Matemáticas que duran para siempre pero nunca se repiten | Revista Cuanta

¿Alguna vez ha admirado cómo las tablillas de un piso de madera encajan tan limpiamente, o cómo los hexágonos debajo de la alfombra de su baño se unen perfectamente? Estos son ejemplos de mosaicos geométricos, arreglos de formas que encajan cómodamente mientras llenan el espacio. Los mosaicos bidimensionales son admirados en todo el mundo, tanto por su belleza, como se ve en el arte de los mosaicos en catedrales y mezquitas de todo el mundo, como por su utilidad, en paredes y pisos en todas partes.

En matemáticas, las teselaciones suelen apreciarse por sus patrones regulares. Pero los matemáticos también encuentran belleza en la irregularidad. Es este tipo de belleza lo que buscaba un técnico de impresión jubilado cuando Descubierto recientemente el primer "monotile aperiódico": un solo mosaico que llena el plano en un patrón que no se repite. Para entender este gran descubrimiento, comencemos pensando en un problema más simple: cómo colocar una línea en mosaico.

Imaginemos que nuestros mosaicos de relleno de líneas son letras que se pegan para formar secuencias. Si los mosaicos y las reglas que adoptamos para colocarlos nos permiten crear una cadena de letras que continúa infinitamente en ambas direcciones, podemos “teselar la línea”. Por ejemplo, digamos que tenemos dos mosaicos, A y B, y dos reglas para unirlos:

1. Al lado de una A, a cada lado solo puedes colocar una B.
2. Junto a una B, a cada lado solo se puede colocar una A.

¿Podemos teselar la línea con estos mosaicos y estas reglas? Absolutamente. Supongamos que ponemos una A primero.

A

De acuerdo con las reglas, debemos poner B en cada lado.

BAB

Ahora, a cada lado de estas B, debemos poner A, y así sucesivamente.

…ABABABABABABA…

Con estas fichas y reglas, podemos continuar eternamente en ambas direcciones, por lo que podemos trazar la línea en mosaico. De hecho, podemos sacar una conclusión más fuerte: esta es esencialmente la única forma en que podemos trazar la línea con estas reglas. Veamos qué significa eso.

Supongamos que empezamos con B.

B

Las reglas requieren que pongamos A en cada lado.

ABA

Y luego las B a ambos lados de las A, y así sucesivamente.

…BABABABABABAB…

Esto parece un segundo mosaico válido de la línea. Pero comparémoslo lado a lado con el primero.

…BABABABABABAB…

…ABABABABABABA…

Si deslizamos cualquiera de los mosaicos por un mosaico, los dos encajan perfectamente, para siempre.

  …BABABABABABAB…

…ABABABABABABA…

En otras palabras, después de una traducción, las teselaciones son equivalentes. Esto muestra que los dos mosaicos siguen el mismo patrón.

Una mirada más cercana revela algo aún más interesante. Comience con dos copias del mosaico original:

…ABABABABABABA…

…ABABABABABABA…

Ahora, mira lo que sucede cuando deslizas el de arriba sobre dos fichas:

     …ABABABABABABA…

…ABABABABABABA…

El mosaico original coincide consigo mismo. Cuando un mosaico es equivalente a sí mismo después de una traducción, tiene "simetría de traducción". (Esto es como un objeto que tiene "simetría reflexiva" si sus dos mitades de imagen especular pueden reflejarse entre sí).

La simetría traslacional muestra cómo un mosaico es en realidad solo un patrón repetido una y otra vez. En este caso, el mosaico de la línea …ABABABABABABA… puede considerarse como un número infinito de copias traducidas del patrón de dos mosaicos AB.

AB

ABAB

ABABAB

Este es un ejemplo simple de un mosaico de la línea que tiene simetría de traslación. En dos dimensiones, hay muchos ejemplos familiares de mosaicos del plano que también tienen esta propiedad.

En cada caso anterior, es posible traducir todo el mosaico en cierta medida para que coincida exactamente con el original.

Al igual que nuestro mosaico de la línea, estos mosaicos bidimensionales con simetría traslacional se pueden considerar como un patrón que se repite una y otra vez. Por ejemplo, el hexágono único se extiende en todas las direcciones.

Para ver esto en el mosaico de triángulos equiláteros, imagine que los triángulos se juntan para formar hexágonos, y esos hexágonos se repiten una y otra vez por traslación.

Los mosaicos de triángulos, hexágonos y cuadrados del plano son todos "monoédricos", ya que están compuestos de infinitas copias de un solo mosaico. También hay muchas formas de colocar mosaicos en el plano usando múltiples mosaicos, como se muestra a continuación (y en muchos pisos de baños).

Pero volvamos a teselar la línea. Hay una distinción importante que debemos hacer.

Considere las siguientes reglas nuevas para nuestros mosaicos A y B.

1. Junto a una A, en cualquier lado puede colocar una A o una B.
2. Junto a una B, a cada lado solo se puede colocar una A.

¿Podemos todavía tejar la línea con estas reglas? Una manera fácil de ver que la respuesta es sí es notar que el mosaico anterior también satisface el nuevo conjunto de reglas.

…ABABABABABABA…

Pero las nuevas reglas permiten más flexibilidad, y esto conduce a más mosaicos de la línea.

Por ejemplo, ambas son configuraciones válidas según las nuevas reglas:

AAABABA

ABABAAABAAB

Y estos pueden extenderse infinitamente en cualquier dirección de infinitas maneras.

Además de brindarnos muchos mosaicos nuevos de la línea, las nuevas reglas nos permiten generar mosaicos que, a diferencia de nuestro primer ejemplo, no se repiten. Por ejemplo, considere el siguiente mosaico:

…ABAABAAABAAAAB…

¿Cuál es el patrón aquí? Comience con una A, luego coloque una B a la derecha, luego dos A a la derecha, luego una B, luego tres A, luego una B, luego cuatro A, y así sucesivamente. A la izquierda, sigue agregando A:

…AAAAAABAABAAABAAAABAAAAAB…

Haga esto y terminará con un mosaico que no se puede traducir a sí mismo para que todo coincida.

Una forma simple de ver esto es observar que hay una B única más a la izquierda en este mosaico, entonces, ¿dónde irá después de la traducción? Si traduce a la izquierda, no hay B para que coincida. Pero si traduces a la derecha, no hay B viniendo de la izquierda para que coincida.

Por lo tanto, las nuevas reglas permiten teselaciones que tienen simetría traslacional y teselaciones que no la tienen. Hay mosaicos del plano que también funcionan así.

Por ejemplo, ya hemos visto un mosaico con cuadrados que tiene simetría traslacional, pero también podemos usar el cuadrado para construir mosaicos que no tienen esta propiedad.

Esta es una situación muy diferente de las teselaciones monoédricas que usan hexágonos regulares. En esos mosaicos, la estructura repetitiva es inevitable. La geometría de los propios mosaicos obliga al mosaico a tener simetría traslacional. Llamamos a tales mosaicos “periódicos”.

Por el contrario, el cuadrado permite patrones que se repiten y patrones que no. Esto lleva a una pregunta natural e irresistible para los matemáticos: si hay mosaicos del plano que se ven obligados a tener esta estructura repetitiva, ¿hay mosaicos que se ven obligados a evitarla? Con esta pregunta, formulada en la década de 1960, se inició la búsqueda de “teselas aperiódicas”.

Para nuestra búsqueda, haremos un viaje más de regreso a la línea. Nuestro mosaico final del espacio unidimensional utilizará un conjunto de mosaicos de aspecto inusual:

Fichas A: A, AA, AAA, AAAA, …

Fichas B: B, BB, BBB, BBBB, …

Tenga en cuenta que este conjunto de mosaicos es infinito. Si esto parece hacer trampa, estás pensando como un matemático. Volveremos a eso más tarde, pero por ahora, aquí están las dos reglas para juntar nuestras infinitas fichas:

1. Junto a una baldosa A de longitud n, solo puedes poner un mosaico B de longitud n a cada lado.
2. Junto a una tesela B de longitud n, solo puedes poner un mosaico A de longitud n + 1 a cada lado.

Como siempre, nuestra pregunta es: ¿Podemos teselar la línea con estos mosaicos y reglas? Bueno, supongamos que comenzamos con un mosaico A de longitud 1.

A

Las reglas dictan que en cada lado solo podemos poner B-tiles de longitud 1.

BAB

Ahora, al lado de cada B debemos poner A-tiles de longitud 2.

AABABAA

Luego agregamos B-tiles de longitud 2.

BBAABABAABB

Etcétera. Es fácil ver que podemos seguir para siempre en cualquier dirección, lo que significa que podemos enlosar la línea con estas nuevas fichas y reglas. Y relevante para nuestra búsqueda, este mosaico no tiene simetría traslacional. Tenga en cuenta que la única A que colocamos al principio queda inmediatamente rodeada por B a cada lado, y el patrón resultante, BAB, nunca volverá a aparecer. En la cadena infinitamente larga que representa nuestro mosaico, cada A que aparece estará al lado de al menos otra A. Esto significa que la cadena BAB no tiene a dónde ir, por lo que no hay forma de traducir este mosaico en sí mismo.

Esto será cierto independientemente de con qué mosaico comencemos. Si es B, las reglas conducen inmediatamente a la cadena

…BBAABAABB…

Y, como antes, el patrón ABA nunca se repetirá. Incluso si comienzas con algo como AAA, sucederá lo mismo.

…AAAABBBAAABBBAAAAA…

Independientemente de lo que comience, la tesela inicial siempre será la única tesela A o B de esa longitud particular, lo que evitará que surja cualquier simetría traslacional. Resulta que esto es exactamente lo que estábamos buscando: un conjunto de mosaicos y reglas que nos permitan colocar mosaicos en la línea, pero nunca permitirán la simetría traslacional.

Es posible que no esté satisfecho con un mosaico aperiódico que requiere un número infinito de mosaicos, y no estaría solo. Cuando los matemáticos comenzaron a buscar seriamente teselaciones aperiódicas del plano, querían encontrar un conjunto finito de teselas que pudieran teselar el plano pero que no pudieran tener simetría de traslación. Una de las primeras soluciones utilizaba 20,426 mosaicos, pero en pocos años los matemáticos redujeron ese número a seis.

Se produjo un gran avance en la década de 1970 cuando Roger Penrose, el matemático y físico británico, descubrió el famoso conjunto de dos fichas que ahora lleva su nombre. Las teselas de Penrose son un par de cuadriláteros simples que, con un cuidadoso conjunto de reglas, teselan el plano sin permitir la simetría traslacional.

Solo hay una forma de mejorar un mosaico aperiódico de dos mosaicos, por lo que los matemáticos, los aficionados y los artistas comenzaron a buscar un "monotile" aperiódico que hiciera el trabajo por sí solo.

En noviembre pasado, David Smith lo encontró. Este es el "sombrero", el primer monotilo aperiódico conocido.

Smith, un matemático recreativo, artista y entusiasta de los mosaicos, descubrió el sombrero de la misma manera que se descubren muchas matemáticas: jugando y viendo lo que sucedía. Smith se conectaría más tarde con los investigadores Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss y Joseph Samuel Myers, quienes juntos verificaron que este era de hecho el anhelado monotilo aperiódico.

Demostrar que algo puede embaldosar el plano pero no puede tener simetría traslacional no es una tarea fácil, pero algunas de las técnicas que usaron se insinúan en nuestros ejemplos simples. Por ejemplo, una forma de mostrar que los triángulos equiláteros pueden formar mosaicos en el plano es notar que se juntan para formar estructuras más grandes, en este caso, hexágonos, que se sabe que forman mosaicos en el plano. El mosaico del sombrero también se une para formar estructuras regulares más grandes, que se pueden usar para comprender cómo se divide el plano.

Si bien es posible que no haya un patrón repetitivo en nuestro mosaico aperiódico de la línea, hay un patrón que se expande a medida que se mueve hacia la derecha. Primero ves AB, luego AABB, luego AAABBB, luego AAAABBBB, y así sucesivamente. Este es un tipo de autosimilitud, un patrón que se repite en escalas cambiantes, que a veces se puede usar para mostrar que un mosaico en particular no se puede traducir a sí mismo, porque hacerlo distorsionaría la longitud.

Trabajando juntos, el grupo demostró que usando solo la teja del sombrero y su imagen especular, se puede teselar el plano, pero no con simetría traslacional. Y a diferencia de otros intentos con diferentes conjuntos de mosaicos, este no requirió reglas especiales. El propio mosaico forzaba la aperiodicidad. A medida que profundizaron en la geometría, descubrieron aún más soluciones. ¡El sombrero es en realidad uno de una familia infinita de fichas aperiódicas!

La búsqueda de un monotilo aperiódico parece haber llegado a su fin. ¿O lo tiene? Al enlosar el avión de forma aperiódica con el sombrero, también necesitas su reflejo (lo que obtienes si le das la vuelta al mosaico). Tal vez haya un monotile aperiódico aún por descubrir que no requiera su imagen especular. Encuéntralo y serás famoso. La inspiración podría estar justo debajo de tus pies.

Corrección: 23 de mayo de 2023

Esta columna ha sido revisada para reflejar el hecho de que una estructura repetitiva es evitable en mosaicos monoédricos de triángulos equiláteros.