζόμενος
- θα
- θα έδινα
- γραπτή
- Έγραψε
- έτος
- χρόνια
- Υόρκη
- Εσείς
- Σας
- zephyrnet
- μηδέν
- Zuckerberg