Η κρυφή σύνδεση που άλλαξε Θεωρία αριθμών | Περιοδικό Quanta

Υπάρχουν τρία είδη πρώτων αριθμών. Το πρώτο είναι ένα μοναχικό ακραίο: 2, το μόνο ζυγό πρώτο. Μετά από αυτό, οι μισοί πρώτοι αφήνουν υπόλοιπο 1 όταν διαιρούνται με 4. Οι άλλοι μισοί αφήνουν υπόλοιπο 3. (5 και 13 πέφτουν στο πρώτο στρατόπεδο, 7 και 11 στο δεύτερο.) Δεν υπάρχει προφανής λόγος για το υπόλοιπο -1 πρώτοι και υπόλοιποι-3 πρώτοι θα πρέπει να συμπεριφέρονται με θεμελιωδώς διαφορετικούς τρόπους. Αλλά το κάνουν.

Μια βασική διαφορά προέρχεται από μια ιδιότητα που ονομάζεται τετραγωνική αμοιβαιότητα, που αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Carl Gauss, αναμφισβήτητα τον πιο επιδραστικό μαθηματικό του 19ου αιώνα. «Είναι μια αρκετά απλή πρόταση που έχει εφαρμογές παντού, σε όλα τα είδη των μαθηματικών, όχι μόνο στη θεωρία αριθμών», είπε. Τζέιμς Ρίκαρντς, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Κολοράντο, Boulder. «Αλλά είναι επίσης αρκετά μη προφανές για να είναι πραγματικά ενδιαφέρον».

Η θεωρία αριθμών είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με ακέραιους αριθμούς (σε αντίθεση, ας πούμε, με σχήματα ή συνεχείς ποσότητες). Οι πρώτοι αριθμοί - αυτοί που διαιρούνται μόνο με το 1 και τους εαυτούς τους - βρίσκονται στον πυρήνα του, όπως το DNA είναι ο πυρήνας της βιολογίας. Η τετραγωνική αμοιβαιότητα έχει αλλάξει την αντίληψη των μαθηματικών για το πόσα είναι δυνατόν να αποδειχθούν γι' αυτούς. Εάν σκέφτεστε τους πρώτους αριθμούς ως μια οροσειρά, η αμοιβαιότητα είναι σαν ένα στενό μονοπάτι που επιτρέπει στους μαθηματικούς να σκαρφαλώνουν σε κορυφές που δεν ήταν προσβάσιμες στο παρελθόν και, από αυτές τις κορυφές, να δουν αλήθειες που είχαν κρυφτεί.

Αν και είναι ένα παλιό θεώρημα, συνεχίζει να έχει νέες εφαρμογές. Αυτό το καλοκαίρι, ο Rickards και ο συνάδελφός του Κάθριν Στάνγκμαζί με δύο μαθητές, διέψευσε μια ευρέως αποδεκτή εικασία για το πώς μπορούν να συσκευαστούν μικροί κύκλοι μέσα σε έναν μεγαλύτερο. Το αποτέλεσμα σόκαρε τους μαθηματικούς. Πίτερ Σάρνακ, θεωρητικός αριθμών στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών και στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, μίλησε με τη Stange σε ένα συνέδριο αμέσως μετά την ομάδα της δημοσιεύτηκε το χαρτί τους. «Μου είπε ότι έχει ένα αντιπαράδειγμα», θυμάται ο Σαρνάκ. «Την ρώτησα αμέσως, "Χρησιμοποιείτε κάπου την αμοιβαιότητα;" Και αυτό ήταν πράγματι αυτό που χρησιμοποιούσε».

Μοτίβα σε ζεύγη πρώτων

Για να κατανοήσετε την αμοιβαιότητα, πρέπει πρώτα να κατανοήσετε την αρθρωτή αριθμητική. Οι αρθρωτές πράξεις βασίζονται στον υπολογισμό των υπολοίπων όταν διαιρείτε με έναν αριθμό που ονομάζεται συντελεστής. Για παράδειγμα, το 9 modulo 7 είναι 2, γιατί αν διαιρέσετε το 9 με το 7, θα σας μείνει το υπόλοιπο 2. Στο σύστημα αριθμών modulo 7, υπάρχουν 7 αριθμοί: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Μπορείτε να προσθέσετε, να αφαιρέσετε, να πολλαπλασιάσετε και να διαιρέσετε αυτούς τους αριθμούς.

Ακριβώς όπως με τους ακέραιους αριθμούς, αυτά τα συστήματα αριθμών μπορούν να έχουν τέλεια τετράγωνα—αριθμούς που είναι το γινόμενο ενός άλλου αριθμού φορές τον ίδιο. Για παράδειγμα, τα 0, 1, 2 και 4 είναι τα τέλεια τετράγωνα modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 και 3 × 3 = 2 mod 7). Κάθε συνηθισμένο τετράγωνο θα είναι ίσο με 0, 1, 2 ή 4 modulo 7. (Για παράδειγμα, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Επειδή τα αρθρωτά συστήματα αριθμών είναι πεπερασμένα, τα τέλεια τετράγωνα είναι πιο κοινά.

Η τετραγωνική αμοιβαιότητα πηγάζει από μια σχετικά απλή ερώτηση. Δίνονται δύο πρώτοι p και q, αν το ξέρεις p είναι ένα τέλειο τετράγωνο modulo q, μπορείτε να πείτε αν ή όχι q είναι ένα τέλειο τετράγωνο modulo p?

Αποδεικνύεται ότι εφόσον είτε p or q αφήνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρείται με 4, αν p είναι ένα τέλειο τετράγωνο modulo q, Τότε q είναι επίσης ένα τέλειο τετράγωνο modulo p. Οι δύο πρώτοι λέγεται ότι αντιστρέφονται.

Από την άλλη πλευρά, αν και οι δύο αφήσουν ένα υπόλοιπο 3 (όπως, ας πούμε, 7 και 11) τότε δεν ανταποδίδουν: Αν p είναι ένα τετράγωνο modulo q, αυτό σημαίνει ότι q δεν θα είναι τετράγωνο modulo p. Σε αυτό το παράδειγμα, το 11 είναι ένα τετράγωνο modulo 7, αφού 11 = 4 mod 7 και ήδη γνωρίζουμε ότι το 4 είναι ένα από τα τέλεια τετράγωνα modulo 7. Συνεπάγεται ότι το 7 δεν είναι ένα τετράγωνο modulo 11. Εάν λάβετε τη λίστα με τα συνηθισμένα τετράγωνα (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) και κοιτάξτε τα υπόλοιπα τους modulo 11, τότε το 7 δεν θα εμφανιστεί ποτέ.

Αυτό, για να χρησιμοποιήσω έναν τεχνικό όρο, είναι πραγματικά περίεργο!

Η δύναμη της γενίκευσης

Όπως πολλές μαθηματικές ιδέες, η αμοιβαιότητα έχει επιρροή επειδή μπορεί να γενικευτεί.

Λίγο αφότου ο Γκάους δημοσίευσε την πρώτη απόδειξη της τετραγωνικής αμοιβαιότητας το 1801, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να επεκτείνουν την ιδέα πέρα ​​από τα τετράγωνα. «Γιατί όχι τρίτες δυνάμεις ή τέταρτες δυνάμεις; Φαντάστηκαν ότι ίσως υπάρχει νόμος περί κυβικής αμοιβαιότητας ή νόμος περί αμοιβαιότητας τετραγωνικών», είπε Κιθ Κόνραντ, θεωρητικός αριθμών στο Πανεπιστήμιο του Κονέκτικατ.

Αλλά κόλλησαν, είπε ο Κόνραντ, «επειδή δεν υπάρχει εύκολο μοτίβο». Αυτό άλλαξε όταν ο Gauss έφερε την αμοιβαιότητα στο βασίλειο των μιγαδικών αριθμών, οι οποίοι προσθέτουν την τετραγωνική ρίζα του μείον 1, που αντιπροσωπεύεται από i, σε συνηθισμένους αριθμούς. Εισήγαγε την ιδέα ότι οι θεωρητικοί αριθμών μπορούσαν να αναλύσουν όχι μόνο συνηθισμένους ακέραιους αλλά και άλλα μαθηματικά συστήματα που μοιάζουν με ακέραιο, όπως οι λεγόμενοι ακέραιοι Gauss, οι οποίοι είναι μιγαδικοί αριθμοί των οποίων τα πραγματικά και φανταστικά μέρη είναι και τα δύο ακέραιοι.

Με τους Gaussian ακέραιους αριθμούς, άλλαξε όλη η έννοια του τι μετράει πρώτος. Για παράδειγμα, το 5 δεν είναι πλέον πρώτος, επειδή 5 = (2 + i) × (2 − i). «Πρέπει να ξεκινήσεις από την αρχή σαν να είσαι ξανά στο δημοτικό», είπε ο Κόνραντ. Το 1832, ο Gauss απέδειξε έναν νόμο περί αμοιβαιότητας Quartic για τους μιγαδικούς ακέραιους αριθμούς που φέρουν το όνομά του.

Ξαφνικά, οι μαθηματικοί έμαθαν να εφαρμόζουν εργαλεία όπως η αρθρωτή αριθμητική και η παραγοντοποίηση σε αυτά τα νέα συστήματα αριθμών. Η τετραγωνική αμοιβαιότητα ήταν η έμπνευση, σύμφωνα με τον Conrad.

Μοτίβα που ήταν άπιαστα χωρίς μιγαδικούς αριθμούς τώρα άρχισαν να εμφανίζονται. Στα μέσα της δεκαετίας του 1840, ο Gotthold Eisenstein και ο Carl Jacobi είχαν αποδείξει τους πρώτους νόμους περί κυβικής αμοιβαιότητας.

Στη συνέχεια, στη δεκαετία του 1920, ο Emil Artin, ένας από τους ιδρυτές της σύγχρονης άλγεβρας, ανακάλυψε αυτό που ο Conrad αποκαλεί «απόλυτο νόμο της αμοιβαιότητας». Όλοι οι άλλοι νόμοι περί αμοιβαιότητας θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις του νόμου περί αμοιβαιότητας του Artin.

Έναν αιώνα αργότερα, οι μαθηματικοί εξακολουθούν να επινοούν νέες αποδείξεις του πρώτου τετραγωνικού νόμου της αμοιβαιότητας του Gauss και να τον γενικεύουν σε νέα μαθηματικά πλαίσια. Η ύπαρξη πολλών διακριτών αποδείξεων μπορεί να είναι χρήσιμη. "Εάν θέλετε να επεκτείνετε το αποτέλεσμα σε μια νέα ρύθμιση, ίσως ένα από τα επιχειρήματα να μεταφερθεί εύκολα, ενώ τα άλλα όχι", είπε ο Conrad.

Γιατί η αμοιβαιότητα είναι τόσο χρήσιμη

Η τετραγωνική αμοιβαιότητα χρησιμοποιείται σε τομείς έρευνας τόσο διαφορετικούς όπως η θεωρία γραφημάτων, η αλγεβρική τοπολογία και η κρυπτογραφία. Στο τελευταίο, ένας επιδραστικός αλγόριθμος κρυπτογράφησης δημόσιου κλειδιού αναπτύχθηκε το 1982 από τον Shafi Goldwasser και Σίλβιο Μικάλι εξαρτάται από τον πολλαπλασιασμό δύο μεγάλων πρώτων p και q μαζί και βγάζοντας το αποτέλεσμα, N, μαζί με έναν αριθμό, x, το οποίο δεν είναι τετράγωνο modulo N. Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί N και x κρυπτογράφηση ψηφιακών μηνυμάτων σε σειρές μεγαλύτερων αριθμών. Ο μόνος τρόπος για να αποκρυπτογραφήσετε αυτή τη συμβολοσειρά είναι να αποφασίσετε εάν κάθε αριθμός στην κρυπτογραφημένη συμβολοσειρά είναι ένα τετράγωνο modulo N — σχεδόν αδύνατο χωρίς να γνωρίζουμε τις τιμές των πρώτων p και q.

Και φυσικά, η τετραγωνική αμοιβαιότητα εμφανίζεται επανειλημμένα στη θεωρία αριθμών. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός ίσος με 1 modulo 4 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων (για παράδειγμα, 13 ισούται με 1 modulo 4 και 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Αντίθετα, πρώτοι ίσοι με 3 modulo 4 δεν μπορούν ποτέ να γραφτούν ως άθροισμα δύο τετραγώνων.

Ο Σαρνάκ σημείωσε ότι η αμοιβαιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ανοιχτών ερωτήσεων, όπως για παράδειγμα για να καταλάβουμε ποιοι αριθμοί μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών κύβων. Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί που είναι ίσοι με 4 ή 5 modulo 9 δεν είναι ίσοι με το άθροισμα τριών κύβων, αλλά άλλοι παραμένουν ένα μυστήριο. (Το 2019, ο Andrew Booker δημιουργήθηκαν τίτλοι όταν ανακάλυψε ότι (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Παρά τις πολλές εφαρμογές της και τις πολλές διαφορετικές αποδείξεις, υπάρχει κάτι σχετικά με την αμοιβαιότητα που παραμένει μυστήριο, είπε ο Stange.

«Αυτό που συμβαίνει συχνά με μια μαθηματική απόδειξη είναι ότι μπορείς να ακολουθήσεις κάθε βήμα. μπορείτε να πιστέψετε ότι είναι αλήθεια», είπε. «Και μπορείτε ακόμα να βγείτε από την άλλη άκρη νιώθοντας, "Μα γιατί;"

Η κατανόηση, σε σπλαχνικό επίπεδο, τι κάνει το 7 και το 11 να διαφέρει από το 5 και το 13 μπορεί να είναι για πάντα απρόσιτο. «Μπορούμε μόνο να κάνουμε ταχυδακτυλουργικά τόσα επίπεδα αφαίρεσης», είπε. «Εμφανίζεται παντού στη θεωρία αριθμών… και όμως είναι απλώς ένα βήμα πέρα ​​από αυτό που νιώθεις ότι θα μπορούσες να ξέρεις».

Quanta διεξάγει μια σειρά από έρευνες για την καλύτερη εξυπηρέτηση του κοινού μας. Πάρτε το δικό μας έρευνα αναγνωστών μαθηματικών και θα μπείτε για να κερδίσετε δωρεάν Quanta εμπόριο.