Η εκπληκτική συμπεριφορά των αναδρομικών ακολουθιών | Περιοδικό Quanta

Στα μαθηματικά, απλοί κανόνες μπορούν να ξεκλειδώσουν σύμπαντα πολυπλοκότητας και ομορφιάς. Πάρτε τη διάσημη ακολουθία Fibonacci, η οποία ορίζεται ως εξής: Αρχίζει με το 1 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Οι πρώτοι αριθμοί είναι:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Απλή, ναι, αλλά αυτή η λιτή συνταγή δημιουργεί ένα μοτίβο ευρείας σημασίας, ένα μοτίβο που φαίνεται να είναι υφαντό στο ίδιο το ύφασμα του φυσικού κόσμου. Φαίνεται στις στροφές των κοχυλιών του ναυτίλου, στα κόκαλα στα δάχτυλά μας και στη διάταξη των φύλλων στα κλαδιά των δέντρων. Η μαθηματική του εμβέλεια εκτείνεται στη γεωμετρία, την άλγεβρα και τις πιθανότητες, μεταξύ άλλων περιοχών. Οκτώ αιώνες από τότε που εισήχθη η ακολουθία στη Δύση - Ινδοί μαθηματικοί τη μελέτησαν πολύ πριν από τον Φιμπονάτσι - οι αριθμοί συνεχίζουν να προσελκύουν το ενδιαφέρον των ερευνητών, μια απόδειξη για το πόσο μαθηματικό βάθος μπορεί να κρύβεται ακόμα και στην πιο στοιχειώδη ακολουθία αριθμών.

Στην ακολουθία Fibonacci, κάθε όρος βασίζεται σε αυτούς που προηγήθηκαν. Τέτοιες επαναλαμβανόμενες ακολουθίες μπορούν να επιδείξουν ένα ευρύ φάσμα συμπεριφορών, μερικές θαυμάσια αντίθετες. Πάρτε, για παράδειγμα, μια περίεργη οικογένεια ακολουθιών που περιγράφηκε για πρώτη φορά τη δεκαετία του 1980 από τον Αμερικανό μαθηματικό Μιχαήλ Σώμος.

Όπως η ακολουθία Fibonacci, μια ακολουθία Somos ξεκινά με μια σειρά από αυτές. Ένας Σώμος-k η σειρά ξεκινά με k από αυτούς. Κάθε νέος όρος ενός Somos-k η ακολουθία ορίζεται με σύζευξη προηγούμενων όρων, πολλαπλασιάζοντας κάθε ζεύγος μαζί, αθροίζοντας τα ζεύγη και στη συνέχεια διαιρώντας με τον όρο k θέσεις πίσω στην ακολουθία.

Οι σεκάνς δεν είναι πολύ ενδιαφέρουσες αν k ισούται με 1, 2 ή 3 — είναι απλώς μια σειρά επαναλαμβανόμενων. Αλλά k = 4, 5, 6 ή 7 οι ακολουθίες έχουν μια περίεργη ιδιότητα. Παρόλο που υπάρχει μεγάλη διαίρεση, τα κλάσματα δεν εμφανίζονται.

«Κανονικά δεν έχουμε τέτοιου είδους φαινόμενο», είπε ο Σόμος. «Είναι μια απατηλά απλή επανάληψη, παρόμοια με τον Φιμπονάτσι. Αλλά υπάρχουν πολλά πίσω από αυτή την απλότητα».

Άλλοι μαθηματικοί συνεχίζουν να αποκαλύπτουν εκπληκτικές συνδέσεις μεταξύ των ακολουθιών Somos και των φαινομενικά άσχετων περιοχών των μαθηματικών. Ένα χαρτί που δημοσιεύτηκε τον Ιούλιο τα χρησιμοποιεί κατασκευάζουν λύσεις σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση των πάντων, από αλληλεπιδράσεις αρπακτικών-θηραμάτων μέχρι κύματα που ταξιδεύουν σε πλάσματα υψηλής ενέργειας. Χρησιμοποιούνται επίσης για τη μελέτη της δομής των μαθηματικών αντικειμένων που ονομάζονται άλγεβρες συστάδων και συνδέονται με ελλειπτικές καμπύλες — που ήταν το κλειδί για τη διάρρηξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά.

Τζάνις Μαλούφ, μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Ιλινόις, δημοσίευσε την πρώτη απόδειξη ότι οι ακολουθίες Somos-4 και Somos-5 είναι αναπόσπαστα (που σημαίνει ότι όλοι οι όροι τους είναι ακέραιοι) το 1992. Άλλες αποδείξεις Το ίδιο αποτέλεσμα από διαφορετικούς μαθηματικούς εμφανίστηκε περίπου την ίδια εποχή, μαζί με αποδείξεις ότι οι ακολουθίες Somos-6 και Somos-7 είναι αναπόσπαστες.

Αυτή η παράξενη ιδιότητα των ακολουθιών Somos κατέπληξε τους μαθηματικούς. «Οι σεκάνς των Somos με κέντρισαν το ενδιαφέρον μόλις έμαθα γι' αυτές», είπε Τζέιμς Προπ, καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Μασαχουσέτης στο Λόουελ. «Το γεγονός ότι το Somos-4 μέσω του Somos-7 δίνει πάντα ακέραιους αριθμούς, ανεξάρτητα από το πόσο μακριά πηγαίνεις, φαινόταν σαν θαύμα όταν έβλεπες τα πράγματα από μια αφελή οπτική γωνία. Χρειαζόταν λοιπόν μια διαφορετική οπτική».

Ο Propp βρήκε μια νέα προοπτική στις αρχές της δεκαετίας του 2000, όταν αυτός και οι συνάδελφοί του ανακάλυψαν ότι οι αριθμοί στην ακολουθία Somos-4 πράγματι μετρούν κάτι. Οι όροι στην ακολουθία αντιστοιχούν σε δομές που βρίσκονται σε ορισμένα γραφήματα. Για ορισμένα γραφήματα, είναι δυνατό να γίνει σύζευξη κορυφών (κουκκίδων) με ακμές (γραμμές) έτσι ώστε κάθε κορυφή να συνδέεται ακριβώς με μια άλλη κορυφή — δεν υπάρχουν μη ζευγαρωμένες κορυφές και καμία κορυφή συνδεδεμένη με περισσότερες από μία ακμές. Οι όροι στην ακολουθία Somos-4 μετρούν τον αριθμό των διαφορετικών τέλειων αντιστοιχίσεων για μια συγκεκριμένη ακολουθία γραφημάτων.

Η ανακάλυψη όχι μόνο προσέφερε μια νέα προοπτική για τις ακολουθίες Somos, αλλά εισήγαγε επίσης νέους τρόπους σκέψης και ανάλυσης μετασχηματισμών γραφημάτων. Ο Propp και οι μαθητές του πανηγύρισαν βάζοντας το αποτέλεσμα να φορέσει ένα Κοντομάνικη μπλούζα.

«Για μένα ένα μεγάλο μέρος της γοητείας των μαθηματικών είναι όταν φτάνεις στον ίδιο προορισμό από διαφορετικά μονοπάτια και φαίνεται ότι κάτι θαυματουργό ή βαθύ συμβαίνει», είπε ο Propp. «Το ωραίο με αυτές τις ακολουθίες είναι ότι υπάρχουν διάφορες απόψεις που εξηγούν γιατί παίρνετε ακέραιους αριθμούς. Υπάρχουν κρυμμένα βάθη εκεί».

Η ιστορία αλλάζει για σεκάνς Somos με υψηλότερο αριθμό. Οι πρώτοι 18 όροι του Somos-8 είναι ακέραιοι, αλλά ο 19ος όρος είναι κλάσμα. Κάθε ακολουθία Somos μετά από αυτό περιέχει επίσης κλασματικές τιμές.

Ένας άλλος τύπος ακολουθίας, που αναπτύχθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Fritz Göbel τη δεκαετία του 1970, είναι μια ενδιαφέρουσα αντίστιξη στις ακολουθίες Somos. ο nΟ όρος της ακολουθίας Göbel ορίζεται ως το άθροισμα των τετραγώνων όλων των προηγούμενων όρων, συν 1, διαιρούμενο με n. Όπως και οι ακολουθίες Somos, η ακολουθία Göbel περιλαμβάνει διαίρεση, οπότε θα μπορούσαμε να περιμένουμε ότι οι όροι δεν θα παραμείνουν ακέραιοι. Αλλά για λίγο - καθώς η σειρά μεγαλώνει τεράστια - φαίνεται να είναι.

Ο 10ος όρος στην ακολουθία Göbel είναι περίπου 1.5 εκατομμύριο, ο 11ος 267-κάποια δισεκατομμύρια. Ο 43ος όρος είναι πολύ μεγάλος για να υπολογιστεί - έχει περίπου 178 δισεκατομμύρια ψηφία. Όμως το 1975 ο Ολλανδός μαθηματικός Χέντρικ Λένστρα έδειξε ότι σε αντίθεση με τους πρώτους 42 όρους, αυτός ο 43ος όρος δεν είναι ακέραιος.

Οι ακολουθίες Göbel μπορούν να γενικευτούν αντικαθιστώντας τα τετράγωνα στο άθροισμα με κύβους, τέταρτες δυνάμεις ή ακόμη υψηλότερους εκθέτες. (Σύμφωνα με αυτή τη σύμβαση, η αρχική του ακολουθία ονομάζεται ακολουθία 2-Göbel.) Αυτές οι ακολουθίες εμφανίζουν επίσης μια εκπληκτική τάση έναρξης με μια εκτεταμένη έκταση ακέραιων όρων. Το 1988, ο Henry Ibstedt έδειξε ότι οι πρώτοι 89 όροι της ακολουθίας 3-Göbel (η οποία χρησιμοποιεί κύβους αντί για τετράγωνα) είναι ακέραιοι, αλλά ο 90ός δεν είναι. Μεταγενέστερη έρευνα σε άλλες ακολουθίες Göbel βρήκε ακόμη μεγαλύτερες εκτάσεις. Η ακολουθία 31-Göbel, για παράδειγμα, ξεκινά με 1,077 ακέραιους όρους.

Τον Ιούλιο, οι μαθηματικοί του Πανεπιστημίου Kyushu, Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka και Κόκη Τσουχίδα μοιράστηκε ένα χαρτί δείχνοντας ότι για α k-Σειρά Göbel, ανεξάρτητα από την επιλογή k, οι πρώτοι 19 όροι της ακολουθίας είναι πάντα ακέραιοι. Εμπνεύτηκαν να εξετάσουν την ερώτηση από ένα ιαπωνικό manga που ονομάζεται Seisū-tan, που μεταφράζεται σε "The Tale of Integers". ΕΝΑ καρέ στο κόμικ ζήτησε από τους αναγνώστες να υπολογίσουν την ελάχιστη δυνατή τιμή του N_k, το σημείο στο οποίο α k-Η ακολουθία Göbel παύει να παράγει ακέραιους όρους. Οι τρεις μαθηματικοί ξεκίνησαν να απαντήσουν στην ερώτηση. «Η απροσδόκητη επιμονή των ακεραίων για μια τόσο εκτεταμένη διάρκεια έρχεται σε αντίθεση με τη διαίσθησή μας», είπε ο Ματσουσάκα. «Όταν συμβαίνουν φαινόμενα αντίθετα με τη διαίσθηση, πιστεύω ότι υπάρχει πάντα ομορφιά».

Βρήκαν ένα μοτίβο επαναλαμβανόμενης συμπεριφοράς ως k αυξάνει. Εστιάζοντας σε έναν πεπερασμένο αριθμό επαναλαμβανόμενων περιπτώσεων, κατέστησαν τον υπολογισμό εφαρμόσιμο και μπόρεσαν να ολοκληρώσουν την απόδειξη.

Μια πιο προσεκτική ματιά στη σειρά N_k αποκαλύπτει άλλη μια έκπληξη: N_k είναι prime πολύ πιο συχνά από ό,τι θα περίμενες αν ήταν καθαρά τυχαίο. "Με την k-Η ακολουθία Göbel δεν είναι απλώς αξιοσημείωτο ότι είναι ακέραιοι αριθμοί», είπε Ρίτσαρντ Γκριν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Κολοράντο. «Αυτό που είναι αξιοσημείωτο είναι ότι οι πρώτοι αριθμοί εμφανίζονται τόσο συχνά. Αυτό το κάνει να φαίνεται ότι κάτι βαθύτερο μπορεί να συμβαίνει».

Αν και το νέο έγγραφο παρουσιάζει μια απόδειξη ότι N_k είναι πάντα τουλάχιστον 19, δεν είναι γνωστό αν είναι πάντα πεπερασμένο ή αν υπάρχει α k για τα οποία η ακολουθία περιέχει ακέραιους αριθμούς επ' αόριστον. "N_k συμπεριφέρεται μυστηριωδώς. … Υπάρχει μια θεμελιώδης επιθυμία να κατανοήσουμε το υποκείμενο μοτίβο του», είπε ο Ματσουσάκα. «Μπορεί να μοιάζει με τη χαρά που ένιωθα ως παιδί όταν έλυνα παζλ που έδιναν οι δάσκαλοι. Ακόμη και τώρα, αυτά τα συναισθήματα από εκείνη την εποχή παραμένουν μέσα μου».

Quanta διεξάγει μια σειρά από έρευνες για την καλύτερη εξυπηρέτηση του κοινού μας. Πάρτε το δικό μας έρευνα αναγνωστών μαθηματικών και θα μπείτε για να κερδίσετε δωρεάν Quanta εμπόριο.