Όσον αφορά την κατανόηση του σχήματος των συστάδων φυσαλίδων, οι μαθηματικοί παίζουν να καλύπτουν τη φυσική μας διαίσθηση εδώ και χιλιετίες. Οι συστάδες φυσαλίδων σαπουνιού στη φύση συχνά φαίνονται να εισχωρούν αμέσως στην κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας, αυτή που ελαχιστοποιεί τη συνολική επιφάνεια των τοίχων τους (συμπεριλαμβανομένων των τοίχων μεταξύ των φυσαλίδων). Αλλά το να ελέγξετε εάν οι σαπουνόφουσκες κάνουν σωστά αυτήν την εργασία - ή απλώς να προβλέψουν πώς θα πρέπει να μοιάζουν οι μεγάλες συστάδες φυσαλίδων - είναι ένα από τα πιο δύσκολα προβλήματα στη γεωμετρία. Χρειάστηκαν μαθηματικοί μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα για να αποδείξουν ότι η σφαίρα είναι η καλύτερη ενιαία φούσκα, παρόλο που ο Έλληνας μαθηματικός Ζηνόδωρος το είχε υποστηρίξει περισσότερα από 2,000 χρόνια νωρίτερα.
Το πρόβλημα της φυσαλίδας είναι αρκετά απλό για να δηλωθεί: Ξεκινάτε με μια λίστα αριθμών για τους όγκους και, στη συνέχεια, ρωτάτε πώς να περικλείσετε ξεχωριστά αυτούς τους όγκους αέρα χρησιμοποιώντας τη μικρότερη επιφάνεια. Αλλά για να λύσουν αυτό το πρόβλημα, οι μαθηματικοί πρέπει να εξετάσουν ένα ευρύ φάσμα διαφορετικών πιθανών σχημάτων για τους τοίχους των φυσαλίδων. Και αν η αποστολή είναι να περικλείσουμε, ας πούμε, πέντε τόμους, δεν έχουμε καν την πολυτέλεια να περιορίσουμε την προσοχή μας σε συστάδες πέντε φυσαλίδων — ίσως ο καλύτερος τρόπος για να ελαχιστοποιήσουμε την επιφάνεια περιλαμβάνει το διαχωρισμό ενός από τους όγκους σε πολλές φυσαλίδες.
Ακόμη και στην απλούστερη ρύθμιση του δισδιάστατου επιπέδου (όπου προσπαθείτε να περικλείσετε μια συλλογή περιοχών ελαχιστοποιώντας την περίμετρο), κανείς δεν γνωρίζει τον καλύτερο τρόπο να περικλείσει, ας πούμε, εννέα ή 10 περιοχές. Καθώς ο αριθμός των φυσαλίδων αυξάνεται, "γρήγορα, δεν μπορείτε πραγματικά να πάρετε καμία εύλογη εικασία", είπε Εμανουέλ Μίλμαν του Technion στη Χάιφα του Ισραήλ.
Αλλά περισσότερο από ένα τέταρτο αιώνα πριν, John Sullivan, τώρα του Πολυτεχνείου του Βερολίνου, συνειδητοποίησε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις, υπάρχει α καθοδηγητική εικασία να έχει. Τα προβλήματα με τις φυσαλίδες έχουν νόημα σε οποιαδήποτε διάσταση και ο Sullivan διαπίστωσε ότι εφόσον ο αριθμός των τόμων που προσπαθείτε να περικλείσετε είναι το πολύ ένα μεγαλύτερο από τη διάσταση, υπάρχει ένας συγκεκριμένος τρόπος να περικλείσετε τους τόμους, δηλαδή, με μια ορισμένη έννοια, πιο όμορφο από οποιοδήποτε άλλο — ένα είδος σκιάς ενός απόλυτα συμμετρικού συμπλέγματος φυσαλίδων σε μια σφαίρα. Αυτό το σύμπλεγμα σκιών, υπέθεσε, θα πρέπει να είναι αυτό που ελαχιστοποιεί την επιφάνεια.
Κατά τη διάρκεια της δεκαετίας που ακολούθησε, οι μαθηματικοί έγραψαν μια σειρά από πρωτοποριακά έγγραφα που αποδεικνύουν την εικασία του Sullivan όταν προσπαθείτε να περικλείσετε μόνο δύο τόμους. Εδώ, η λύση είναι η γνωστή διπλή φυσαλίδα που μπορεί να έχετε φυσήξει στο πάρκο μια ηλιόλουστη μέρα, φτιαγμένη από δύο σφαιρικά κομμάτια με ένα επίπεδο ή σφαιρικό τοίχωμα μεταξύ τους (ανάλογα με το αν οι δύο φυσαλίδες έχουν ίδιους ή διαφορετικούς όγκους).
Αλλά αποδεικνύοντας την εικασία του Sullivan για τρεις τόμους, ο μαθηματικός Φρανκ Μόργκαν του Williams College εικάζεται το 2007, «θα μπορούσε κάλλιστα να πάρει άλλα εκατό χρόνια».
Τώρα, οι μαθηματικοί έχουν γλιτώσει από αυτή τη μακρά αναμονή - και έχουν πάρει πολύ περισσότερα από μια απλή λύση στο πρόβλημα της τριπλής φούσκας. Σε ένα χαρτί δημοσιεύτηκε στο διαδίκτυο τον Μάιο, Milman και Τζο Νίμαν, του Πανεπιστημίου του Τέξας, στο Ώστιν, απέδειξαν την εικασία του Sullivan για τριπλές φυσαλίδες σε διαστάσεις τρία και πάνω και τετραπλές φυσαλίδες σε διαστάσεις τέσσερα και πάνω, με ένα έγγραφο παρακολούθησης για πενταπλές φυσαλίδες σε διαστάσεις πέντε και πάνω.
Και όταν πρόκειται για έξι ή περισσότερες φυσαλίδες, οι Milman και Neeman έχουν δείξει ότι το καλύτερο σύμπλεγμα πρέπει να έχει πολλά από τα βασικά χαρακτηριστικά του υποψηφίου του Sullivan, ξεκινώντας πιθανώς τους μαθηματικούς στο δρόμο για την απόδειξη της εικασίας και για αυτές τις περιπτώσεις. «Η εντύπωσή μου είναι ότι έχουν κατανοήσει την ουσιαστική δομή πίσω από την εικασία Sullivan», είπε Φραντσέσκο Μάγκι του Πανεπιστημίου του Τέξας στο Ώστιν.
Το κεντρικό θεώρημα των Milman και Neeman είναι «μνημειώδες», έγραψε ο Morgan σε ένα email. "Είναι ένα λαμπρό επίτευγμα με πολλές νέες ιδέες."
Φυσαλίδες σκιών
Οι εμπειρίες μας με πραγματικές σαπουνόφουσκες προσφέρουν δελεαστικές διαισθήσεις σχετικά με το πώς πρέπει να φαίνονται οι βέλτιστες συστάδες φυσαλίδων, τουλάχιστον όταν πρόκειται για μικρά συμπλέγματα. Οι τριπλές ή τετραπλές φυσαλίδες που φυσάμε μέσα από σαπουνένιες ράβδους φαίνεται να έχουν σφαιρικά τοιχώματα (και περιστασιακά επίπεδα) και τείνουν να σχηματίζουν σφιχτές συστάδες αντί, ας πούμε, μια μακριά αλυσίδα από φυσαλίδες.
Αλλά δεν είναι τόσο εύκολο να αποδείξουμε ότι αυτά είναι πραγματικά τα χαρακτηριστικά των βέλτιστων συστάδων φυσαλίδων. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί δεν γνωρίζουν εάν τα τοιχώματα σε ένα σύμπλεγμα φυσαλίδων ελαχιστοποίησης είναι πάντα σφαιρικά ή επίπεδα — γνωρίζουν μόνο ότι οι τοίχοι έχουν «σταθερή μέση καμπυλότητα», που σημαίνει ότι η μέση καμπυλότητα παραμένει η ίδια από το ένα σημείο στο άλλο. Οι σφαίρες και οι επίπεδες επιφάνειες έχουν αυτή την ιδιότητα, αλλά το ίδιο και πολλές άλλες επιφάνειες, όπως οι κύλινδροι και τα κυματιστά σχήματα που ονομάζονται unduloids. Οι επιφάνειες με σταθερή μέση καμπυλότητα είναι «ένας πλήρης ζωολογικός κήπος», είπε ο Milman.
Αλλά στη δεκαετία του 1990, ο Sullivan αναγνώρισε ότι όταν ο αριθμός των τόμων που θέλετε να περικλείσετε είναι το πολύ ένα μεγαλύτερο από τη διάσταση, υπάρχει ένα υποψήφιο σύμπλεγμα που φαίνεται να ξεπερνά το υπόλοιπο — ένα (και μόνο ένα) σύμπλεγμα που έχει τα χαρακτηριστικά που τείνουμε για να δείτε σε μικρές ομάδες από πραγματικές σαπουνόφουσκες.
Για να πάρουμε μια αίσθηση για το πώς δημιουργείται ένας τέτοιος υποψήφιος, ας χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση του Sullivan για να δημιουργήσουμε ένα σύμπλεγμα τριών φυσαλίδων στο επίπεδο επίπεδο (έτσι οι «φυσαλίδες» μας θα είναι περιοχές στο επίπεδο και όχι τρισδιάστατα αντικείμενα). Ξεκινάμε επιλέγοντας τέσσερα σημεία σε μια σφαίρα που απέχουν όλα την ίδια απόσταση μεταξύ τους. Τώρα φανταστείτε ότι καθένα από αυτά τα τέσσερα σημεία είναι το κέντρο μιας μικροσκοπικής φυσαλίδας, που ζει μόνο στην επιφάνεια της σφαίρας (έτσι ώστε κάθε φυσαλίδα να είναι ένας μικρός δίσκος). Φουσκώστε τις τέσσερις φυσαλίδες στη σφαίρα μέχρι να αρχίσουν να προσκρούουν μεταξύ τους και στη συνέχεια συνεχίστε να φουσκώνετε μέχρι να γεμίσουν συλλογικά ολόκληρη την επιφάνεια. Καταλήγουμε σε ένα συμμετρικό σύμπλεγμα τεσσάρων φυσαλίδων που κάνει τη σφαίρα να μοιάζει με ένα φουσκωμένο τετράεδρο.
Στη συνέχεια, τοποθετούμε αυτή τη σφαίρα πάνω από ένα άπειρο επίπεδο επίπεδο, σαν να είναι μια σφαίρα που ακουμπά σε ένα ατελείωτο πάτωμα. Φανταστείτε ότι η μπάλα είναι διάφανη και υπάρχει ένα φανάρι στον βόρειο πόλο. Τα τοιχώματα των τεσσάρων φυσαλίδων θα προβάλλουν σκιές στο πάτωμα, σχηματίζοντας εκεί τα τοιχώματα ενός συμπλέγματος φυσαλίδων. Από τις τέσσερις φυσαλίδες στη σφαίρα, οι τρεις θα προεξέχουν σε φυσαλίδες σκιάς στο πάτωμα. η τέταρτη φούσκα (αυτή που περιέχει τον βόρειο πόλο) θα προεξέχει στην άπειρη έκταση του δαπέδου έξω από το σύμπλεγμα των τριών φυσαλίδων σκιάς.
Το συγκεκριμένο σύμπλεγμα τριών φυσαλίδων που λαμβάνουμε εξαρτάται από το πώς έτυχε να τοποθετήσουμε τη σφαίρα όταν την βάλαμε στο πάτωμα. Εάν περιστρέψουμε τη σφαίρα έτσι ώστε ένα διαφορετικό σημείο να μετακινηθεί προς το φανάρι στον βόρειο πόλο, θα έχουμε συνήθως μια διαφορετική σκιά και οι τρεις φυσαλίδες στο πάτωμα θα έχουν διαφορετικές περιοχές. Οι μαθηματικοί έχουν αποδείχθηκε ότι για οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς που επιλέγετε για τις περιοχές, υπάρχει ουσιαστικά ένας μόνο τρόπος να τοποθετήσετε τη σφαίρα, έτσι ώστε οι τρεις φυσαλίδες σκιάς να έχουν ακριβώς αυτές τις περιοχές.
Είμαστε ελεύθεροι να πραγματοποιήσουμε αυτή τη διαδικασία σε οποιαδήποτε διάσταση (αν και οι σκιές υψηλότερων διαστάσεων είναι πιο δύσκολο να απεικονιστούν). Αλλά υπάρχει ένα όριο στο πόσες φυσαλίδες μπορούμε να έχουμε στο σύμπλεγμα σκιών μας. Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν θα μπορούσαμε να έχουμε δημιουργήσει ένα σύμπλεγμα τεσσάρων φυσαλίδων στο επίπεδο. Αυτό θα απαιτούσε να ξεκινήσετε με πέντε σημεία στη σφαίρα που απέχουν όλα την ίδια απόσταση μεταξύ τους — αλλά είναι αδύνατο να τοποθετήσετε τόσα σημεία σε ίση απόσταση σε μια σφαίρα (αν και μπορείτε να το κάνετε με σφαίρες υψηλότερων διαστάσεων). Η διαδικασία του Sullivan λειτουργεί μόνο για τη δημιουργία συστάδων έως και τριών φυσαλίδων σε δισδιάστατο χώρο, τεσσάρων φυσαλίδων σε τρισδιάστατο χώρο, πέντε φυσαλίδων σε τετραδιάστατο χώρο και ούτω καθεξής. Εκτός αυτών των περιοχών παραμέτρων, τα συμπλέγματα φυσαλίδων τύπου Sullivan απλά δεν υπάρχουν.
Αλλά μέσα σε αυτές τις παραμέτρους, η διαδικασία του Sullivan μας δίνει συμπλέγματα φυσαλίδων σε ρυθμίσεις πολύ πέρα από αυτό που μπορεί να κατανοήσει η φυσική μας διαίσθηση. «Είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς τι είναι μια φυσαλίδα 15 σε [23-διάστατο διάστημα]», είπε ο Maggi. «Πώς ονειρεύεσαι να περιγράψεις ένα τέτοιο αντικείμενο;»
Ωστόσο, οι υποψήφιοι φυσαλίδες του Sullivan κληρονομούν από τους σφαιρικούς προγόνους τους μια μοναδική συλλογή ιδιοτήτων που θυμίζουν τις φυσαλίδες που βλέπουμε στη φύση. Τα τοιχώματά τους είναι όλα σφαιρικά ή επίπεδα, και όπου συναντώνται τρεις τοίχοι, σχηματίζουν γωνίες 120 μοιρών, όπως σε ένα συμμετρικό σχήμα Υ. Κάθε ένας από τους τόμους που προσπαθείτε να περικλείσετε βρίσκεται σε μία μόνο περιοχή, αντί να χωρίζεται σε πολλές περιοχές. Και κάθε φούσκα αγγίζει κάθε άλλη (και το εξωτερικό), σχηματίζοντας ένα σφιχτό σύμπλεγμα. Οι μαθηματικοί έχουν δείξει ότι οι φυσαλίδες του Sullivan είναι οι μόνες συστάδες που ικανοποιούν όλες αυτές τις ιδιότητες.
Όταν ο Sullivan υπέθεσε ότι αυτά θα έπρεπε να είναι τα συμπλέγματα που ελαχιστοποιούν την επιφάνεια, ουσιαστικά έλεγε, "Ας υποθέσουμε την ομορφιά", είπε η Maggi.
Αλλά οι ερευνητές των φυσαλίδων έχουν καλό λόγο να είναι επιφυλακτικοί για να υποθέσουν ότι ακριβώς επειδή μια προτεινόμενη λύση είναι όμορφη, είναι σωστή. "Υπάρχουν πολύ διάσημα προβλήματα ... όπου θα περίμενε κανείς συμμετρία για τους ελαχιστοποιητές, και η συμμετρία αποτυγχάνει θεαματικά", είπε ο Maggi.
Για παράδειγμα, υπάρχει το στενά συνδεδεμένο πρόβλημα της πλήρωσης του άπειρου χώρου με φυσαλίδες ίσου όγκου με τρόπο που ελαχιστοποιεί την επιφάνεια. Το 1887, ο Βρετανός μαθηματικός και φυσικός Λόρδος Κέλβιν πρότεινε ότι η λύση θα μπορούσε να είναι μια κομψή κατασκευή που μοιάζει με κηρήθρα. Για περισσότερο από έναν αιώνα, πολλοί μαθηματικοί πίστευαν ότι αυτή ήταν η πιθανή απάντηση - μέχρι το 1993, όταν ένα ζευγάρι φυσικών εντόπισε ένα καλύτερο, αν και λιγότερο συμμετρική, επιλογή. «Τα μαθηματικά είναι γεμάτα… από παραδείγματα όπου συμβαίνει αυτό το περίεργο πράγμα», είπε η Maggi.
Μια σκοτεινή τέχνη
Όταν ο Sullivan ανακοίνωσε την εικασία του το 1995, το τμήμα της διπλής φυσαλίδας είχε ήδη επιπλέει εδώ και έναν αιώνα. Οι μαθηματικοί είχαν λύσει το Πρόβλημα 2D διπλής φυσαλίδας δύο χρόνια νωρίτερα, και τη δεκαετία που ακολούθησε, το έλυσαν τρισδιάστατο χώρο και έπειτα μέσα υψηλότερο Διαστάσεις. Αλλά όταν ήρθε η επόμενη περίπτωση της εικασίας του Sullivan - τριπλές φυσαλίδες - θα μπορούσαν αποδείξει την εικασία μόνο στο δισδιάστατο επίπεδο, όπου οι διεπαφές μεταξύ των φυσαλίδων είναι ιδιαίτερα απλές.
Στη συνέχεια, το 2018, ο Milman και ο Neeman απέδειξαν μια ανάλογη εκδοχή της εικασίας του Sullivan σε ένα περιβάλλον γνωστό ως πρόβλημα της φυσαλίδας Gauss. Σε αυτή τη ρύθμιση, μπορείτε να σκεφτείτε ότι κάθε σημείο στο διάστημα έχει χρηματική αξία: Η προέλευση είναι το πιο ακριβό σημείο και όσο πιο μακριά φτάσετε από την προέλευση, τόσο φθηνότερη γίνεται η γη, σχηματίζοντας μια καμπύλη καμπάνας. Στόχος είναι η δημιουργία περιβλημάτων με προεπιλεγμένες τιμές (αντί για προεπιλεγμένους όγκους), με τρόπο που ελαχιστοποιεί το κόστος των ορίων των περιβλημάτων (αντί της επιφάνειας των ορίων). Αυτό το πρόβλημα φυσαλίδων Gauss έχει εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών για στρογγυλοποίηση σχημάτων και ερωτήματα ευαισθησίας θορύβου.
Ο Milman και ο Neeman υπέβαλαν τα δικά τους απόδειξη στο Χρονικά των Μαθηματικών, αναμφισβήτητα το πιο διάσημο περιοδικό των μαθηματικών (όπου έγινε αργότερα αποδεκτό). Αλλά το ζευγάρι δεν είχε σκοπό να το ονομάσει μια μέρα. Οι μέθοδοί τους φάνηκαν υποσχόμενες και για το κλασικό πρόβλημα της φούσκας.
Πέταξαν ιδέες πέρα δώθε για αρκετά χρόνια. «Είχαμε ένα έγγραφο 200 σελίδων με σημειώσεις», είπε ο Μίλμαν. Στην αρχή, ένιωθε σαν να σημειώνουν πρόοδο. «Αλλά μετά γρήγορα έγινε: «Δοκιμάσαμε αυτήν την κατεύθυνση — όχι. Δοκιμάσαμε [αυτή την κατεύθυνση — όχι.» Για να αντισταθμίσουν τα στοιχήματά τους, και οι δύο μαθηματικοί ακολούθησαν και άλλα έργα.
Στη συνέχεια, το περασμένο φθινόπωρο, ο Milman ήρθε για sabbatical και αποφάσισε να επισκεφτεί τον Neeman, ώστε το ζευγάρι να μπορέσει να κάνει μια συγκεντρωμένη ώθηση στο πρόβλημα της φούσκας. «Κατά τη διάρκεια του Σαββατοκύριακου είναι μια καλή στιγμή να δοκιμάσετε είδη υψηλού κινδύνου και υψηλού κέρδους», είπε ο Milman.
Τους πρώτους μήνες δεν έφτασαν πουθενά. Τελικά, αποφάσισαν να αναθέσουν στον εαυτό τους ένα ελαφρώς πιο εύκολο έργο από την πλήρη εικασία του Sullivan. Εάν δώσετε στις φυσαλίδες σας μια επιπλέον διάσταση χώρου αναπνοής, λαμβάνετε ένα μπόνους: Το καλύτερο σύμπλεγμα φυσαλίδων θα έχει συμμετρία καθρέφτη σε ένα κεντρικό επίπεδο.
Η εικασία του Sullivan αφορά τριπλές φυσαλίδες σε διαστάσεις δύο και πάνω, τετραπλές φυσαλίδες σε διαστάσεις τρία και πάνω, κ.ο.κ. Για να αποκτήσουν τη συμμετρία μπόνους, ο Milman και ο Neeman περιόρισαν την προσοχή τους σε τριπλές φυσαλίδες σε διαστάσεις τρία και πάνω, τετραπλές φυσαλίδες σε διαστάσεις τέσσερα και πάνω, και ούτω καθεξής. «Πραγματικά σημειώσαμε πρόοδο μόνο όταν εγκαταλείψαμε να το αποκτήσουμε για όλο το φάσμα των παραμέτρων», είπε ο Neeman.
Με αυτή τη συμμετρία καθρέφτη στη διάθεσή τους, οι Milman και Neeman κατέληξαν σε ένα επιχείρημα διαταραχής που περιλαμβάνει ελαφρώς διογκώνοντας το μισό του συμπλέγματος φυσαλίδων που βρίσκεται πάνω από τον καθρέφτη και ξεφουσκώνοντας το μισό που βρίσκεται κάτω από αυτόν. Αυτή η διαταραχή δεν θα αλλάξει τον όγκο των φυσαλίδων, αλλά θα μπορούσε να αλλάξει την επιφάνεια τους. Οι Milman και Neeman έδειξαν ότι εάν το βέλτιστο σύμπλεγμα φυσαλίδων έχει τοιχώματα που δεν είναι σφαιρικά ή επίπεδα, θα υπάρχει τρόπος να επιλεγεί αυτή η διαταραχή έτσι ώστε να μειώνει την επιφάνεια του συμπλέγματος - μια αντίφαση, αφού το βέλτιστο σύμπλεγμα έχει ήδη τη λιγότερη επιφάνεια περιοχή δυνατή.
Η χρήση διαταραχών για τη μελέτη των φυσαλίδων απέχει πολύ από το να είναι μια νέα ιδέα, αλλά το να καταλάβουμε ποιες διαταραχές θα ανιχνεύσουν τα σημαντικά χαρακτηριστικά ενός συμπλέγματος φυσαλίδων είναι «λίγο σκοτεινή τέχνη», είπε ο Neeman.
Με εκ των υστέρων, "άπαξ και δείτε [τις διαταραχές του Milman και του Neeman], φαίνονται αρκετά φυσικές", είπε Τζόελ Χας του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια, Davis.
Αλλά το να αναγνωρίσουμε τις διαταραχές ως φυσικές είναι πολύ πιο εύκολο από το να τις αντιμετωπίσουμε αρχικά, είπε η Maggi. «Δεν είναι κάτι που μπορείς να πεις, «Τελικά οι άνθρωποι θα το είχαν βρει», είπε. "Είναι πραγματικά ιδιοφυΐα σε ένα πολύ αξιοσημείωτο επίπεδο."
Ο Milman και ο Neeman μπόρεσαν να χρησιμοποιήσουν τις διαταραχές τους για να δείξουν ότι το βέλτιστο σύμπλεγμα φυσαλίδων πρέπει να ικανοποιεί όλα τα βασικά χαρακτηριστικά των συστάδων του Sullivan, εκτός ίσως από ένα: τον όρο ότι κάθε φούσκα πρέπει να αγγίζει το ένα το άλλο. Αυτή η τελευταία απαίτηση ανάγκασε τον Milman και τον Neeman να αντιμετωπίσουν όλους τους τρόπους με τους οποίους οι φυσαλίδες θα μπορούσαν να συνδεθούν σε ένα σύμπλεγμα. Όταν πρόκειται για μόνο τρεις ή τέσσερις φυσαλίδες, δεν υπάρχουν τόσες πολλές δυνατότητες να εξετάσετε. Αλλά καθώς αυξάνετε τον αριθμό των φυσαλίδων, ο αριθμός των διαφορετικών πιθανών μοτίβων συνδεσιμότητας αυξάνεται, ακόμη πιο γρήγορα από εκθετικά.
Ο Milman και ο Neeman ήλπιζαν στην αρχή να βρουν μια γενική αρχή που θα κάλυπτε όλες αυτές τις περιπτώσεις. Αλλά αφού πέρασαν μερικούς μήνες «σπάζοντας τα κεφάλια μας», είπε ο Milman, αποφάσισαν να αρκεστούν προς το παρόν σε μια πιο ad hoc προσέγγιση που τους επέτρεπε να χειρίζονται τριπλές και τετραπλές φυσαλίδες. Ανακοίνωσαν επίσης μια αδημοσίευτη απόδειξη ότι η πενταπλή φυσαλίδα του Sullivan είναι η βέλτιστη, αν και δεν έχουν ακόμη αποδείξει ότι είναι το μόνο βέλτιστο σύμπλεγμα.
Η δουλειά των Milman και Neeman είναι «μια εντελώς νέα προσέγγιση παρά μια επέκταση προηγούμενων μεθόδων», έγραψε ο Morgan σε ένα email. Είναι πιθανό, προέβλεψε ο Maggi, ότι αυτή η προσέγγιση μπορεί να προωθηθεί ακόμη περισσότερο - ίσως σε ομάδες με περισσότερες από πέντε φυσαλίδες ή στις περιπτώσεις της εικασίας του Sullivan που δεν έχουν την κατοπτρική συμμετρία.
Κανείς δεν αναμένει περαιτέρω πρόοδο να έρθει εύκολα. αλλά αυτό δεν πτόησε ποτέ τον Milman και τον Neeman. «Από την εμπειρία μου», είπε ο Μίλμαν, «όλα τα σημαντικά πράγματα που είχα την τύχη να κάνω απαιτούσαν απλώς να μην τα παρατήσω».
