curvas elípticas revelan sus secretos en un nuevo sistema numérico | Revista Cuanta

Muchos avances complicados en la investigación matemática son impulsados ​​por el deseo de comprender algunas de las preguntas más simples sobre los números. ¿Cómo se distribuyen los números primos en los enteros? ¿Hay cubos perfectos (como 8 = 2³ o 27 = 3³) que se puede escribir como la suma de otros dos cubos? En términos más generales, los matemáticos podrían querer resolver una ecuación. Pero a menudo es imposible hacerlo jugando con la ecuación misma. En cambio, los matemáticos encuentran formas de conectar las soluciones con estructuras tremendamente abstractas cuya complejidad codifica sus secretos.

Durante las últimas décadas, una de las líneas de investigación más emocionantes en matemáticas ha seguido esta forma. Ha implicado comprender la relación entre ciertos tipos de ecuaciones polinómicas llamadas curvas elípticas y objetos más esotéricos llamados formas modulares, que saltaron a la fama en matemáticas en 1994 cuando Andrew Wiles los usó para demostrar el último teorema de Fermat, uno de los resultados más célebres del siglo XX. matemáticas.

Este pasado mes de enero, Ana Caraiani del Imperial College London y la Universidad de Bonn y James Newton de la Universidad de Oxford abrió una nueva veta de investigación en esta área cuando probaron que una relación que Wiles había establecido entre curvas elípticas y formas modulares también es válida para algunos objetos matemáticos llamados campos cuadráticos imaginarios.

Wiles demostró que ciertos tipos de curvas elípticas son modulares, lo que significa que hay una forma modular particular que corresponde a cada curva, cuando las dos variables y los dos coeficientes involucrados en la definición de la curva son todos números racionales, valores que se pueden escribir como fracciones. Después de su trabajo, los matemáticos se esforzaron por establecer la modularidad en una variedad más amplia de contextos. En 2001, cuatro matemáticos demostraron que todas las curvas elípticas son modulares sobre los números racionales (mientras que Wiles solo había demostrado esto para algunas curvas). En 2013, tres matemáticos, entre ellos samir siksek de la Universidad de Warwick demostró que las curvas elípticas también son modulares sobre campos cuadráticos reales  (lo que significa que las variables y los coeficientes se toman de un sistema numérico llamado campo cuadrático real).

A medida que aumentaban los avances, un objetivo particular permaneció fuera de alcance: demostrar que las curvas elípticas son modulares sobre campos cuadráticos imaginarios.

Los campos cuadráticos son un trampolín matemático entre los números racionales y los números reales, que incluyen todos los números decimales posibles, incluso aquellos con patrones infinitos a la derecha del punto decimal que nunca se repiten. (Esto incluye todos los números irracionales, como $latex sqrt{2}$ o $latex pi $).

Los campos cuadráticos eligen algún número entero, digamos, 5, e incluyen todos los números de la forma $latex a + bsqrt{5}$ donde a y b ambos son números racionales. Si el número entero en cuestión es positivo, entonces el campo cuadrático resultante es un subconjunto de los números reales, por lo que se conoce como campo cuadrático real.

¿Qué pasa con las curvas elípticas que se definen sobre campos cuadráticos imaginarios, aquellos que se forman al sacar la raíz cuadrada de un número negativo?

Ese es el problema que enfrentaron Caraiani y Newton.

Hace cientos de años, los matemáticos definieron la raíz cuadrada de los números negativos de manera sencilla: le dieron un nombre, i, a la raíz cuadrada de −1. Entonces la raíz cuadrada de cualquier otro número negativo es simplemente i veces la raíz cuadrada del número positivo correspondiente. Entonces $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. Los números imaginarios juegan un papel crucial en las matemáticas porque, para muchos problemas, es más fácil trabajar con ellos que con los números reales.

Pero probar que las curvas elípticas son modulares sobre campos cuadráticos imaginarios ha permanecido fuera del alcance durante mucho tiempo, porque las técnicas para probar la modularidad sobre campos cuadráticos reales no funcionan.

Caraiani y Newton lograron la modularidad, para todas las curvas elípticas sobre aproximadamente la mitad de todos los campos cuadráticos imaginarios, al descubrir cómo adaptar un proceso para probar la modularidad iniciado por Wiles y otros a curvas elípticas sobre campos cuadráticos imaginarios.

“Ahí es donde entró el hermoso trabajo de Caraiani y Newton. Mejoraron el segundo paso de Wiles”, dijo Chandrashekhar Khare de la Universidad de California, Los Ángeles.

El trabajo es un logro técnico por derecho propio y abre la puerta para avanzar en algunas de las preguntas más importantes de las matemáticas en el entorno imaginario.

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Los matemáticos se han preocupado por las soluciones de las ecuaciones polinómicas (combinaciones de variables elevadas a potencias constantes) desde al menos los antiguos griegos. Las ecuaciones vienen en infinitas variedades, logradas ajustando la cantidad de variables, los coeficientes de esas variables y las potencias a las que están elevadas. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ es solo un ejemplo.

Las curvas elípticas son ecuaciones polinómicas que se encuentran en el nivel óptimo de dureza para la investigación matemática. Hay un ordenado (y ampliamente enseñado) fórmula para encontrar soluciones a polinomios cuadráticos en una variable, en los que la potencia más alta es 2, pero no existe tal fórmula para soluciones a polinomios donde la potencia más alta es 5 o superior. Agregar más variables generalmente también complica las cosas. Pero las curvas elípticas, que tienen dos variables y cuya potencia más alta es 3, como $latex (y^2=x^3+1)$, son lo suficientemente desafiantes como para inspirar la invención, sin ser tan difíciles que parezcan desesperanzadoras.

Una de las preguntas básicas sobre una curva elíptica es si hay un número finito o infinito de pares racionales que la resuelvan. Algunas curvas elípticas tienen un número finito de soluciones racionales, otras tienen infinitas muchas y algunas no tienen ninguna.

“Tienen este tipo de comportamiento intermedio divertido”, dijo Caraiani.

Si le entregan una curva elíptica aleatoria, no es inmediatamente evidente en qué categoría se encuentra. Pero es posible decodificarlo emparejándolo con un objeto coincidente llamado forma modular, cuyas propiedades revelan la respuesta.

Atrápame una forma modular

Las formas modulares son funciones estudiadas en análisis, una forma avanzada de cálculo. Ellos son muy simétrico y, a menudo, se pueden traducir, desplazar hacia la izquierda o hacia la derecha, sin perder su apariencia. De esta forma, tienen características en común con otras funciones altamente simétricas, como la función seno, aunque son menos sencillas de escribir o visualizar.

Cada forma modular viene con coeficientes. Puedes escribirlos, produciendo una serie de números. Estos números tienen propiedades muy agradables y parecen estar lejos de ser aleatorios. Desconcertaron a los matemáticos a principios del siglo XX, cuando el genio matemático Srinivasan Ramanujan comenzó a percibir que los patrones en los coeficientes de una forma modular se explican por el hecho de que cada forma modular está unida a un segundo tipo de objeto llamado representación de Galois. . Un trabajo posterior confirmó el vínculo.

Las curvas elípticas también tienen representaciones de Galois y, después del trabajo de Ramanujan, parecía posible que las representaciones de Galois pudieran interpolarse entre curvas elípticas y formas modulares: comience con una, identifique su representación de Galois, encuentre la otra.

"Uno piensa: las curvas elípticas, los objetos de la geometría tienen representaciones de Galois y las formas modulares tienen representaciones de Galois, ¿hay una coincidencia?" Siksek dijo.

A fines de la década de 1950, Yutaka Taniyama y Goro Shimura propusieron que existe una combinación perfecta de 1 a 1 entre ciertas formas modulares y curvas elípticas. La siguiente década, Robert Langlands se basó en esta idea en la construcción de su amplio programa Langlands, que se ha convertido en uno de los programas de investigación de mayor alcance y consecuentes en matemáticas.

Si la correspondencia 1 a 1 es cierta, les daría a los matemáticos un poderoso conjunto de herramientas para comprender las soluciones de las curvas elípticas. Por ejemplo, hay una especie de valor numérico asociado con cada forma modular. Uno de los problemas abiertos más importantes de las matemáticas (probando que viene con un premio de un millón de dólares) —la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer— propone que si ese valor es cero, entonces la curva elíptica asociada a esa forma modular tiene un número infinito de soluciones racionales, y si no es cero, la curva elíptica tiene un número finito de soluciones racionales.

Pero antes de que se pueda abordar algo así, los matemáticos deben saber que la correspondencia se cumple: dame una curva elíptica y puedo darte su forma modular correspondiente. Demostrar esto es lo que muchos matemáticos, desde Wiles hasta Caraiani y Newton, han estado haciendo durante las últimas décadas.

Mira a través de tu libro

Antes del trabajo de Wiles, los matemáticos habían logrado demostrar una dirección de la correspondencia: en algunos casos, podían comenzar con una forma modular y encontrar su curva elíptica correspondiente. Pero ir en la otra dirección, que es a lo que se refieren los matemáticos cuando hablan de que las curvas elípticas son modulares, fue más difícil, y Wiles fue el primero en lograrlo.

"Antes la gente sabía cómo pasar de una forma modular a una elíptica bajo ciertas circunstancias, pero esta dirección hacia atrás de la elíptica a la modular fue la que Wiles motivó", dijo Khare.

Wiles demostró la modularidad de algunos tipos de curvas elípticas con coeficientes que son números racionales. Eso por sí solo fue suficiente para demostrar el último teorema de Fermat por medio de una contradicción. (Wiles demostró que si el último teorema de Fermat fuera falso, implicaría la existencia de una curva elíptica que el trabajo anterior había establecido que no puede existir. Por lo tanto, el último teorema de Fermat tiene que ser verdadero).

Cuando los matemáticos ampliaron el trabajo de Wiles sobre las curvas elípticas, siguieron el mismo método que él había usado para probar su resultado inicial.

Después de los éxitos en la generalización del resultado a números racionales y cuerpos cuadráticos racionales, la siguiente extensión obvia fue a cuerpos cuadráticos imaginarios.

“Solo hay dos cosas que pueden suceder: el campo es real o imaginario”, dijo Caraiani. “El caso real ya se entendió, por lo que es natural ir al caso imaginario”.

Los campos cuadráticos imaginarios tienen las mismas propiedades aritméticas básicas que los números racionales y reales, pero el método de Wiles no podría trasplantarse allí con la misma facilidad. Hay muchas razones por las que, pero en particular, las formas modulares sobre campos cuadráticos imaginarios son mucho menos simétricas que sobre los racionales y los reales. Esta relativa falta de simetría hace que sea más difícil definir sus representaciones de Galois, que son la clave para establecer una coincidencia con una curva elíptica.

Durante años después de la demostración de Fermat de Wiles, “el caso de los campos cuadráticos imaginarios aún estaba más allá de lo posible”, dijo Khare. Pero durante la última década, una serie de avances prepararon el camino para el trabajo de Caraiani y Newton.

Tráeme un anillo (o mejor aún, un campo)

El primer paso en el método de Wiles fue establecer una coincidencia aproximada entre las curvas elípticas y las formas modulares. Los dos están conectados a través de representaciones de Galois que están codificadas en una serie de números que se originan únicamente en ambos lados del emparejamiento.

En última instancia, desea mostrar que los números que definen las representaciones de Galois coinciden exactamente, pero en este primer paso es suficiente para mostrar que difieren en algún margen de error constante. Por ejemplo, puedes probar que una serie de números coincide si puedes sumar o restar múltiplos de 3 para obtener de cada número su número correspondiente. Bajo esta luz, (4, 7, 2) coincide con (1, 4, 5) o con (7, 10, 8), pero no con (2, 8, 3). También podrías decir que coinciden si difieren en múltiplos de 5, 11 o cualquier número primo (por razones técnicas pero importantes, el margen de error siempre tiene que ser primo). Un 2019 by patricio allen, Khare y jack thorne proporcionado este tipo de punto de apoyo en el problema.

“Probaron teoremas que te dan un punto de partida”, dijo Newton.

Casi al mismo tiempo que el documento de 2019 estaba en marcha, un grupo de 10 matemáticos estaba trabajando para hacer que los pasos adicionales del método de Wiles funcionaran para campos cuadráticos imaginarios. La colaboración comenzó durante una semana en el Instituto de Estudios Avanzados e incluyó a Allen y Thorne, coautores del artículo de 2019, así como a Caraiani y Newton.

El primer objetivo del grupo fue establecer que las representaciones de Galois provenientes de formas modulares poseían cierto tipo de consistencia interna. Esta propiedad, que es un requisito previo para emparejarlas con las representaciones de Galois provenientes de curvas elípticas, se llama compatibilidad local-global.

La colaboración de 10 personas logró hacer esto en algunos casos especiales, pero no en la mayoría. Cuando la colaboración terminó, Caraiani y Newton decidieron seguir trabajando juntos para ver si podían hacer más.

“Estábamos en Londres al mismo tiempo, y disfrutamos hablar entre nosotros sobre las cosas que aparecieron en ese proyecto de 10 autores”, dijo Caraiani. “Sabíamos cuáles eran los puntos conflictivos, cuáles eran las obstrucciones para ir más allá”.

Noche tras noche en la oscuridad 

Poco después de que comenzaran a trabajar por su cuenta, Caraiani y Newton idearon una estrategia para ir más allá del trabajo que habían comenzado con el grupo más grande. Obviamente, no parecía estar mal, pero tampoco tenían idea de si realmente funcionaría.

“Comenzamos con esta idea optimista de que las cosas funcionarían, que podríamos probar algo un poco más fuerte que este artículo de 10 autores, y finalmente lo hicimos”, dijo Newton.

Caraiani y Newton trabajaron en esta idea durante dos años y, para fines de 2021, su optimismo había valido la pena: habían mejorado el resultado de compatibilidad local-global obtenido por el equipo de 10 autores. Describen cómo en una larga sección técnica que comprende la primera mitad de su documento final, que tiene más de 100 páginas.

“Sabíamos que una vez que tuviéramos esta pieza técnica en su lugar, la modularidad estaría en juego”, dijo Caraiani.

El primer paso del método de Wiles fue establecer una especie de modularidad aproximada. El segundo paso fue el resultado de la compatibilidad local-global. El tercer paso fue tomar su conocimiento de que al menos una pequeña cantidad de curvas son modulares y aprovecharlo para demostrar que muchas curvas son modulares. Este movimiento fue posible debido a lo que se llama un teorema de elevación de la modularidad.

“Te permite difundir la modularidad”, dijo Newton. “Si conoces la modularidad de algo, este levantamiento [de] cosas te permite rescatar la modularidad de muchas otras cosas. En cierto modo, propagas esta propiedad de modularidad de una manera agradable”.

Un partido sin igual

La aplicación del teorema de elevación permitió a Caraiani y Newton demostrar la modularidad de infinitas curvas elípticas, pero todavía había algunos casos de esquina que no podían resolver. Estas eran un puñado de familias de curvas elípticas con propiedades únicas que las hacían inaccesibles al teorema de elevación.

Pero debido a que había tan pocos de ellos, Caraiani y Newton pudieron atacarlos a mano, calculando sus representaciones de Galois una por una para tratar de establecer una coincidencia.

“Allí nos divertimos calculando montones y montones de puntos en algunas curvas”, dijo Caraiani.

El esfuerzo fue exitoso, hasta cierto punto. Caraiani y Newton finalmente lograron demostrar que todas las curvas elípticas son modulares en aproximadamente la mitad de los campos cuadráticos imaginarios, incluidos los campos formados al combinar los números racionales con la raíz cuadrada de −1, −2, −3 o −5. Para otros campos cuadráticos imaginarios, pudieron probar la modularidad de muchas, pero no todas, las curvas elípticas. (La modularidad de los holdouts sigue siendo una pregunta abierta).

Su resultado proporciona una base para investigar algunas de las mismas preguntas básicas sobre curvas elípticas sobre campos cuadráticos imaginarios que los matemáticos persiguen sobre los racionales y los reales. Esto incluye la versión imaginaria del último teorema de Fermat, aunque es necesario establecer una base adicional antes de que sea accesible, y la versión imaginaria de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

Pero si los matemáticos progresan en cualquiera de los dos lugares, Caraiani no será parte de eso, al menos no por ahora. Después de años de trabajo en la modularidad de las curvas elípticas, está lista para probar algo más.

“Si obtengo un resultado en una dirección, no siempre me gusta continuar trabajando solo en esa dirección”, dijo. “Así que ahora cambié mis intereses a algo con un poco más de sabor geométrico”.

Corrección: 6 de Julio de 2023
Este artículo decía originalmente que no existe una fórmula general para las soluciones de una ecuación polinómica cuyo exponente más alto sea 4 o superior. El número correcto es 5. El artículo ha sido corregido.