El vínculo de Pierre de Fermat con la prueba matemática principal de un estudiante de secundaria | Revista Quanta

Como muchos estudiantes de matemáticas, soñaba con la grandeza matemática. Una vez pensé que estaba cerca. Un difícil problema de álgebra en la universidad me mantuvo trabajando hasta altas horas de la noche. Después de horas de lucha, sentí que se avecinaba un gran avance. Manipulé hábilmente las expresiones. Factoricé, multipliqué y simplifiqué, hasta que finalmente mi descubrimiento se reveló:

$látex 1 + 1 = 2$.

No pude evitar reírme. El mundo ya sabía que $látex 1 + 1 = 2$, por lo que el “teorema de Honner” no iba a ser así. Y aunque muchos jóvenes matemáticos han experimentado la decepción por el avance que no fue del todo, el notable historia de daniel larsen mantiene vivo el sueño.

Larsen era un estudiante de secundaria en 2022 cuando demostró un resultado sobre cierto tipo de número que había eludido a los matemáticos durante décadas. Demostró que los números de Carmichael (un tipo curioso de número no del todo primo) se podían encontrar con más frecuencia de lo que se sabía anteriormente, estableciendo un nuevo teorema que siempre estará asociado con su trabajo. Entonces, ¿qué son los números de Carmichael? Para responder a eso, necesitamos retroceder en el tiempo.

Pierre de Fermat tiene su nombre en uno de los teoremas más famosos de las matemáticas. Durante más de 300 años, el último teorema de Fermat fue el símbolo supremo de la grandeza matemática inalcanzable. En el siglo XVII, Fermat garabateó una nota sobre su teorema propuesto en un libro que estaba leyendo, afirmando saber cómo demostrarlo sin proporcionar ningún detalle. Los matemáticos intentaron resolver el problema ellos mismos hasta la década de 1600, cuando Andrew Wiles finalmente lo demostró utilizando nuevas técnicas descubiertas cientos de años después de la muerte de Fermat.

Pero es el “pequeño teorema” de Fermat, menos famoso, el que se relaciona con los números de Carmichael. He aquí una forma de expresarlo:

Dado un número primo $latex p$, entonces, para cualquier número entero $latex a$, la cantidad $latex a^p – a$ es divisible por $latex p$.

Por ejemplo, tome el primo $latex p = 11$ y el entero $latex a = 2$. El pequeño teorema de Fermat dice que $látex 2^{11} – 2 = 2046$ es divisible por 11, y es: $látex 2046 div 11 = 186$. O tome $látex p = 7$ y $látex a = 4$: $látex 4^7 – 4 = 16380 = 7 veces 2340$, por lo que $látex 4^7 – 4$ es divisible por 7.

A diferencia del último teorema de Fermat, no hicieron falta 300 años para resolver su pequeño teorema. Leonhard Euler publicó una prueba menos de un siglo después. Y como se trata de números primos, la gente encontró formas de utilizarlo.

Una forma de utilizar el pequeño teorema de Fermat es demostrar que un número no es primo. Digamos que te preguntas si 21 es primo o no. Si 21 fuera primo, entonces, según el pequeño teorema de Fermat, para cualquier número entero $latex a$, $latex a^{21}$ – $latex a$ tendría que ser divisible por 21. Pero si pruebas algunos valores de $ latex a$ ves que esto no funciona. Por ejemplo, $látex 2^{21} – 2 = 2097150$, que no es múltiplo de 21. Por lo tanto, como no satisface el pequeño teorema de Fermat, 21 no puede ser un número primo.

Esta puede parecer una forma tonta de comprobar si un número es primo. Después de todo, sabemos que $látex 21 = 3 por 7$. Pero comprobar si los números grandes son primos es una tarea importante y que requiere mucho tiempo en las matemáticas modernas, por lo que los matemáticos siempre están buscando atajos. Con ese fin, los matemáticos se han preguntado si lo contrario del pequeño teorema de Fermat podría ser cierto.

¿Cuál es el recíproco de un teorema? Quizás recuerdes de la clase de matemáticas que un teorema puede considerarse como un enunciado condicional de la forma “si P luego Q.” Un teorema dice que si el P parte (el antecedente o hipótesis) es verdadera, entonces la Q parte (el consecuente o conclusión) también debe ser verdadera. Lo inverso de un teorema es el enunciado que se obtiene cuando se cambia el antecedente y el consecuente. Entonces lo contrario de “Si P luego Q” es la afirmación “Si Q luego P."

Consideremos el teorema de Pitágoras. A menudo nos dicen que dice $látex a^2 + b^2 = c^2$. Pero esto no es del todo correcto. El teorema de Pitágoras es en realidad un enunciado condicional: dice que si un triángulo rectángulo tiene longitudes de lados $látex a$, $látex b$ y $látex c$, siendo $látex c$ la longitud de la hipotenusa, entonces $látex a ^2 + b^2 = c^2$. Entonces, ¿cuál es su recíproco? Dice que si las longitudes de los lados de un triángulo $látex a$, $látex b$ y $látex c$ satisfacen la ecuación $látex a^2 + b^2 = c^2$, entonces es un triángulo rectángulo.

Es tentador pensar que lo contrario de un teorema siempre es cierto, y muchos estudiantes han caído en esa trampa. Lo contrario del teorema de Pitágoras resulta cierto, lo que nos permite concluir que un triángulo con lados de longitud 9, 40 y 41 debe ser un triángulo rectángulo ya que $látex 9^2 + 40^2 = 41^2$. Pero lo contrario de una afirmación verdadera no tiene por qué serlo: por ejemplo, si bien es cierto que si $latex x$ es un número positivo, entonces $latex x^2$ es positivo, lo contrario, si $latex x^2$ es un número positivo, entonces $latex x$ es positivo, no lo es, ya que $latex (-1)^2$ es positivo pero −1 en sí no lo es.

Es una buena práctica matemática explorar lo inverso de un enunciado, y los matemáticos que buscaban pruebas de primalidad querían saber si lo inverso del pequeño teorema de Fermat era cierto. Lo contrario dice que, dado un número entero $látex q$, si el número $látex a^q – a$ es divisible por $látex q$ para cualquier número entero $látex a$, entonces $látex q$ debe ser un número primo. Si esto fuera cierto, evitaría parte del trabajo computacional de verificar si $latex q$ es divisible por algún número distinto de 1 y de sí mismo. Como suele ocurrir en matemáticas, esta única pregunta generó nuevas preguntas, que en última instancia condujeron a algunas nuevas ideas matemáticas.

Cuando empieces a explorar el recíproco del pequeño teorema de Fermat, descubrirás que es válido para muchos números. Por ejemplo, para cualquier número entero $latex a$, el número $latex a^2 – a$ es divisible por 2. Puedes ver esto factorizando $latex a^2 – a$ como $latex a multiplicado por (a-1) ps Desde a y $latex a − 1$ son números enteros consecutivos, uno de ellos tiene que ser par, por lo que su producto debe ser divisible por 2.

Argumentos similares muestran que $latex a^3 – a$ siempre es divisible por 3 y $latex a^5 – a$ siempre es divisible por 5 (consulte los ejercicios a continuación para obtener más detalles). Entonces, lo contrario del pequeño teorema de Fermat es válido para 3 y 5. Lo contrario también nos dice lo que esperamos para los números pequeños no primos. Si lo usamos para comprobar si 4 es primo o no, calcularemos $látex 2^4 – 2$ y observaremos que 14 no es divisible por 4.

De hecho, puedes comprobar hasta el número 561 y todo indicará que lo contrario es que el pequeño teorema de Fermat es cierto. Los números primos menores que 561 dividen $latex a^p – a$ por cada ay los no primos menores que 561 no lo hacen. Pero eso cambia en 561. Con un poco de teoría de números ligeramente avanzada se puede demostrar que $latex a^{561} – a$ siempre es divisible por 561, por lo que si lo inverso del pequeño teorema de Fermat fuera cierto, entonces 561 debería ser un número primo. . Pero no lo es: $látex 561 = 3 × 11 × 17$. Por tanto, lo contrario del pequeño teorema de Fermat es falso.

Los matemáticos llaman a números como 561 “pseudoprimos” porque satisfacen algunas condiciones asociadas con ser primos (como dividir $latex a^p – a$ para todos a) pero en realidad no son números primos. Se han encontrado más contraejemplos del inverso del pequeño teorema de Fermat: los tres siguientes son 1,105, 1,729 y 2,465. Estos se conocieron como números de Carmichael, en honor al matemático estadounidense Robert Carmichael. Después de su descubrimiento, surgieron nuevas preguntas: ¿Existen otras formas de identificar los números de Carmichael? ¿Tienen alguna otra propiedad especial? ¿Hay infinitos de ellos? Si es así, ¿con qué frecuencia ocurren?

Fue esta última pregunta la que finalmente llamó la atención de Daniel Larsen. Los matemáticos habían demostrado que efectivamente había infinitos números de Carmichael, pero para demostrarlo tuvieron que construir números de Carmichael que estuvieran muy alejados entre sí. Esto dejó abierta la cuestión de cómo se distribuyen estos infinitos números de Carmichael a lo largo de la recta numérica. ¿Están siempre muy separados por su naturaleza, o podrían ocurrir con más frecuencia y regularidad de lo que mostró esta prueba inicial?

Estas preguntas sobre los pseudoprimos recuerdan a cuestiones similares e importantes sobre los propios primos. Hace dos mil años, Euclides demostró que hay infinitos números primos, pero llevó mucho más tiempo comprender cómo se distribuyen los primos a lo largo de la recta numérica. En el siglo XIX, el postulado de Bertrand demostró que para cualquier $látex n > 1800$, siempre hay un número primo entre $látex n$ y $látex 3n$. Esto nos da una idea de la frecuencia con la que podemos esperar números primos a medida que avanzamos por la recta numérica.

Los matemáticos se preguntaban si alguna versión del postulado de Bertrand era cierta para los números de Carmichael. Daniel Larsen también se lo preguntó, basándose en el trabajo de algunos matemáticos modernos famosos: los medallistas Fields. james maynard y Terence Tao, entre otros— volvió su curiosidad en un nuevo resultado sobre cómo se distribuyen los números de Carmichael. Y aunque los jóvenes matemáticos probablemente no deberían esperar lograr tanto mientras completan la tarea de esta noche, el arduo trabajo, la perseverancia y el éxito de Daniel Larsen deberían inspirarlos a seguir adelante, incluso si están volver a demostrar algo que ya sabemos.

Ejercicios

1. Utilice la factorización para demostrar que, si $látex a$ es un número natural, entonces $látex a^3 – a$ siempre es divisible por 3.

2. La afirmación “Si un cuadrilátero es un rectángulo, entonces las diagonales del cuadrilátero son congruentes” es verdadera. ¿Es cierto lo contrario?

3. Demuestre que si $látex a$ es un número natural, entonces el número $látex a^5 – a$ siempre es divisible por 5.